Свойство диаметров и хорд

Тема свойства диаметров и хорд — одна из ключевых в геометрии окружности. Понимание того, как связаны длины хорд, их положение относительно центра и пересечения, пригодится при решении различных задач. Этот тест поможет закрепить основные идеи и потренироваться в их применении.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"content":"В круге две хорды находятся на расстоянии $3$ $см$ от центра. Что можно сказать об этих хордах?[[choice-1]][[image-5]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Эти хорды равны.","Эти хорды перпендикулярны радиусам.","Эти хорды пересекаются.","Эти хорды лежат на одной прямой."],"answer":[0]},"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/03/ege_ok-01.svg","width":"300"}},"hints":["У хорды, которая ближе к центру, длина обычно больше. А если расстояния одинаковые — задумайтесь, что это может значить.","В окружности равные расстояния от центра соответствуют равным хордам. И наоборот."],"id":"0"},{"content":"Две хорды круга равны. Что можно сказать об их расстоянии от центра?[[image-22]][[choice-35]]","widgets":{"image-22":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/istorik-istoriya-chitaet-knigu-kniga-lupa-01.svg","width":"300"},"choice-35":{"type":"choice","options":["Расстояния разные.","Одна из хорд является диаметром.","Расстояния одинаковые.","Они пересекаются под углом $90^\\circ$."],"answer":[2]}},"hints":["Может ли равная длина быть с разным расстоянием?","В окружности равные хорды лежат на одинаковом расстоянии от центра."],"id":"0"},{"content":"Хорда $AB$ окружности с центром $O$ находится на расстоянии $5$ $см$ от центра. Диаметр окружности $CD = 26$ $см$. Найдите длину $AB$.[[image-76]][[choice-102]]","widgets":{"image-76":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/07/8-01-3.svg","width":"300"},"choice-102":{"type":"choice","options":["$10$ $см$","$20$ $см$","$24$ $см$","$26$ $см$"],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Расстояние от центра окружности до хорды — это перпендикуляр, следовательно $OM = 5$ $см$.<br />Если диаметр окружности равен $26$ $см$, то радиус равен $13$ $см$ .","Треугольник $AOM$ — прямоугольный. По теореме Пифагора:<br />$$AO^2 = OM^2 + AM^2.$$<br />$AM^2 = 13^2 -5^2 = 169 -25 = 144$,<br />$$AM = 12.$$","Перпендикуляр, проведенный из центра окружности до хорды, делит ее пополам, следовательно:<br />$ AB = 2 \\cdot 12 = 24$ $см$.<br /><br />Ответ: $AB = 24$ $см$."],"id":"1"},{"content":"Хорда $AB$ окружности равна $16$ $см$ и находится на расстоянии $6$ $см$ от центра окружности. Найдите диаметр окружности $CD$.[[image-206]][[choice-235]]","widgets":{"image-206":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/07/8-01-3.svg","width":"300"},"choice-235":{"type":"choice","options":["$10$ $см$","$20$ $см$","$24$ $см$","$26$ $см$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Расстояние от центра до хорды — это перпендикуляр, следовательно $OM = 6$ $см$.<br />Поскольку $OM$ — перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хорде,<br />он делит хорду пополам. Значит:<br /><br />$AM = \\dfrac{16}{2} = 8$ $см$.","Треугольник $OAM$ прямоугольный, так как $OM \\perp AB$.<br />По теореме Пифагора:<br />$$OA^2 = OM^2 + AM^2.$$<br />$OA^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$,<br />$OA = \\sqrt{100} = 10$.","$AO$ — радиус окружности. Тогда диаметр:<br /><br />$CD = 2 \\cdot OA = 2 \\cdot 10 = 20$ $см$.<br /><br />Ответ: $CD = 20$ $см$.<br />"],"id":"1"},{"content":"Правильный шестиугольник вписан в окружность. Чему равен его внутренний угол?[[image-409]][[choice-455]]","widgets":{"image-409":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/07/5-01-4.svg","width":"300"},"choice-455":{"type":"choice","options":["$90^\\circ$","$120^\\circ$","$135^\\circ$","$150^\\circ$"],"answer":[1]}},"hints":["Каждая сторона шестиугольника — это хорда, равная радиусу окружности.","Внутри такой шестиугольник делится на шесть равносторонних треугольников.<br />Угол шестиугольника состоит из двух углов по $60^\\circ$:<br />$60^\\circ + 60^\\circ = 120^\\circ$.<br /><br />Ответ: $120^\\circ$."],"id":"2"},{"content":"Правильный шестиугольник вписан в окружность. Чему равен угол между двумя соседними радиусами, проведенными к вершинам шестиугольника?[[image-583]][[choice-628]]","widgets":{"image-583":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/07/5-01-4.svg","width":"300"},"choice-628":{"type":"choice","options":["$30^\\circ$","$45^\\circ$","$60^\\circ$","$120^\\circ$"],"answer":[2]}},"hints":["В окружности содержится $360^\\circ$. Шестиугольник делит ее на 6 равных частей.","Центральный угол равен $360^\\circ : 6 = 60^\\circ$.<br /><br />Ответ: $60^\\circ$."],"id":"2"},{"content":"Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$. Известно, что $AE = 6$ $см$, $BE = 2$ $см$, $CE = 3$ $см$. Найдите длину отрезка $ED$.[[image-753]][[choice-819]]","widgets":{"image-753":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/07/6_2-01.svg","width":"300"},"choice-819":{"type":"choice","options":["$3$ $см$","$4$ $см$","$5$ $см$","$6$ $см$"],"answer":[1]}},"hints":["Произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой:<br />$AE \\cdot EB = CE \\cdot ED$.","Подставим имеющиеся значения:<br />$$6 \\cdot 2 = 3 \\cdot DE,$$<br />$$DE = 12 : 3 = 4.$$<br /><br />Ответ: $4$ $см$."],"id":"3"},{"content":"Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$. Известно, что $CE = 12$ $см$, $DE = 5$ $см$, $AE = 10$ $см$. Найдите длину хорды $AB$.[[image-1025]][[choice-1086]]","widgets":{"image-1025":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/07/6_2-01.svg","width":"300"},"choice-1086":{"type":"choice","options":["$14$ $см$","$15$ $см$","$16$ $см$","$18$ $см$"],"answer":[2]}},"hints":["Если две хорды пересекаются внутри окружности, то произведения их отрезков равны, значит:<br />$AE \\cdot BE = CE \\cdot DE$.","Найдем $BE$:<br />$$10 \\cdot BE = 12 \\cdot 5 = 60,$$<br />$BE = 60 : 10 = 6$ $см$.<br /><br />Вычислим длину всей хорды:<br />$AB = AE + BE = 10 + 6 = 16$ $см$.<br /><br />Ответ: $16$ $см$."],"id":"3"},{"content":"Выберите верное утверждение.[[choice-1371]][[image-1468]]","widgets":{"choice-1371":{"type":"choice","options":["Любая хорда, которая длиннее радиуса, — это диаметр.","Все хорды проходят через центр окружности.","Диаметр — это самая длинная хорда окружности.","Радиус всегда равен длине любой хорды."],"answer":[2]},"image-1468":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/nadmennyi-skromnyi-01.svg","width":"300"}},"hints":["Длина диаметра всегда равна удвоенному радиусу.","Диаметр — самая длинная хорда, которая проходит через центр окружности."],"id":"4"},{"content":"В окружности проведены три хорды: $AB = 10$ $см$, $CD = 12$ $см$ и $EF = 14$ $см$. Радиус окружности равен $7$ $см$. Какая из них — диаметр?[[choice-1626]][[image-1755]]","widgets":{"choice-1626":{"type":"choice","options":["$AB$","$CD$","$EF$","Ни одна"],"answer":[2]},"image-1755":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/obrazavr_deyatelnost_dop-02.svg","width":"300"}},"hints":["Диаметр — это самая длинная хорда, которая проходит через центр окружности. Ее длина всегда равна удвоенному радиусу. Значит:<br /><br />$D = 2 \\cdot 7 = 14$ $см$.","Сравните длины всех хорд с диаметром. Только одна из них равна $14$ $см$. Это и есть диаметр.<br /><br />Ответ: $EF = 14$ $см$ — диаметр."],"id":"4"}]}</textarea></pre></div>