Вписанная и описанная окружности

Вы уже знаете о взаимном расположении прямой и окружности. А как ведет себя окружность относительно многоугольника? Также по-разному: в одних случаях окружность касается всех сторон многоугольника, в других — проходит через его вершины. Эти два типа расположения называются вписанным и описанным.

На этом уроке мы увидим, что означает вписанная и описанная окружность по отношению к многоугольнику, и рассмотрим основные свойства, связанные с этими положениями.

Вписанная окружность

Вписанной окружностью многоугольника называется такая окружность, которая касается всех его сторон.

Возможность вписать окружность зависит от свойств самого многоугольника. Для одних фигур такая окружность существует всегда, для других — только при выполнении определенных условий.

Окружность, вписанная в треугольник

Связь между треугольником и окружностью может быть установлена по-разному. Один из таких случаев — когда окружность касается всех трех сторон треугольника.

Возникает вопрос: возможно ли такое построение для любого треугольника, и если да — где будет находиться центр этой окружности?

Теорема
В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство

Скрыть

Пусть дан треугольник $ABC$. Построим биссектрисы углов $A$ и $B$, они пересекаются в точке $I$. Проведем из точки $I$ биссектрису угла $C$ — она также пройдет через точку $I$, так как все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Опустим из точки $I$ перпендикуляры на стороны треугольника:

$ID \perp BC$, $IE \perp AC$, $IF \perp AB$. Так как точка $I$ лежит на биссектрисах всех углов, она равноудалена от сторон треугольника: $ID = IE = IF$.

Следовательно, окружность с центром в точке $I$ и радиусом $r$ касается всех сторон треугольника, значит, будет являться вписанной в него окружностью.

Что и требовалось доказать.

{"questions":[{"content":"Чем является радиус вписанной окружности в треугольник?[[choice-1]][[image-4]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Расстояние от вершины треугольника до центра окружности.","Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на сторону треугольника.","Отрезок, соединяющий центр окружности с вершиной треугольника.","Биссектрисы, пересекающиеся в одной точке."],"answer":[1]},"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/obrazavr_syshhik-01-1.svg","width":"300"}},"hints":["Радиус вписанной окружности — это расстояние от центра окружности до стороны треугольника.","Это расстояние измеряется по перпендикуляру, проведённому от центра к стороне."]}]}

Окружность, вписанная в четырехугольник

Если в треугольник всегда можно вписать окружность, то с четырехугольником не все так просто. Вписать окружность в произвольный четырехугольник невозможно. Чтобы окружность касалась всех четырех его сторон, требуется выполнение особого условия.

Теорема
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

Доказательство

Скрыть

Пусть окружность вписана в четырехугольник $ABCD$. Обозначим точки касания окружности со сторонами $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ соответственно как $K$, $L$, $M$, $N$.

Отметим, что из каждой вершины проведены две касательные к окружности, и они будут равны по длине (по свойству касательных, проведенных из одной точки):

$AK = AN$, $BK = BL$, $CL = CM$ и $DM = DN$.

Выразим каждую сторону четырехугольника через эти отрезки:

$AB = AK + BK = AN + BL$,

$BC = BL + CL$,

$CD = CM + DM = CL + DN$,

$AD = DN + AN$.

Сложим противоположные стороны:

$AB + CD = (AN + BL) + (CL + DN) = AN + BL + CL + DN$,

$AD + BC = (AN + DN) + (BL + CL) = AN + BL + CL + DN$.

Если правые части равенства равны, то равны и левые части, следовательно:

$$AB + CD = AD + BC.$$

Что и требовалось доказать.

Задача

В четырехугольник $ABCD$ вписана окружность. Известно, что $AB = 7$ см, $CD = 9$ $см$.

Найдите периметр четырехугольника, если $AB$ и $CD$ — противоположные стороны.

Решение

Скрыть

Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы противоположных сторон равны:

$$AB + CD = AD + BC.$$

Если $AB + CD = 7 + 9 = 16$, то и $AD + BC = 16$, следовательно

$P = AB + CD + AD + BC = 16 + 16 = 32$.

Ответ: $P_{ABCD} = 32$ $см$.

{"questions":[{"content":"В четырёхугольнике $ABCD$ с противоположными сторонами $AB$ и $CD$ сторона $AB = 5\\ см$, $BC = 7\\ см$, $CD = 4\\ см$, $AD = 8\\ см$.<br />Можно ли в него вписать окружность?[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/06/football-01.svg","width":"299"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Да, потому что сумма всех сторон равна $24 \\ см$.","Нет, потому что суммы противоположных сторон не равны друг другу.","Да, потому что суммы смежных сторон равны друг другу.","Нет, потому что $CD$ меньше $AD$."],"answer":[1]}},"hints":["Чтобы окружность можно было вписать, суммы противоположных сторон четырехугольника должны быть равны.","Проверьте, равны ли суммы $AB + CD$ и $AD + BC$."]}]}

Описанная окружность

Не для каждого многоугольника можно провести окружность, проходящую через все его вершины. Но если такая окружность существует, говорят, что окружность описана около многоугольника, а сам многоугольник называется вписанным в окружность.

Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины.

Окружность, описанная около треугольника

Если для произвольного многоугольника описанную окружность можно построить не всегда, то для треугольника это возможно в любом случае. Это делает треугольник особой фигурой: он всегда может быть вписан в окружность.

Теорема
Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Скрыть

Проведем в треугольнике $ABC$ серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $BC$.

Пусть они пересекутся в некоторой точке $O$.

По теореме о серединном перпендикуляре, точка $O$ будет равноудалена от точек $A$ и $B$, то есть $OA = OB$.

Также она будет равноудалена и от точек $B$ и $C$, значит, $OB = OC$.

Из равенств $OA = OB$ и $OB = OC$ следует, что $OA = OB = OC$.

Следовательно, точка $O$ находится на одинаковом расстоянии от всех трех вершин треугольника, а отрезки $AO$, $OB$ и $OC$ будут являться радиусами описанной окружности.

Что и требовалось доказать.

Центр вписанной окружности всегда будет находиться внутри треугольника, потому что он лежит на точке пересечения биссектрис, но этого нельзя сказать о центре описанной окружности.

Рассмотрим тупоугольный треугольник $ABC$ и построим центр описанной около него окружности. Как нам уже известно — центр такой окружности лежит на точке пересечения серединных перпендикуляров.

Построим их:

Из чертежа видно, что точка пересечения серединных перпендикуляров, в отличие от точки пересечения биссектрис, не всегда будет находиться внутри треугольника. Бывает и ее внешнее расположение. Так происходит, если окружность нужно описать около тупоугольного треугольника.

В этом случае, ее центр будет находиться за его пределами.

А как нам уже известно ранее, центр описанной окружности около прямоугольного треугольника будет находиться на середине гипотенузы.

{"questions":[{"content":"Что нужно построить, чтобы найти центр окружности, описанной около треугольника?[[choice-1]][[image-4]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Биссектрисы углов.","Высоты треугольника.","Серединные перпендикуляры к сторонам.","Медианы треугольника."],"answer":[2]},"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/do-homework_2-01.svg","width":"300"}},"hints":["Центр описанной окружности одинаково удален от всех вершин треугольника.","Такая точка находится на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника."]}]}

Окружность, описанная около четырехугольника

Четырехугольники встречаются повсюду — от оконных рам до экранов телефонов. Но если попробовать провести через все четыре вершины окружность, то далеко не всегда это получится. Для этого нужна особая геометрическая гармония между углами.

Теорема
Если около четырехугольника описана окружность, то сумма противоположных углов равна $180^\circ$.

Доказательство

Скрыть

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, вписанный в окружность. Это значит, что все его вершины лежат на одной окружности.

Углы $A$ и $C$ являются вписанными и опираются на дуги $BCD$ и $DAB$ соответственно.

Следовательно, $\angle A = \dfrac{1}{2}⏝BCD$, $\angle C = \dfrac{1}{2}⏝BAD$.

Эти дуги вместе образуют всю окружность, то есть $360^\circ$, значит,

$\angle A + \angle C = \dfrac{1}{2}(⏝BCD + ⏝BAD) = \dfrac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ$.

Аналогично $\angle B + \angle D = 180^\circ$.

Следовательно, в описанном около окружности четырехугольнике сумма противоположных углов равна $180^\circ$.

Что и требовалось доказать.

Задача

Около четырехугольника $ABCD$ описана окружность, у которого $\angle A = 68^\circ$, $\angle B = 92^\circ$.

Найдите угол $C$.

Решение

Скрыть

В описанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна $180^\circ$.

Углы $A$ и $C$ — противоположные, значит: $\angle A + \angle C = 180^\circ$.

$$68^\circ + \angle C = 180^\circ,$$

$$\angle C = 180^\circ -68^\circ = 112^\circ.$$

Ответ: $\angle C = 112^\circ$.

Интерактив

Перед вами интерактивное задание, которое поможет разобраться с понятием вписанной и описанной окружностей квадрата. Вы можете изменять фигуру, перетаскивая контрольную точку, и сразу видеть, как к ней строятся окружности.

Вы наглядно убедитесь, чем отличаются вписанная и описанная окружности, как они соотносятся с квадратом и почему их центры совпадают.

{"questions":[{"content":"Что можно сказать о противоположных углах четырехугольника, вписанного в окружность?[[choice-1]][[image-6]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Их сумма равна $180^\\circ$.","Они равны.","Один из них всегда прямой.","Их сумма больше $180^\\circ$."],"answer":[0]},"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/03/voin_6-01.svg","width":"300"}},"hints":["Если четырехугольник вписан в окружность, то каждый его угол является вписанным.","Сумма противоположных углов четырёхугольника, вписанного в окружность, равна $180^\\circ$."]}]}

Вневписанная окружность

В геометрии, помимо вписанной и описанной окружности, существует еще одно понятие - вневписанная окружность. Она определяется только для треугольника.

Вневписанная окружность - это окружность, которая касается одной стороны треугольника и продолжений двух других. Таких окружностей у треугольника три.

Центры этих окружностей называются вневписанными центрами. Чтобы их построить, нужно прочертить биссектрисы внешних углов (на чертеже - красные пунктиры).

Вневписанные окружности часто встречаются в задачах на касательные, биссектрисы и вычисление площади треугольника. Кроме того, вневписанные окружности появляются в олимпиадных задачах, где требуется более глубокий анализ геометрической конфигурации.

{"questions":[{"content":"Как найти центр вневписанной окружности, касающейся стороны $BC$ треугольника $ABC$?[[choice-1]][[image-8]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Это точка пересечения внешних биссектрис углов при вершинах $A$ и $B$.","Это точка пересечения внутренних биссектрис углов $B$ и $C$.","Это точка пересечения внешних биссектрис углов $B$ и $C$.","Это точка пересечения внутренних биссектрис углов $A$ и $B$."],"answer":[2]},"image-8":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/ponyatie_shestirenki-01.svg","width":"300"}},"hints":["Центр вневписанной окружности лежит вне треугольника.","Центр вневписанной окружности лежит в точке пересечения внешних биссектрис тех углов, к которым прилегает данная сторона."]}]}

Интересные факты

Окружности, о которых мы говорим в геометрии, вписанные и описанные, встречаются не только в задачах из учебников, но и в самых неожиданных местах - в нашей повседневной жизни и современных технологиях.

Например, описанная окружность используется в системах навигации, таких как GPS. Чтобы определить местоположение объекта, спутники измеряют расстояния до него.

Каждое такое расстояние можно представить в виде окружности. Точка пересечения нескольких таких окружностей - и есть положение объекта, что является геометрическим решением задачи: определение центра окружности, описанной около треугольника.

С другой стороны, вписанная окружность находит применение в оптимизационных задачах. Ее центр - это точка, которая находится на одинаковом расстоянии от всех сторон треугольника.

Это удобно, например, при проектировании освещения, когда нужно разместить светильник так, чтобы он равномерно освещал помещение треугольной формы, или в логистике - для выбора точки, где расстояние до трех границ будет минимально возможным.

Таким образом, окружности в геометрии - это не просто абстрактные фигуры, а настоящие инструменты, которые лежат в основе инженерных решений, программирования, геолокации и проектирования.

Часто задаваемые вопросы