Серединный перпендикуляр к отрезку и его свойства

Дано:

Отрезок $AB$, $M$ — середина $AB$.

$CD$ — серединный перпендикуляр, проходящий через точку $M$ и перпендикулярный отрезку $AB$.

$P \in CD$.

Доказать: $AP = PD$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle PAM$ и $\triangle PBM$. У них:

• $\angle PMA = \angle PMB = 90^\circ$ по условию.
• $CD \perp AB$, поэтому треугольники $PAM$ и $PBM$ — прямоугольные.
• Отрезки $AM$ и $BM$ равны, точка $M$ — середина $AB$.
• $PM$ — общая сторона для обеих треугольников.
• Следовательно, $\triangle PAM = \triangle PBM$ по двум катетам.

Из равенства треугольников следует равенство соответственных элементов:

$$AP = PD.$$

Что и требовалось доказать.

Дано:

$AB = 10$ $см$,

$M$ — середина $AB$, $PM \perp AB$,

$PM = 12$ $см$.

Найти: $AP$.

Решение:

Середина отрезка $AB$ — точка $M$, тогда $AM = MB = 5$ $см$.

Треугольник $PAM$ — прямоугольный, ($PM \perp AB$).

Следовательно, по теореме Пифагора:

$$AP^2 = AM^2 + PM^2.$$

$PM = 12$ $см$, по условию.

Подставим цифры и вычислим $AP$:

$$AP^2 = 5^2 + 12^2,$$

$$AP = 13.$$

Ответ: $AP = 13$ $см$.

Дан отрезок $AB$ и точка $P$, такая что $AP = PB$. Обозначим точку $M$ — середину отрезка $AB$.

Рассмотрим $\triangle PAM$ и $\triangle PBM$:

• $PA = PB$ по условию,
• $AM = MB$ по построению,
• $PM$ — общая сторона.

Следовательно, $\triangle PAM = \triangle PBM$ по трём сторонам.

Из равенства треугольников следует равенство соответственных элементов:

$$\angle PMA = \angle PMB.$$

Эти углы смежные, поэтому каждый из них равен $90^\circ$ $\Rightarrow$ $PM \perp AB$.

Точка $M$ — середина отрезка $AB$ $\Rightarrow$ точка $P$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$.

Что и требовалось доказать.

Пусть дан треугольник $ABC$. Построим серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $BC$. Обозначим их пересечение точкой $O$.

Точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB$ и $BC$, значит, $AO = OB$, а $OB = OC$ $\Rightarrow$

$$AO = OB = OC.$$

Следовательно, точка $O$ равноудалена от всех трех вершин треугольника $A$, $B$ и $C$.

А это означает, что из точки $O$ можно провести окружность, проходящую через все три вершины треугольника, в которой $AO$, $OB$ и $OC$ будут являться радиусами описанной окружности, а точка $O$ — центром описанной окружности около треугольника $ABC$.

Что и требовалось доказать.

Дано:

$\triangle ABC$ — прямоугольный, $\angle C = 90^\circ$, $AB$ — гипотенуза.

Доказать:

Центр описанной окружности $\triangle ABC$ лежит на середине гипотенузы.

Доказательство:

Пусть $M$ — середина катета $BC$.
Проведем серединный перпендикуляр, который пересечет гипотенузу в точке $O$.

$AC \perp BC$ — катеты прямоугольного треугольника, а $MO \perp BC$ по построению, следовательно, $MO \parallel AC$ .

По теореме Фалеса — параллельные прямые отсекают на сторонах угла равные отрезки:

$CM = MB$ ($M$ — середина $BC$), значит, $AO = OB$.

Проведем прямую $ON \parallel BC$.

$ON$ параллельна катету, поэтому $\angle CNO = 90^\circ$.

Аналогично по теореме Фалеса:

$AO = BO$ и $AN = CN$.

Следовательно, $O$ — точка пересечения серединных перпендикуляров.

Точка пересечения серединных перпендикуляров равноудалена от вершин треугольника и является центром описанной окружности.

Значит, $AO = OB$ $\Rightarrow$ в прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.

Что и требовалось доказать.

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы $\Rightarrow$ $AO = OB = R$.

$$R = 10 \div 2 = 5.$$

Ответ: $R = 5$ $см$.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$, и хорда $AB$, не проходящая через центр.

Обозначим точку $M$ — середину отрезка $AB$.

Соединим точку $O$ с точкой $A$ и $B$.

Рассмотрим полученные треугольники $AOM$ и $BOM$:

• $AM = BM$, точка $M$ — середина хорды $AB$,
• $AO = OB$, радиусы окружности,
• $OM$ — общая для обеих треугольников.

Следовательно, $\triangle AOM = \triangle BOM$ (по трем сторонам).

Из равенства треугольников выходит равенство соответствующих элементов: $\angle AMO = \angle BMO$ — эти углы являются смежными, а значит, каждый из них равен $90^\circ$.

Следовательно, отрезок $OM$ — перпендикулярен хорде $AB$.

Точка $M$ — середина $AB$, значит, $OM$ — серединный перпендикуляр к хорде, проходящий через центр окружности.

Что и требовалось доказать.

Дано:

Окружность с центром $O$,

$AB$, $CD$ — хорды, $AB = 40$, $CD = 10$.

$OP$ — расстояние до хорды $AB$, $OP = 15$.

$OK$ — расстояние до хорды $CD$.

Найти: $OK$.

Решение:

Расстоянием от точки до прямой является перпендикуляр, следовательно, $OP \perp AB$ и $OK \perp CD$, а $\triangle AOP$ и $\triangle DOK$ будут прямоугольными .

Перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хорде, будет являться серединным, а значит, разделит хорду пополам, тогда $AP = 20$, $CK = 5$.

По теореме Пифагора: $AO^2 = AP^2 + OP^2$.

Вычислим $AO$:

$$AO^2 = 20^2 + 15^2,$$

$AO = 25$.

Радиусы, проведенные в одной окружности, равны, значит, $AO = OD = 25$.

Найдем расстояние $OK$ до хорды $CD$, также применяя теорему Пифагора:

$$OK^2 = OD^2 -KD^2.$$

Вычислим $OK$:

$$OK^2 = 25^2 -5^2.$$

$OK = \sqrt 600 = 10 \sqrt 6$.

Ответ: $OK = 10 \sqrt 6$.