Биссектриса и ее свойства

Прежде чем двигаться дальше, проверьте, насколько хорошо вы разобрались в теме.
Тест поможет закрепить свойства биссектрис и научиться применять их в задачах. Здесь важно не просто помнить определения, а понимать, как они работают на практике.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"content":"Чем является биссектриса угла с точки зрения геометрического места точек?[[image-1]][[choice-5]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/06/voobrazavr-attention-01.svg","width":"300"},"choice-5":{"type":"choice","options":["Прямая, проходящая через вершину угла","Луч, делящий угол пополам","Множество точек, делящих угол пополам","Множество точек, равноудалённых от сторон угла"],"explanations":["Не все, что проходит через вершину угла — биссектриса. Это может быть и медиана, и высота.","Это определение биссектрисы, но не как геометрического места точек.","Точки не делят угол, а лежат на равных расстояниях от его сторон.","Это точное определение биссектрисы как геометрического места точек."],"answer":[3]}},"hints":["Геометрическое место точек — это множество точек, объединённых по какому-то признаку.","Все точки на биссектрисе одинаково удалены от сторон угла."],"id":"0"},{"content":"Какие точки принадлежат биссектрисе угла?[[choice-31]][[image-49]]","widgets":{"choice-31":{"type":"choice","options":["Те, которые находятся ближе к одной стороне угла","Те, которые делят угол пополам","Те, которые одинаково удалены от сторон угла","Те, которые лежат между сторонами угла"],"explanations":["Такие точки не обязательно лежат на биссектрисе.","Точки не делят угол, а просто лежат на равных расстояниях от его сторон.","Биссектриса — геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.","Между сторонами угла может лежать множество точек, не обязательно на биссектрисе."],"answer":[2]},"image-49":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/do-homework_2-01.svg","width":"300"}},"hints":["Геометрическое место точек — это множество точек, объединенных по какому-то признаку.","Все точки на биссектрисе одинаково удалены от сторон угла."],"id":"0"},{"content":"Чем является точка пересечения биссектрис треугольника?[[image-94]][[choice-110]]","widgets":{"image-94":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/go-to-school-01.svg","width":"300"},"choice-110":{"type":"choice","options":["Центром описанной окружности","Центром вписанной окружности","Центром тяжести","Ортоцентром"],"explanations":["Это точка пересечения серединных перпендикуляров.","Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности.","Центр тяжести — точка пересечения медиан.","Ортоцентр — точка пересечения высот."],"answer":[1]}},"hints":["Все биссектрисы пересекаются в одной точке, и она всегда находится внутри треугольника.","В этой точке можно вписать окружность, касающуюся всех сторон треугольника."],"id":"1"},{"content":"В какой точке треугольника находится центр окружности, касающейся всех его сторон?[[choice-209]][[image-320]]","widgets":{"choice-209":{"type":"choice","options":["В ортоцентре","В точке пересечения медиан","В точке пересечения биссектрис","В центре описанной окружности"],"explanations":["Ортоцентр — это точка пересечения высот.","Медианы пересекаются в центре тяжести","Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.","Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров."],"answer":[2]},"image-320":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/03/dinozavr_1-01.svg","width":"300"}},"hints":["Эта окружность касается всех сторон треугольника изнутри.","Ее центр всегда находится на пересечении трёх особых отрезков, делящих углы пополам."],"id":"1"},{"content":"В каком отношении биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону?[[image-361]][[choice-389]]","widgets":{"image-361":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/07/3-01.svg","width":"300"},"choice-389":{"type":"choice","options":["В равных частях","В отношении прилежащих к углу сторон","В отношении углов, прилежащих к стороне","В отношении расстояний от вершины угла до сторон треугольника"],"explanations":["Это свойство медианы, а не биссектрисы.","Биссектриса делит сторону в отношении длин прилежащих к углу сторон.","Углы не влияют на деление противоположной стороны биссектрисой.","Расстояния от вершины до сторон ни на что не влияют — важны только длины самих сторон."],"answer":[1]}},"hints":["Биссектриса не обязательно делит сторону пополам — она смотрит на длины сторон, между которыми проведена.","Если провести биссектрису в треугольнике, то противоположная сторона разделится в таком же отношении как и прилежащие стороны."],"id":"2"},{"content":"В треугольнике биссектриса угла пересекает противоположную сторону. Как соотносятся получившиеся отрезки?[[image-557]][[choice-591]]","widgets":{"image-557":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/07/3-01.svg","width":"300"},"choice-591":{"type":"choice","options":["В равных частях","В произвольном отношении","В отношении прилежащих к углу сторон","В отношении прилежащих к этой стороне углов"],"explanations":["Это свойство медианы, а не биссектрисы.","Деление не случайное  оно четко зависит от длин сторон.","Отрезки делятся в том же отношении, что и стороны, образующие угол.","Углы не определяют деление сторон биссектрисой."],"answer":[2]}},"hints":["Биссектриса делит сторону, ориентируясь не на углы, а на длины сторон, между которыми проведена.","Соотношение отрезков на стороне зависит от прилегающих к углу сторон."],"id":"2"},{"content":"В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $E$. Известно, что $BE = 7$ см, $CE = 12$ см. Найдите периметр параллелограмма $ABCD$.[[image-955]][[choice-995]]","widgets":{"image-955":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/07/5-01.svg","width":"300"},"choice-995":{"type":"choice","options":["$38$ $см$","$42$ $см$","$46$ $см$","$52$ $см$"],"answer":[3]}},"step":1,"hints":["По свойству биссектрисы в параллелограмме треугольник $ABE$ равнобедренный, значит $AB = BE = 7$ $см$.","В параллелограмме $CD = AB = 7$ $см$, $BC = AD = BE + CE = 7 + 12 = 19$ $см$.","Периметр: $P = 2 \\cdot (AB + BC) = 2 \\cdot (7 + 19) = 2 \\cdot 26 = 52$ $см$.<br /><br />Ответ: $P = 52$ $см$."],"id":"3"},{"content":"В равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD = 18$ $см$ и $BC = 10$ $см$ проведена биссектриса $AE$, пересекающая сторону $BC$ в точке $E$. Найдите длину стороны $AB$, если $AE$ делит $BC$ пополам.[[image-1184]][[choice-1245]]","widgets":{"image-1184":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/07/6-01.svg","width":"303"},"choice-1245":{"type":"choice","options":["$4$ $см$","$5$ $см$","$6$ $см$","$7$ $см$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["По свойству биссектрисы — $AE$ отсекает равнобедренный треугольник $ABE$, в котором $AB = BE$.","По условию, биссектриса $AE$ делит сторону $BC$ пополам.<br />Значит, $BE = CE = 5$ $см$.","Если $AB = BE$, а $BE = 5$ $см$, то $AB = 5$ $см$.<br /><br />Ответ: $AB = 5$ $см$.<br />"],"id":"3"},{"content":"В параллелограмме $ABCD$ проведены биссектрисы $AE$ и $BF$, которые пересекаются в точке $O$. Найдите периметр параллелограмма, если известно, что  $AO = 12$ $см$, $BO = 9$ $см$, $CE = 13$ $см$.[[image-1584]][[choice-1636]]","widgets":{"image-1584":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/07/8-01.svg","width":"300"},"choice-1636":{"type":"choice","options":["$78$ $см$","$86$ $см$","$74$ $см$","$82$ $см$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом. Значит, $\\angle AOB = 90^\\circ$, и треугольник $AOB$ — прямоугольный.","По теореме Пифагора:<br />$AB^2 = AO^2 + BO^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$,<br />значит $AB = \\sqrt{225} = 15$ $см$.","По свойству биссектрисы: $AE$ отсекает равнобедренный треугольник $ABE$, значит $AB = BE = 15$ $см$.<br />Тогда $BC = BE + CE = 15 + 13 = 28$ $см$.","Противоположные стороны параллелограмма равны:<br />$AB = CD = 15$ $см$, $AD = BC = 28$ $см$.<br />Периметр параллелограмма:<br />$P = 2 \\cdot (AB + BC) = 2 \\cdot (15 + 28) = 2 \\cdot 43 = 86$ $см$.<br />Ответ: $P = 86$ $см$."],"id":"4"},{"content":"В параллелограмме $ABCD$ проведены биссектрисы $AE$ и $BF$, которые пересекаются в точке $O$. Известно, что $AO = 5$ $см$, $BO = 12$ $см$, $CE = 9$ $см$. Найдите длину стороны $AD$.[[image-2010]][[choice-2068]]","widgets":{"image-2010":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/07/8-01.svg","width":"300"},"choice-2068":{"type":"choice","options":["$18$ $см$","$20$ $см$","$22$ $см$","$24$ $см$"],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом, значит треугольник $AOB$ — прямоугольный.","По теореме Пифагора:<br />$AB^2 = AO^2 + BO^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$,<br />значит $AB = \\sqrt{169} = 13$ $см$.","Биссектриса $AE$ отсекает равнобедренный треугольник $ABE$, значит $AB = BE = 13$ $см$.<br />Тогда $BC = BE + CE = 13 + 9 = 22$ $см$.","В параллелограмме противоположные стороны равны:<br />$AD = BC = 22$ $см$.<br />Ответ: $AD = 22$ $см$."],"id":"4"}],"mix":1}</textarea></pre></div>