Карточки
Тесты
Зави
Геометрическое место точек. Серединный перпендикуляр и биссектриса угла
Геометрическое место точек. Серединный перпендикуляр и биссектриса угла
В уроке «Осевая симметрия» сгиб кальки клал точку на симметричную ей точку, а в уроке о прямоугольном треугольнике вы доказали признаки равенства по гипотенузе и катету и по гипотенузе и острому углу. Теперь соберем из этого новый инструмент — геометрическое место точек — и докажем свойства серединного перпендикуляра и биссектрисы.
Вопрос для начала. По Конвенции ООН по морскому праву 1982 года (статья 15), если берега двух государств лежат напротив друг друга или примыкают друг к другу, то без договора ни одно из них не может продвинуть свое территориальное море дальше срединной линии — линии, каждая точка которой одинаково удалена от ближайших точек берегов обоих государств. Что это за линия? Ответ — в последнем разделе.
Каждое условие на точку оставляет след
Поставим ножку циркуля в точку $O$ и возьмем раствор $7$ см. Каждая точка, которую прочертит грифель, удалена от $O$ на $7$ см. И наоборот, любая точка на расстоянии $7$ см от $O$ лежит на этой окружности. Условие «на расстоянии $7$ см от $O$» оставляет на плоскости след — окружность с центром $O$ и радиусом $7$ см.
Определение
Геометрическое место точек (ГМТ) — фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих данным свойством, и только из них.
В определении два требования, и проверять нужно оба.
1. Каждая точка фигуры обладает свойством — лишних точек нет.
2. Каждая точка со свойством лежит на фигуре — ни одна не потеряна.
Дуга окружности радиусом $7$ см проходит первую проверку и проваливает вторую: точки остальной окружности тоже удалены от $O$ на $7$ см, а в дугу не вошли. Круг проваливает первую: в нем есть точки ближе $7$ см к $O$.
Следы будем получать двумя способами. Циркуль дает след условия «на данном расстоянии от точки». Сгиб кальки дает след условия «одинаково далеко от двух объектов»: перегибаем кальку так, чтобы один объект лег на другой, и смотрим на линию сгиба. А точка, которая выполняет два условия сразу, лежит там, где пересеклись два следа.
Сгиб, который кладет один конец отрезка на другой
Нарисуем на кальке отрезок $AB$ и перегнем ее так, чтобы точка $A$ легла на точку $B$. В уроке «Осевая симметрия» вы видели: линия такого сгиба проходит через середину $M$ отрезка и перпендикулярна ему.
Определение
Серединный перпендикуляр к отрезку — прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему.
Возьмем на линии сгиба любую точку $P$ и проведем отрезки $PA$ и $PB$. При сгибе точка $P$ остается на месте, а $A$ ложится на $B$, поэтому отрезок $PA$ ложится на $PB$. Похоже, что $PA = PB$ для каждой точки сгиба. Калька подсказывает равенство, а доказывают его признаки равенства треугольников.
Теорема
Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
Доказательство
Пусть $P$ — точка серединного перпендикуляра к отрезку $AB$, $M$ — середина $AB$. Если $P$ совпадает с $M$, то $PA = PB$, так как $M$ — середина.
Пусть $P$ не совпадает с $M$. В треугольниках $PMA$ и $PMB$: $AM = MB$, так как $M$ — середина; $\angle PMA = \angle PMB = 90^\circ$, так как $PM \perp AB$; сторона $PM$ общая. По первому признаку $\triangle PMA = \triangle PMB$, поэтому $PA = PB$.
Пример 1
Серединный перпендикуляр к стороне $AC$ треугольника $ABC$ пересекает сторону $BC$ в точке $D$, $AB = 13$ см, $BC = 16$ см. Найдите периметр треугольника $ABD$.
Решение. Точка $D$ лежит на серединном перпендикуляре к $AC$, поэтому $DA = DC$. Периметр треугольника $ABD$ равен $AB + BD + DA = AB + BD + DC$. Точка $D$ лежит на стороне $BC$, поэтому $BD + DC = BC = 16$ см. Периметр равен $13 + 16 = 29$ см.
Ответ: $29$ см.
Все равноудаленные точки лежат на сгибе
Теорема проверила первое требование ГМТ. Осталось второе: нет ли равноудаленных от $A$ и $B$ точек вне сгиба? Это обратное утверждение — условие и заключение меняются местами, и доказывать его нужно отдельно.
Теорема (обратная)
Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Доказательство
Пусть $PA = PB$, $M$ — середина отрезка $AB$.
Случай 1: $P$ лежит на прямой $AB$. Тогда $P$ лежит между $A$ и $B$: если бы, например, $B$ лежала между $A$ и $P$, то было бы $PA = PB + AB$, то есть $PA > PB$. Точка отрезка, равноудаленная от его концов, — середина. Значит, $P$ совпадает с $M$ и лежит на серединном перпендикуляре.
Случай 2: $P$ не лежит на прямой $AB$. Треугольник $APB$ равнобедренный с основанием $AB$, а $PM$ — его медиана. В уроке о равнобедренном треугольнике доказано: медиана, проведенная к основанию, является высотой. Значит, $PM \perp AB$. Прямая $PM$ проходит через середину $AB$ и перпендикулярна ему — это серединный перпендикуляр, и $P$ на нем лежит.
Теорема
Серединный перпендикуляр к отрезку — геометрическое место точек, равноудаленных от концов этого отрезка.
Ошибка
«Равноудалена от $A$ и $B$ — значит, середина $AB$». Известно: $PA = PB = 4$ см, $AB = 6$ см. Решавр пишет: «Точка $P$ — середина отрезка $AB$».
Проверим на числах. Середина лежит на отрезке, и для нее $PA + PB = AB$. Но $4 + 4 = 8$, а $AB = 6$ — точка $P$ на отрезке не лежит.
Рассуждение сломалось на слове «значит»: середина — лишь одна из равноудаленных точек. По обратной теореме все они заполняют серединный перпендикуляр, и $P$ — его точка вне отрезка $AB$.
Сгиб по биссектрисе и расстояние до стороны
Теперь возьмем угол с вершиной $O$ и сторонами $OX$ и $OY$. Перегнем кальку по биссектрисе угла — луч $OX$ ляжет на луч $OY$. Так биссектрису находили и в уроке «Угол. Развернутый угол. Сравнение углов. Биссектриса». Уточним, что значит «точка одинаково далеко от сторон».
Определение
Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, проведенного из точки к этой прямой.
В уроке «Неравенства в треугольнике» доказано, что перпендикуляр короче любой наклонной, проведенной из той же точки.
Возьмем точку $P$ на биссектрисе и проведем перпендикуляры $PH \perp OX$ и $PK \perp OY$. При сгибе луч $OX$ ложится на $OY$, а $P$ остается на месте, поэтому перпендикуляр $PH$ ложится на перпендикуляр $PK$.
Теорема
Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.
Доказательство
Пусть $P$ — точка биссектрисы угла $XOY$, отличная от $O$, $PH \perp OX$, $PK \perp OY$. Угол $POX$ — половина неразвернутого угла, он острый, поэтому точки $H$ и $K$ лежат на сторонах угла.
Прямоугольные треугольники $OPH$ и $OPK$ имеют общую гипотенузу $OP$ и равные острые углы: $\angle POH = \angle POK$, так как $OP$ — биссектриса. По гипотенузе и острому углу $\triangle OPH = \triangle OPK$, поэтому $PH = PK$. Для самой вершины $O$ оба расстояния равны нулю.
Пример 2
Угол $XOY$ равен $70^\circ$, точка $P$ лежит на его биссектрисе, $PH \perp OX$, $PK \perp OY$, $PH = 2$ см. Найдите $PK$ и угол $OPK$.
Решение. По теореме $PK = PH = 2$ см. Биссектриса делит угол пополам: $\angle POK = 70^\circ : 2 = 35^\circ$. В прямоугольном треугольнике $OPK$ сумма острых углов равна $90^\circ$, поэтому $\angle OPK = 90^\circ-35^\circ = 55^\circ$.
Ответ: $PK = 2$ см, $\angle OPK = 55^\circ$.
Ошибка
«Равные отрезки до сторон — равные расстояния». На клетчатом чертеже Решавр провел из точки $P$ отрезок $PU$ к стороне $OX$ и отрезок $PV$ к стороне $OY$ и проверил циркулем: $PU = PV = 5$ клеток. Вывод Решавра: «$P$ равноудалена от сторон угла, значит, лежит на биссектрисе».
Проверим перпендикулярами: $PH = 4$ клетки, $PK = 3{,}2$ клетки. Расстояния не равны, и точка $P$ лежит мимо биссектрисы.
Сломалось определение: расстояние до прямой — длина перпендикуляра, а $PU$ и $PV$ — наклонные. Равные наклонные к двум сторонам можно провести из любой точки внутри угла, и их равенство ничего не доказывает.
Все точки угла, равноудаленные от сторон, лежат на сгибе
Как и для отрезка, нужна вторая проверка ГМТ. Пусть $P$ внутри угла $XOY$ и $PH = PK = 3$ см. Перегнем кальку по $OP$: похоже, $OX$ ляжет на $OY$, и $OP$ — биссектриса. Докажем это.
Теорема (обратная)
Каждая точка, лежащая внутри неразвернутого угла и равноудаленная от его сторон, лежит на его биссектрисе.
Доказательство
Докажем теорему для острого и прямого угла. Если $P$ внутри такого угла, то угол $POX$ меньше угла $XOY$ и острый, поэтому основания перпендикуляров из $P$ лежат на сторонах.
Пусть $PH \perp OX$, $PK \perp OY$ и $PH = PK$. Прямоугольные треугольники $OPH$ и $OPK$ имеют общую гипотенузу $OP$ и равные катеты $PH = PK$. По гипотенузе и катету $\triangle OPH = \triangle OPK$, поэтому $\angle POH = \angle POK$, и луч $OP$ — биссектриса угла $XOY$.
Для тупого угла теорема тоже верна, но ее доказательство длиннее.
Теорема
Биссектриса неразвернутого угла — геометрическое место точек угла, равноудаленных от его сторон.
Точки угла — точки, которые лежат внутри угла или на его сторонах.
Важно
Слова «точки угла» в теореме нужны. Две пересекающиеся прямые $a$ и $b$ образуют четыре угла. Внутри каждого из них точки, равноудаленные от прямых, лежат на его биссектрисе. Биссектрисы вертикальных углов составляют одну прямую, а биссектрисы смежных углов перпендикулярны (урок «Смежные и вертикальные углы»). Поэтому ГМТ, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, — две перпендикулярные прямые, а не одна биссектриса.
Два условия — два следа — одна точка
Одно условие оставляет целую линию возможных положений точки. Если условий два, точка лежит на обоих следах сразу, то есть в их пересечении. Например, точка, равноудаленная от $A$ и $B$ и от сторон угла, лежит и на серединном перпендикуляре к $AB$, и на биссектрисе угла. Прямая и луч могут иметь одну общую точку, ни одной или — если луч лежит на прямой — бесконечно много. Как построить оба следа циркулем и линейкой, разберем в уроке «Задачи на построение циркулем и линейкой».
Так же работают три сгиба в треугольнике $ABC$. Серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $BC$ пересекаются в некоторой точке $O$: если бы они были параллельны, то перпендикулярные им прямые $AB$ и $BC$ тоже были бы параллельны, а у них есть общая точка $B$. Точка $O$ лежит на первом следе, поэтому $OA = OB$, и на втором, поэтому $OB = OC$. Значит, $OA = OC$, и по обратной теореме $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $AC$.
Следствие
Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Так же с помощью теорем о биссектрисе доказывают, что три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Обе точки — центры окружностей из урока «Вписанная и описанная окружности треугольника».
Ответ на вопрос из начала урока
Если два острова малы и их можно считать точками $A$ и $B$, срединная линия между ними — ГМТ, равноудаленных от $A$ и $B$, то есть серединный перпендикуляр к $AB$. Если берега — две прямые стороны залива, сходящиеся в точке $O$ под острым углом, то точки залива, равноудаленные от берегов, лежат на биссектрисе этого угла. Настоящие берега задают набором точек, и срединная линия складывается из кусков серединных перпендикуляров к отрезкам, соединяющим точки двух берегов.
Вывод
Геометрическое место точек — фигура из всех точек с данным свойством, и только из них. Поэтому про ГМТ всегда доказывают две теоремы: прямую (точки фигуры обладают свойством) и обратную (точки со свойством лежат на фигуре). Чтобы быстро вспомнить главное, представьте след циркуля и сгиб кальки.
| Условие на точку | След (ГМТ) | Как доказано |
|---|---|---|
| на расстоянии $r$ от точки $O$ | окружность — след циркуля | определение окружности |
| одинаково далеко от $A$ и $B$ | серединный перпендикуляр — сгиб, кладущий $A$ на $B$ | I признак; обратно — медиана равнобедренного треугольника |
| точка угла, одинаково далекая от сторон | биссектриса — сгиб, кладущий $OX$ на $OY$ | по гипотенузе и острому углу; обратно — по гипотенузе и катету |
| два условия сразу | пересечение двух следов | точка лежит на обоих ГМТ |
Эти теоремы понадобятся дальше: на них держатся окружность, касательная, построения и центры окружностей треугольника.
Часто задаваемые вопросы
Прямая теорема говорит, что у точек серединного перпендикуляра есть свойство, но не исключает его у точек вне перпендикуляра. Только обратная теорема гарантирует, что других равноудаленных точек нет.
Сгиб показывает совпадение на одном листе «на глаз», а теорема говорит о любом отрезке и любой точке. Доказывают признаки равенства треугольников.
Биссектриса — луч внутри одного угла. У двух пересекающихся прямых четыре угла, и равноудаленные точки всех четырех заполняют две перпендикулярные прямые.
Нужны два условия, $OA = OB$ и $OB = OC$, то есть пересечение серединных перпендикуляров к двум сторонам. Через эту точку проходит и третий серединный перпендикуляр.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий