Свойство биссектрисы угла

Тренажер помогает научиться применять свойство биссектрисы угла: каждая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла, а точка внутри угла, равноудаленная от его сторон, лежит на его биссектрисе. Он предназначен для учеников 7 класса. Нужно знать, что расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, что катет, лежащий против угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы, и признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.

На чертеже угол со сторонами $OA$ и $OB$ или прямоугольный треугольник $ABC$ с биссектрисой $AD$. Перпендикуляры к сторонам угла проведены, прямые углы отмечены квадратиками, равные половины угла — дугами со штрихом, равные отрезки — черточками. Известные длины и углы подписаны, искомая величина отмечена вопросом. Длины на чертеже соответствуют данным задачи. Числа в заданиях каждый раз новые. В тренажере чередуются задачи одного уровня сложности:

• в прямоугольном треугольнике $ABC$ с биссектрисой $AD$ найти расстояние от точки $D$ до гипотенузы $AB$ по катету $BC$ и отрезку $BD$ или найти $BD$ по этому расстоянию;
• точка $M$ лежит на биссектрисе угла $60^\circ$: найти расстояние от нее до стороны угла по отрезку $OM$ или $OM$ по этому расстоянию;
• в прямоугольном треугольнике с углом $30^\circ$ и биссектрисой $AD$ найти перпендикуляр $DK$ к гипотенузе, отрезок $DC$ или катет $BC$;
• точка $M$ внутри угла равноудалена от его сторон: найти угол между отрезком $OM$ и перпендикуляром к стороне по углу $AOB$ или угол $AOB$ по этому углу;
• из точки биссектрисы проведены перпендикуляры к сторонам угла: найти периметр четырехугольника $OKML$ или длину перпендикуляра по периметру.

Ответ — целое число сантиметров или градусов. К любой задаче можно открыть подробное решение.

В результате вы будете замечать на чертеже равные перпендикуляры к сторонам угла, применять свойство биссектрисы и обратное утверждение и сочетать их с другими свойствами прямоугольных треугольников.