Серединный перпендикуляр и его свойства

Чтобы хорошо усвоить свойства серединного перпендикуляра, важно не только запомнить определения, но и научиться применять их в задачах. Этот тест поможет закрепить основные знания и проверить понимание на простых числовых и теоретических примерах.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"content":"Что можно сказать о любой точке, лежащей на серединном перпендикуляре к отрезку?[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/06/play-01.svg","width":"300"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Она ближе к одному из концов отрезка.","Она равноудалена от концов отрезка.","Она лежит на продолжении отрезка.","Она не может совпадать с серединой отрезка."],"answer":[1]}},"hints":["Серединный перпендикуляр содержит все точки, одинаково удалённые от концов отрезка."],"id":"0"},{"content":"Что можно сказать о точке, если она равноудалена от концов отрезка?[[choice-24]][[image-41]]","widgets":{"choice-24":{"type":"choice","options":["Она лежит на этом отрезке.","Она лежит вне отрезка, но на одной прямой с ним.","Она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку.","Она может лежать на любом расстоянии от середины отрезка."],"answer":[2]},"image-41":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/aktyor_2-01.svg","width":"300"}},"hints":["Все точки, одинаково удалённые от концов, лежат на одной особой прямой.","Эта прямая проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему."],"id":"0"},{"content":"Чем является точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника?[[choice-74]][[image-107]]","widgets":{"choice-74":{"type":"choice","options":["Центром описанной окружности","Произвольной точкой внутри треугольника","Точкой пересечения высот","Центром вписанной окружности"],"answer":[0]},"image-107":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/03/dinozavr-01.svg","width":"300"}},"hints":["Эта точка одинаково удалена от всех трёх вершин треугольника.","Она — центр окружности, проходящей через все вершины."],"id":"1"},{"content":"Как можно найти центр описанной окружности треугольника?[[image-156]][[choice-185]]","widgets":{"image-156":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/03/emvolny8.svg","width":"300"},"choice-185":{"type":"choice","options":["Построить биссектрисы всех углов треугольника.","Провести медианы всех сторон треугольника.","Опустить высоты ко всем сторонам треугольника.","Найти точку пересечения серединных перпендикуляров."],"answer":[3]}},"hints":["Эти прямые проходят через середины сторон и перпендикулярны им.","Центр описанной окружности лежит на  пересечении серединных перпендикулярах."],"id":"1"},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой. Где находится центр описанной окружности этого треугольника?[[choice-290]][[image-339]]","widgets":{"choice-290":{"type":"choice","options":["На вершине прямого угла","В точке пересечения медиан","В середине гипотенузы $AB$","На вершине острого угла"],"answer":[2]},"image-339":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/03/voin_8-01.svg","width":"300"}},"hints":["Окружность, проходящая через все вершины прямоугольного треугольника, имеет диаметр, равный гипотенузе.","Центр такой окружности — середина отрезка, соединяющего вершины острых углов."],"id":"2"},{"content":"В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой. Гипотенуза $AB = 10$ $см$. Найдите длину медианы $CO$, проведенной из вершины прямого угла.[[image-412]][[choice-453]]","widgets":{"image-412":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/07/obrazavr_shinel.svg","width":"300"},"choice-453":{"type":"choice","options":["$4$ $см$","$5$ $см$","$10$ $см$","$20$ $см$"],"explanations":["","В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.","",""],"answer":[1]}},"hints":["Медиана, проведённая из вершины прямого угла, соединяет ее с серединой гипотенузы.","В прямоугольном треугольнике такая медиана равна половине гипотенузы.","$CO = \\dfrac{1}{2} \\cdot AB = \\dfrac{1}{2} \\cdot 10 = 5$.<br /><br />Ответ: $5$ $см$."],"id":"2"},{"content":"Что можно сказать о медиане, проведённой из вершины прямого угла в треугольнике?[[choice-599]][[image-688]]","widgets":{"choice-599":{"type":"choice","options":["Она всегда короче катета","Она равна радиусу вписанной окружности","Она равна половине гипотенузы","Она совпадает с биссектрисой"],"explanations":["","Медиана равна радиусу описанной окружности.","",""],"answer":[2]},"image-688":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/06/obrazavr_vozdushniy-shar.svg","width":"300"}},"hints":["Центр описанной окружности — середина гипотенузы.","Медиана соединяет вершину прямого угла с этим центром."],"id":"3"},{"content":"В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ даны катеты: $AC = 9$ $см$, $BC = 12$ $см$. Найдите радиус описанной окружности.[[image-1111]][[choice-1176]]","widgets":{"image-1111":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/06/zevs_germes_demetra-01.svg","width":"300"},"choice-1176":{"type":"choice","options":["$7,5$ $см$","$15$ $см$","$30$ $см$","$37,5$ $см$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности:<br />$R = \\dfrac{1}{2} \\cdot AB$.","Найдём гипотенузу:<br />$AB = \\sqrt{AC^2 + BC^2} = \\sqrt{9^2 + 12^2} = \\sqrt{81 + 144} = \\sqrt{225} = 15$ $см$.","В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, поэтому<br />$R = \\dfrac{15}{2} = 7,5$ $см$.<br /><br />Ответ: $R = 7,5$ $см$."],"id":"3"},{"content":"Что можно сказать о серединном перпендикуляре, проведенном к хорде окружности?[[image-1404]][[choice-1469]]","widgets":{"image-1404":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/02/prividenie-01.svg","width":"300"},"choice-1469":{"type":"choice","options":["Он делит окружность на две части","Он проходит через центр окружности","Он параллелен радиусу","Он не пересекает хорду"],"answer":[1]}},"hints":["Серединный перпендикуляр выходит из середины хорды и направлен строго к центру.","Он всегда проходит через центр окружности."],"id":"4"},{"content":"В окружности с центом $O$, проведена хорда $AB = 30$ $см$, радиус окружности $17$ $см$. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $AB$.[[image-1654]][[choice-1727]]","widgets":{"image-1654":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/yustinian-01-1.svg","width":"300"},"choice-1727":{"type":"choice","options":["$8$ $см$","$24$ $см$","$15$ $см$","$7$ $см$"],"answer":[0]}},"hints":["Серединный перпендикуляр делит хорду пополам:<br />$$ \\dfrac{30}{2} = 15.$$","Радиус окружности — это расстояние от центра окружности до любой ее точки.<br />Значит, $AO$ — радиус.","Расстояние от центра окружности до хорды — перпендикуляр.<br />Вычислим его длину по теореме Пифагора:<br />$$ \\sqrt{17^2 -15^2} = \\sqrt{64} = 8.$$<br /><br />Ответ: $8$ $см$.<br />"],"id":"4"},{"content":"Что можно сказать о концах хорды окружности относительно центра?[[choice-2339]]","widgets":{"choice-2339":{"type":"choice","options":["Один конец всегда ближе к центру.","Концы хорды могут лежать на разном расстоянии от центра.","Концы хорды находятся на одинаковом расстоянии от центра.","Один из концов обязательно совпадает с центром."],"answer":[2]}},"hints":["Оба конца хорды лежат на окружности.","Все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра."],"id":"5"},{"content":"В окружности хорда $AB = 16$ $см$. Центр окружности соединён с концами хорды отрезками. Найдите расстояние от центра окружности до хорды, если радиус равен $10$ $см$.[[image-2566]][[choice-2655]]","widgets":{"image-2566":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/10/ship-01.svg","width":"300"},"choice-2655":{"type":"choice","options":["$6$ $см$","$7$ $см$","$8$ $см$","$9$ $см$"],"answer":[0]}},"hints":["Центр окружности соединён с концами хорды — это два радиуса. <br />Отрезок, соединяющий центр с серединой хорды, перпендикулярен хорде.<br />Половина хорды: $16   \\div 2 = 8$.","По теореме Пифагора:<br />расстояние от центра до хорды равно<br />$\\sqrt{10^2 -8^2} = \\sqrt{100 -64} = \\sqrt{36} = 6$.<br /><br />Ответ: $6$ $см$."],"id":"5"}],"mix":1}</textarea></pre></div>