Прямая и окружность. Касательная

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Радиус окружности $r = 4$ см, $d$ — расстояние от центра до прямой. Сопоставьте $d$ и число общих точек прямой и окружности.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$d = 4$ см","$d = 6$ см","$d = 2$ см"],"items":["Одна","Ни одной","Две","Бесконечно много"]}},"hints":["Сравните $d$ и $r$: $d > r$ — общих точек нет, $d = r$ — одна (касательная), $d < r$ — две (секущая окружности).","$4 = 4$ — одна; $6 > 4$ — ни одной; $2 < 4$ — две."],"step":1},{"id":"1","content":"Радиус окружности $r = 5$ см, $d$ — расстояние от центра до прямой. Сопоставьте $d$ и число общих точек прямой и окружности.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$d = 6$ см","$d = 5$ см","$d = 4$ см"],"items":["Ни одной","Одна","Две","Бесконечно много"]}},"hints":["Сравните $d$ и $r$: $d > r$ — общих точек нет, $d = r$ — одна (касательная), $d < r$ — две (секущая окружности).","$6 > 5$ — ни одной; $5 = 5$ — одна; $4 < 5$ — две."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-1]]На рисунке окружность с центром $Q$, точка $B$ на окружности, точка $K$ — на продолжении радиуса $QB$ за точку $B$. Какая из прямых $m$, $n$, $p$ — касательная к окружности?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/czfo0hlmqbju.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["Прямые $m$ и $n$","Прямая $m$","Прямая $p$","Прямая $n$"],"explanations":["У прямой $n$ нет общих точек с окружностью","","Она проходит через $B$, но не перпендикулярна $QB$ и пересекает окружность еще раз","Она перпендикулярна прямой $QB$, но не в конце радиуса: $d = QK > r$, общих точек нет"],"answer":[1]}},"hints":["Касательная проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна радиусу.","$n$ перпендикулярна прямой $QB$, но в точке $K$ за концом радиуса: $d = QK > r$, общих точек нет. $p$ проходит через $B$, но не перпендикулярна $QB$.","Ответ: прямая $m$."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-2]]На рисунке окружность с центром $O$, точка $D$ на окружности, точка $L$ — на радиусе $OD$. Какая из прямых $a$, $b$, $c$ — касательная к окружности?[[choice-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/d14gsy9wb467.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["Прямая $a$","Прямая $c$","Прямая $b$","Прямые $a$ и $c$"],"explanations":["Она перпендикулярна радиусу, но не в его конце: $d = OL < r$, это секущая","","Она проходит через $D$, но не перпендикулярна $OD$ и пересекает окружность еще раз","Прямая $a$ пересекает окружность в двух точках"],"answer":[1]}},"hints":["Касательная проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна радиусу.","$a$ перпендикулярна $OD$, но в точке $L$ внутри радиуса: $d = OL < r$ — секущая. $b$ проходит через $D$, но угол с $OD$ не прямой.","Ответ: прямая $c$."],"step":1},{"id":"3","content":"Радиус окружности с центром $O$ равен $10$ см. Прямая перпендикулярна радиусу $OA$ и пересекает его в точке $N$, $AN = 3$ см. Решавр пишет: «Прямая перпендикулярна радиусу — значит, это касательная». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: прямая перпендикулярна радиусу, значит, касательная","Это секущая: $d = ON = 10-3 = 7$ см, $7 < 10$","Общих точек нет: $N$ внутри круга, прямая не доходит до окружности","Общих точек нет: $d = 10 + 3 = 13$ см, $13 > 10$"],"explanations":["Признак требует, чтобы прямая проходила через конец радиуса на окружности","","Прямая бесконечна: при $d < r$ она пересекает окружность в двух точках","Точка $N$ лежит на радиусе, а не на его продолжении: $ON = 10-3$"],"answer":[1]}},"hints":["Расстояние от центра до прямой — перпендикуляр $ON$: $d = ON = 10-3 = 7$ см.","$7 < 10$ — у прямой две общие точки с окружностью.","Ответ: прямая проходит не через конец радиуса $A$; это секущая."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"3","content":"Радиус окружности с центром $O$ равен $9$ см. Прямая перпендикулярна прямой $OA$ ($A$ — точка окружности) и проходит через точку $K$ на продолжении радиуса $OA$ за точку $A$, $AK = 3$ см. Решавр пишет: «Прямая перпендикулярна радиусу — значит, это касательная». В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Это секущая: $d = 9-3 = 6$ см, $6 < 9$","Ошибки нет: прямая перпендикулярна радиусу, значит, касательная","Общих точек нет: $d = OK = 9 + 3 = 12$ см, $12 > 9$","Это секущая: $d = AK = 3$ см, $3 < 9$"],"explanations":["Точка $K$ лежит за точкой $A$, а не на радиусе: $OK = 9 + 3$","Признак требует, чтобы прямая проходила через конец радиуса на окружности","","Расстояние отсчитывают от центра: $d = OK$, а не $AK$"],"answer":[2]}},"hints":["Расстояние от центра до прямой — перпендикуляр $OK$: $d = OK = 9 + 3 = 12$ см.","$12 > 9$ — общих точек нет.","Ответ: прямая проходит не через конец радиуса $A$, а дальше; это не касательная."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"$MA$ — касательная к окружности с центром $O$, $A$ — точка касания, $\\angle AOM = 53^\\circ$. Найдите угол $AMO$. Ответ дайте в градусах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"37"}},"hints":["Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания: $\\angle OAM = 90^\\circ$.","$\\angle AMO = 90^\\circ-53^\\circ = 37^\\circ$."],"step":1},{"id":"4","content":"$KB$ — касательная к окружности с центром $O$, $B$ — точка касания, $\\angle OKB = 24^\\circ$. Найдите угол $BOK$. Ответ дайте в градусах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"66"}},"hints":["Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания: $\\angle OBK = 90^\\circ$.","$\\angle BOK = 90^\\circ-24^\\circ = 66^\\circ$."],"step":1},{"id":"5","content":"Из точки $M$ к окружности с центром $O$ и радиусом $5$ см проведены касательные $MA$ и $MB$ ($A$, $B$ — точки касания), $MA = 12$ см. Найдите периметр четырехугольника $OAMB$ в сантиметрах. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"34"}},"hints":["Отрезки касательных из одной точки равны: $MB = MA = 12$ см; $OA = OB = 5$ см — радиусы.","$P = 5 + 12 + 12 + 5 = 34$ см."],"step":1},{"id":"5","content":"Из точки $K$ к окружности с центром $O$ и радиусом $6$ см проведены касательные $KC$ и $KD$ ($C$, $D$ — точки касания), $KD = 8$ см. Найдите периметр четырехугольника $OCKD$ в сантиметрах. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"28"}},"hints":["Отрезки касательных из одной точки равны: $KC = KD = 8$ см; $OC = OD = 6$ см — радиусы.","$P = 6 + 8 + 8 + 6 = 28$ см."],"step":1},{"id":"6","content":"Из точки $M$ к окружности с центром $O$ проведены касательные $MA$ и $MB$ ($A$, $B$ — точки касания), $\\angle OAB = 25^\\circ$. Найдите угол $AMB$. Ответ дайте в градусах. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"50"}},"hints":["Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания: $\\angle OAM = 90^\\circ$. Хорда $AB$ проходит внутри угла $OAM$: $\\angle MAB = 90^\\circ-25^\\circ = 65^\\circ$.","$MA = MB$ — треугольник $AMB$ равнобедренный: $\\angle MBA = 65^\\circ$.","$\\angle AMB = 180^\\circ-2 \\cdot 65^\\circ = 50^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Из точки $M$ к окружности с центром $O$ проведены касательные $MA$ и $MB$ ($A$, $B$ — точки касания), $\\angle OAB = 32^\\circ$. Найдите угол $AMB$. Ответ дайте в градусах. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"64"}},"hints":["Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания: $\\angle OAM = 90^\\circ$. Хорда $AB$ проходит внутри угла $OAM$: $\\angle MAB = 90^\\circ-32^\\circ = 58^\\circ$.","$MA = MB$ — треугольник $AMB$ равнобедренный: $\\angle MBA = 58^\\circ$.","$\\angle AMB = 180^\\circ-2 \\cdot 58^\\circ = 64^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Из точки $M$ к окружности с центром $O$ проведены касательные $MA$ и $MB$, $\\angle AMB = 80^\\circ$. Решавр пишет: «$\\angle AOB = \\angle AMB = 80^\\circ$». В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$\\angle AOB = 90^\\circ-80^\\circ = 10^\\circ$: прямой угол — при $M$","Ошибки нет: углы $AOB$ и $AMB$ всегда равны, $\\angle AOB = 80^\\circ$","$\\angle AOB = 180^\\circ-80^\\circ = 100^\\circ$: прямые углы — при $A$ и $B$","$\\angle AOB = 80^\\circ : 2 = 40^\\circ$: $MO$ делит угол пополам"],"explanations":["Прямые углы — при $A$ и $B$, угол $M$ равен $80^\\circ$","При $80^\\circ$ сумма углов треугольника $OAM$ была бы $90^\\circ + 40^\\circ + 40^\\circ = 170^\\circ$","","$40^\\circ$ — угол $AMO$, а не угол между радиусами"],"answer":[2]}},"hints":["Прямые углы — при точках касания $A$ и $B$.","$\\angle AMO = 40^\\circ$, $\\angle AOM = 50^\\circ$, $\\angle AOB = 100^\\circ$.","Ответ: углы $AOB$ и $AMB$ в сумме $180^\\circ$."],"step":1},{"id":"7","content":"Из точки $K$ к окружности с центром $O$ проведены касательные $KC$ и $KD$, $\\angle COD = 140^\\circ$. Решавр пишет: «Угол между касательными равен углу между радиусами: $\\angle CKD = 140^\\circ$». В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$\\angle CKD = 140^\\circ : 2 = 70^\\circ$: $KO$ делит угол пополам","Ошибки нет: углы $CKD$ и $COD$ всегда равны, $\\angle CKD = 140^\\circ$","$\\angle CKD = 180^\\circ-140^\\circ = 40^\\circ$: прямые углы — при $C$ и $D$","$\\angle CKD = 140^\\circ-90^\\circ = 50^\\circ$: прямой угол — только при $C$"],"explanations":["$70^\\circ$ — угол $COK$, а не угол между касательными","При $140^\\circ$ в треугольнике $OCK$ было бы $90^\\circ + 70^\\circ + 70^\\circ = 230^\\circ$","","Прямых углов два — при $C$ и при $D$: $180^\\circ-140^\\circ = 40^\\circ$"],"answer":[2]}},"hints":["Прямые углы — при точках касания $C$ и $D$.","$\\angle COK = 70^\\circ$, $\\angle CKO = 20^\\circ$, $\\angle CKD = 40^\\circ$.","Ответ: углы в сумме $180^\\circ$, $\\angle CKD = 40^\\circ$."],"step":1},{"id":"8","content":"Окружность радиусом $3$ см вписана в угол $XMY$. Какое утверждение о ее центре $P$ верно?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$P$ лежит на серединном перпендикуляре к $MX$ на расстоянии $3$ см от $MX$","$P$ лежит на биссектрисе на расстоянии $3$ см от сторон","$P$ лежит на стороне $MX$ на расстоянии $3$ см от $M$","$P$ лежит на биссектрисе на расстоянии $3$ см от $M$"],"explanations":["Центр равноудален от сторон угла, а не от концов отрезка","","Тогда окружность пересекала бы $MX$, а не касалась","На $3$ см центр удален от сторон, а до вершины $M$ дальше: $PM$ — гипотенуза"],"answer":[1]}},"hints":["Радиусы в точки касания перпендикулярны сторонам и равны — это расстояния до сторон.","Точка угла, равноудаленная от сторон, — на биссектрисе."],"step":1},{"id":"8","content":"Окружность с центром $Q$ касается сторон угла $AKB$ в точках $A$ и $B$. Какое утверждение верно?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$KA = QA$, и луч $KQ$ — биссектриса угла $AKB$","$KA = KB$, и луч $KQ$ — биссектриса угла $AKB$","$KQ = QA$, и луч $KQ$ — биссектриса угла $AKB$","$KA = KB$, и $\\angle KAQ = \\angle AKB$"],"explanations":["$KA$ — отрезок касательной, $QA$ — радиус; равны $KA = KB$ и $QA = QB$","","$QA$ — катет прямоугольного треугольника $KAQ$, а $KQ$ — гипотенуза, она длиннее","$\\angle KAQ = 90^\\circ$ — радиус перпендикулярен касательной"],"answer":[1]}},"hints":["Отрезки касательных из одной точки равны: $KA = KB$; $KQ$ — биссектриса угла $AKB$.","Центр $Q$ равноудален от сторон: $QA = QB$ — радиусы, перпендикулярные сторонам; значит, $KQ$ — биссектриса."],"step":1},{"id":"9","content":"Из точки $M$ к окружности с центром $O$ проведены касательные $MA$ и $MB$. Расставьте шаги доказательства того, что $MA = MB$, по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["$\\angle OAM = \\angle OBM = 90^\\circ$: касательная перпендикулярна радиусу","Треугольники $OAM$ и $OBM$ прямоугольные, гипотенуза $OM$ общая, катеты $OA = OB$","$\\triangle OAM = \\triangle OBM$ по гипотенузе и катету","Значит, $MA = MB$"]}},"hints":["Начните с прямых углов при точках касания.","Прямоугольные треугольники $OAM$ и $OBM$ имеют общую гипотенузу и равные катеты-радиусы."],"step":1},{"id":"9","content":"Окружность с центром $P$ касается сторон угла $XMY$ в точках $A$ и $B$. Расставьте шаги доказательства того, что $P$ лежит на биссектрисе угла $XMY$, по порядку.[[sorter-2]]","widgets":{"sorter-2":{"type":"sorter","items":["$PA \\perp MX$ и $PB \\perp MY$: радиус перпендикулярен касательной","Значит, $PA$ и $PB$ — расстояния от $P$ до сторон угла","$PA = PB$ как радиусы, значит, $P$ равноудалена от сторон","Точка угла, равноудаленная от сторон, лежит на биссектрисе"]}},"hints":["Начните с радиусов в точки касания: что они говорят о расстояниях до сторон?","Точка угла, равноудаленная от сторон, лежит на биссектрисе."],"step":1},{"id":"10","content":"[[image-3]]Окружность вписана в угол с вершиной $M$ и касается его сторон в точках $A$ и $K$. Касательная к окружности в точке $T$ пересекает отрезки $MA$ и $MK$ в точках $C$ и $D$ (см. рисунок). Периметр треугольника $MCD$ равен $20$ см. Найдите $MA$ в сантиметрах. [[input-7]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/naphqzgpogx6.svg"},"input-7":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["Из точки $C$ проведены две касательные: $CA = CT$. Из точки $D$: $DK = DT$. Значит, $P_{MCD} = MA + MK$.","Отрезки касательных из точки $M$ равны: $MA = MK$, поэтому $P_{MCD} = 2 \\cdot MA$.","$MA = 20 : 2 = 10$ см."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"[[image-4]]Окружность вписана в угол с вершиной $M$ и касается его сторон в точках $A$ и $K$. Касательная к окружности в точке $T$ пересекает отрезки $MA$ и $MK$ в точках $C$ и $D$ (см. рисунок). Периметр треугольника $MCD$ равен $26$ см. Найдите $MK$ в сантиметрах. [[input-8]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/naphqzgpogx6.svg"},"input-8":{"type":"input","answer":"13"}},"hints":["Из точки $C$ проведены две касательные: $CA = CT$. Из точки $D$: $DK = DT$. Значит, $P_{MCD} = MA + MK$.","Отрезки касательных из точки $M$ равны: $MA = MK$, поэтому $P_{MCD} = 2 \\cdot MK$.","$MK = 26 : 2 = 13$ см."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>