Вписанная и описанная окружности треугольника

Тест по уроку «Вписанная и описанная окружности треугольника». 10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Какая окружность называется описанной около треугольника?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Окружность, которая проходит через середины всех сторон","Окружность с центром в вершине, проходящая через две другие вершины","Окружность, которая проходит через все вершины треугольника","Окружность, которая касается всех сторон треугольника"],"explanations":["Окружность через середины сторон в общем случае не проходит через вершины, это другая окружность.","Окружность с центром в вершине $A$ через вершину $A$ не проходит, а описанная проходит через все три вершины.","","Это определение вписанной окружности."],"answer":[2]}},"hints":["Описанная окружность «описывает» треугольник снаружи.","Она проходит через все три вершины."],"step":1},{"id":"1","content":"Какая окружность называется вписанной в треугольник?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Окружность, которая проходит через все вершины треугольника","Любая окружность, которая лежит внутри треугольника","Окружность, которая касается сторон в их серединах","Окружность, которая касается всех сторон треугольника"],"explanations":["Это определение описанной окружности.","Внутри треугольника можно начертить сколько угодно окружностей, вписанная — одна: она касается всех трех сторон.","Точки касания совпадают с серединами только в равностороннем треугольнике.",""],"answer":[3]}},"hints":["Вписанная окружность лежит внутри треугольника.","Она касается каждой из трех сторон."],"step":1},{"id":"2","content":"Центр окружности, описанной около треугольника, — это точка пересечения его…[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["серединных перпендикуляров к сторонам","биссектрис","высот","медиан"],"explanations":["","Биссектрисы дают центр вписанной окружности: точку, одинаково удаленную от сторон.","Высота проходит через вершину и, как правило, не через середину стороны: точки высоты не обязаны быть одинаково удалены от концов стороны.","Медианы проходят через середины сторон, но в общем случае не перпендикулярно им."],"answer":[0]}},"hints":["Центр описанной окружности одинаково удален от вершин.","От концов отрезка одинаково удалены точки его серединного перпендикуляра."],"step":1},{"id":"2","content":"Центр окружности, вписанной в треугольник, — это точка пересечения его…[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["медиан","биссектрис","серединных перпендикуляров к сторонам","высот"],"explanations":["Точка пересечения медиан не обязана быть одинаково удалена от сторон.","","Серединные перпендикуляры дают центр описанной окружности: точку, одинаково удаленную от вершин.","Точка пересечения высот не обязана быть одинаково удалена от сторон."],"answer":[1]}},"hints":["Центр вписанной окружности одинаково удален от сторон.","От сторон угла одинаково удалены точки его биссектрисы."],"step":1},{"id":"3","content":"[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Внутри треугольника","На стороне","Вне треугольника"],"items":[["Углы $70^\\circ$, $60^\\circ$, $50^\\circ$"],["Углы $90^\\circ$, $35^\\circ$, $55^\\circ$"],["Углы $110^\\circ$, $40^\\circ$, $30^\\circ$"]]}},"instruction":"Распределите треугольники по положению центра описанной окружности","hints":["Положение центра зависит от наибольшего угла.","Острый — внутри, прямой — на середине гипотенузы, тупой — вне треугольника."],"step":1},{"id":"3","content":"[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Внутри треугольника","На стороне","Вне треугольника"],"items":[["Углы $55^\\circ$, $65^\\circ$, $60^\\circ$"],["Углы $25^\\circ$, $65^\\circ$, $90^\\circ$"],["Углы $15^\\circ$, $45^\\circ$, $120^\\circ$"]]}},"instruction":"Распределите треугольники по положению центра описанной окружности","hints":["Положение центра зависит от наибольшего угла.","Острый — внутри, прямой — на середине гипотенузы, тупой — вне треугольника."],"step":1},{"id":"4","content":"Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $22$ см. Найдите радиус описанной окружности.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["11"],"unit":"см"}},"hints":["Центр описанной окружности прямоугольного треугольника — середина гипотенузы.","$R = 22 : 2 = 11$ см."],"step":1},{"id":"4","content":"Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен $7$ см. Найдите гипотенузу.[[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["14"],"unit":"см"}},"hints":["Центр описанной окружности — середина гипотенузы, поэтому гипотенуза — диаметр.","$c = 2R = 14$ см."],"step":1},{"id":"5","content":"$I$ — точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$. Какой отрезок — радиус вписанной окружности?[[image-1]][[choice-5]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","width":"600","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/kq7bpljhzmia.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["$IL$","$IN$","$IT$","$IA$"],"explanations":["$IL$ — часть биссектрисы угла $B$; она не перпендикулярна $AC$.","$N$ — середина $AC$, а точка касания не обязана быть серединой.","","$IA$ — расстояние до вершины, а не до стороны."],"answer":[2]}},"hints":["Радиус вписанной окружности — расстояние от центра до стороны.","Расстояние до прямой — перпендикуляр: $IT$."],"step":1},{"id":"5","content":"$I$ — точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$. В какой точке вписанная окружность касается стороны $AC$?[[image-2]][[choice-6]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","width":"600","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/kq7bpljhzmia.svg"},"choice-6":{"type":"choice","options":["$L$","$N$","$A$","$T$"],"explanations":["$L$ — конец биссектрисы угла $B$. Отрезок $IL$ не перпендикулярен $AC$.","$N$ — середина $AC$. Точка касания совпадает с серединой только в особых треугольниках.","Вершина лежит вне вписанной окружности.",""],"answer":[3]}},"hints":["Радиус в точку касания перпендикулярен стороне.","Перпендикуляр из $I$ к $AC$ — отрезок $IT$, точка касания — $T$."],"step":1},{"id":"6","content":"[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Центр описанной окружности","Центр вписанной окружности"],"items":["Одинаково удален от вершин","Одинаково удален от сторон","Всегда лежит на высотах треугольника"]}},"instruction":"Установите соответствие","hints":["Описанная окружность проходит через вершины, вписанная касается сторон.","Лишний вариант — «на высотах»: высоты проходят через центр не у каждого треугольника."],"step":1},{"id":"6","content":"[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Центр описанной окружности","Центр вписанной окружности"],"items":["Лежит на серединных перпендикулярах к сторонам","Лежит на биссектрисах углов","Всегда лежит на медианах треугольника"]}},"instruction":"Установите соответствие","hints":["От двух вершин одинаково удалены точки серединного перпендикуляра, от двух сторон — точки биссектрисы.","Лишний вариант — «на медианах»: медианы проходят через центр не у каждого треугольника."],"step":1},{"id":"7","content":"Ученик утверждает: «Центр описанной окружности всегда лежит внутри треугольника». Какой пример опровергает это?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Треугольник с углами $30^\\circ$, $30^\\circ$, $120^\\circ$","Равносторонний треугольник","Треугольник с углами $50^\\circ$, $60^\\circ$, $70^\\circ$","Равнобедренный треугольник с углом $40^\\circ$ при вершине"],"explanations":["","Все углы равностороннего треугольника по $60^\\circ$ — центр внутри.","Все углы острые — центр внутри, пример ученика не опровергает.","Углы $40^\\circ$, $70^\\circ$, $70^\\circ$ острые — центр внутри."],"answer":[0]}},"hints":["Центр вне треугольника бывает, когда один угол тупой.","Тупой угол есть только у треугольника с углами $30^\\circ$, $30^\\circ$, $120^\\circ$."],"step":1},{"id":"7","content":"Ученик утверждает: «Центр описанной окружности, как и центр вписанной, всегда лежит внутри треугольника». Какой треугольник опровергает это?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Треугольник с углами $50^\\circ$, $50^\\circ$, $80^\\circ$","Треугольник с углами $20^\\circ$, $40^\\circ$, $120^\\circ$","Треугольник с углами $45^\\circ$, $65^\\circ$, $70^\\circ$","Равносторонний треугольник"],"explanations":["Все углы острые — центр внутри.","","Все углы острые — центр внутри.","Все углы по $60^\\circ$ — центр внутри."],"answer":[1]}},"hints":["Центр описанной окружности вне треугольника, когда один угол тупой.","Тупой угол — только у треугольника с углами $20^\\circ$, $40^\\circ$, $120^\\circ$."],"step":1},{"id":"8","content":"$O$ — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника $ABC$, $\\angle AOB = 100^\\circ$. Найдите угол $C$ в градусах.[[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":["50"]}},"hints":["Треугольник $AOB$ равнобедренный ($OA = OB$): $\\angle OAB = \\angle OBA = (180^\\circ-100^\\circ) : 2 = 40^\\circ$. Это угол $z$ в «веере».","Центр внутри, поэтому $x + y + z = 90^\\circ$ и $\\angle C = x + y = 90^\\circ-z$.","$\\angle C = 90^\\circ-40^\\circ = 50^\\circ$."],"step":1},{"id":"8","content":"$O$ — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника $ABC$, $\\angle BOC = 140^\\circ$. Найдите угол $A$ в градусах.[[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":["70"]}},"hints":["Треугольник $BOC$ равнобедренный ($OB = OC$): $\\angle OBC = \\angle OCB = (180^\\circ-140^\\circ) : 2 = 20^\\circ$. Это угол $x$ в «веере».","Центр внутри, поэтому $x + y + z = 90^\\circ$ и $\\angle A = y + z = 90^\\circ-x$.","$\\angle A = 90^\\circ-20^\\circ = 70^\\circ$."],"step":1},{"id":"9","content":"$I$ — точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$, $\\angle AIB = 130^\\circ$. Найдите угол $C$ в градусах.[[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":["80"]}},"hints":["В треугольнике $AIB$: $\\angle IAB + \\angle IBA = 180^\\circ-130^\\circ = 50^\\circ$.","Это половины углов $A$ и $B$: $\\angle A + \\angle B = 100^\\circ$.","$\\angle C = 180^\\circ-100^\\circ = 80^\\circ$."],"step":1},{"id":"9","content":"$I$ — точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$, $\\angle AIB = 115^\\circ$. Найдите угол $C$ в градусах.[[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":["50"]}},"hints":["В треугольнике $AIB$: $\\angle IAB + \\angle IBA = 180^\\circ-115^\\circ = 65^\\circ$.","Это половины углов $A$ и $B$: $\\angle A + \\angle B = 130^\\circ$.","$\\angle C = 180^\\circ-130^\\circ = 50^\\circ$."],"step":1},{"id":"10","content":"$O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$ с тупым углом $C$, $\\angle OAB = 20^\\circ$. Найдите угол $C$ в градусах.[[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":["110"]}},"hints":["Угол $C$ тупой, поэтому центр $O$ лежит по другую сторону от $AB$. Треугольник $OAB$ равнобедренный: $z = \\angle OAB = 20^\\circ$.","Для тупого угла «веер» дает $\\angle C = 90^\\circ + z$.","$\\angle C = 90^\\circ + 20^\\circ = 110^\\circ$."],"step":1},{"id":"10","content":"$O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$ с тупым углом $C$, $\\angle OBA = 35^\\circ$. Найдите угол $C$ в градусах.[[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":["125"]}},"hints":["Угол $C$ тупой, поэтому центр $O$ лежит по другую сторону от $AB$. Треугольник $OAB$ равнобедренный: $z = \\angle OBA = 35^\\circ$.","Для тупого угла «веер» дает $\\angle C = 90^\\circ + z$.","$\\angle C = 90^\\circ + 35^\\circ = 125^\\circ$."],"step":1}]}</textarea></pre></div>