Карточки
Тесты
Зави
Прямая и окружность. Касательная
Прямая и окружность. Касательная. Окружность, вписанная в угол
В уроке «Окружность и круг. Хорда и диаметр» вы узнали, что сгиб кальки по любой прямой, проходящей через центр, кладет окружность саму на себя. Тем же сгибом выясним, сколько общих точек может быть у прямой и окружности, докажем главное свойство касательной и найдем, где лежит центр окружности, вписанной в угол.
Сколько общих точек у прямой и окружности
Столяру нужно найти центр торца круглой заготовки, чтобы просверлить в нем отверстие. Для этого есть инструмент — центроискатель: два упора, образующие угол, и линейка между ними. Заготовку прижимают к обоим упорам и проводят черту вдоль ребра линейки. Почему черта проходит через центр? Ответ — в конце урока, а сначала разберемся, как прямая может располагаться относительно окружности.
Возьмем окружность с центром $O$ и радиусом $r$ и прямую, которая не проходит через $O$. Опустим из $O$ перпендикуляр $OH$ на прямую; его длина $d = OH$ — расстояние от центра до прямой.
Перегнем кальку по прямой $OH$. Окружность ляжет сама на себя: сгиб проходит через центр. Прямая тоже ляжет сама на себя: она перпендикулярна линии сгиба, поэтому каждая ее точка $X$ попадет в точку $X_1$ той же прямой по другую сторону от $H$, причем $HX_1 = HX$. Значит, если $X$ — общая точка прямой и окружности, то $X_1$ — тоже общая точка. Общие точки идут парами. Без пары может остаться только $H$: она лежит на сгибе и остается на месте.
Теперь сравним $d$ и $r$.
$d > r$. Перпендикуляр короче любой наклонной (урок «Неравенства в треугольнике. Перпендикуляр и наклонная»), поэтому для любой точки $X$ прямой $OX \ge OH = d > r$. Ни одна точка прямой не лежит на окружности — общих точек нет.
$d = r$. Точка $H$ лежит на окружности, а любая другая точка $X$ прямой дальше от центра: $OX > OH = r$. Общая точка одна — $H$.
$d < r$. Точка $H$ лежит внутри круга. На чертеже видно, что прямая выходит из круга по обе стороны от $H$ и пересекает окружность в двух точках — в паре $X$ и $X_1$. Если прямая проходит через центр, то $d = 0$, и общие точки — концы диаметра.
Почему при d < r общих точек не больше двух
Скрыть
Пусть $X$ и $Y$ — точки прямой по одну сторону от $H$, $X$ между $H$ и $Y$. Угол $OXY$ — внешний угол прямоугольного треугольника $OHX$: он равен $90^\circ + \angle HOX$ (урок о внешнем угле треугольника) и тупой. Против тупого угла лежит наибольшая сторона: $OY > OX$. Чем дальше точка от $H$, тем дальше она от центра, поэтому по каждую сторону от $H$ на окружности не больше одной точки прямой. Что такие точки есть, видно на чертеже; строго это докажут в 8 классе.
Определение
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а эта точка — точкой касания. Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей окружности.
| Сравнение $d$ и $r$ | Общих точек | Прямая |
|---|---|---|
| $d > r$ | 0 | не имеет общих точек с окружностью |
| $d = r$ | 1 | касательная |
| $d < r$ | 2 | секущая окружности |
Пример 1
Диаметр окружности равен $13$ см. Расстояния от ее центра до прямых $a$, $b$ и $c$ равны $6$ см, $6{,}5$ см и $8$ см. Сколько общих точек у каждой прямой с окружностью?
Решение. Сравнивать расстояние нужно с радиусом, а не с диаметром: $r = 13 : 2 = 6{,}5$ см. Прямая $a$: $6 < 6{,}5$ — две общие точки, это секущая окружности. Прямая $b$: $6{,}5 = 6{,}5$ — одна общая точка, это касательная. Прямая $c$: $8 > 6{,}5$ — общих точек нет.
Ответ: две, одна, ни одной.
Почему касательная перпендикулярна радиусу
При $d = r$ прямая касается окружности в точке $H$ — в основании перпендикуляра из центра. Может ли точка касания быть другой? По таблице — нет, но случай $d < r$ мы видели только на чертеже. Докажем без чертежа.
Теорема (свойство касательной)
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Доказательство
Пусть прямая $a$ касается окружности с центром $O$ в точке $A$. Центр $O$ не лежит на прямой $a$: прямая через центр пересекает окружность в двух точках — концах диаметра. Опустим перпендикуляр $OH$ на прямую $a$. Предположим, что точка $A$ не совпадает с $H$.
Перегнем кальку по прямой $OH$. Окружность и прямая $a$ лягут сами на себя, а точка $A$ перейдет в точку $A_1$ прямой $a$ по другую сторону от $H$. Точка $A_1$ лежит и на окружности, и на прямой $a$ и не совпадает с $A$. Получились две общие точки, а у касательной общая точка одна. Противоречие.
Значит, $A$ совпадает с $H$, и радиус $OA$ — это перпендикуляр $OH$: $OA \perp a$.
Верно и обратное утверждение, но его условие нужно прочитать полностью.
Теорема (признак касательной)
Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной.
Почему: радиус $OA$ — перпендикуляр из центра к прямой, значит, $d = OA = r$, а при $d = r$ общая точка одна.
Ошибка
Радиус окружности с центром $O$ равен $6$ см, $N$ — середина радиуса $OA$. Через точку $N$ провели прямую, перпендикулярную $OA$. Решавр говорит: «Прямая перпендикулярна радиусу — значит, это касательная».
Проверим. Расстояние от центра до прямой — длина перпендикуляра $ON$: $d = 3$ см, а $r = 6$ см. Так как $3 < 6$, у прямой с окружностью две общие точки — это секущая окружности.
Где сломалось рассуждение. В признаке прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности. Только тогда перпендикуляр из центра равен радиусу и $d = r$.
Интересный факт: касательная у Евклида
Скрыть
В «Началах» Евклида (около 300 года до н. э.) признак касательной — следствие предложения 16 книги III, а свойство «радиус в точку касания перпендикулярен касательной» — предложение 18 той же книги. Евклид тоже доказывал его от противного.
Две касательные из одной точки
Пусть из точки $M$ к окружности с центром $O$ проведены две касательные, $A$ и $B$ — точки касания. Отрезки $MA$ и $MB$ называют отрезками касательных, проведенными из точки $M$.
Перегнем кальку по прямой $MO$. Окружность ляжет сама на себя, и на чертеже касательная $MA$ ложится на $MB$. Сгиб подсказывает, что искать: равные отрезки и равные углы. Доказывают равенство треугольники.
Теорема (об отрезках касательных)
Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Доказательство
Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны касательным (свойство касательной), поэтому треугольники $OAM$ и $OBM$ прямоугольные с прямыми углами при вершинах $A$ и $B$. У них общая гипотенуза $OM$ и равные катеты $OA = OB$ — радиусы.
По гипотенузе и катету (урок «Прямоугольный треугольник: свойства и признаки равенства») $\triangle OAM = \triangle OBM$. Отсюда $MA = MB$, $\angle AMO = \angle BMO$ и $\angle AOM = \angle BOM$.
Пример 2
Из точки $M$ к окружности с центром $O$ проведены касательные $MA$ и $MB$, $\angle AMB = 76^\circ$. Найдите угол $AOB$.
Решение. Прямая $MO$ делит угол $AMB$ пополам: $\angle AMO = 76^\circ : 2 = 38^\circ$. В прямоугольном треугольнике $OAM$ острые углы в сумме дают $90^\circ$: $\angle AOM = 90^\circ-38^\circ = 52^\circ$. Так же $\angle BOM = 52^\circ$, поэтому $\angle AOB = 2 \cdot 52^\circ = 104^\circ$.
Проверка: $104^\circ + 76^\circ = 180^\circ$.
Ответ: $104^\circ$.
Обратите внимание
Так получается для любых двух касательных $MA$ и $MB$ с точками касания $A$ и $B$: $\angle AOB = 2 \cdot (90^\circ-\angle AMO) = 180^\circ-\angle AMB$.
Ошибка
Касательные $MA$ и $MB$ образуют угол $AMB = 84^\circ$. Решавр пишет: «$\angle AOB = 84^\circ$ — он такой же, как угол между касательными». Похожая ошибка — поставить прямой угол при точке $M$.
Проверим. Если $\angle AOB = 84^\circ$, то $\angle AOM = 42^\circ$, и в треугольнике $OAM$ с прямым углом при $A$ сумма углов была бы $90^\circ + 42^\circ + 42^\circ = 174^\circ$, а не $180^\circ$.
Где сломалось рассуждение. Прямые углы стоят у точек касания $A$ и $B$ — там, где радиус встречает касательную. Верно: $\angle AMO = 42^\circ$, $\angle AOM = 48^\circ$, $\angle AOB = 96^\circ$.
Где лежит центр окружности, вписанной в угол
Вернемся к центроискателю: упоры — стороны угла, а край заготовки — окружность, которая касается обеих сторон.
Определение
Окружность, вписанная в угол, — окружность, касающаяся сторон угла.
Найдите в модели два положения центра $P$, при которых окружность касается обеих сторон угла. Где лежат эти центры?
Удачные центры легли на одну прямую — на биссектрису угла. Докажем, что так будет для любой окружности, вписанной в угол.
Пусть окружность с центром $P$ вписана в угол с вершиной $M$ и касается его сторон в точках $A$ и $K$. По свойству касательной радиусы $PA$ и $PK$ перпендикулярны сторонам. Значит, $PA$ и $PK$ — расстояния от точки $P$ до сторон угла, и они равны как радиусы. Точка $P$ лежит внутри угла и одинаково удалена от его сторон, поэтому она лежит на биссектрисе угла (урок о геометрическом месте точек). Условие «касается обеих сторон» оставляет след — биссектрису, тот самый сгиб, который кладет сторону угла на другую сторону.
Обратно, возьмем любую точку $P$ биссектрисы, кроме вершины $M$. Перпендикуляры $PA$ и $PK$ к сторонам равны. Окружность с центром $P$ радиусом $PA$ проходит через $A$ и $K$, а каждая сторона перпендикулярна радиусу в его конце. По признаку касательной обе стороны касаются окружности.
Теорема (центр окружности, вписанной в угол)
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. Обратно, каждая точка биссектрисы, кроме вершины, — центр окружности, вписанной в угол; ее радиус равен расстоянию от этой точки до сторон угла.
Как построить окружность, вписанную в угол
1. Постройте биссектрису угла $M$ (урок «Задачи на построение циркулем и линейкой»).
2. Отметьте на биссектрисе точку $P$ — центр окружности.
3. Постройте перпендикуляр $PA$ из точки $P$ к стороне угла.
4. Проведите окружность с центром $P$ радиусом $PA$.
Радиус — именно перпендикуляр $PA$, а не отрезок $PM$: окружность радиусом $PM$ прошла бы через вершину и пересекла бы стороны.
Как центроискатель находит центр
Ребро линейки центроискателя идет по биссектрисе угла между упорами. Заготовку прижимают так, чтобы ее край касался обоих упоров, — край становится окружностью, вписанной в угол. Ее центр лежит на биссектрисе, то есть на ребре линейки, и черта вдоль ребра проходит через центр.
Затем заготовку поворачивают, снова прижимают к упорам и проводят вторую черту. Центр лежит на обеих чертах, значит, он — точка их пересечения. Ответ снова там, где пересеклись два следа.
Пример 3
Из точки $M$ к окружности с центром $O$ проведены касательные $MA$ и $MB$, $\angle AMB = 36^\circ$. Найдите угол $OAB$.
Решение. Отрезки касательных равны: $MA = MB$, поэтому треугольник $AMB$ равнобедренный и $\angle MAB = (180^\circ-36^\circ) : 2 = 72^\circ$. Радиус $OA$ перпендикулярен касательной: $\angle OAM = 90^\circ$. Хорда $AB$ проходит внутри угла $OAM$, поэтому $\angle OAB = 90^\circ-72^\circ = 18^\circ$.
Ответ: $18^\circ$.
Из равенств $MA = MB$ и $OA = OB$ следует еще одно свойство: прямая $MO$ перпендикулярна хорде $AB$ и делит ее пополам. Шаги доказательства расставьте в мини-тесте в конце раздела.
Пример 4
Окружность вписана в угол с вершиной $M$ и касается его сторон в точках $A$ и $K$, $MA = 7$ см. Касательная к окружности в точке $T$ пересекает отрезки $MA$ и $MK$ в точках $C$ и $D$, точка $T$ лежит между $C$ и $D$. Найдите периметр треугольника $MCD$.
Решение. Из точки $C$ проведены две касательные с точками касания $A$ и $T$, поэтому $CA = CT$. Так же из точки $D$: $DK = DT$. Тогда
Отрезки касательных из точки $M$ равны: $MK = MA = 7$ см, поэтому $P_{MCD} = 7 + 7 = 14$ см.
Ответ: $14$ см.
Вывод
Касательная нужна везде, где окружность прижимается к прямой: в центроискателе, в построениях урока «Задачи на построение циркулем и линейкой» и в уроке «Вписанная и описанная окружности треугольника», где окружность вписана сразу в три угла треугольника. Главное вспоминается через сгиб кальки.
| Вопрос | Что сделать | Вывод |
|---|---|---|
| Сколько общих точек у прямой и окружности? | Сравнить $d$ и $r$, сгиб по $OH$ | $d > r$ — 0, $d = r$ — 1, $d < r$ — 2 |
| Где прямой угол у касательной? | Сгиб по $OH$: касание только в $H$ | Радиус в точку касания $\perp$ касательной |
| Когда перпендикуляр к радиусу — касательная? | Проверить, где он проходит | Только через конец радиуса на окружности |
| Две касательные из точки $M$ | Сгиб по $MO$, гипотенуза и катет | $MA = MB$, $\angle AOB + \angle AMB = 180^\circ$ |
| Окружность, вписанная в угол | След «одинаково далеко от сторон» | Центр на биссектрисе |
Часто задаваемые вопросы
Нет. Общие точки идут парами относительно сгиба по $OH$, а по каждую сторону от $H$ на окружности лежит не больше одной точки прямой. Поэтому общих точек 0, 1 или 2.
Секущая у самого края круга на чертеже похожа на касательную. Надежно — сравнить $d$ и $r$ или проверить, что прямая перпендикулярна радиусу в его конце.
Перпендикуляр к радиусу в другой его точке проходит ближе к центру: $d < r$, это секущая. Только через конец радиуса $d = r$.
Бесконечно много: центром может быть любая точка биссектрисы, кроме вершины. Если радиус задан, окружность одна — ее центр лежит на биссектрисе на расстоянии $r$ от сторон.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий