Построение треугольника по трем элементам

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Распределите наборы данных треугольника $ABC$: какие задают его однозначно, а какие — нет.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Задают однозначно","Не задают однозначно"],"items":[["$AB$, $\\angle A$, $\\angle B$","$AB$, $AC$, $\\angle A$","$AB$, $BC$, $AC$"],["$\\angle A$, $\\angle B$, $\\angle C$","$AB$, $BC$, $\\angle A$"]]}},"hints":["Однозначно — при признаке равенства: углы при концах стороны и сама сторона; две стороны и угол между ними.","$\\angle A$ не между $AB$ и $BC$; три угла не задают размер."],"step":1},{"id":"1","content":"Распределите наборы данных треугольника $KLM$: какие задают его однозначно, а какие — нет.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Задают однозначно","Не задают однозначно"],"items":[["$KL$, $KM$, $\\angle K$","$LM$, $\\angle L$, $\\angle M$","$KL$, $LM$, $KM$"],["$\\angle K$, $\\angle L$, $\\angle M$","$KM$, $LM$, $\\angle L$"]]}},"hints":["Однозначно — при признаке равенства: угол между сторонами $KL$ и $KM$ — это $\\angle K$; углы при концах $LM$ — $\\angle L$ и $\\angle M$.","$\\angle L$ не между $KM$ и $LM$; три угла не задают размер."],"step":1},{"id":"2","content":"Сопоставьте построение и два «следа», в пересечении которых получается последняя вершина.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["По трем сторонам","По стороне и двум прилежащим углам","По гипотенузе и катету"],"items":["Две окружности","Два луча","Окружность и луч","Две параллельные прямые"]}},"hints":["Засечки циркуля — окружности; углы, отложенные от стороны, — лучи.","Ответ: по трем сторонам — две окружности; по стороне и двум углам — два луча; по гипотенузе и катету — окружность и луч."],"step":1},{"id":"2","content":"Сопоставьте построение и два «следа», в пересечении которых получается последняя вершина.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["По двум сторонам и углу, лежащему против одной из них","По трем сторонам","По стороне и двум прилежащим углам"],"items":["Окружность и луч","Две окружности","Два луча","Две параллельные прямые"]}},"hints":["Засечки циркуля — окружности; углы, отложенные от стороны, — лучи.","Ответ: по двум сторонам и углу не между ними — окружность и луч; по трем сторонам — две окружности; по стороне и двум углам — два луча."],"step":1},{"id":"3","content":"Даны отрезок $m$ и углы $\\varphi$, $\\psi$. Расставьте шаги решения задачи: построить треугольник $KLM$, у которого $KL = m$, $\\angle K = \\varphi$, $\\angle L = \\psi$.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Проверить до построения, что $\\varphi + \\psi < 180^\\circ$","Отложить отрезок $KL = m$","От отрезка $KL$ в одну полуплоскость построить углы $\\varphi$ при вершине $K$ и $\\psi$ при вершине $L$","Отметить точку $M$ — пересечение сторон построенных углов"]}},"hints":["Исследование делают до построения: сумма двух углов должна быть меньше $180^\\circ$.","Потом откладывают сторону $KL$ — от нее строят оба угла; вершина $M$ — пересечение двух лучей."],"step":1},{"id":"3","content":"Даны отрезок $s$ и углы $\\beta$, $\\gamma$. Расставьте шаги решения задачи: построить треугольник $PQR$, у которого $QR = s$, $\\angle Q = \\beta$, $\\angle R = \\gamma$.[[sorter-2]]","widgets":{"sorter-2":{"type":"sorter","items":["Проверить до построения, что $\\beta + \\gamma < 180^\\circ$","Отложить отрезок $QR = s$","От отрезка $QR$ в одну полуплоскость построить углы $\\beta$ при вершине $Q$ и $\\gamma$ при вершине $R$","Отметить точку $P$ — пересечение сторон построенных углов"]}},"hints":["Исследование делают до построения: сумма двух углов должна быть меньше $180^\\circ$.","Потом откладывают сторону $QR$ — от нее строят оба угла; вершина $P$ — пересечение двух лучей."],"step":1},{"id":"4","content":"Строим треугольник $ABC$ по сторонам $AB = c$, $AC = b$ и углу $A$ между ними. Построили угол $A$ и на одной стороне отложили $AB = c$. На другой стороне откладываем раствором циркуля [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$c$ с иглой в $B$","$b$ с иглой в $A$","$b$ с иглой в $B$","$c$ с иглой в $A$"],"answer":1}},"hints":["На второй стороне угла $A$ лежит сторона $AC$.","Ее длина — $b$: раствор $b$ с иглой в $A$."],"step":1},{"id":"4","content":"Строим треугольник $ABC$ по сторонам $CA = b$, $CB = a$ и углу $C$ между ними. Построили угол $C$ и на одной стороне отложили $CA = b$. На другой стороне откладываем раствором циркуля [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$b$ с иглой в $A$","$b$ с иглой в $C$","$a$ с иглой в $C$","$a$ с иглой в $A$"],"answer":2}},"hints":["На второй стороне угла $C$ лежит сторона $CB$.","Ее длина — $a$: раствор $a$ с иглой в $C$."],"step":1},{"id":"5","content":"Сколько треугольников $ABC$ можно построить по стороне $AB = 9$ см и углам $\\angle A = 112^\\circ$, $\\angle B = 74^\\circ$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Два","Один","Бесконечно много","Ни одного"],"explanations":["Два луча пересекаются не больше чем в одной точке; здесь они расходятся","Сторона и два прилежащих угла дают один треугольник, если он существует; но $186^\\circ > 180^\\circ$","Сторона и два угла не оставляют свободы",""],"answer":[3]}},"hints":["До построения — исследование: сумма двух углов треугольника меньше $180^\\circ$, наибольшая сторона меньше суммы двух других.","$112^\\circ + 74^\\circ = 186^\\circ > 180^\\circ$ — лучи расходятся.","Ответ: ни одного."],"step":1},{"id":"5","content":"Сколько треугольников $ABC$ можно построить по стороне $AB = 4$ см и углам $\\angle A = 65^\\circ$, $\\angle B = 110^\\circ$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Ни одного","Один","Бесконечно много","Два"],"explanations":["Лучи пересекаются, потому что $175^\\circ < 180^\\circ$","","Сторона и два прилежащих угла задают треугольник по II признаку","Два луча пересекаются не больше чем в одной точке"],"answer":[1]}},"hints":["До построения — исследование: сумма двух углов треугольника меньше $180^\\circ$, наибольшая сторона меньше суммы двух других.","$65^\\circ + 110^\\circ = 175^\\circ < 180^\\circ$ — лучи пересекутся.","Ответ: один (II признак)."],"step":1},{"id":"6","content":"Нужно построить треугольник со сторонами $3$ см, $5$ см и $9$ см. Решавр откладывает $9$ см и проводит дуги радиусами $3$ и $5$ см, «чтобы найти третью вершину». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Дуги встретятся, если довести их до окружностей","Нужно было начать с отрезка $3$ см, а не $9$ см","Такого треугольника нет: $3 + 5 = 8 < 9$","Ошибки нет: нужно лишь точнее чертить дуги"],"explanations":["Окружности радиусов $3$ и $5$ см с центрами на расстоянии $9$ см не имеют общих точек: $3 + 5 < 9$","Порядок не важен: неравенство треугольника нарушено","","Точность не поможет: при $3 + 5 < 9$ дуги не встретятся при любом чертеже"],"answer":[2]}},"hints":["До построения — исследование: сумма двух углов треугольника меньше $180^\\circ$, наибольшая сторона меньше суммы двух других.","$3 + 5 = 8 < 9$ — дуги не пересекутся.","Ответ: треугольника нет; это видно до построения."],"step":1},{"id":"6","content":"Нужно построить треугольник со сторонами $2$ см, $6$ см и $10$ см. Решавр откладывает $10$ см и проводит дуги радиусами $2$ и $6$ см. Дуги не встречаются, и он пишет: «Раскрою циркуль чуть шире — дуги пересекутся». В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Дуги встретятся, если довести их до окружностей","Ошибки нет: чуть шире циркуль — и дуги сойдутся","Нужно было начать с отрезка $2$ см, а не $10$ см","Такого треугольника нет: $2 + 6 = 8 < 10$"],"explanations":["Окружности радиусов $2$ и $6$ см с центрами на расстоянии $10$ см не имеют общих точек: $2 + 6 < 10$","Радиусы — это данные стороны; изменив их, получим другой треугольник, а не искомый","Порядок не важен: неравенство треугольника нарушено",""],"answer":[3]}},"hints":["До построения — исследование: сумма двух углов треугольника меньше $180^\\circ$, наибольшая сторона меньше суммы двух других.","$2 + 6 = 8 < 10$ — дуги не пересекутся.","Ответ: треугольника нет; это видно до построения."],"step":1},{"id":"7","content":"Сколько существует различных треугольников $ABC$ с $\\angle A = 30^\\circ$, $AB = 12$ см, $BC = 7$ см?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Два","Бесконечно много","Один","Ни одного"],"explanations":["","Окружность и луч имеют не больше двух общих точек","Один был бы при $BC = 6$ или $BC \\ge 12$","Ни одного — при $BC < 6$"],"answer":[0]}},"hints":["Вершина $C$ — общая точка луча (второй стороны угла $A$) и окружности с центром $B$ радиусом $BC$. Расстояние от $B$ до прямой $AC$ равно $d$; при $\\angle A = 30^\\circ$ $d = AB : 2$ (катет против угла $30^\\circ$).","$d = 12 : 2 = 6$ см. $6 < 7 < 12$ — две точки пересечения.","Ответ: два."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Сколько существует различных треугольников $ABC$ с $\\angle A = 30^\\circ$, $AB = 10$ см, $BC = 5$ см?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Ни одного","Один","Два","Бесконечно много"],"explanations":["Ни одного — при $BC < 5$","","Две точки были бы при $5 < BC < 10$; при $BC = 5$ окружность касается","Окружность и луч имеют не больше двух общих точек"],"answer":[1]}},"hints":["Вершина $C$ — общая точка луча (второй стороны угла $A$) и окружности с центром $B$ радиусом $BC$. Расстояние от $B$ до прямой $AC$ равно $d$; при $\\angle A = 30^\\circ$ $d = AB : 2$ (катет против угла $30^\\circ$).","$d = 10 : 2 = 5$ см $= BC$: окружность касается прямой $AC$.","Ответ: один, прямоугольный ($\\angle C = 90^\\circ$)."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Даны $\\angle A = 30^\\circ$, $AB = 14$ см, $BC = 8$ см. Решавр пишет: «Треугольник задан двумя сторонами и углом, значит, он один». В чем ошибка?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Треугольник один, и он прямоугольный","Ошибки нет: это первый признак, треугольник один","Треугольника нет, ведь $BC = 8 < AB = 14$","Угол $A$ не между $AB$ и $BC$ — треугольников два"],"explanations":["Прямоугольный при $BC = d = 7$","В первом признаке угол между сторонами, а угол $A$ лежит против $BC$","$BC$ сравнивают с $d = 7$, а $8 > 7$",""],"answer":[3]}},"hints":["$\\angle A$ не лежит между сторонами $AB$ и $BC$.","Вершина $C$ — общая точка луча (второй стороны угла $A$) и окружности с центром $B$ радиусом $BC$. Расстояние от $B$ до прямой $AC$ равно $d$; при $\\angle A = 30^\\circ$ $d = AB : 2$ (катет против угла $30^\\circ$). $d = 7 < 8 < 14$.","Ответ: треугольников два, они не равны."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Даны $\\angle K = 30^\\circ$, $KL = 9$ см, $LM = 6$ см. Решавр построил один треугольник $KLM$ и пишет: «Задача решена, других решений нет». В чем ошибка?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Решений два: окружность пересекает луч дважды","Ошибки нет: по первому признаку решение одно","Решений бесконечно много: точка $M$ скользит","Решений нет: окружность не достает до луча"],"explanations":["","Первый признак — для угла между сторонами, а угол $K$ лежит против $LM$","Окружность и луч имеют не больше двух общих точек","Сравнивать нужно с расстоянием $4{,}5$ см, а $6 > 4{,}5$"],"answer":[0]}},"hints":["$\\angle K$ лежит против стороны $LM$, а не между $KL$ и $LM$.","Расстояние от $L$ до прямой $KM$ равно $9 : 2 = 4{,}5$ см; $4{,}5 < 6 < 9$ — окружность с центром $L$ радиусом $6$ пересекает луч дважды.","Ответ: решений два, Решавр пропустил второе."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Нужно построить треугольник $ABC$ по стороне $AB = 6$ см и углам $\\angle A = 35^\\circ$, $\\angle C = 80^\\circ$. Какой угол откладывают при вершине $B$? Ответ дайте в градусах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["65","65°"]}},"hints":["Угол $C$ не прилежит к $AB$; при концах $AB$ нужны углы $A$ и $B$.","$\\angle B = 180^\\circ-35^\\circ-80^\\circ = 65^\\circ$."],"step":1},{"id":"9","content":"Нужно построить треугольник $ABC$ по стороне $BC = 7$ см и углам $\\angle B = 48^\\circ$, $\\angle A = 59^\\circ$. Какой угол откладывают при вершине $C$? Ответ дайте в градусах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["73","73°"]}},"hints":["Угол $A$ не прилежит к $BC$; при концах $BC$ нужны углы $B$ и $C$.","$\\angle C = 180^\\circ-48^\\circ-59^\\circ = 73^\\circ$."],"step":1},{"id":"10","content":"Нужно построить треугольник $ABC$ по сторонам $AC = 6$ см, $AB = 7$ см и медиане $BM = 5$ см, проведенной к стороне $AC$. С какого треугольника начать построение?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["С $\\triangle ABC$ по двум сторонам и углу","С $\\triangle ABM$ по сторонам $7$, $5$ и $3$ см","С $\\triangle BMC$ по трем его сторонам","С $\\triangle ABM$ по сторонам $7$, $5$ и $6$ см"],"explanations":["Ни один угол в условии не дан","","Сторона $BC$ не дана, по трем сторонам $BMC$ не построить","$AM$ — половина $AC$: $6 : 2 = 3$ см, а не $6$ см"],"answer":[1]}},"hints":["Анализ: $M$ — середина $AC$, поэтому $AM = 6 : 2 = 3$ см.","В треугольнике $ABM$ известны все три стороны: $AB = 7$, $BM = 5$, $AM = 3$ см; $7 < 5 + 3$ — он существует. Точку $C$ откладывают на продолжении $AM$ за $M$: $MC = AM$.","Ответ: с треугольника $ABM$ по сторонам $7$, $5$ и $3$ см."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Нужно построить треугольник $KLM$ по сторонам $KM = 10$ см, $KL = 6$ см и медиане $LP = 4$ см, проведенной к стороне $KM$. С какого треугольника начать построение?[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["С $\\triangle KLM$ по двум сторонам и углу","С $\\triangle KLP$ по сторонам $6$, $4$ и $10$ см","С $\\triangle KLP$ по сторонам $6$, $4$ и $5$ см","С $\\triangle LPM$ по трем его сторонам"],"explanations":["Ни один угол в условии не дан","$KP$ — половина $KM$: $10 : 2 = 5$ см; к тому же $6 + 4 = 10$ — такого треугольника нет","","Сторона $LM$ не дана, по трем сторонам $LPM$ не построить"],"answer":[2]}},"hints":["Анализ: $P$ — середина $KM$, поэтому $KP = 10 : 2 = 5$ см.","В треугольнике $KLP$ известны все три стороны: $KL = 6$, $LP = 4$, $KP = 5$ см; $6 < 4 + 5$ — он существует. Точку $M$ откладывают на продолжении $KP$ за $P$: $PM = KP$.","Ответ: с треугольника $KLP$ по сторонам $6$, $4$ и $5$ см."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>