Взаимное расположение прямой и окружности

Данный тест поможет обобщить знания о взаимном расположении прямой и окружности. Вы вспомните, как отличать касательную, секущую и внешнюю прямую, а также применять ключевые свойства и теоремы для решения практических задач.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"content":"Как называется прямая, не имеющая общих точек с окружностью?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Хорда","Секущая","Внешняя","Касательная"],"answer":[2]},"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/faraon-01-1.svg","width":"298"}},"hints":["Такая прямая проходит на некотором расстоянии от окружности и нигде ее не пересекает.","Если у прямой и окружности нет ни одной общей точки, она называется внешней."],"id":"0"},{"content":"Как проходит прямая относительно окружности, если она называется внешней?[[choice-22]]","widgets":{"choice-22":{"type":"choice","options":["Пересекает окружность в двух точках.","Касается окружности в одной точке.","Проходит вне окружности и не имеет с ней общих точек.","Проходит через центр окружности."],"answer":[2]},"image-39":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/dumayushhii-razmyshlyayushhii-5-01.svg","width":"300"}},"hints":["Такая прямая проходит на расстоянии, превышающем длину радиуса.","Внешняя прямая — это та, у которой с окружностью нет ни одной общей точки."],"id":"0"},{"content":"Как называется прямая, которая пересекает окружность в двух точках?[[choice-72]][[image-104]]","widgets":{"choice-72":{"type":"choice","options":["Касательная","Хорда","Секущая","Внешняя"],"answer":[2]},"image-104":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/chto-to-rasskazyvaet-s-gory-01.svg","width":"300"}},"hints":["Когда прямая пересекает окружность, она имеет с ней две общие точки.","Если прямая проходит через окружность и имеет с ней две общие точки, она называется секущей."],"id":"1"},{"content":"Как проходит прямая по отношению к окружности, если она называется секущей?[[choice-153]][[image-213]]","widgets":{"choice-153":{"type":"choice","options":["Проходит вне окружности, не имея с ней общих точек.","Касается окружности в одной точке.","Пересекает окружность в двух точках.","Является радиусом окружности."],"answer":[2]},"image-213":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/rybalka-01.svg","width":"300"}},"hints":["Секущая имеет с окружностью ровно две общие точки.","Прямая называется секущей, если она пересекает окружность в двух точках."],"id":"1"},{"content":"Как называется прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку?[[choice-262]]","widgets":{"choice-262":{"type":"choice","options":["Касательная","Секущая","Внешняя","Хорда"],"answer":[0]},"image-323":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/shestirenka-01-1.svg","width":"300"}},"hints":["Если у прямой и окружности только одна общая точка, она не пересекает ее.","Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной."],"id":"2"},{"content":"Как проходит прямая по отношению к окружности, если она называется касательной?[[choice-404]]","widgets":{"choice-404":{"type":"choice","options":["Пересекает окружность в двух точках.","Не имеет с окружностью общих точек.","Имеет с окружностью одну общую точку.","Совпадает с диаметром окружности."],"answer":[2]},"image-478":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/kino-01.svg","width":"298"}},"hints":["Если прямая касается окружности, то она имеет с ней только одну общую точку.","Такая прямая называется касательной."],"id":"2"},{"content":"Из точки $M$ к окружности проведена касательная $PM$, касающаяся окружности в точке $P$. Центр окружности — точка $O$, радиус $OP = 5$ $см$, а расстояние от центра $O$ до точки $M$ равно $13$ $см$. Найдите длину касательной $PM$.[[image-575]][[choice-628]]","widgets":{"image-575":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/07/3-01-3.svg","width":"300"},"choice-628":{"type":"choice","options":["$10$ $см$","$12$ $см$","$13$ $см$","$14$ $см$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["По теореме, касательная $PM$ перпендикулярна радиусу $OP$, проведенному в точку касания. Значит, треугольник $OPM$ — прямоугольный.","По теореме Пифагора:<br /><br />$$OP^2 + PM^2 = OM^2.$$<br /><br />Подставим значения и вычислим $PM$:<br />$$5^2 + PM^2 = 13^2,$$<br />$$PM^2 = 169 -25 = 144,$$<br />$PM = \\sqrt{144} = 12$ $см$.<br /><br />Ответ: $PM = 12$ $см$."],"id":"3"},{"content":"Из точки $M$ проведена касательная $PM$ к окружности с центром в точке $O$, касающаяся окружности в точке $P$. Радиус окружности $OP = 15$ $см$, длина касательной $PM = 20$ $см$. Прямая $OM$ пересекает окружность во второй точке $K$. Найдите длину отрезка $MK$.[[image-890]][[choice-951]]","widgets":{"image-890":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/07/4-01-3.svg","width":"299"},"choice-951":{"type":"choice","options":["$5$ $см$","$10$ $см$","$15$ $см$","$20$ $см$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["По теореме, касательная $PM$ перпендикулярна радиусу $OP$, значит, треугольник $OPM$ прямоугольный.","Найдем $OM$ по теореме Пифагора:<br />$OM^2 = OP^2 + PM^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$,<br /><br />$OM = \\sqrt{625} = 25$ $см$.","$OP = OK = R$, следовательно<br />$MK = OM -OK = 25 -20 = 5$ $см$.<br /><br />Ответ: $5$ $см$."],"id":"3"},{"content":"Из точки $M$ к окружности с центром $O$ проведены касательные $MA$ и $MB$, касающиеся окружности в точках $A$ и $B$. Угол $AMB$ — прямой, а отрезок $AB = 8\\sqrt{2}$ $см$. Найдите длину каждой касательной.[[image-1237]][[choice-1306]]","widgets":{"image-1237":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/07/6-01-3.svg","width":"299"},"choice-1306":{"type":"choice","options":["$6$ $см$","$7$ $см$","$8$ $см$","$10$ $см$"],"answer":[2]}},"hints":["По теореме, касательные $MA$ и $MB$, проведенные из одной точки, равны. Значит, треугольник $AMB$ — равнобедренный с прямым углом.","Пусть $MA = MB = x$. Применим теорему Пифагора к треугольнику $AMB$:<br />$x^2 + x^2 = (8\\sqrt{2})^2$.<br />$2x^2 = 128 \\Rightarrow x^2 = 64 \\Rightarrow x = 8$ $см$.<br /><br />Ответ: $MA = MB = 8$ $см$."],"id":"4"},{"content":"Из точки $M$ к окружности с центром $O$ проведены касательные $MA$ и $MB$, которые касаются окружности в точках $A$ и $B$. Известно, что угол между радиусами $OA$ и $OB$ равен $100^\\circ$. Найдите угол между касательными $MA$ и $MB$.[[image-1554]][[choice-1631]]","widgets":{"image-1554":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/07/6-01-3.svg","width":"300"},"choice-1631":{"type":"choice","options":["$70^\\circ$","$80^\\circ$","$90^\\circ$","$100^\\circ$"],"answer":[1]}},"hints":["Углы между касательными и соответствующими радиусами, проведенными в точки касания, в сумме дают $180^\\circ$.","$\\angle AMB = 180^\\circ -\\angle AOB = 180^\\circ -100^\\circ = 80^\\circ$.<br /><br />Ответ: $\\angle AMB = 80^\\circ$."],"id":"4"}],"mix":1}</textarea></pre></div>