Карточки
Тесты
Зави
Построение треугольника по трем элементам
Построение треугольника по трем элементам
В уроке «Задачи на построение циркулем и линейкой» вы строили треугольник по трем сторонам и решали задачи по схеме «анализ — построение — доказательство — исследование». Теперь построим его по другим тройкам элементов и научимся заранее узнавать, сколько у задачи решений: ни одного, одно или два.
Третья вершина там, где пересеклись два следа
В 1816–1855 годах под руководством астронома Василия Яковлевича Струве от Хаммерфеста на севере Норвегии до Черного моря проложили цепочку из $258$ треугольников длиной больше $2800$ км. Ее называют дугой Струве — по ней измеряли размеры и форму Земли. Измерить мерной лентой тысячи километров невозможно, поэтому измеряли лишь немногие стороны — базисы, а в вершинах треугольников измеряли углы. Каких данных о треугольнике достаточно, чтобы его вершина оказалась на карте в одном-единственном месте? Ответ — в конце урока.
Обозначения прежние: $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$. Пусть вершины $A$ и $B$ уже построены. Каждое условие на третью вершину $C$ оставляет след — фигуру из всех точек, которые ему удовлетворяют. Условие «$AC = b$» оставляет след циркуля — окружность с центром $A$ радиусом $b$. Условие «угол $A$ равен данному» оставляет луч — сторону угла, построенного при вершине $A$. Вершина $C$ удовлетворяет двум условиям сразу, поэтому лежит на пересечении двух следов.
Так вы уже строили треугольник по трем сторонам: $C$ — пересечение двух окружностей с центрами $A$ и $B$ радиусами $b$ и $a$. Окружности пересекаются в двух точках по разные стороны от прямой $AB$. Перегните кальку по прямой $AB$: одна точка ляжет на другую, и два треугольника совпадут. Дальше третью вершину ищем по одну сторону от $AB$.
Определение
Решение задачи на построение треугольника — каждый треугольник, удовлетворяющий условию. Равные треугольники считаются одним решением.
Сколько решений, подсказывают признаки равенства. Если данные элементы — те, о которых говорит признак, все треугольники с ними равны, и решение не больше одного. Три угла треугольник не задают: у треугольников разного размера углы могут быть одинаковыми. Две стороны и угол, лежащий не между ними, — не признак равенства (урок о первом признаке равенства); что тогда получается, выясним в разделе 4.
| Данные | Следы для третьей вершины | Почему решение не больше одного |
|---|---|---|
| Три стороны | окружность и окружность | третий признак |
| Две стороны и угол между ними | луч и окружность с центром в его начале | первый признак |
| Сторона и два прилежащих угла | луч и луч | второй признак |
| Гипотенуза и катет | луч и окружность | признак прямоугольных треугольников |
Две стороны и угол между ними
Нужно построить треугольник $ABC$, у которого $AB = 5$ см, $AC = 7$ см, а угол $A$ между этими сторонами равен $45^\circ$. С чего начать? Угол $A$ лежит между сторонами $AB$ и $AC$, значит, вершины $B$ и $C$ лежат на сторонах этого угла. Поэтому строить начинаем с угла.
В общем виде даны отрезки $b$, $c$ и угол $\alpha$, и нужно построить треугольник $ABC$, у которого $AB = c$, $AC = b$, $\angle A = \alpha$.
Алгоритм
- Построить угол с вершиной $A$, равный углу $\alpha$ (урок о построениях).
- На сторонах угла циркулем с иглой в точке $A$ отложить отрезки $AB = c$ и $AC = b$.
- Соединить точки $B$ и $C$.
Доказательство. По построению $AB = c$, $AC = b$ и $\angle A = \alpha$ — треугольник удовлетворяет условию.
Исследование. Угол, меньший $180^\circ$, строится всегда, а окружность с центром в начале луча пересекает луч ровно в одной точке. Поэтому решение есть при любых данных, и оно одно: по первому признаку все треугольники с такими данными равны.
Пример 1
Постройте без транспортира треугольник $ABC$, у которого $AB = 5$ см, $AC = 7$ см, $\angle A = 45^\circ$.
Решение. Угол $45^\circ$ — половина прямого: строим перпендикуляр к прямой и делим прямой угол биссектрисой (урок о построениях). Вершину угла обозначаем $A$. Ставим иглу циркуля в $A$: раствором $5$ см делаем засечку на одной стороне — это $B$, раствором $7$ см на другой стороне — это $C$. Проводим $BC$.
Проверка. По чертежу $BC \approx 5$ см.
Сторона и два угла: сначала исследование
Нужно построить треугольник $ABC$, у которого $AB = 6$ см, $\angle A = 50^\circ$, $\angle B = 60^\circ$. Оба угла прилежат к стороне $AB$. Откладываем $AB = 6$ см и строим при вершине $A$ угол $50^\circ$, при вершине $B$ — угол $60^\circ$, оба в одну полуплоскость от прямой $AB$. Вершина $C$ — пересечение двух следов-лучей.
В общем виде даны отрезок $c$ и углы $\alpha$, $\beta$, а треугольник $ABC$ должен иметь $AB = c$, $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$. По второму признаку все такие треугольники равны, поэтому решение не больше одного.
Но всегда ли лучи пересекутся? Если треугольник $ABC$ существует, то $\angle A + \angle B = 180^\circ-\angle C$, то есть сумма меньше $180^\circ$ (урок «Сумма углов треугольника»). Значит, при $\alpha + \beta = 180^\circ$ лучи параллельны, а при большей сумме расходятся — треугольника нет. При $\alpha + \beta < 180^\circ$ лучи сходятся и пересекаются: на чертеже это видно, а строго следует из аксиомы параллельных прямых.
Ошибка
Даны $AB = 5$ см, $\angle A = 70^\circ$, $\angle B = 120^\circ$. Решавр сразу откладывает отрезок, строит оба угла и долго ищет, где пересекутся лучи.
Проверим. $70^\circ + 120^\circ = 190^\circ$. Если бы треугольник был, его третий угол был бы равен $180^\circ-190^\circ = -10^\circ$ — так не бывает. Лучи расходятся, и при любой длине $AB$ они не встретятся.
Где сломалось рассуждение. Решавр пропустил исследование. Его делают до построения: сумма двух данных углов должна быть меньше $180^\circ$.
Исследование до построения
Треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам существует, только если сумма этих углов меньше $180^\circ$. В записи решения исследование стоит последним, но проверяют его до того, как чертить: иначе можно строить то, чего нет.
Треугольник по трем сторонам существует, только если наибольшая сторона меньше суммы двух других (урок «Неравенства в треугольнике»; пример $3$, $4$ и $8$ см — в уроке о построениях).
Бывает, что один из данных углов не прилежит к данной стороне: даны $AB$, $\angle A$ и $\angle C$. Тогда сначала находят угол $B = 180^\circ-\angle A-\angle C$ и строят по стороне и двум прилежащим углам. Если углы начерчены, а не заданы числами, угол $B$ строят: от луча откладывают угол, равный $A$, от его стороны — угол, равный $C$. Оставшаяся часть развернутого угла и есть угол $B$.
Пример 2
Постройте треугольник $ABC$, у которого $AB = 6$ см, $\angle A = 50^\circ$, $\angle C = 70^\circ$.
Исследование. $50^\circ + 70^\circ = 120^\circ < 180^\circ$ — треугольник существует.
Решение. Угол $C$ лежит против стороны $AB$, а к ней прилежат углы $A$ и $B$: $\angle B = 180^\circ-50^\circ-70^\circ = 60^\circ$. Откладываем $AB = 6$ см, при вершине $A$ строим угол $50^\circ$, при вершине $B$ — угол $60^\circ$ в ту же полуплоскость. Лучи пересекаются в точке $C$.
Проверка. Угол $C$ на чертеже равен $70^\circ$. Решение одно — по второму признаку.
Две стороны и угол не между ними: ноль, один или два
Даны угол $\alpha$ и отрезки $c$, $a$. Нужно построить треугольник $ABC$, у которого $\angle A = \alpha$, $AB = c$, $BC = a$. Угол $A$ прилежит к стороне $AB$, но лежит против стороны $BC$. Строим угол $A$ и на одной его стороне откладываем $AB = c$. Вершина $C$ лежит на другой стороне угла — это первый след, луч. И она находится на расстоянии $a$ от $B$ — второй след, окружность с центром $B$ радиусом $a$.
Ошибка
Даны $\angle A = 30^\circ$, $AB = 6$ см, $BC = 4$ см. Решавр пишет: «Две стороны и угол — по первому признаку треугольник один».
Проверим. Окружность с центром $B$ радиусом $4$ см пересекает вторую сторону угла в двух точках $C_1$ и $C_2$; по чертежу $AC_1 \approx 2{,}6$ см, $AC_2 \approx 7{,}8$ см. У треугольников $ABC_1$ и $ABC_2$ одинаковые угол $A$ и стороны $AB$ и $BC$, но они не равны: стороны $AC_1$ и $AC_2$ разные.
Где сломалось рассуждение. В первом признаке угол лежит между данными сторонами. Здесь угол $A$ лежит против стороны $BC$, такого признака нет, и решений может быть два.
Сколько решений, определяет сравнение следов — окружности и прямой, на которой лежит вторая сторона угла (урок «Прямая и окружность. Касательная»). Пусть угол $A$ острый. Опустим из $B$ перпендикуляр $BH$ на эту прямую; его длина $d = BH$. Так как угол $A$ острый, точка $H$ лежит на луче. При $a < d$ у окружности и прямой нет общих точек, при $a = d$ окружность касается прямой в точке $H$, при $a > d$ пересекает ее в двух точках. Перегните кальку по прямой $BH$: точки пересечения $C_1$ и $C_2$ лягут друг на друга, они симметричны относительно $H$.
Остается узнать, обе ли точки лежат на луче, а не на его продолжении за точку $A$. Если $a < c$, точка $A$ лежит вне окружности, а значит, и вне отрезка $C_1C_2$. Середина этого отрезка $H$ лежит на луче, а точка $A$ отрезку не принадлежит, поэтому весь отрезок $C_1C_2$ и обе точки лежат на луче. Если $a = c$, одна из точек — сама $A$, и треугольник один, равнобедренный. Если $a > c$, точка $A$ внутри окружности, между $C_1$ и $C_2$, и на луче только одна точка.
Две стороны и угол, лежащий против одной из них
Пусть угол $A$ острый, $AB = c$, $BC = a$, $d$ — расстояние от $B$ до прямой, на которой лежит вторая сторона угла $A$. Тогда:
- $a < d$ — ни одного треугольника;
- $a = d$ — один, прямоугольный ($\angle C = 90^\circ$);
- $d < a < c$ — два разных треугольника;
- $a \ge c$ — один.
При $\angle A = 30^\circ$ расстояние $d = c : 2$: это катет против угла $30^\circ$ (урок «Прямоугольный треугольник»).
А если угол A прямой или тупой
Скрыть
Тогда угол $A$ — наибольший в треугольнике, а против наибольшего угла лежит наибольшая сторона (урок «Неравенства в треугольнике»). Поэтому нужно $a > c$. При $a \le c$ решений нет. При $a > c$ точка $A$ лежит внутри окружности с центром $B$, луч пересекает окружность один раз — решение одно.
Проверьте себя: в каждом раунде сначала сделайте прогноз, сколько треугольников получится, а потом посмотрите на точный чертеж.
Пример 3
Постройте прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, катетом $BC = 3$ см и гипотенузой $AB = 5$ см.
Решение. Это тот же случай: угол $C$ лежит против данной стороны $AB$. Строим прямой угол с вершиной $C$ (перпендикуляр к прямой, урок о построениях), на одной его стороне откладываем $CB = 3$ см. Проводим окружность с центром $B$ радиусом $5$ см. Точка $C$ лежит внутри этой окружности ($3 < 5$), поэтому вторая сторона угла пересекает окружность ровно в одной точке — это $A$. Проводим $AB$.
Исследование. Решение есть, если гипотенуза больше катета, и оно одно — по признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету (урок «Прямоугольный треугольник»).
Задача с анализом и ответ про карту
Если задача не сводится к знакомой тройке элементов, помогает анализ: представляем треугольник уже построенным и ищем внутри него другой треугольник, который строить умеем.
Пример 4
Постройте треугольник $ABC$ по сторонам $AB = 5$ см, $BC = 8$ см и медиане $AM = 4$ см, проведенной к стороне $BC$.
Анализ. $M$ — середина $BC$, поэтому $BM = 8 : 2 = 4$ см. В треугольнике $ABM$ известны все три стороны: $AB = 5$ см, $BM = 4$ см, $AM = 4$ см. Его строим по трем сторонам: вершина $A$ треугольника $ABM$ — пересечение двух следов, окружностей с центрами $B$ и $M$ радиусами $5$ и $4$ см. Точка $C$ лежит на продолжении $BM$ за точку $M$, причем $MC = BM$.
Построение. 1) Строим середину данного отрезка $BC$ (урок о построениях) и получаем отрезок $4$ см. 2) Строим треугольник $ABM$ по сторонам $5$, $4$ и $4$ см. 3) На продолжении $BM$ за точку $M$ откладываем $MC = BM$. 4) Проводим $AC$.
Доказательство. $AB = 5$ см; $BC = BM + MC = 8$ см; $M$ — середина $BC$, значит, $AM$ — медиана, и $AM = 4$ см.
Исследование. Решение есть, если существует треугольник $ABM$: наибольшая сторона $5 < 4 + 4$. Треугольник $ABM$ один (урок о втором и третьем признаках), а точка $C$ определяется им однозначно — решение одно.
Вернемся к дуге Струве. На концах базиса $AB$ измеряли углы между базисом и направлением на третий пункт $C$. Каждое направление — след-луч, а пункт $C$ — точка пересечения двух лучей. По стороне и двум прилежащим углам треугольник единственный, поэтому пункт $C$ на карте один, и стороны $AC$ и $BC$ можно вычислить. Сторона $BC$ становится базисом следующего треугольника, и так — на тысячи километров.
Вывод
Построение треугольника — это поиск третьей вершины на пересечении двух следов. Признак равенства гарантирует, что решение одно, а исследование до построения показывает, есть ли оно вообще. Так веками строили карты: базис и два угла задают следующий пункт однозначно — поэтому в триангуляции Струве не измеряли две стороны и угол не между ними. Это же пригодится в задачах на построение и в задачах ОГЭ о верных утверждениях.
| Данные | Следы | Сколько решений |
|---|---|---|
| Три стороны | окружность и окружность | одно, если наибольшая меньше суммы двух других, иначе 0 |
| Две стороны и угол между ними | окружность и луч из ее центра | всегда одно |
| Сторона и два прилежащих угла | луч и луч | одно, если сумма углов меньше $180^\circ$, иначе 0 |
| Две стороны и острый угол против одной из них | окружность и луч | 0, 1 или 2: сравнить $a$ с $d$ и с $c$ |
| Гипотенуза и катет | окружность и луч | одно, если гипотенуза больше катета |
Часто задаваемые вопросы
Сгиб кальки по $AB$ кладет один треугольник на другой — они равны. Точки $C_1$ и $C_2$ на одном луче дают треугольники с разными сторонами $AC_1$ и $AC_2$ — они не равны.
Можно, если сумма углов равна $180^\circ$, но таких треугольников бесконечно много: углы не задают размер. Чтобы треугольник стал единственным, нужна хотя бы одна сторона.
Чертеж обманывает: при сумме углов чуть больше $180^\circ$ лучи кажутся почти пересекающимися, а при $a$, близком к $d$, не видно, есть ли касание. Исследование отвечает точно.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий