Задачи на построение циркулем и линейкой

Тест по уроку «Задачи на построение циркулем и линейкой». 10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Какое действие разрешено в задаче на построение циркулем и линейкой?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Найти середину отрезка, измерив его длину","Провести окружность с данным центром и данным радиусом","Отложить отрезок $5$ см по делениям линейки","Построить угол $30^\\circ$ транспортиром"],"explanations":["Измерение дает приближенный результат. Середину строят засечками.","","Деления линейки — измерение, а не построение.","Транспортир в задачах на построение не используют."],"answer":[1]}},"hints":["Линейка — только прямая через две точки, циркуль — только окружность с данным центром и данным радиусом.","Все, что опирается на шкалу (сантиметры, градусы), — измерение."],"step":1},{"id":"1","content":"Какое действие разрешено в задаче на построение циркулем и линейкой?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Отложить угол $45^\\circ$ транспортиром","Провести перпендикуляр к прямой «на глаз»","Провести прямую через две построенные точки","Отметить точку в $3$ см от конца по делениям"],"explanations":["Транспортир в задачах на построение не используют.","«На глаз» — не построение: результат ничем не гарантирован.","","Деления линейки — измерение, а не построение."],"answer":[2]}},"hints":["Линейка без делений умеет одно: провести прямую через две точки.","Подходит «прямая через две построенные точки»."],"step":1},{"id":"2","content":"Отрезок $AB = 8$ см. Каким раствором можно сделать засечки, чтобы получить две точки серединного перпендикуляра к $AB$?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$4$ см","$3$ см","$2$ см","$5$ см"],"explanations":["$4$ см — ровно половина $AB$: такой раствор берут только измерением, а дуги лишь коснутся в одной точке.","$3$ см меньше половины $AB$: дуги не пересекутся.","$2$ см меньше половины $AB$: дуги не пересекутся.",""],"answer":[3]}},"hints":["Дуги из $A$ и $B$ пересекаются в двух точках, только если раствор больше половины $AB$.","Половина — $4$ см. Подходит $5$ см."],"step":1},{"id":"2","content":"Отрезок $AB = 12$ см. Каким раствором можно сделать засечки, чтобы получить две точки серединного перпендикуляра к $AB$?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$8$ см","$6$ см","$5$ см","$3$ см"],"explanations":["","$6$ см — ровно половина $AB$: такой раствор берут только измерением, а дуги лишь коснутся в одной точке.","$5$ см меньше половины $AB$: дуги не пересекутся.","$3$ см меньше половины $AB$: дуги не пересекутся."],"answer":[0]}},"hints":["Дуги из $A$ и $B$ пересекаются в двух точках, только если раствор больше половины $AB$.","Половина — $6$ см. Подходит $8$ см."],"step":1},{"id":"3","content":"[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Провести дугу с центром $O$, пересекающую стороны угла в точках $A$ и $B$","Одним раствором провести засечки с центрами $A$ и $B$ внутри угла","Отметить точку $K$ пересечения засечек","Провести луч $OK$"]}},"instruction":"Расположите шаги построения биссектрисы угла O по порядку","hints":["Сначала получают две точки на сторонах, одинаково удаленные от вершины.","Потом засечки из этих точек, их пересечение $K$ и луч $OK$."],"step":1},{"id":"3","content":"[[sorter-2]]","widgets":{"sorter-2":{"type":"sorter","items":["Провести окружность с центром $M$, пересекающую прямую $a$ в точках $A$ и $B$","Тем же раствором провести засечки с центрами $A$ и $B$ по другую сторону прямой","Отметить точку $N$ пересечения засечек","Провести прямую $MN$"]}},"instruction":"Расположите шаги построения перпендикуляра из точки M к прямой a по порядку","hints":["Сначала получают на прямой две точки, одинаково удаленные от $M$.","Потом засечки из этих точек, их пересечение $N$ и прямая $MN$."],"step":1},{"id":"4","content":"Ученик строил середину отрезка $AB$: из точки $A$ провел дуги радиусом $5$ см, из точки $B$ — радиусом $4$ см. В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Раствор должен быть равен половине $AB$","Точки пересечения дуг не равноудалены от $A$ и $B$, прямая пройдет мимо середины","Ошибки нет, раствор может быть любым","Дуги надо проводить только над отрезком"],"explanations":["Раствор в половину $AB$ берут только измерением, а дуги лишь коснутся.","","Раствор может быть любым больше половины $AB$, но одинаковым из $A$ и из $B$.","Вторая точка может лежать и под отрезком, дело не в этом."],"answer":[1]}},"hints":["Каждая вершина змея должна быть одинаково удалена от $A$ и $B$.","Здесь $PA = 5$ см, $PB = 4$ см: точка $P$ не на серединном перпендикуляре."],"step":1},{"id":"4","content":"Ученик строил биссектрису угла $O$ и сделал засечки на сторонах двумя отдельными дугами: $OA = 4$ см, $OB = 6$ см. Затем одним раствором провел засечки из $A$ и $B$ и получил $K$. Он утверждает, что $OK$ — биссектриса. Прав ли он?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Нет: засечки из $A$ и $B$ нужны разными растворами","Нет: засечки из $A$ и $B$ нужны раствором $OA$","Нет: при $OA \\ne OB$ равенство треугольников не доказать","Да: достаточно того, что $AK = BK$"],"explanations":["Наоборот: засечки из $A$ и $B$ делают одним раствором.","Раствор засечек из $A$ и $B$ может быть любым (лишь бы засечки пересеклись), но одинаковым.","","Для равенства треугольников $OAK$ и $OBK$ по трем сторонам нужно и $AK = BK$, и $OA = OB$."],"answer":[2]}},"hints":["Змей в угле: $OA = OB$ и $AK = BK$.","$OA = 4$ см, $OB = 6$ см — первое равенство нарушено, доказательство не работает."],"step":1},{"id":"5","content":"Почему луч $OK$, построенный засечками, — биссектриса угла $AOB$ ($OA = OB$, $AK = BK$)?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$\\triangle OAK = \\triangle OBK$ по двум сторонам и углу между ними","Так видно на чертеже","Потому что $AK = BK$, другие равенства не нужны","$\\triangle OAK = \\triangle OBK$ по трем сторонам, поэтому $\\angle AOK = \\angle BOK$"],"explanations":["Угол между сторонами неизвестен — его равенство мы и доказываем.","Чертеж может быть неточным, верность построения доказывают.","Без $OA = OB$ треугольники $OAK$ и $OBK$ не обязаны быть равными.",""],"answer":[3]}},"hints":["Известны три пары равных сторон: $OA = OB$, $AK = BK$, $OK$ — общая.","По третьему признаку треугольники равны, и равны углы при вершине $O$."],"step":1},{"id":"5","content":"Почему построенный угол $A_1O_1B_1$ равен данному углу $AOB$ ($O_1A_1 = OA$, $O_1B_1 = OB$, $A_1B_1 = AB$)?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$\\triangle O_1A_1B_1 = \\triangle OAB$ по трем сторонам","$\\triangle O_1A_1B_1 = \\triangle OAB$ по стороне и двум прилежащим углам","Так видно на чертеже","Потому что дуги проведены одним раствором $r$"],"explanations":["","Углы треугольников неизвестны — их равенство мы и доказываем.","Чертеж может быть неточным, верность построения доказывают.","Одного раствора $r$ мало: нужна и третья сторона $A_1B_1 = AB$."],"answer":[0]}},"hints":["Известны три пары равных сторон.","По третьему признаку треугольники равны, значит, равны и углы при вершинах $O$ и $O_1$."],"step":1},{"id":"6","content":"Ученик строит угол, равный углу $AOB = 40^\\circ$. Засечку из $A_1$ он сделал раствором $r$ — тем же, что и дуги, а не раствором $AB$. Какой угол получится?[[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$80^\\circ$","$60^\\circ$","$40^\\circ$","$20^\\circ$"],"answer":1}},"instruction":"Выберите ответ","hints":["Тогда $O_1A_1 = O_1B_1 = A_1B_1 = r$: треугольник $O_1A_1B_1$ равносторонний.","У равностороннего треугольника все углы по $60^\\circ$."],"step":1},{"id":"6","content":"Ученик строит угол, равный углу $AOB = 100^\\circ$. Засечку из $A_1$ он сделал раствором $r$ — тем же, что и дуги, а не раствором $AB$. Какой угол получится?[[fill_choice-2]]","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$50^\\circ$","$90^\\circ$","$60^\\circ$","$100^\\circ$"],"answer":2}},"instruction":"Выберите ответ","hints":["Тогда $O_1A_1 = O_1B_1 = A_1B_1 = r$: треугольник $O_1A_1B_1$ равносторонний.","У равностороннего треугольника все углы по $60^\\circ$."],"step":1},{"id":"7","content":"Какое построение выполнено на рисунке?[[image-1]][[choice-9]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","width":"600","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/h43nc3o2zbrl.svg"},"choice-9":{"type":"choice","options":["Середина отрезка","Перпендикуляр из точки к прямой","Угол, равный данному","Биссектриса угла"],"explanations":["Для середины засечки делают из концов данного отрезка, а здесь первая дуга проведена из вершины угла.","Здесь нет прямой, к которой проводят перпендикуляр: дуга из $O$ пересекает две стороны угла.","Для угла, равного данному, нужен второй луч, на который переносят треугольник.",""],"answer":[3]}},"hints":["Дуга с центром в вершине угла отметила точки на обеих сторонах, затем засечки из этих точек.","Это змей в угле — биссектриса."],"step":1},{"id":"7","content":"Какое построение выполнено на рисунке?[[image-2]][[choice-10]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","width":"600","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/nbyrbj41l29o.svg"},"choice-10":{"type":"choice","options":["Перпендикуляр из точки к прямой","Биссектриса угла","Треугольник по трем сторонам","Угол, равный данному"],"explanations":["","Угла с вершиной в центре дуги здесь нет: точка $M$ лежит вне прямой.","Треугольник не построен: прямая $MN$ проведена через две точки, равноудаленные от $A$ и $B$.","Здесь нет второго луча, на который переносят угол."],"answer":[0]}},"hints":["Дуга с центром $M$ отметила на прямой две точки, затем засечки из них по другую сторону прямой.","$M$ — вершина змея, прямая $MN$ перпендикулярна данной прямой."],"step":1},{"id":"8","content":"Какие построения дают угол $75^\\circ$?[[choice-11]]","widgets":{"choice-11":{"type":"choice","options":["Угол $75^\\circ$ по транспортиру","Угол $60^\\circ$ и рядом угол $15^\\circ$ (две биссектрисы подряд)","Прямой угол и его биссектрису","Угол $60^\\circ$ и рядом его половину"],"explanations":["Транспортир — измерение, в построениях его не используют.","","Биссектриса прямого угла дает $45^\\circ$, а не $75^\\circ$.","$60^\\circ + 30^\\circ = 90^\\circ$, а не $75^\\circ$."],"answer":[1]}},"hints":["$75^\\circ = 60^\\circ + 15^\\circ$.","$60^\\circ$ дает равносторонний треугольник, $15^\\circ$ — две биссектрисы подряд: $60^\\circ \\to 30^\\circ \\to 15^\\circ$."],"step":1},{"id":"8","content":"Какие построения дают угол $105^\\circ$?[[choice-12]]","widgets":{"choice-12":{"type":"choice","options":["Прямой угол и рядом его половину","Угол $105^\\circ$ по транспортиру","Прямой угол и рядом угол $15^\\circ$ (две биссектрисы подряд)","Угол $60^\\circ$ и рядом угол $30^\\circ$"],"explanations":["$90^\\circ + 45^\\circ = 135^\\circ$, а не $105^\\circ$.","Транспортир — измерение, в построениях его не используют.","","$60^\\circ + 30^\\circ = 90^\\circ$, а не $105^\\circ$."],"answer":[2]}},"hints":["$105^\\circ = 90^\\circ + 15^\\circ$.","$90^\\circ$ дает перпендикуляр, $15^\\circ$ — две биссектрисы угла $60^\\circ$ подряд."],"step":1},{"id":"9","content":"[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Треугольник можно построить","Решения нет"],"items":[["$5$, $5$ и $9$ см","$3$, $4$ и $6$ см"],["$4$, $5$ и $10$ см","$4$, $4$ и $8$ см"]]}},"instruction":"Распределите тройки отрезков: можно ли построить треугольник с такими сторонами","hints":["Дуги из концов большего отрезка пересекутся, только если сумма двух других отрезков больше него.","$5 + 5 > 9$, $3 + 4 > 6$ — можно; $4 + 5 < 10$ — нет; $4 + 4 = 8$ — дуги лишь коснутся на самом отрезке, треугольника нет."],"step":1},{"id":"9","content":"[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Треугольник можно построить","Решения нет"],"items":[["$6$, $6$ и $11$ см","$4$, $5$ и $8$ см"],["$3$, $5$ и $9$ см","$5$, $5$ и $10$ см"]]}},"instruction":"Распределите тройки отрезков: можно ли построить треугольник с такими сторонами","hints":["Дуги из концов большего отрезка пересекутся, только если сумма двух других отрезков больше него.","$6 + 6 > 11$, $4 + 5 > 8$ — можно; $3 + 5 < 9$ — нет; $5 + 5 = 10$ — дуги лишь коснутся на самом отрезке, треугольника нет."],"step":1},{"id":"10","content":"Нужно построить равнобедренный треугольник $ABC$ с боковыми сторонами $CA = CB$, равными данному отрезку $b$, и углом $C$ при вершине, равным данному углу. С чего начать?[[choice-13]]","widgets":{"choice-13":{"type":"choice","options":["Отложить основание, равное $b$, и вершину $C$ искать на серединном перпендикуляре к нему","Отложить отрезок $b$ и при обоих его концах построить углы, равные данному","Построить биссектрису данного угла и отложить на ней отрезок $b$","Построить угол, равный данному, и на обеих его сторонах отложить от вершины отрезки $b$"],"explanations":["Отрезок $b$ — боковая сторона, а не основание.","Данный угол — при вершине $C$, а не при основании.","На биссектрисе лежит высота, а не боковая сторона; ее длина не дана.",""],"answer":[3]}},"hints":["Анализ: угол $C$ равен данному, а $CA$ и $CB$ лежат на его сторонах и равны $b$.","Строим угол, равный данному, откладываем $CA = CB = b$ циркулем и проводим $AB$."],"step":1},{"id":"10","content":"Нужно построить равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$, равным данному отрезку $a$, и углами при основании, равными данному углу. С чего начать?[[choice-14]]","widgets":{"choice-14":{"type":"choice","options":["Отложить $AB = a$ и при $A$ и $B$ по одну сторону построить углы, равные данному","Отложить $AB = a$ и провести дуги радиуса $a$ из $A$ и $B$","Построить угол, равный данному, и на его сторонах отложить отрезки $a$","Построить серединный перпендикуляр к $AB$ и отложить на нем отрезок $a$"],"explanations":["","Так получится равносторонний треугольник: данный угол не используется.","Данный угол — при основании, а не при вершине $C$; и $a$ — основание, а не боковая сторона.","Отрезок $a$ — основание, а не высота; высота не дана."],"answer":[0]}},"hints":["Анализ: основание $AB = a$ дано, углы $A$ и $B$ равны данному. Вершина $C$ — пересечение сторон этих углов.","Откладываем $AB = a$, строим при $A$ и $B$ углы, равные данному, по одну сторону от $AB$; их стороны пересекутся в $C$."],"step":1}]}</textarea></pre></div>