Окружность. Геометрические построения

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Прямая $c$ параллельна отрезку $AB$ и не проходит через его точки. Сколько на прямой $c$ точек, равноудаленных от $A$ и $B$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Бесконечно много","Ни одной","Две","Одна"],"explanations":["Тогда $c$ совпадала бы с серединным перпендикуляром, а она ему перпендикулярна","Середины $AB$ на $c$ нет, но подходит любая точка серединного перпендикуляра — он пересекает $c$","Прямая и серединный перпендикуляр пересекаются не больше чем в одной точке",""],"answer":[3]}},"hints":["Равноудаленные от $A$ и $B$ точки — это серединный перпендикуляр к $AB$, а не только середина.","Серединный перпендикуляр перпендикулярен $AB$, значит, и параллельной ей прямой $c$, — он пересекает $c$ в одной точке.","Ответ: одна."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"1","content":"Прямая $c$ проходит через точку $L$ и образует с отрезком $KL$ угол $40^\\circ$. Сколько на прямой $c$ точек, равноудаленных от $K$ и $L$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Бесконечно много","Ни одной","Одна","Две"],"explanations":["Тогда $c$ совпадала бы с серединным перпендикуляром, а она проходит через $L$, а не через середину $KL$","Середины $KL$ на $c$ нет, но подходит любая точка серединного перпендикуляра — он пересекает $c$","","Прямая и серединный перпендикуляр пересекаются не больше чем в одной точке"],"answer":[2]}},"hints":["Равноудаленные от $K$ и $L$ точки — это серединный перпендикуляр к $KL$, а не только середина.","Серединный перпендикуляр образует с $KL$ угол $90^\\circ$, а прямая $c$ — угол $40^\\circ$: они не параллельны и пересекаются в одной точке.","Ответ: одна."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"2","content":"Точка $P$ внутри угла $XOY$, $PH \\perp OX$, $PH = 5$ см. Отрезок $PV$ к стороне $OY$ не перпендикулярен ей, $PV = 5$ см. Решавр пишет: «$P$ равноудалена от сторон — она на биссектрисе». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: $PH = PV$, значит, $P$ на биссектрисе","$PV$ не перпендикуляр: до $OY$ меньше $5$ см","$PV$ наклонная, до $OY$ больше $5$ см","Нужно сравнить $OH$ и $OV$, а не $PH$ и $PV$"],"explanations":["Сравнивать нужно перпендикуляры, а $PV$ к $OY$ не перпендикулярен","","Перпендикуляр короче любой наклонной, значит, расстояние меньше $5$ см","Это расстояния по сторонам от вершины; расстояние до стороны — перпендикуляр из $P$"],"answer":[1]}},"hints":["Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, проведенного из точки к этой прямой.","$PV$ — наклонная к $OY$; перпендикуляр $PK$ к $OY$ короче: $PK < 5$ см.","Ответ: $PH \\ne PK$, точка $P$ не на биссектрисе."],"step":1},{"id":"2","content":"Нужна точка $P$ на биссектрисе угла $O$, удаленная от сторон угла на $3$ см. Решавр откладывает по биссектрисе от вершины отрезок $OP = 3$ см. В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: $P$ на биссектрисе в $3$ см от $O$","Отложить $3$ см надо по стороне угла","Нужно отложить $OP = 1{,}5$ см, вдвое меньше","$OP$ — до вершины; до сторон меньше $3$ см"],"explanations":["Нужно $3$ см до сторон, а $OP$ — расстояние до вершины","Точка стороны лежит на ней — до этой стороны $0$ см; $3$ см откладывают по перпендикуляру к стороне","$PH$ короче $OP$, поэтому до сторон будет еще меньше $1{,}5$ см",""],"answer":[3]}},"hints":["Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, проведенного из точки к этой прямой.","$OP$ — гипотенуза прямоугольного треугольника $OPH$ ($PH \\perp$ стороне), катет $PH$ короче: $PH < 3$ см.","Ответ: нужно отложить перпендикуляр $3$ см к стороне, а не $OP$."],"step":1},{"id":"3","content":"Диаметр $CD$ пересекает хорду $AB$ (не диаметр) в точке $X$, $AX = XB$. Тогда угол между $CD$ и $AB$ [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["может быть любым","равен $90^\\circ$","зависит от длины хорды","равен $45^\\circ$"],"answer":1}},"hints":["Сгиб по диаметру кладет конец хорды на другой конец, только если хорда перпендикулярна линии сгиба.","$AX = XB$ — диаметр проходит через середину хорды, которая не диаметр, значит, он ей перпендикулярен (обратная теорема).","Ответ: равен $90^\\circ$."],"step":1},{"id":"3","content":"Диаметр $CD$ пересекает хорду $AB$ (не диаметр) в точке $X$ под углом $70^\\circ$. Тогда отрезки $AX$ и $XB$ [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["равны","равны радиусу","не равны","равны, если $AB$ короче диаметра"],"answer":2}},"hints":["Диаметр делит хорду пополам, только если он ей перпендикулярен.","$70^\\circ \\ne 90^\\circ$ — сгиб по $CD$ не кладет $A$ на $B$.","Ответ: не равны."],"step":1},{"id":"4","content":"$AB$ — хорда окружности с центром $O$, $\\angle AOB = 136^\\circ$. Найдите угол $OAB$. Ответ дайте в градусах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"22"}},"hints":["$OA = OB$ как радиусы: углы при хорде $AB$ равны.","$\\angle OAB = (180^\\circ-136^\\circ) : 2 = 22^\\circ$."],"step":1},{"id":"4","content":"$KL$ — хорда окружности с центром $O$, $\\angle KOL = 58^\\circ$. Найдите угол $OLK$. Ответ дайте в градусах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"61"}},"hints":["$OK = OL$ как радиусы: углы при хорде $KL$ равны.","$\\angle OLK = (180^\\circ-58^\\circ) : 2 = 61^\\circ$."],"step":1},{"id":"5","content":"Радиус окружности с центром $O$ равен $12$ см. Прямая перпендикулярна радиусу $OA$ и пересекает его в точке $N$, $ON = 9$ см. Решавр пишет: «Это касательная». В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Это не касательная: $9 \\ne 12$, общих точек нет","Прямая не через $A$: $9 < 12$, это секущая","Ошибки нет: перпендикуляр к радиусу — касательная","Это касательная, но в точке $N$, а не в $A$"],"explanations":["При $d < r$ общих точек две","","Признак касательной требует, чтобы прямая проходила через конец радиуса на окружности","$N$ лежит внутри круга: $ON = 9 < 12$"],"answer":[1]}},"hints":["Расстояние от центра до прямой $d = ON = 9$ см.","$9 < 12$ — две общие точки.","Ответ: прямая не проходит через конец радиуса $A$ — это секущая."],"step":1},{"id":"5","content":"Радиус окружности с центром $O$ равен $6$ см. Прямая перпендикулярна прямой $OA$ ($A$ — точка окружности) и проходит через точку $K$ луча $OA$, $OK = 10$ см. Решавр пишет: «Это касательная». В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Это не касательная, а секущая: $OK = 10 > 6$","Это касательная, но в точке $K$, а не в $A$","Ошибки нет: прямая перпендикулярна радиусу $OA$","Прямая не через $A$: $10 > 6$, общих точек нет"],"explanations":["При $d > r$ общих точек нет; секущая — при $d < r$","$K$ не на окружности: $OK = 10 \\ne 6$","Нужно еще, чтобы она проходила через точку $A$ на окружности",""],"answer":[3]}},"hints":["Расстояние от центра до прямой $d = OK = 10$ см.","$10 > 6$ — общих точек нет.","Ответ: прямая проходит не через конец радиуса, касательной она не является."],"step":1},{"id":"6","content":"[[image-1]]Из точки $M$ к окружности с центром $O$ проведены касательные $MA$ и $MB$ ($A$, $B$ — точки касания), $\\angle AMB = 46^\\circ$. Найдите угол $AOM$. Ответ дайте в градусах. [[input-3]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/rx0hncwcyjpd.svg"},"input-3":{"type":"input","answer":"67"}},"hints":["Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания: $\\angle OAM = 90^\\circ$ — прямой угол у точки $A$, а не у $M$.","Отрезки касательных из одной точки равны, $MO$ — биссектриса угла $AMB$: $\\angle AMO = 46^\\circ : 2 = 23^\\circ$.","В треугольнике $OAM$: $\\angle AOM = 90^\\circ-23^\\circ = 67^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"[[image-2]]Из точки $M$ к окружности с центром $O$ проведены касательные $MA$ и $MB$ ($A$, $B$ — точки касания), $\\angle AMB = 64^\\circ$. Найдите угол $BOM$. Ответ дайте в градусах. [[input-4]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/rx0hncwcyjpd.svg"},"input-4":{"type":"input","answer":"58"}},"hints":["Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания: $\\angle OBM = 90^\\circ$ — прямой угол у точки $B$, а не у $M$.","Отрезки касательных из одной точки равны, $MO$ — биссектриса угла $AMB$: $\\angle BMO = 64^\\circ : 2 = 32^\\circ$.","В треугольнике $OBM$: $\\angle BOM = 90^\\circ-32^\\circ = 58^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Ученик строит серединный перпендикуляр к отрезку $AB = 9$ см: из точки $A$ провел дуги радиусом $6$ см, из точки $B$ — радиусом $7$ см, отметил точки пересечения дуг $P$ и $Q$ и провел прямую $PQ$. Что получилось?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Ничего: дуги не пересекутся","Прямая через середину $AB$, но не перпендикулярная ему","Серединный перпендикуляр к $AB$","Прямая, которая проходит мимо середины $AB$"],"explanations":["$6 + 7 = 13 > 9$ — дуги пересекаются","$P$ и $Q$ симметричны относительно $AB$, поэтому $PQ \\perp AB$; но через середину $AB$ она не проходит","$PA = 6 \\ne 7 = PB$ — точки $P$ и $Q$ не равноудалены от $A$ и $B$",""],"answer":[3]}},"hints":["Точки $P$ и $Q$ удалены от $A$ на $6$ см, от $B$ — на $7$ см: они не равноудалены от $A$ и $B$.","Точки $P$ и $Q$ симметричны относительно $AB$, поэтому $PQ$ перпендикулярна отрезку $AB$, но проходит ближе к $A$, чем середина.","Ответ: не серединный перпендикуляр — прямая проходит мимо середины $AB$."],"step":1},{"id":"7","content":"Ученик строит серединный перпендикуляр к отрезку $CD = 8$ см: над отрезком провел дуги радиусом $5$ см из $C$ и из $D$ и получил точку $P$; под отрезком — дуги радиусом $6$ см из $C$ и из $D$ и получил точку $Q$. Провел прямую $PQ$. Что получилось?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Ничего: дуги разных радиусов не пересекаются","Прямая через середину $CD$, но не перпендикулярная ему","Серединный перпендикуляр к $CD$","Прямая, которая проходит мимо середины $CD$"],"explanations":["Каждая пара дуг одного радиуса больше $4$ см — они пересекаются","Обе точки на серединном перпендикуляре — прямая $PQ$ с ним совпадает","","Раствор меняли между парами, а не внутри пары: $PC = PD$, $QC = QD$"],"answer":[2]}},"hints":["$PC = PD = 5$ см и $QC = QD = 6$ см: каждая точка равноудалена от $C$ и $D$.","Значит, $P$ и $Q$ лежат на серединном перпендикуляре; две точки задают прямую.","Ответ: серединный перпендикуляр к $CD$."],"step":1},{"id":"8","content":"Нужно найти точку внутри треугольника $ABC$, равноудаленную от трех его сторон. Решавр проводит серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $BC$ и берет их точку пересечения. В чем ошибка?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: так находят центр вписанной окружности","Нужен еще третий серединный перпендикуляр — к $AC$","Нужны высоты треугольника, а не перпендикуляры","Нужны биссектрисы, а не серединные перпендикуляры"],"explanations":["Пересечение серединных перпендикуляров — центр описанной окружности: он равноудален от вершин","Третий пройдет через ту же точку: дело не в количестве, а в том, какие линии проведены","Точки высоты не обязаны быть равноудалены от сторон",""],"answer":[3]}},"hints":["Стороны — прямые; одинаково удалены от двух сторон угла точки его биссектрисы.","Серединный перпендикуляр — ГМТ, равноудаленных от двух точек (вершин), а не от сторон.","Ответ: нужны биссектрисы углов треугольника."],"step":1},{"id":"8","content":"Три дома стоят в вершинах треугольника $KLM$. Колодец нужно выкопать в точке, равноудаленной от всех трех домов. Решавр проводит биссектрисы углов $K$ и $L$ и берет их точку пересечения. В чем ошибка?[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Нужны серединные перпендикуляры, а не биссектрисы","Нужна еще третья биссектриса — угла $M$","Ошибки нет: так находят точку, равноудаленную от домов","Нужны медианы треугольника, а не биссектрисы"],"explanations":["","Третья пройдет через ту же точку: биссектрисы дают равные расстояния до сторон, а не до вершин","Пересечение биссектрис равноудалено от сторон — это центр вписанной окружности","Точки медианы не обязаны быть равноудалены от двух вершин"],"answer":[0]}},"hints":["Дома — точки. От двух точек одинаково удалены точки серединного перпендикуляра к отрезку между ними.","Биссектрисы дают точку, равноудаленную от сторон, а не от вершин.","Ответ: нужны серединные перпендикуляры к сторонам."],"step":1},{"id":"9","content":"Сколько существует различных треугольников $ABC$ с $\\angle A = 30^\\circ$, $AB = 14$ см, $BC = 9$ см? Ответ запишите числом. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["$\\angle A$ не лежит между $AB$ и $BC$ — треугольник может быть не один. Вершина $C$ — общая точка луча и окружности с центром $B$ радиусом $9$ см.","Расстояние от $B$ до прямой $AC$ — катет против угла $30^\\circ$: $14 : 2 = 7$ см. Один треугольник был бы при $BC = 7$ или $BC \\ge 14$, ни одного — при $BC < 7$.","$7 < 9 < 14$ — окружность пересекает луч в двух точках. Ответ: $2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Сколько существует различных треугольников $ABC$ с $\\angle A = 30^\\circ$, $AB = 16$ см, $BC = 6$ см? Ответ запишите числом. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"0"}},"hints":["$\\angle A$ не лежит между $AB$ и $BC$ — треугольник может быть не один. Вершина $C$ — общая точка луча и окружности с центром $B$ радиусом $6$ см.","Расстояние от $B$ до прямой $AC$ — катет против угла $30^\\circ$: $16 : 2 = 8$ см. Один треугольник был бы при $BC = 8$ или $BC \\ge 16$, два — при $8 < BC < 16$.","$6 < 8$ — окружность не достает до прямой, общих точек нет. Ответ: $0$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Распределите наборы данных: по каким можно построить треугольник, а по каким нельзя.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Можно построить","Нельзя построить"],"items":[["Стороны $5$, $6$, $10$ см","$AB = 3$ см, $\\angle A = 80^\\circ$, $\\angle B = 95^\\circ$"],["Стороны $4$, $7$, $11$ см","Стороны $2$, $3$, $6$ см","$AB = 3$ см, $\\angle A = 100^\\circ$, $\\angle B = 85^\\circ$"]]}},"hints":["Три стороны — наибольшая меньше суммы двух других; сторона и два прилежащих угла — сумма углов меньше $180^\\circ$.","$5 + 6 > 10$ — да; $4 + 7 = 11$ — нет; $2 + 3 < 6$ — нет; $80^\\circ + 95^\\circ < 180^\\circ$ — да; $100^\\circ + 85^\\circ > 180^\\circ$ — нет."],"step":1},{"id":"10","content":"Распределите наборы данных: по каким можно построить треугольник, а по каким нельзя.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Можно построить","Нельзя построить"],"items":[["Стороны $6$, $8$, $13$ см","$AB = 5$ см, $\\angle A = 120^\\circ$, $\\angle B = 55^\\circ$"],["Стороны $6$, $8$, $14$ см","Стороны $3$, $9$, $5$ см","$AB = 5$ см, $\\angle A = 120^\\circ$, $\\angle B = 60^\\circ$"]]}},"hints":["Три стороны — наибольшая меньше суммы двух других; сторона и два прилежащих угла — сумма углов меньше $180^\\circ$.","$6 + 8 > 13$ — да; $6 + 8 = 14$ — нет; $3 + 5 < 9$ — нет; $120^\\circ + 55^\\circ < 180^\\circ$ — да; $120^\\circ + 60^\\circ = 180^\\circ$ — нет."],"step":1}]}</textarea></pre></div>