Осевая и центральная симметрия

Вы уже знакомы с тем, как устроены различные геометрические фигуры. Многие из них обладают симметрией — свойством, при котором части фигуры расположены зеркально относительно центра или оси. Симметрию можно наблюдать не только в математике, но и в окружающем нас мире: в строении листьев, узорах снежинок и форме бабочек.

В этом уроке мы увидим, что такое симметрия в геометрии, какие бывают ее виды и как находить симметричные точки и фигуры.

Осевая симметрия точек

Во многих геометрических фигурах можно заметить повторение одной и той же формы с двух сторон от какой-то линии. Такое расположение называют осевой симметрией. Чтобы понять, как это устроено с точки зрения геометрии, начнем с простейшего случая — симметрии точки.

Пусть на плоскости дана прямая $a$ и точка $A$, не лежащая на этой прямой. Проведем из точки $A$ перпендикуляр к прямой $a$ и отметим на нем точку $A_1$, такую, что прямая $a$ делит отрезок $AA_1$ пополам. Точка $A_1$ называется симметричной точке $A$ относительно прямой $a$, а прямая $a$ — осью симметрии.

Осевая симметрия относительно прямой $a$ — это преобразование, при котором каждой точке $A$ ставится в соответствие точка $A_1$, такая что прямая $a$ является серединным перпендикуляром отрезка $AA_1$.

Если точка симметрична относительно прямой, также говорят, что она отображена относительно этой прямой или что точка отображается симметрично относительно данной прямой.

Вся прямая состоит из точек, и говорят, что каждая точка, которая лежит на прямой, симметрична самой себе (на рисунке — точка $B$).

{"questions":[{"content":"Точка $C$ не лежит на прямой $b$. Что нужно сделать, чтобы построить точку $C_1$, симметричную $C$ относительно прямой $b$?[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/plyusy-i-minusy3-01.svg","width":"299"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Провести произвольную прямую через $C$ и выбрать на ней точку $C_1$.","Построить середину отрезка между $C$ и $C_1$.","Провести параллельную прямую через точку $C$.","Построить перпендикуляр от точки $C$ к прямой $b$ и отметить на нем точку $C_1$ на таком же расстоянии от прямой, как и точка $C$."],"answer":[3]}},"hints":["Перпендикуляр к оси — это первый шаг. Без него симметрия не получится.","Симметричная точка должна быть на таком же расстоянии от оси, но по другую сторону от прямой $b$."]}]}

Осевая симметрия фигур

Мы уже знаем, что точку можно отразить относительно прямой. А теперь посмотрим, как можно отразить всю фигуру. Если после такого отражения фигура совпадает сама с собой, то эта фигура симметрична относительно данной прямой, а сама прямая называется осью симметрии фигуры.

Приведем примеры фигур, которые имеют оси симметрии:

1. Неразвернутый угол — одна ось симметрии — прямая, биссектриса этого угла.
2. Равнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии, проходящую через вершину и середину основания.
3. Равносторонний треугольник — три оси симметрии — через каждую вершину и противолежащую ей сторону.
4. Квадрат — целых четыре оси симметрии — две диагонали и две линии, проходящие через середины сторон.
5. Прямоугольник — две оси симметрии: через середины противоположных сторон.
6. Окружность — у нее вообще бесконечно много осей симметрии: любая прямая, проходящая через центр, будет осью.

В повседневной жизни примеров встречается еще больше:

• Буквы вроде А, М, Т (если шрифт прямой и без украшений).

• Симметрия в природе — кленовые листья, бабочки, морские звезды, снежинки.

• Многие логотипы компаний устроены по принципу осевой симметрии. Например, логотип автомобиля Audi или Дома моды Chanel.

• Cимметрия в символике — Герб России — двуглавый орел.

Существуют фигуры, которые не имеют осей симметрии, например параллелограмм (если он не является прямоугольником, ромбом или квадратом), а также разносторонний треугольник.

{"questions":[{"content":"Прямая $a$ — ось симметрии некоторой фигуры. Что можно утверждать о точках $M$ и $N$, которые лежат на фигуре и симметричны относительно прямой $a$?[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/obrazavr_syshhik-01-1.svg","width":"299"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Прямая $a$ делит отрезок $MN$ пополам, но не обязательно перпендикулярна ему.","Прямая $a$ перпендикулярна отрезку $MN$, но не обязательно делит его пополам.","Прямая $a$ перпендикулярна отрезку $MN$ и проходит через его середину.","Никакой связи между прямой $a$ и отрезком $MN$ нет."],"answer":[2]}},"hints":["Если две точки симметричны относительно прямой, то эта прямая играет роль «зеркала» между ними.","Прямая, относительно которой точки симметричны, делит отрезок между ними пополам и перпендикулярна ему."]}]}

Свойства осевой симметрии для фигур

• Углы и длины сохраняются. Если фигура была правильным многоугольником, такой же останется после отражения.
• Размеры фигуры не меняются. Периметр и площадь остаются теми же.
• Левая и правая части «меняются местами». Например, буква Р в зеркале превращается в ее «обратный» вариант, то есть все соответственные точки фигуры должны находиться на одинаковом расстоянии относительно прямой.

{"questions":[{"content":"Сколько осей симметрии у ромба?[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/nadmennyi-skromnyi-01.svg","width":"299"},"choice-6":{"type":"choice","options":["$1$","$2$","$3$","$4$"],"answer":[1]}},"hints":["Ось симметрии — это такая прямая, при отражении относительно которой фигура совпадает сама с собой.","Оси симметрии ромба — это его диагонали. Их всего две."]}]}

Центральная симметрия

Осевая симметрия похожа на отражение в зеркале. А вот центральная симметрия — это уже не зеркало, а как будто фигуру повернули на $180^\circ$ вокруг какой-то точки. Такое преобразование тоже сохраняет форму, размеры и углы, но расположение меняется иначе.

Рассмотрим, как строится точка, симметричная данной, и введем точное определение.

Пусть на плоскости дана точка $O$ — центр симметрии, и точка $A$, не совпадающая с $O$. Построим точку $A_1$, такую, чтобы точка $O$ была серединой отрезка $AA_1$. Такая точка $A_1$ называется симметричной точке $A$ относительно точки $O$.

Если точка $A$ совпадает с точкой $O$, то ее симметричная точка тоже будет $O$.

Центральной симметрией относительно точки $O$ называется такое преобразование плоскости, при котором каждой точке $A$ ставится в соответствие точка $A_1$, такая что $O$ — середина отрезка $AA_1$.

Точка $A_1$ называется отображением точки $A$ при центральной симметрии относительно $O$.

{"questions":[{"content":"Что произойдет с точкой $A$, если она отобразится при центральной симметрии относительно точки $O$?[[choice-1]][[image-4]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Точка $A$ совпадет с $O$.","Прямая $AO$ разделится пополам в точке $A_1$.","Точка $A_1$ будет лежать на той же стороне от $O$, что и $A$.","Точка $O$ будет являться серединой отрезка $OA_1$."],"answer":[3]},"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/solnechnye-batarei-1.svg","width":"300"}},"hints":["При центральной симметрии точка $O$ находится ровно посередине между исходной и симметричной точкой.","Центральная симметрия — это когда точка $O$ делит отрезок $AA_1$ пополам."]}]}

Центральная симметрия фигур

Если при центральной симметрии относительно точки $O$ каждая точка фигуры переходит в новую точку так, что вся фигура в итоге совпадает сама с собой, тогда говорят, что фигура симметрична относительно точки $O$, а сама точка $O$ — ее центр симметрии.

Такая симметрия встречается в геометрии не реже, чем осевая, хотя распознать ее иногда сложнее — фигура как бы «переворачивается» через точку, а не отражается в зеркале.

Хороший пример центральной симметрии — параллелограмм. У него есть центр симметрии — это точка пересечения диагоналей. При отображении относительно этой точки каждая вершина переходит в противоположную, и фигура совпадает сама с собой.

Но при этом у параллелограмма нет осевой симметрии. Ни одна прямая не делит его на две зеркально равные части. Это и есть главное различие между двумя видами симметрии.

{"questions":[{"content":"Какое из следующих утверждений правильно описывает центральную симметрию относительно точки $O$?[[choice-1]][[image-5]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Каждая точка фигуры переходит в точку, равноудаленную от прямой $O$.","Каждая точка фигуры переходит в точку, симметричную относительно прямой, проходящей через $O$.","Каждая точка фигуры переходит в такую точку, что точка $O$ является серединой отрезка между ними.","Каждая точка фигуры остается на месте."],"answer":[2]},"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/galereya-01.svg","width":"300"}},"hints":["При центральной симметрии точка и ее отображение лежат на одной прямой с центром, и находятся от него на одинаковом расстоянии.","Центральная симметрия — это такое преобразование, при котором точка $O$ оказывается серединой отрезка между исходной и симметричной точками."]}]}

Свойства центральной симметрии

• Сохраняются расстояния. Если $A \to A_1$, $B \to B_1$, то $AB = A_1B_1$.
• Сохраняются углы. $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$.
• Прямые переходят в параллельные. Если прямая $l$ отображается в прямую $l_1$, то $l \parallel l_1$.
• Луч переходит в луч, отрезок — в отрезок.
• Порядок точек меняется на противоположный. Если точки $A$, $B$, $C$ лежат на прямой в этом порядке, то после отображения они будут расположены в порядке $C_1$, $B_1$, $A_1$.

Обратите внимание: сами треугольники будут симметричны, но порядок обхода вершин будет противоположным.

Примеры центральной симметрии в жизни встречаются реже, чем осевой, и часто менее заметны. К ним относятся игральная кость, песочные часы (если повернуть горизонтально), знак умножения $×$, а также некоторые буквы, такие как $S$ или $N$.

Все эти объекты совпадают сами с собой при повороте на $180^\circ$, но не имеют осевой симметрии.

{"questions":[{"content":"При центральной симметрии точки $A$, $B$ и $C$ переходят в точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Какой из следующих выводов верен?[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/kino-01.svg","width":"300"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны и совпадают полностью.","Углы треугольника сохраняются, но длины сторон могут измениться.","Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны, но порядок обхода вершин в них противоположный.","Треугольник $A_1B_1C_1$ повернут на $90^\\circ$ относительно треугольника $ABC$."],"answer":[2]}},"hints":["Центральная симметрия сохраняет все размеры и углы, но «переворачивает» фигуру на $180^\\circ$.","При центральной симметрии треугольники равны, но порядок обхода вершин становится противоположным."]}]}

Интерактив

Задание поможет лучше понять разницу между осевой и центральной центральной симметрией. Вы сможете увидеть, как меняется фигура при каждом виде симметрии. Нажмите кнопку «Показать осевую симметрию», чтобы увидеть отражение фигуры относительно вертикальной оси. Или «Показать центральную симметрию», чтобы построить фигуру, симметричную относительно центра.

Интерактив позволяет сравнить два вида симметрии в динамике, убедиться, что при осевой симметрии фигура «зеркалится» относительно линии, а при центральной — поворачивается на $180^\circ$ вокруг точки.

Это интересно

Симметрия в геометрии - это не только строгие определения и построения. За ее правилами стоит удивительное разнообразие, которое легко заметить и в реальном мире.

Некоторые фигуры, например квадрат, обладают одновременно и осевой, и центральной симметрией. Их можно отразить относительно прямой или повернуть на $180^\circ$ - и они останутся неизменными.

Подобные свойства есть и у правильных многоугольников с четным числом сторон.

Интересно, что симметрия важна не только в задачах. В природе ее используют даже вирусы - их оболочки устроены так, чтобы собираться из одинаковых элементов.

Снежинки растут равномерно, создавая симметричный узор, а у людей симметрия лица может восприниматься как признак привлекательности.

В технике симметрию применяют для экономии и устойчивости: она упрощает производство деталей и делает здания сбалансированными.

Симметрия - это не просто красивая идея, а универсальный принцип, который работает и в формулах, и в природе, и в инженерии.

Часто задаваемые вопросы