7 класс Геометрия Геометрические места точек. Симметрия Симметричные фигуры

Осевая симметрия

Содержание

Вы уже знаете, что такое середина отрезка, перпендикулярные прямые и обход вершин многоугольника. Из них сложится новое понятие — осевая симметрия: какие точки симметричны относительно прямой, как построить симметричную точку и фигуру, какие фигуры совпадают сами с собой при перегибании. А в конце выясним, зачем на капоте скорой помощи надпись пишут зеркально.

Перегнем лист: где окажется точка

Возьмите лист в клетку и проведите по линии сетки прямую $a$. Отметьте точку $A$ на 2 клетки левее прямой. Перегните лист по прямой $a$ и проколите иглой оба слоя в точке $A$. Разверните лист: появился второй прокол — точка $A_1$ («а-первое»). Она лежит на той же линии сетки, что и $A$, на 2 клетки правее прямой $a$.

Лист на клетках перегибают по прямой a: точка A левой половины ложится на точку A₁ правой, иголка прокалывает оба слоя в одном месте — При перегибании по прямой $a$ точка $A$ ложится на точку $A_1$: игла прокалывает оба слоя в одном месте

Что видно на развернутом листе? Отрезок $AA_1$ пересекает прямую $a$ в точке $O$. Возьмем на прямой $a$ еще точку $K$. При перегибании точки $O$ и $K$ остаются на месте, потому что лежат на сгибе, а $A$ ложится на $A_1$. Значит, отрезок $OA$ ложится на отрезок $OA_1$, а угол $AOK$ — на угол $A_1OK$.

Фигуры, которые совпали при наложении, равны. Поэтому $AO = OA_1$, то есть $O$ — середина отрезка $AA_1$. И $\angle AOK = \angle A_1OK$, а вместе эти углы составляют развернутый угол $AOA_1$. Значит, каждый из них равен $180^\circ : 2 = 90^\circ$, и прямая $a$ перпендикулярна отрезку $AA_1$. Линия сгиба $a$ — биссектриса развернутого угла $AOA_1$.

Развернутый лист: прямая a проходит через середину O отрезка AA₁ и перпендикулярна ему, AO = OA₁ и угол AOK прямой — $AO = OA_1$ и $\angle AOK = 90^\circ$: прямая $a$ проходит через середину отрезка $AA_1$ и перпендикулярна ему

Определение

Точки $A$ и $A_1$ называются симметричными относительно прямой $a$, если прямая $a$ проходит через середину отрезка $AA_1$ и перпендикулярна ему. Каждая точка прямой $a$ симметрична самой себе.

Прямую $a$ называют осью симметрии, а переход от каждой точки к симметричной ей — осевой симметрией.

Перегибание помогает увидеть симметрию, а определение дает проверку без перегибания: середину находят линейкой, прямой угол — угольником или по клеткам. Оба условия обязательны. Точка на 2 клетки правее прямой, но выше точки $A$, не симметрична $A$: отрезок к ней не перпендикулярен прямой $a$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Какая из отмеченных точек симметрична точке $A$ относительно прямой $a$?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/c2jpdd6iojcg.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$K$","$N$","$L$","$M$"],"explanations":["","$N$ лежит на прямой $a$ — это основание перпендикуляра из $A$, а не симметричная точка","$L$ тоже на 3 клетки правее прямой, но выше: отрезок $AL$ не перпендикулярен прямой $a$","$M$ на 2 клетки правее прямой, а $A$ — на 3 клетки левее: расстояния не равны"],"answer":[0]}},"hints":["Симметричная точка лежит на перпендикуляре к прямой $a$, проведенном через $A$, по другую сторону и на том же расстоянии.","$A$ на 3 клетки левее прямой $a$. Идем по той же горизонтали на 3 клетки правее прямой.","Ответ: точка $K$."],"step":1},{"content":"Точки $A$ и $A_1$ симметричны относительно прямой $a$, отрезок $AA_1$ пересекает прямую $a$ в точке $O$, $AA_1 = 9$ см. Найдите длину отрезка $AO$ в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["4,5","4.5"]}},"hints":["Прямая $a$ проходит через середину отрезка $AA_1$, значит, $O$ — его середина.","$AO = 9 : 2 = 4{,}5$ см."],"step":1}],"mix":1}

Строим симметричную точку: по перпендикуляру, а не вбок по клеткам

Определение подсказывает построение: от точки $A$ дойти до оси по перпендикуляру и пройти за осью столько же.

Построение симметричной точки

Через точку $A$ провести прямую, перпендикулярную оси $a$.
Отметить точку $O$ пересечения этой прямой с осью.
Измерить отрезок $AO$.
На этой прямой за осью отложить отрезок $OA_1 = AO$.

Точка $A_1$ симметрична точке $A$ относительно прямой $a$.

Если ось идет по линии сетки, угольник не нужен: перпендикуляр к вертикали — горизонталь, считаем клетки. А если ось наклонная и идет по диагоналям клеток? Тогда перпендикуляр к ней тоже идет по диагоналям клеток, только в другом направлении.

Почему так? Перегните клетку по ее диагонали — стороны клетки совпадут. Значит, диагональ делит прямой угол клетки пополам: $90^\circ : 2 = 45^\circ$. Из одного узла сетки диагональ, идущая вправо вверх, и диагональ, идущая влево вверх, образуют с горизонталью углы по $45^\circ$, а между собой — угол $180^\circ-45^\circ-45^\circ = 90^\circ$.

Построение симметричной точки: ось по линии сетки (вверху слева), ось по диагоналям клеток (вверху справа) и ошибка — сдвиг вбок по горизонтали при наклонной оси дает угол 45° вместо 90° (внизу) — Вверху слева: ось идет по линии сетки — считаем клетки по горизонтали. Вверху справа: ось наклонная — идем по диагоналям клеток. Внизу: сдвиг по горизонтали при наклонной оси — ошибка, прямого угла нет

Пример

Прямая $a$ проходит по диагоналям клеток, точка $A$ лежит на 4 клетки левее прямой $a$, если считать по горизонтали (рисунок вверху справа). Постройте точку $A_1$, симметричную точке $A$.

1. Перпендикуляр к прямой $a$ идет по диагоналям клеток другого направления — из $A$ вправо вниз. Пройдя 2 диагонали клеток, попадаем на прямую $a$ — это точка $O$.

2. За осью проходим еще 2 диагонали в том же направлении и отмечаем точку $A_1$.

3. Проверка: $AO = OA_1$ — по 2 диагонали клетки, $AA_1$ перпендикулярен прямой $a$. Точка $A$ была на 4 клетки левее прямой, а $A_1$ оказалась на 4 клетки ниже нее.

Ответ: $A_1$ — конец отрезка из 4 диагоналей клеток, проведенного из $A$ вправо вниз.

Ошибка

Решавр рассуждает: «Точка $A$ на 4 клетки левее прямой $a$ — значит, $A_1$ на 4 клетки правее нее, на той же горизонтали» (рисунок внизу).

Проверим по определению. Середина такого отрезка действительно лежит на прямой $a$ — половина определения выполнена. Но отрезок идет по горизонтали, а прямая $a$ — по диагоналям клеток: угол между ними $45^\circ$, а не $90^\circ$. Перегните лист по прямой $a$ — точка $A$ ляжет не на точку Решавра, а на точку $A_1$ из примера.

Где сломалось рассуждение: расстояние до оси Решавр отсчитал по горизонтали, а его отсчитывают по перпендикуляру к оси. Счет клеток вбок работает, только когда ось идет по линии сетки.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Прямая $a$ проходит по диагоналям клеток. Какая из отмеченных точек симметрична точке $A$ относительно прямой $a$?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/zkwudrux5wnn.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$N$","$M$","$K$","$L$"],"explanations":["$N$ лежит на прямой $a$; точка, не лежащая на оси, переходит в точку по другую сторону оси","$M$ получена сдвигом вниз по клеткам: отрезок $AM$ вертикален и не перпендикулярен прямой $a$","","$L$ получена сдвигом вбок по клеткам: отрезок $AL$ горизонтален и не перпендикулярен прямой $a$"],"answer":[2]}},"hints":["Отрезок $AA_1$ должен быть перпендикулярен прямой $a$. При наклонной оси он тоже идет по диагоналям клеток, но в другом направлении.","Из $A$ идем по диагоналям клеток вправо вниз: через 1,5 диагонали попадаем на прямую $a$, еще через 1,5 — в точку $A_1$.","Ответ: точка $K$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Расставьте по порядку шаги построения точки $A_1$, симметричной точке $A$ относительно прямой $a$, с помощью линейки и угольника.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Приложить угольник к прямой $a$ и провести через точку $A$ прямую, перпендикулярную $a$","Отметить точку $O$, в которой проведенная прямая пересекает прямую $a$","Измерить линейкой длину отрезка $AO$","На проведенной прямой по другую сторону от $a$ отложить отрезок $OA_1 = AO$"]}},"hints":["Сначала нужен перпендикуляр к оси через точку $A$ — по нему точка «переходит» через ось.","Точка $O$ пересечения перпендикуляра с осью — середина будущего отрезка $AA_1$: измеряем $AO$ и столько же откладываем за осью.","Ответ: перпендикуляр через $A$ → точка $O$ → измерить $AO$ → отложить $OA_1 = AO$ за прямой $a$."],"step":1},{"content":"Прямая $a$ проходит по диагоналям клеток. Решавр провел из точки $A$ отрезок $AA_1$ по горизонтали и проверил: середина отрезка $AA_1$ лежит на прямой $a$. «Значит, $A_1$ симметрична $A$ относительно $a$», — решил он. Оцените вывод.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Вывод верный: прямая $a$ проходит через середину $AA_1$","Вывод верный: так строят при вертикальной оси, значит, и при наклонной","Вывод неверный: середина $AA_1$ не может лежать на прямой $a$","Вывод неверный: отрезок $AA_1$ не перпендикулярен прямой $a$"],"explanations":["Это только половина определения: еще нужен прямой угол, а горизонталь и диагональ клетки образуют угол $45^\\circ$","При вертикальной оси горизонталь ей перпендикулярна, а при наклонной — нет: угол $45^\\circ$","Может и должна: ось всегда проходит через середину отрезка $AA_1$; ошибка в другом — нет прямого угла",""],"answer":[3]}},"hints":["По определению нужны два условия: прямая $a$ проходит через середину $AA_1$ и перпендикулярна $AA_1$.","Горизонталь и диагональ клетки образуют угол $45^\\circ$, а не $90^\\circ$: второе условие не выполнено.","Ответ: вывод неверный, отрезок $AA_1$ не перпендикулярен прямой $a$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Отражаем фигуру: длины те же, а обход обратный

Чтобы отразить многоугольник, не нужно отражать каждую его точку. Достаточно построить точки, симметричные вершинам, и соединить их в том же порядке.

Пример

Треугольник $ABC$ нарисован на клетчатой бумаге, ось $a$ — вертикальная линия сетки. Вершина $A$ лежит на 4 клетки левее оси, $B$ — на 3 клетки, $C$ — на 1 клетку; $A$ и $C$ лежат на одной горизонтали. Постройте треугольник, симметричный треугольнику $ABC$.

1. Ось вертикальна, поэтому идем по горизонталям: $A_1$ — на 4 клетки правее оси, $B_1$ — на 3 клетки, $C_1$ — на 1 клетку.

2. Соединяем вершины в том же порядке: $A_1$ с $B_1$, $B_1$ с $C_1$, $C_1$ с $A_1$.

3. Проверка на числах: $AC = 4-1 = 3$ клетки и $A_1C_1 = 4-1 = 3$ клетки — длины равны.

Треугольник ABC и его отражение A₁B₁C₁ относительно прямой a: стороны равны (AC = A₁C₁ = 3 клетки), а обход вершин сменился с часовой стрелки на противоположный — $A_1C_1 = AC = 3$ клетки, все стороны и углы сохранились. Но обход $A \to B \to C$ идет по часовой стрелке, а $A_1 \to B_1 \to C_1$ — против

Определение

Две фигуры называются симметричными относительно прямой $a$, если каждая точка одной фигуры симметрична относительно $a$ некоторой точке другой фигуры.

Почему длины сохраняются? Перегнем лист по оси: каждая вершина ляжет на симметричную ей, отрезок $AB$ — на отрезок $A_1B_1$. Совпавшие при наложении отрезки равны: $A_1B_1 = AB$. Так же совпадут остальные стороны и углы.

Свойство осевой симметрии

Осевая симметрия сохраняет расстояния: если точки $A_1$ и $B_1$ симметричны точкам $A$ и $B$ относительно прямой $a$, то $A_1B_1 = AB$. Фигуры, симметричные относительно прямой, равны.

Важный частный случай — точка $P$ на оси. Она симметрична самой себе, а $A$ переходит в $A_1$. Значит, отрезок $PA$ переходит в отрезок $PA_1$, и $PA = PA_1$: любая точка оси одинаково удалена от $A$ и $A_1$. Но середина отрезка $AA_1$ из них только $O$: «одинаково удалена от концов» еще не значит «середина».

Точка P на оси a: PA = PA₁, но серединой отрезка AA₁ является только точка O — Точка $P$ на оси симметрична самой себе, поэтому $PA = PA_1$. Середина отрезка $AA_1$ — только точка $O$

А что меняется? При перегибании лист переворачивается. Поэтому если вершины $A$, $B$, $C$ идут по часовой стрелке, то $A_1$, $B_1$, $C_1$ — против часовой. Треугольники равны, но, двигая кальку по столу, их не совместить — кальку придется перевернуть. Так же отраженная буква Р с петлей влево не совпадет с обычной Р, если не перевернуть кальку с ней.

uploaded-osevaya-simmetriya-os-c45bc927ea20

{"questions":[{"content":"Треугольник $A_1B_1C_1$ симметричен треугольнику $ABC$ относительно прямой $a$, $AB = 5$ см, $\\angle B = 40^\\circ$. Найдите длину стороны $A_1B_1$ в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["При перегибании по прямой $a$ треугольник $ABC$ совпадает с $A_1B_1C_1$: симметричные фигуры равны.","Отрезок $AB$ совпадает с отрезком $A_1B_1$.","$A_1B_1 = AB = 5$ см."],"step":1},{"content":"При обходе $A \\to B \\to C$ вершины треугольника $ABC$ идут по часовой стрелке. Треугольник $A_1B_1C_1$ симметричен ему относительно прямой. Как идут вершины при обходе $A_1 \\to B_1 \\to C_1$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Против часовой стрелки","По часовой стрелке","По часовой стрелке, но начиная с другой вершины: $B_1 \\to C_1 \\to A_1$","Зависит от того, как проходит ось"],"explanations":["","Отрезки и углы сохраняются, а обход — нет: при перегибании лист переворачивается","Это тот же обход, что $A_1 \\to B_1 \\to C_1$, а он при отражении меняется: лист переворачивается","При любой оси лист переворачивается, и обход меняется на противоположный"],"answer":[0]}},"hints":["Осевая симметрия — это перегибание: лист переворачивается.","Если перевернуть лист, обход по часовой стрелке станет обходом против часовой.","Ответ: против часовой стрелки."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Точки $A$ и $A_1$ симметричны относительно прямой $a$, точка $P$ лежит на прямой $a$, $PA = 6{,}5$ см, $AA_1 = 5$ см. Найдите периметр треугольника $PAA_1$ в сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"18"}},"hints":["Точка $P$ на оси симметрична самой себе, а $A$ переходит в $A_1$. Значит, отрезок $PA$ переходит в $PA_1$.","$PA_1 = PA = 6{,}5$ см.","$P = 6{,}5 + 6{,}5 + 5 = 18$ см."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Когда фигура совпадает сама с собой

Перегните прямоугольный лист пополам так, чтобы совпали его короткие стороны. Половины совпадут целиком: для каждой точки листа симметричная ей точка относительно сгиба тоже лежит на листе.

Определение

Ось симметрии фигуры — прямая, относительно которой каждая точка фигуры имеет симметричную точку той же фигуры. Про такую фигуру говорят, что она симметрична относительно этой прямой.

Фигура	Оси симметрии	Проверка перегибанием
Отрезок $AB$	2: прямая, перпендикулярная $AB$ и проходящая через его середину, и сама прямая $AB$	$A$ ложится на $B$
Угол (не развернутый)	1: прямая, на которой лежит биссектриса угла	Стороны угла совпадают
Прямоугольник, не являющийся квадратом	2: прямые через середины противоположных сторон	Совпадают противоположные стороны
Квадрат	4: еще и прямые, на которых лежат диагонали	По диагонали тоже: соседние стороны равны
Окружность	Бесконечно много: любая прямая через центр	Любой сгиб через центр

Оси симметрии: у отрезка две (серединный перпендикуляр и сама прямая AB), у угла одна (биссектриса), у квадрата четыре, у окружности бесконечно много — показаны три — Оси симметрии отрезка, угла, квадрата и окружности. У окружности показаны три оси из бесконечного множества

Ось отрезка, перпендикулярную ему, называют серединным перпендикуляром — о нем урок о серединном перпендикуляре. Ось угла вы встречали, когда перегибали угол, чтобы найти биссектрису угла.

Ошибка

Решавр утверждает: «Диагональ $AC$ делит прямоугольник $ABCD$ на два равных треугольника — значит, прямая $AC$ — ось симметрии».

Проверим на прямоугольнике со сторонами $AB = 4$ клетки и $AD = 6$ клеток. Если $AC$ — ось, то при перегибании треугольник $ABC$ должен лечь на треугольник $ADC$, а прямой угол $B$ — на прямой угол $D$. Но точка $A$ лежит на сгибе и остается на месте, поэтому отрезок $AB$ лег бы на $AD$, и тогда $AB = AD$. А у нас $4 \ne 6$. Перегните — уголок с вершиной $B$ выйдет за сторону $AD$ (рисунок).

Где сломалось рассуждение: равные части еще не значит, что они совпадают при перегибании. Треугольники $ABC$ и $CDA$ можно совместить, двигая кальку по столу, — без переворота, а перегибание переворачивает. Диагональ становится осью только у квадрата, где соседние стороны равны.

Слева: при перегибании прямоугольника ABCD по диагонали AC уголок торчит за сторону AD. Справа: две оси симметрии прямоугольника — через середины противоположных сторон — Перегнули прямоугольник по диагонали $AC$: уголок с вершиной $B$ торчит за сторону $AD$. Осей у прямоугольника две — через середины противоположных сторон

Оси симметрии бывают и у букв. У буквы А, написанной прямым шрифтом, ось вертикальная, у буквы Е — горизонтальная, у буквы Н — две оси, а у буквы Р осей нет. В рукописном или наклонном шрифте осей у букв обычно нет.

Буквы А, Е, Н и Р прямым шрифтом: у А вертикальная ось, у Е горизонтальная, у Н две оси, у Р осей нет — Буквы А, Е, Н и Р в прямом шрифте: у А — вертикальная ось, у Е — горизонтальная, у Н — две, у Р — ни одной

{"questions":[{"content":"Прямоугольник $ABCD$ (не квадрат) перегнули по диагонали $AC$. Является ли прямая $AC$ осью симметрии прямоугольника?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Да: диагональ делит прямоугольник на два равных треугольника","Нет: при перегибании по $AC$ вершина $B$ не попадает в вершину $D$","Нет: у прямоугольника нет осей симметрии","Да: у прямоугольника четыре оси симметрии"],"explanations":["Треугольники равны, но совмещаются, если двигать кальку по столу без переворота, а не перегибанием по $AC$","","Оси есть: две прямые через середины противоположных сторон","Четыре оси у квадрата; у прямоугольника с неравными сторонами их две"],"answer":[1]}},"hints":["Если $AC$ — ось, то при перегибании вершина $B$ должна попасть в вершину $D$.","При перегибании $A$ остается на месте, и $AB$ ляжет на $AD$; это возможно, только если $AB = AD$. У прямоугольника, не являющегося квадратом, «уголок» с вершиной $B$ торчит.","Ответ: нет."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Сопоставьте фигуру и число ее осей симметрии.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Квадрат","Прямоугольник, не являющийся квадратом","Угол (не развернутый)","Окружность"],"items":["4","2","1","Бесконечно много","3"]}},"hints":["Ось симметрии — прямая, при перегибании по которой фигура совпадает сама с собой.","Квадрат: две прямые через середины сторон и две диагонали. Прямоугольник — только две прямые через середины сторон.","Угол — одна ось (прямая, содержащая биссектрису). Окружность — любая прямая через центр. Ответ: 4, 2, 1, бесконечно много."],"step":1},{"content":"У какой из букв, написанных прямым печатным шрифтом, есть вертикальная ось симметрии?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Р","Г","Е","Т"],"explanations":["Петля буквы Р только справа: при перегибании по вертикали половины не совпадут","Перекладина буквы Г только справа: при перегибании по вертикали половины не совпадут","У буквы Е ось горизонтальная: совпадают верхняя и нижняя половины, а не левая и правая",""],"answer":[3]}},"hints":["Мысленно перегните букву по вертикальной прямой через ее середину.","Левая и правая половины должны совпасть.","Ответ: Т."],"step":1}],"mix":1}

Зачем надпись на капоте пишут зеркально

На капоте многих машин скорой помощи надпись нанесена зеркально: за рубежом — AMBULANCE, в России — например, «РЕАНИМАЦИЯ» на реанимационных автомобилях. Водитель впереди видит скорую в зеркале заднего вида. Зеркало дает изображение, симметричное предмету: левое и правое меняются местами, как при перегибании по вертикальной оси.

Надпись на капоте уже отражена один раз, а зеркало отражает ее второй раз. Отразим точку $A$ относительно прямой $a$ — получим $A_1$; отразим $A_1$ относительно той же прямой — снова получим $A$. Даже если вторая ось другая, обход вершин меняется дважды и становится прежним. Поэтому в зеркале водитель читает обычную надпись и сразу понимает, кому уступить дорогу.

Надпись РЕАНИМАЦИЯ на капоте записана зеркально; в зеркале заднего вида она отражается второй раз и читается как обычная — Надпись на капоте отражена один раз, в зеркале заднего вида — второй раз: водитель читает ее как обычный текст

Интересный факт: зеркальные записи Леонардо да Винчи

Скрыть

Леонардо да Винчи вел многие записи зеркальным письмом: справа налево, с отраженными буквами. Проще всего читать такие страницы, поднеся к ним зеркало, — оно отражает буквы второй раз и возвращает им обычный вид.

Оси координат $Ox$ и $Oy$ — тоже прямые, и относительно них можно отражать точки. Перпендикуляр к оси $Oy$ — горизонтальная прямая, поэтому ордината точки не меняется, а абсцисса меняет знак: точка переходит на другую сторону оси на то же расстояние. При отражении относительно оси $Ox$ — наоборот: абсцисса прежняя, ордината меняет знак.

Пример

Найдите точки, симметричные точке $M(4;\,-1)$ относительно оси $Oy$ и относительно оси $Ox$.

1. Относительно $Oy$: точка $M$ на 4 единицы правее оси $Oy$. Идем по горизонтали на 4 единицы левее оси: $M_1(-4;\,-1)$.

2. Относительно $Ox$: точка $M$ на 1 единицу ниже оси $Ox$. Идем по вертикали на 1 единицу выше оси: $M_2(4;\,1)$.

Ответ: $M_1(-4;\,-1)$ и $M_2(4;\,1)$.

Точки M(4; −1), M₁(−4; −1) и M₂(4; 1): отражение относительно оси Oy меняет знак абсциссы, относительно оси Ox — ординаты — $M_1(-4;\,-1)$ симметрична $M(4;\,-1)$ относительно оси $Oy$, $M_2(4;\,1)$ — относительно оси $Ox$

{"questions":[{"content":"Точка $A(3;\\,5)$ отражена относительно оси $Oy$, получилась точка $A_1$. Найдите абсциссу точки $A_1$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-3"}},"hints":["Ось $Oy$ вертикальна, перпендикуляр к ней — горизонтальная прямая: ордината не меняется.","$A$ на 3 единицы правее оси $Oy$, значит, $A_1$ на 3 единицы левее.","Абсцисса $A_1$ равна $-3$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Решавр отразил точку $A(-2;\\,3)$ относительно оси $Ox$ и получил точку $A_1(2;\\,3)$. Оцените решение.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибка: надо изменить обе координаты, верно $A_1(2;\\,-3)$","Ошибки нет: точки $A$ и $A_1$ на одинаковом расстоянии от оси $Ox$","Ошибка: изменена не та координата, верно $A_1(-2;\\,-3)$","Ошибка: надо поменять координаты местами, верно $A_1(3;\\,-2)$"],"explanations":["Отрезок от $A(-2;\\,3)$ до $(2;\\,-3)$ не вертикален, то есть не перпендикулярен оси $Ox$: абсцисса при таком отражении не меняется","Обе точки на 3 единицы выше оси $Ox$, то есть по одну сторону от нее: Решавр отразил точку относительно оси $Oy$","","Перестановка координат не связана с осью $Ox$: перпендикуляр к $Ox$ вертикален, абсцисса сохраняется"],"answer":[2]}},"hints":["Перпендикуляр к оси $Ox$ — вертикальная прямая, поэтому абсцисса не меняется.","$A$ на 3 единицы выше оси $Ox$, значит, $A_1$ на 3 единицы ниже: ордината равна $-3$.","Ответ: ошибка, верная точка $A_1(-2;\\,-3)$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Осевая симметрия — это перегибание листа по прямой. Точки, которые совпали при перегибании, симметричны: ось проходит через середину отрезка между ними и перпендикулярна ему. Через перегибание вспоминается и остальное.

Симметрия помогает достроить фигуру по половине и проверить чертеж перегибом. Следующий шаг — серединный перпендикуляр, ось симметрии отрезка. А в 8 классе вы познакомитесь с центральной симметрией — относительно точки.

Часто задаваемые вопросы

Если точки на одинаковом расстоянии от прямой, они симметричны?

Не обязательно. Нужно еще, чтобы отрезок между ними был перпендикулярен прямой, а точки лежали по разные стороны от нее. Точка на 3 клетки левее вертикальной прямой и точка на 3 клетки правее и на клетку выше одинаково удалены от прямой, но не симметричны.

Чем симметричные фигуры отличаются от просто равных?

Симметричные фигуры всегда равны, но равные фигуры не всегда симметричны относительно какой-нибудь прямой. Например, треугольник с тремя разными сторонами и его копия, сдвинутая вбок, равны, но не симметричны: у них одинаковый обход вершин, а осевая симметрия обход меняет.

Почему у квадрата четыре оси, а у прямоугольника две?

Ось по диагонали работает, только если соседние стороны равны: при перегибании по диагонали сторона $AB$ ложится на сторону $AD$. У квадрата они равны, у прямоугольника с неравными сторонами — нет. Поэтому к двум осям через середины сторон у квадрата добавляются две прямые, на которых лежат диагонали.

Как проверить построение, если лист перегибать нельзя?

По определению: угольником или по клеткам проверьте, что $AA_1$ перпендикулярен оси, а линейкой — что ось делит $AA_1$ пополам. Не выполнено хотя бы одно условие — точка построена неверно.

Награды за урок