Осевая симметрия

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"[[image-1]]Какая из отмеченных точек симметрична точке $A$ относительно прямой $a$?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ub21rue4v41j.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$N$","$K$","$L$","$M$"],"explanations":["$N$ лежит на прямой $a$: она симметрична сама себе, а не точке $A$","","$L$ на том же расстоянии от прямой, но сдвинута вбок: $AL$ не перпендикулярен прямой $a$","$M$ на 1 клетку ниже прямой, а $A$ — на 2 клетки выше: расстояния не равны"],"answer":[1]}},"hints":["Симметричная точка лежит на перпендикуляре к $a$ через $A$, по другую сторону, на том же расстоянии.","$A$ на 2 клетки выше прямой $a$. Идем по той же вертикали на 2 клетки ниже прямой.","Ответ: точка $K$."],"step":1},{"id":"1","content":"[[image-2]]Какая из отмеченных точек симметрична точке $A$ относительно прямой $a$?[[choice-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/8pmat77qmtfo.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["$L$","$N$","$M$","$K$"],"explanations":["$L$ на том же расстоянии от прямой, но выше: $AL$ не перпендикулярен прямой $a$","$N$ на 3 клетки левее прямой, а $A$ — на 2 клетки правее: отложили лишнюю клетку","$M$ на 1 клетку левее прямой, а $A$ — на 2 клетки правее: расстояния не равны",""],"answer":[3]}},"hints":["Симметричная точка лежит на перпендикуляре к $a$ через $A$, по другую сторону, на том же расстоянии.","$A$ на 2 клетки правее прямой $a$. Идем по той же горизонтали на 2 клетки левее прямой.","Ответ: точка $K$."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-3]]Сторона клетки равна 1 см. Постройте точку $A_1$, симметричную точке $A$ относительно прямой $a$, и найдите расстояние между точками $A_1$ и $B$ в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/fhbnxx47l3ja.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["$A$ на 3 клетки левее прямой $a$, значит, $A_1$ на той же горизонтали на 3 клетки правее прямой.","$A_1$ и $B$ лежат на одной горизонтали; между ними 2 клетки.","$A_1B = 2$ см."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-4]]Сторона клетки равна 1 см. Постройте точку $A_1$, симметричную точке $A$ относительно прямой $a$, и найдите расстояние между точками $A_1$ и $B$ в сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/klhysja0z2ii.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["$A$ на 2 клетки выше прямой $a$, значит, $A_1$ на той же вертикали на 2 клетки ниже прямой.","$A_1$ и $B$ лежат на одной вертикали; между ними 3 клетки.","$A_1B = 3$ см."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-5]]Прямая $a$ проходит по диагоналям клеток. Какая из отмеченных точек симметрична точке $A$ относительно прямой $a$?[[choice-3]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/l9d2k4ynqibs.svg"},"choice-3":{"type":"choice","options":["$M$","$K$","Ни одна из отмеченных точек","$L$"],"explanations":["$M$ лежит на прямой $a$, а точка вне оси переходит в точку по другую сторону оси","","Проведите из $A$ перпендикуляр к $a$ по диагоналям клеток: он приходит в одну из отмеченных точек","$L$ получена сдвигом вбок по клеткам: $AL$ горизонтален и не перпендикулярен прямой $a$"],"answer":[1]}},"hints":["$AA_1$ перпендикулярен прямой $a$: при наклонной оси он тоже идет по диагоналям клеток, но в другом направлении.","Из $A$ идем по диагоналям клеток вправо вниз до прямой $a$ и столько же дальше.","Ответ: точка $K$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"3","content":"[[image-6]]Прямая $a$ проходит по диагоналям клеток. Какая из отмеченных точек симметрична точке $A$ относительно прямой $a$?[[choice-4]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/q01js2ass5h6.svg"},"choice-4":{"type":"choice","options":["$L$","$K$","Ни одна из отмеченных точек","$M$"],"explanations":["$L$ получена сдвигом вбок по клеткам: $AL$ горизонтален и не перпендикулярен прямой $a$","","Проведите из $A$ перпендикуляр к $a$ по диагоналям клеток: он приходит в одну из отмеченных точек","$M$ лежит на прямой $a$, а точка вне оси переходит в точку по другую сторону оси"],"answer":[1]}},"hints":["$AA_1$ перпендикулярен прямой $a$: при наклонной оси он тоже идет по диагоналям клеток, но в другом направлении.","Из $A$ идем по диагоналям клеток вправо вверх до прямой $a$ и столько же дальше.","Ответ: точка $K$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"[[image-7]]Решавр построил точку $A_1$, симметричную точке $A$ относительно прямой $a$: «$A$ на 3 клетки левее прямой, значит, $A_1$ на 3 клетки правее». Оцените построение.[[choice-5]]","widgets":{"image-7":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/mj5nmrxbty2m.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["Ошибка: $A_1$ надо было отложить на 6 клеток правее $A$, а не на 3 клетки правее прямой","Построение верное: $A$ и $A_1$ на одинаковом расстоянии от прямой по клеткам","Ошибка: точка $A_1$ должна лежать на прямой $a$","Ошибка: отрезок $AA_1$ не перпендикулярен прямой $a$"],"explanations":["Это тот же сдвиг вбок по горизонтали: $AA_1$ все так же не перпендикулярен оси","Расстояние до прямой измеряют по перпендикуляру, а не по клеткам вбок","На оси лежит только середина отрезка $AA_1$, а сама $A_1$ — по другую сторону",""],"answer":[3]}},"hints":["Проверьте определение: прямая $a$ должна быть перпендикулярна отрезку $AA_1$.","Отрезок $AA_1$ горизонтален, а прямая $a$ идет по диагоналям клеток: прямого угла нет.","Построение неверное: при наклонной оси $AA_1$ идет по диагоналям клеток, перпендикулярно оси."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"Решавр утверждает: «Диагональ $AC$ прямоугольника $ABCD$ со сторонами 3 см и 5 см — его ось симметрии, ведь она делит прямоугольник на два равных треугольника». Оцените рассуждение.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Рассуждение верное: равные части — значит, ось симметрии","Ошибка: диагональ делит прямоугольник на неравные треугольники","Ошибка: треугольники равны, но при перегибании по $AC$ вершина $B$ не попадает в $D$","Ошибка: у прямоугольника вообще нет осей симметрии"],"explanations":["Равные треугольники здесь совмещаются, если двигать кальку по столу без переворота, а не перегибанием по $AC$","Треугольники $ABC$ и $CDA$ равны; дело не в этом, а в том, что они не совпадают при перегибании","","Две оси есть — прямые через середины противоположных сторон"],"answer":[2]}},"hints":["Проверьте перегибанием: при перегибании по оси вершина $B$ должна попасть в вершину $D$.","При перегибании $A$ остается на месте, и сторона $AB$ ляжет на $AD$; это возможно, только если $AB = AD$, а здесь $3 \\ne 5$.","Рассуждение неверное: равенство частей еще не значит, что они совпадают при перегибании."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"[[image-8]]Сторона клетки равна 1 см. Достройте фигуру так, чтобы прямая $a$ стала ее осью симметрии: отразите ломаную относительно $a$. Найдите периметр получившегося многоугольника в сантиметрах. [[input-3]]","widgets":{"image-8":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/x4hnzo02pf34.svg"},"input-3":{"type":"input","answer":"26"}},"hints":["Отраженная половина равна данной: ее длина такая же.","Длина данной ломаной: $2 + 2 + 2 + 3 + 4 = 13$ см. Отрезок оси внутри фигуры в периметр не входит.","$P = 2 \\cdot 13 = 26$ см."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-9]]Сторона клетки равна 1 см. Достройте фигуру так, чтобы прямая $a$ стала ее осью симметрии: отразите ломаную относительно $a$. Найдите периметр получившегося многоугольника в сантиметрах. [[input-4]]","widgets":{"image-9":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/zdzwpuhtsfet.svg"},"input-4":{"type":"input","answer":"24"}},"hints":["Отраженная половина равна данной: ее длина такая же.","Длина данной ломаной: $2 + 3 + 1 + 3 + 3 = 12$ см. Отрезок оси внутри фигуры в периметр не входит.","$P = 2 \\cdot 12 = 24$ см."],"step":1},{"id":"6","content":"Точки $A$ и $A_1$ симметричны относительно прямой $a$, точка $P$ лежит на прямой $a$, $PA = 8$ см, $AA_1 = 6$ см. Найдите периметр треугольника $PAA_1$ в сантиметрах. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"22"}},"hints":["$P$ на оси симметрична самой себе, поэтому отрезок $PA$ переходит в $PA_1$.","$PA_1 = PA = 8$ см.","$P = 8 + 8 + 6 = 22$ см."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Точки $A$ и $A_1$ симметричны относительно прямой $a$, точка $P$ лежит на прямой $a$, $PA_1 = 5{,}5$ см, $AA_1 = 4$ см. Найдите периметр треугольника $PAA_1$ в сантиметрах. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["$P$ на оси симметрична самой себе, поэтому отрезок $PA_1$ переходит в $PA$.","$PA = PA_1 = 5{,}5$ см.","$P = 5{,}5 + 5{,}5 + 4 = 15$ см."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"При обходе $A \\to B \\to C \\to D$ вершины четырехугольника $ABCD$ идут против часовой стрелки. Четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ симметричен ему относительно прямой. Какое название четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$ задает обход против часовой стрелки?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$B_1A_1C_1D_1$","$A_1B_1C_1D_1$","$A_1D_1C_1B_1$","$A_1C_1B_1D_1$"],"explanations":["Это не обход контура: $A_1$ и $C_1$ — не соседние вершины","Этот обход идет по часовой стрелке: при отражении обход меняется на противоположный","","Это не обход контура: $A_1$ и $C_1$ — не соседние вершины"],"answer":[2]}},"hints":["При перегибании лист переворачивается: обход $A_1 \\to B_1 \\to C_1 \\to D_1$ идет по часовой стрелке.","Чтобы идти против часовой, обходим те же вершины в обратном порядке.","Ответ: $A_1D_1C_1B_1$."],"step":1},{"id":"7","content":"При обходе $A \\to B \\to C$ вершины треугольника $ABC$ идут по часовой стрелке. Треугольник $A_1B_1C_1$ симметричен ему относительно прямой. При каком обходе вершины $A_1B_1C_1$ идут по часовой стрелке?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$A_1 \\to C_1 \\to B_1$","$A_1 \\to B_1 \\to C_1$","$B_1 \\to C_1 \\to A_1$","$C_1 \\to A_1 \\to B_1$"],"explanations":["","Обход при отражении меняется: $A_1 \\to B_1 \\to C_1$ идет против часовой стрелки","Это тот же обход, что $A_1 \\to B_1 \\to C_1$, только начат с другой вершины","Это тот же обход, что $A_1 \\to B_1 \\to C_1$, только начат с другой вершины"],"answer":[0]}},"hints":["При перегибании лист переворачивается: обход $A_1 \\to B_1 \\to C_1$ идет против часовой стрелки.","Чтобы идти по часовой, обходим вершины в обратном порядке.","Ответ: $A_1 \\to C_1 \\to B_1$."],"step":1},{"id":"8","content":"Число осей симметрии квадрата равно [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["4","2","1","бесконечно много"],"answer":0}},"hints":["Перегните квадрат по прямой через середины противоположных сторон — половины совпадут. Таких прямых две.","Перегните по диагонали — у квадрата стороны равны, и половины тоже совпадут. Диагоналей две.","Ответ: 4."],"step":1},{"id":"8","content":"Число осей симметрии отрезка равно [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["2","1","4","бесконечно много"],"answer":0}},"hints":["Перегните отрезок по прямой, которая проходит через его середину перпендикулярно ему, — концы совпадут.","Прямая, на которой лежит отрезок, тоже ось: каждая ее точка симметрична самой себе.","Ответ: 2."],"step":1},{"id":"9","content":"У прямоугольника $ABCD$ стороны $AB = 4$ см и $BC = 6$ см. Выберите все прямые, которые являются его осями симметрии.[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Прямая через середины сторон $BC$ и $AD$","Прямая $AC$","Прямая через вершину $A$ и середину стороны $CD$","Прямая через середины сторон $AB$ и $CD$","Прямая $BD$"],"explanations":["","Диагональ делит прямоугольник на равные треугольники, но при перегибании по ней половины не совпадают","При перегибании по этой прямой вершина $B$ не попадает ни в одну вершину","","Диагональ делит прямоугольник на равные треугольники, но при перегибании по ней половины не совпадают"],"answer":[0,3]}},"hints":["Проверьте каждую прямую перегибанием: совпадут ли половины.","Прямые через середины противоположных сторон — оси. При перегибании по диагонали вершина $B$ не попадает в $D$: стороны не равны.","Ответ: две прямые через середины противоположных сторон."],"step":1},{"id":"9","content":"$ABCD$ — квадрат со стороной 5 см. Выберите все прямые, которые являются его осями симметрии.[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Прямая $BD$","Прямая через середины сторон $AB$ и $CD$","Прямая через середины сторон $BC$ и $AD$","Прямая $AC$","Прямая через вершину $A$ и середину стороны $CD$"],"explanations":["","","","","При перегибании по этой прямой вершина $B$ не попадает ни в одну вершину"],"answer":[0,1,2,3]}},"hints":["Проверьте каждую прямую перегибанием: совпадут ли половины.","Прямые через середины противоположных сторон — оси. У квадрата стороны равны, поэтому при перегибании по диагонали $AC$ вершина $B$ попадает в $D$.","Ответ: две прямые через середины сторон и обе диагонали."],"step":1},{"id":"10","content":"Распределите утверждения.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Верно","Неверно"],"items":[["Каждая точка оси симметрии симметрична самой себе","Отрезки, симметричные относительно прямой, равны"],["Диагональ любого прямоугольника — его ось симметрии","Если точки $A$ и $B$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой, то они симметричны относительно нее"]]}},"hints":["Проверьте каждое утверждение по определению симметричных точек и оси симметрии.","Равные расстояния до прямой не дают симметрии: $AA_1$ еще должен быть перпендикулярен прямой. Диагональ прямоугольника с неравными сторонами — не ось.","Верно: про точки оси и про равенство отрезков. Неверно: про диагональ и про равные расстояния."],"step":1},{"id":"10","content":"Распределите утверждения.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Верно","Неверно"],"items":[["У квадрата четыре оси симметрии","Если точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой, то эта прямая перпендикулярна отрезку $AB$"],["У окружности две оси симметрии","При осевой симметрии обход вершин треугольника сохраняется"]]}},"hints":["Проверьте каждое утверждение по определению симметричных точек и оси симметрии.","Любая прямая через центр окружности — ось, таких прямых бесконечно много. При осевой симметрии обход вершин меняется на противоположный.","Верно: про квадрат и про перпендикуляр. Неверно: про окружность и про обход."],"step":1}]}</textarea></pre></div>