7 класс Геометрия Углы и стороны треугольника Соотношения между углами и сторонами треугольника

Неравенства в треугольнике. Перпендикуляр и наклонная

Содержание

Вы уже знаете теорему о внешнем угле треугольника: внешний угол больше каждого угла треугольника, не смежного с ним. В этом уроке с ее помощью сравним стороны и углы треугольника, выясним, почему перпендикуляр короче любой наклонной, докажем неравенство треугольника и научимся проверять, существует ли треугольник с данными сторонами.

Вопрос для начала. Луч света выходит из точки $A$, отражается от плоского зеркала и попадает в точку $B$. Герон Александрийский в сочинении «Катоптрика» утверждал, что свет проходит при этом кратчайший путь. В какой точке зеркала происходит отражение и почему путь через нее короче всех остальных? Ответим в последнем разделе.

Против большей стороны лежит больший угол

Начертим треугольник $ABC$ со сторонами $AC=5$ см, $BC=7$ см, $AB=8$ см и измерим его углы транспортиром. Каждую сторону поставим в пару с углом, который лежит против нее. Сторона лежит против угла, если соединяет две другие вершины: против $\angle A$ лежит $BC$, против $\angle B$ — $AC$, против $\angle C$ — $AB$. Две другие стороны угла к нему прилежат.

Сторона	Угол против нее
$AC=5$ см	$\angle B\approx 38^\circ$
$BC=7$ см	$\angle A\approx 60^\circ$
$AB=8$ см	$\angle C\approx 82^\circ$

Треугольник ABC со сторонами 5, 7 и 8 см: каждая сторона и угол против нее одного цвета; чем длиннее сторона, тем больше угол напротив — Сторона и угол против нее — одного цвета: чем длиннее сторона, тем больше угол напротив

Самая длинная сторона $AB$ лежит против самого большого угла $C$, самая короткая $AC$ — против самого маленького угла $B$. Проверьте это в интерактиве (задания 1 и 3).

uploaded-storony-i-ugly-treugolnika-86bb800337b5

Измерение — не доказательство: докажем связь перегибом листа.

Проведем биссектрису $AL$ угла $A$ и перегнем лист по прямой $AL$. Углы $CAL$ и $BAL$ равны, поэтому луч $AC$ ляжет на луч $AB$. Сторона $AC$ короче $AB$, поэтому точка $C$ попадет в точку $D$ внутри отрезка $AB$, причем $AD=AC$. Угол $C$ ляжет на угол $ADL$. А угол $ADL$ — внешний угол треугольника $DBL$, и он больше угла $B$.

Перегиб по биссектрисе AL: сторона AC ложится на AB (C переходит в D), угол C совпадает с внешним углом ADL треугольника DBL, а он больше угла B — Перегиб по биссектрисе AL кладет короткую сторону AC на длинную AB: угол C ложится на внешний угол ADL треугольника DBL, а он больше угла B

Теорема

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол: если $AB>AC$, то $\angle C>\angle B$.

Доказательство

Дано: $\triangle ABC$, $AB>AC$. Доказать: $\angle C>\angle B$.

Шаг 1. Проведем биссектрису $AL$ угла $A$ и отложим на луче $AB$ отрезок $AD=AC$. Так как $AC<AB$, точка $D$ лежит между точками $A$ и $B$.

Шаг 2. $\triangle ACL=\triangle ADL$ по первому признаку: $AC=AD$, сторона $AL$ общая, $\angle CAL=\angle DAL$. Значит, $\angle C=\angle ADL$.

Шаг 3. Угол $ADL$ смежен с углом $BDL$, то есть это внешний угол треугольника $DBL$. Внешний угол больше каждого угла треугольника, не смежного с ним, поэтому $\angle ADL>\angle B$. Вместе с шагом 2 получаем $\angle C>\angle B$. Что и требовалось доказать.

Перегиб подсказал, где искать доказательство, а доказывают его первый признак и теорема о внешнем угле. При $AC=AB$ перегиб положил бы точку $C$ ровно в $B$, и углы $B$ и $C$ совпали бы.

Ошибка

В треугольнике $ABC$ $AB=9$, $AC=11$, $BC=4$. Решавр пишет: «Наибольший угол — $A$: он лежит между самыми длинными сторонами $9$ и $11$».

Проверим транспортиром. На точном чертеже $\angle A\approx 20^\circ$, $\angle B\approx 109^\circ$, $\angle C\approx 50^\circ$. Угол $A$ не наибольший, а наименьший.

Где сломалось. Стороны $9$ и $11$ прилежат к углу $A$ — это его стороны. Теорема связывает угол со стороной, которая лежит против него: против $\angle A$ лежит $BC=4$, самая короткая. Наибольший угол лежит против наибольшей стороны $AC=11$ — это угол $B$.

Треугольник со сторонами 9, 11 и 4: угол A между длинными сторонами примерно 20° и против самой короткой стороны, наибольший угол B лежит против стороны 11 — Угол A лежит между длинными сторонами, но против него — самая короткая сторона BC = 4, и он наименьший. Наибольший угол B лежит против AC = 11

{"questions":[{"content":"В треугольнике $ABC$ $AB = 6$, $BC = 8$, $AC = 11$. Какой угол треугольника наибольший?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Без транспортира определить нельзя","$\\angle B$","$\\angle A$","$\\angle C$"],"explanations":["Против большей стороны лежит больший угол — измерять не нужно","","Против угла $A$ лежит сторона $BC = 8$, она не наибольшая","Угол $C$ лежит между сторонами $8$ и $11$, а против него — сторона $AB = 6$, наименьшая"],"answer":[1]}},"hints":["Против большей стороны лежит больший угол.","Сторона лежит против угла, если она соединяет две другие вершины: против $\\angle A$ — $BC$, против $\\angle B$ — $AC$, против $\\angle C$ — $AB$.","Наибольшая сторона $AC = 11$, против нее угол $B$. Ответ: $\\angle B$."],"step":1}],"mix":1}

Против большего угла лежит большая сторона

Верно и обратное. Пусть в треугольнике $ABC$ $\angle C>\angle B$. Сравним стороны $AB$ и $AC$ против этих углов. Вариантов три: $AB=AC$, $AB<AC$ или $AB>AC$. Перегиб по биссектрисе угла $A$ исключает первые два: при $AB=AC$ углы $B$ и $C$ были бы равны, а при $AB<AC$ больше оказался бы угол $B$.

Теорема (обратная)

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона: если $\angle C>\angle B$, то $AB>AC$.

Доказательство

Дано: $\triangle ABC$, $\angle C>\angle B$. Доказать: $AB>AC$.

Предположим противное: $AB\le AC$. Если $AB=AC$, то треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $BC$, и $\angle C=\angle B$ — это противоречит условию. Если $AB<AC$, то по теореме из раздела 1 против большей стороны $AC$ лежит больший угол: $\angle B>\angle C$ — снова противоречие. Значит, $AB>AC$. Что и требовалось доказать.

Следствия

1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше каждого катета. В тупоугольном треугольнике наибольшая сторона лежит против тупого угла.

2. Если два угла треугольника равны, то и стороны, лежащие против них, равны: треугольник равнобедренный.

Первое следствие: прямой или тупой угол в треугольнике только один, два других острые (урок о сумме углов треугольника), поэтому он наибольший. Второе — признак равнобедренного треугольника из урока «Равнобедренный и равносторонний треугольники», доказанный по-новому: если бы стороны $AB$ и $AC$ были не равны, то против большей из них лежал бы больший угол, а углы $B$ и $C$ равны.

Пример 1

В треугольнике $ABC$ $\angle A=75^\circ$, $\angle B=45^\circ$. Расположите стороны треугольника в порядке возрастания.

Решение. Найдем третий угол: $\angle C=180^\circ-75^\circ-45^\circ=60^\circ$. Углы в порядке возрастания: $\angle B$, $\angle C$, $\angle A$. Против меньшего угла лежит меньшая сторона (таблица ниже).

Ответ: $AC<AB<BC$.

Угол	Величина	Сторона против него
$\angle B$	$45^\circ$	$AC$ — наименьшая
$\angle C$	$60^\circ$	$AB$
$\angle A$	$75^\circ$	$BC$ — наибольшая

{"questions":[{"content":"В треугольнике $ABC$ $\\angle A = 50^\\circ$, $\\angle B = 70^\\circ$. Расположите стороны треугольника в порядке возрастания.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["$BC$","$AB$","$AC$"]}},"hints":["Найдем третий угол: $\\angle C = 180^\\circ-50^\\circ-70^\\circ = 60^\\circ$.","Против большего угла лежит большая сторона: против $A$ — $BC$, против $C$ — $AB$, против $B$ — $AC$.","Ответ: $BC$, $AB$, $AC$."],"step":1},{"content":"В треугольнике $ABC$ $\\angle A = 35^\\circ$, $\\angle B = 80^\\circ$. Решавр пишет: «Наибольший угол — $B$, значит, наибольшая сторона — $AB$: она выходит из вершины $B$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$AB$ прилежит к $B$; против $B$ лежит $AC$","Наибольший угол — $C$, поэтому наибольшая сторона $AB$","Наибольшая сторона — $BC$, а не $AB$","Ошибки нет: $AB$ выходит из вершины $B$"],"explanations":["","$\\angle C = 180^\\circ-35^\\circ-80^\\circ = 65^\\circ < 80^\\circ$; наибольший угол — $B$","$BC$ лежит против угла $A = 35^\\circ$ — это наименьшая сторона","Из вершины $B$ выходят две стороны; большая сторона лежит против большего угла"],"answer":[0]}},"hints":["Сторона лежит против угла, если она соединяет две другие вершины: против $\\angle A$ — $BC$, против $\\angle B$ — $AC$, против $\\angle C$ — $AB$.","Наибольший угол действительно $B$ ($\\angle C = 65^\\circ$). Против него лежит сторона $AC$.","Ответ: наибольшая сторона $AC$, а не $AB$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"В прямоугольном треугольнике один из катетов равен $12$. Может ли гипотенуза быть равна $11$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Может, если второй катет короткий","Не может: гипотенуза больше любого катета","Может: катет прилежит к прямому углу, значит, он может быть наибольшим","Может: гипотенуза — просто одна из сторон"],"explanations":["Гипотенуза лежит против прямого угла и больше любого катета при любом втором катете","","К прямому углу прилежат оба катета, а против него лежит гипотенуза — она и наибольшая","Гипотенуза лежит против наибольшего угла, она наибольшая сторона"],"answer":[1]}},"hints":["Гипотенуза лежит против прямого угла — наибольшего угла треугольника.","Против наибольшего угла лежит наибольшая сторона, поэтому гипотенуза больше катета.","Ответ: не может."],"step":1}],"mix":1}

Перпендикуляр короче любой наклонной

Из точки $A$, не лежащей на прямой $a$, к этой прямой можно провести только один перпендикуляр $AH$ (урок о перпендикулярных прямых).

Определение

Наклонная — отрезок, соединяющий точку, не лежащую на прямой, с точкой этой прямой и не являющийся перпендикуляром к ней. Конец наклонной, лежащий на прямой, — основание наклонной.

Пусть $AK$ — наклонная, $K$ — ее основание. В треугольнике $AHK$ угол $H$ прямой, а два других угла острые. Значит, прямой угол наибольший, и против него лежит наибольшая сторона: $AK>AH$.

Тот же вывод дает перегиб по прямой $a$: точка $A$ попадет в $A_1$, $AH$ — в $A_1H$, $AK$ — в $A_1K$. Точки $A$, $H$, $A_1$ лежат на одной прямой (два прямых угла при $H$), $AA_1=2AH$. Ломаная $AKA_1$ длиннее отрезка $AA_1$ по неравенству треугольника для $\triangle AKA_1$ (докажем в следующем разделе): $2AK>2AH$.

Прямая a, точка A вне ее; перпендикуляр AH и наклонная AK; перегиб по прямой a переводит A в A1: AH = HA1, AK = KA1, ломаная AKA1 длиннее отрезка AA1 = 2AH — Перегиб по прямой a: наклонная AK вместе с копией A1K длиннее отрезка AA1 = 2AH, поэтому AK > AH

Теорема и определения

Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, короче любой наклонной, проведенной из этой точки к той же прямой.

Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой. Расстояние между параллельными прямыми — расстояние от любой точки одной из них до другой прямой.

Расстояние между параллельными прямыми не зависит от выбора точки: в уроке о свойствах параллельных прямых доказано, что отрезки перпендикуляров между двумя параллельными прямыми равны. Так устроена железнодорожная колея: расстояние между рельсами везде одно — в России $1520$ мм.

На клетчатой бумаге расстояние ищут по тому же правилу. Если прямая идет по линии сетки, перпендикуляр к ней тоже идет по линии сетки, и его длина равна числу клеток. Если прямая идет наискосок, вертикальный отрезок от точки до нее — наклонная, он длиннее расстояния.

Расстояние на клетчатой бумаге: слева перпендикуляр AH к прямой по линии сетки равен 3 клеткам; справа вертикальный отрезок от P до наклонной прямой m — наклонная, а расстояние — перпендикуляр PT — Расстояние измеряют по перпендикуляру: от A до прямой BC — 3 клетки; вертикальный отрезок от P до прямой m — наклонная, он длиннее расстояния

Пример 2

Прямые $a$ и $b$ параллельны. Из точки $M$ прямой $a$ проведен перпендикуляр $MH$ к прямой $b$, $MH=3$ см. Из точки $N$ прямой $a$ проведен отрезок $NK$, точка $K$ лежит на прямой $b$, и $NK$ не перпендикулярен $b$. Может ли $NK$ быть равен $3$ см?

Решение. Проведем из точки $N$ перпендикуляр $NP$ к прямой $b$. Отрезки перпендикуляров между параллельными прямыми равны, поэтому $NP=MH=3$ см. Отрезок $NK$ — наклонная из точки $N$, а наклонная длиннее перпендикуляра: $NK>NP=3$ см.

Ответ: не может, $NK>3$ см.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \\times 1$ отмечены точки $A$, $B$ и $C$ (см. рисунок). Найдите расстояние от точки $A$ до прямой $BC$. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/8mvyp4vc8kkx.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой.","Прямая $BC$ идет по линии сетки, перпендикуляр из $A$ к ней — вертикальный отрезок до этой линии.","Он занимает $4$ клетки. Ответ: $4$."],"step":1},{"content":"Из точки $A$ к прямой $a$ проведены перпендикуляр $AH = 5$ см и наклонная $AK$. Может ли длина $AK$ быть равна $4$ см?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Может, если точка $K$ близко к точке $H$","Может, если $AK \\perp a$","Не может: наклонная длиннее перпендикуляра","Может: длина наклонной бывает любой"],"explanations":["При любом положении $K \\ne H$ угол $H$ прямой и наибольший, $AK > AH$","Тогда $AK$ — перпендикуляр, а не наклонная, и совпадает с $AH$","","Наклонная всегда длиннее перпендикуляра из той же точки"],"answer":[2]}},"hints":["В треугольнике $AHK$ угол $H$ прямой — наибольший.","Против прямого угла лежит наибольшая сторона $AK$, поэтому $AK > AH = 5$ см.","Ответ: не может."],"step":1},{"content":"[[image-2]]На клетчатой бумаге прямая $m$ идет по диагоналям клеток. Из точки $P$ к прямой $m$ проведены отрезки $PT$, $PQ$ и $PR$ (см. рисунок). Длина какого отрезка равна расстоянию от точки $P$ до прямой $m$?[[choice-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/mksnnhe1aynv.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["$PT$","$PR$: он тоже идет по линии сетки","$PQ$: он идет по линии сетки","Ни один: на клетках расстояние измеряют только по линиям сетки"],"explanations":["","Это наклонная: горизонтальный отрезок $PR$ не перпендикулярен прямой $m$","Это наклонная: прямая $m$ идет наискосок, и вертикальный отрезок $PQ$ не перпендикулярен ей","По линии сетки идет перпендикуляр только к прямой, которая сама идет по линии сетки; к прямой $m$ перпендикуляр идет по диагоналям клеток — это $PT$"],"answer":[0]}},"hints":["Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой.","Диагональ клетки делит ее прямой угол пополам: с линией сетки она образует угол $45^\\circ$. Прямая $m$ и отрезок $PT$ наклонены к горизонтальной линии сетки в разные стороны на $45^\\circ$, поэтому угол между ними $45^\\circ + 45^\\circ = 90^\\circ$.","$PT \\perp m$, а $PQ$ и $PR$ — наклонные. Ответ: $PT$."],"step":1}],"mix":1}

Ломаная из двух сторон длиннее третьей стороны

Сравним в треугольнике $ABC$ сторону $AB$ с ломаной $ACB$ из двух других сторон. Развернем сторону $CB$ вокруг точки $C$, как ножку циркуля, пока она не ляжет на продолжение стороны $AC$ за точку $C$. Точка $B$ попадет в точку $D$, $CD=CB$, и ломаная $ACB$ распрямится в отрезок $AD=AC+CB$. Осталось сравнить стороны $AD$ и $AB$ треугольника $ABD$ по углам против них.

Разворот стороны CB вокруг C: на продолжении AC отложен CD = CB, ломаная ACB распрямилась в отрезок AD = AC + CB; в треугольнике ABD угол ABD больше угла D, поэтому AD > AB — Сторона CB развернута вокруг C на продолжение AC: ломаная ACB распрямилась в отрезок AD = AC + CB, и AD > AB

Теорема (неравенство треугольника)

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Доказательство

Дано: $\triangle ABC$. Доказать: $AB<AC+CB$.

Шаг 1. На продолжении стороны $AC$ за точку $C$ отложим отрезок $CD=CB$. Тогда $AD=AC+CD=AC+CB$.

Шаг 2. Треугольник $BCD$ равнобедренный, так как $CD=CB$. Поэтому $\angle CBD=\angle D$.

Шаг 3. Точка $C$ лежит на отрезке $AD$, поэтому луч $BC$ проходит внутри угла $ABD$ и $\angle ABD>\angle CBD=\angle D$.

Шаг 4. В треугольнике $ABD$ против большего угла $ABD$ лежит большая сторона: $AD>AB$, то есть $AB<AC+CB$. Что и требовалось доказать.

Для трех любых точек $AB\le AC+CB$. Равенство $AB=AC+CB$ бывает только тогда, когда точка $C$ лежит на отрезке $AB$ (урок о длине отрезка), — и тогда треугольника нет.

Почему любая ломаная длиннее отрезка между ее концами

Скрыть

В уроке о ломаной это было наблюдением. Возьмем ломаную $ABCDE$ и заменим два первых звена $AB$ и $BC$ одним отрезком $AC$. Точка $B$ — вершина, поэтому звенья $AB$ и $BC$ не лежат на одной прямой, и по неравенству треугольника $AC<AB+BC$: путь стал короче. Получилась ломаная $ACDE$. Будем так заменять звенья и дальше: путь ни разу не удлинится, а в конце останется один отрезок $AE$. Значит, $AE<AB+BC+CD+DE$.

Пример 3

Для точек $A$, $B$, $C$ известно: $AC=6$, $CB=7$, $AB=13$. Существует ли треугольник $ABC$?

Решение. $AC+CB=6+7=13=AB$. Сумма двух расстояний равна третьему, значит, точка $C$ лежит на отрезке $AB$.

Ответ: не существует, точка $C$ лежит на отрезке $AB$.

Выполните задание 2 интерактива из раздела 1.

{"questions":[{"content":"Для точек $A$, $B$, $C$ известно: $AC = 5$, $CB = 7$. Может ли расстояние $AB$ быть равно $13$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Может: $13 > 7$ и $13 > 5$","Не может: $AB \\le AC + CB = 12$","Может, если точка $C$ лежит на отрезке $AB$","Не может: $AB$ должно быть меньше $7$"],"explanations":["Расстояние $AB$ не может быть больше суммы $AC + CB = 12$","","Тогда $AB = AC + CB = 12$, а не $13$","Может быть и больше $7$, например $10$; ограничение — $AB \\le 12$"],"answer":[1]}},"hints":["Для любых трех точек $AB \\le AC + CB$.","$AC + CB = 5 + 7 = 12 < 13$.","Ответ: не может; наибольшее возможное $AB = 12$ — когда $C$ лежит на отрезке $AB$."],"step":1},{"content":"Расставьте шаги доказательства того, что в треугольнике $MNP$ $MN<MP+PN$, по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["На продолжении стороны $MP$ за точку $P$ отложим $PQ=PN$; тогда $MQ=MP+PN$","Треугольник $NPQ$ равнобедренный, поэтому $\\angle PNQ=\\angle Q$","Луч $NP$ проходит внутри угла $MNQ$, поэтому $\\angle MNQ>\\angle PNQ=\\angle Q$","В треугольнике $MNQ$ против большего угла $MNQ$ лежит большая сторона: $MQ>MN$, то есть $MN<MP+PN$"]}},"hints":["Идея: распрямить ломаную $MPN$ в один отрезок — развернуть сторону $PN$ вокруг точки $P$ на продолжение $MP$.","Равнобедренный треугольник появляется только после построения точки $Q$, сравнение углов — после равенства углов при основании, вывод о сторонах — после сравнения углов.","Ответ: построение $PQ=PN$ → $\\angle PNQ=\\angle Q$ → $\\angle MNQ>\\angle Q$ → $MQ>MN$."],"step":1}],"mix":1}

Из каких отрезков сложится треугольник

Сложится ли треугольник из трех отрезков? Положим наибольший отрезок, а два других повернем вокруг его концов, как ножки циркуля. Если описанные дуги пересекаются, точка пересечения — третья вершина.

Правило

Треугольник с данными сторонами существует, если наибольшая сторона меньше суммы двух других, и не существует, если она больше этой суммы или равна ей. Для двух других сторон неравенство треугольника выполнено само.

Почему хватает одной проверки? Пусть $c$ — наибольшая сторона, $a$ и $b$ — две другие. Тогда $a\le c<c+b$, то есть $a<b+c$ верно всегда. Так же $b<a+c$. Решает только неравенство $c<a+b$.

Ошибка

Даны отрезки $3$, $4$ и $8$. Решавр пишет: «$3+8>4$, значит, треугольник существует».

Проверим построением. Положим отрезок $8$ и повернем отрезки $3$ и $4$ вокруг его концов. Вместе они дают $3+4=7<8$ и не достают друг до друга: дуги не пересекаются, третьей вершины нет.

Где сломалось. Решавр проверил неравенство для стороны $4$, а оно верно всегда, потому что $4$ — не наибольшая сторона. Решает проверка наибольшей стороны: $8<3+4$ неверно, треугольника нет.

Отрезок 8 и две дуги циркуля радиусов 3 и 4 с центрами на его концах не пересекаются: между ними промежуток, 3 + 4 = 7 меньше 8, третьей вершины нет — Отрезки 3 и 4, повернутые вокруг концов отрезка 8, не встречаются: 3 + 4 = 7 < 8, треугольника нет

Отрезки	Наибольший	Сумма двух других	Треугольник
$5$, $7$, $11$	$11$	$5+7=12$	есть: $11<12$
$4$, $5$, $9$	$9$	$4+5=9$	нет: точки на одной прямой
$7$, $7$, $13$	$13$	$7+7=14$	есть: $13<14$
$2$, $6$, $9$	$9$	$2+6=8$	нет: $9>8$

Правило

Каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон: из большей вычитают меньшую.

Пример 4

Две стороны треугольника равны $5$ и $8$. Какой может быть третья сторона $x$?

Решение. Третья сторона меньше суммы двух других: $x<5+8=13$. Сторона $8$ меньше суммы двух других: $8<5+x$, откуда $x>8-5=3$. Неравенство $5<8+x$ верно при любом $x$.

Ответ: $3<x<13$.

Пример 5

Две стороны равнобедренного треугольника равны $3$ и $7$. Найдите его периметр.

Решение. Боковые стороны равны, поэтому возможны два набора сторон: $3$, $3$, $7$ или $7$, $7$, $3$. В первом наибольшая сторона $7$, а $3+3=6<7$ — такого треугольника нет. Во втором $7<7+3$ — треугольник есть. Периметр $7+7+3=17$.

Ответ: $17$.

Вернемся к задаче Герона. Точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от зеркала — прямой $m$. Перегнем лист по прямой $m$: точка $B$ попадет в симметричную ей точку $B_1$ (урок об осевой симметрии). Любая точка $K$ зеркала при перегибе остается на месте, поэтому $KB=KB_1$, и путь $AKB$ равен ломаной $AKB_1$. По неравенству треугольника $AK+KB_1\ge AB_1$, причем равенство бывает, только когда $K$ лежит на отрезке $AB_1$. Значит, кратчайший путь проходит через точку $O$, в которой отрезок $AB_1$ пересекает зеркало.

Задача Герона: перегиб по зеркалу m переводит B в B1; путь AKB равен ломаной AKB1, а она не короче отрезка AB1, поэтому кратчайший путь идет через O — Перегиб по зеркалу m переводит B в B1: путь AKB равен ломаной AKB1, и кратчайший путь идет через точку O на отрезке AB1

Интересный факт: откуда берется закон отражения

Скрыть

Луч $AO$ образует с зеркалом такой же угол, как луч $OB_1$ (вертикальные углы), а при перегибе луч $OB_1$ ложится на $OB$. Значит, лучи $AO$ и $OB$ образуют с зеркалом равные углы. Так Герон объяснил закон отражения, известный до него из опыта: угол падения равен углу отражения.

{"questions":[{"content":"Из каких трех отрезков можно составить треугольник?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$3$, $7$, $10$","$5$, $5$, $11$","$2$, $3$, $6$","$4$, $7$, $10$"],"explanations":["$10 = 3 + 7$: три точки лежат на одной прямой","Наибольшая сторона $11 > 5 + 5 = 10$","Наибольшая сторона $6 > 2 + 3 = 5$",""],"answer":[3]}},"hints":["Треугольник существует, если наибольшая сторона меньше суммы двух других (остальные неравенства тогда выполнены сами).","Проверяем наибольшую сторону: $10 < 4 + 7$; $6 > 2 + 3$; $11 > 5 + 5$; $10 = 3 + 7$.","Ответ: $4$, $7$, $10$."],"step":1},{"content":"Две стороны равнобедренного треугольника равны $4$ и $9$. Найдите его периметр.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$13$","$17$ или $22$","$17$","$22$"],"explanations":["Это сумма двух данных сторон, а у треугольника три стороны","Случай $4$, $4$, $9$ невозможен по неравенству треугольника","Треугольника $4$, $4$, $9$ нет: $4 + 4 < 9$",""],"answer":[3]}},"hints":["Два случая: стороны $4$, $4$, $9$ или $9$, $9$, $4$. Проверим неравенство для наибольшей стороны.","$9 > 4 + 4$ — первого треугольника нет; $9 < 9 + 4$ — второй существует.","Периметр $9 + 9 + 4 = 22$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Отрезки $4$, $6$ и $11$. Решавр пишет: «$4 + 11 > 6$, значит, треугольник существует». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Надо было проверить $4 + 11 > 6$ и $6 + 11 > 4$; оба верны","Проверять надо наибольшую сторону: $4 + 6 = 10 < 11$, треугольника нет","Ошибки нет: одно неравенство выполнено","Проверять надо наименьшую сторону: $4 < 6 + 11$, треугольник есть"],"explanations":["Эти два неравенства выполняются всегда, когда $11$ — наибольшая; решает третье","","Нужно, чтобы каждая сторона была меньше суммы двух других; для стороны $11$ это не так","Для наименьшей стороны неравенство верно всегда; решает наибольшая: $11 > 4 + 6$"],"answer":[1]}},"hints":["Треугольник существует, если наибольшая сторона меньше суммы двух других (остальные неравенства тогда выполнены сами).","Наибольшая сторона $11$, а $4 + 6 = 10 < 11$.","Ответ: проверять надо наибольшую сторону; треугольника нет."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Неравенства в треугольнике отвечают без измерений, какой угол наибольший, существует ли треугольник и где проходит кратчайший путь. Все выводы урока получены перегибом или разворотом части чертежа. Они нужны в ОГЭ и в задачах на кратчайший путь.

Часто задаваемые вопросы

Почему для проверки треугольника достаточно одной стороны?

Для двух меньших сторон неравенство верно всегда: каждая из них не больше наибольшей. Решает одно — для наибольшей стороны.

Может ли сумма двух сторон треугольника равняться третьей?

Нет. Если $AC+CB=AB$, то точка $C$ лежит на отрезке $AB$, и три точки лежат на одной прямой. Треугольника с такими сторонами нет, поэтому в неравенстве треугольника знак строгий.

Как не перепутать «против» и «прилежит»?

Закройте пальцем вершину угла: сторона, которой угол не касается, лежит против него; две другие к нему прилежат.

Почему расстояние от точки до прямой измеряют по перпендикуляру?

Перпендикуляр — самый короткий отрезок от точки до прямой: любой другой такой отрезок — наклонная, а она длиннее. И перпендикуляр из точки к прямой только один, поэтому расстояние определено однозначно.

Награды за урок