Сумма углов треугольника. Виды треугольников

Обновленный урок по теме: «Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника»

В прошлом разделе мы доказали, что сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равняется $180^\circ$ — как внутренних, так и, как следствие, внешних. В действительности теорема о сумме односторонних углов позволяет установить, что сумма углов треугольника — тоже величина постоянная.

Сегодня мы узнаем, какое значение имеет эта постоянная величина, а на основе данных о сумме углов треугольника выведем важные следствия, выделим основные виды треугольников и обсудим углы равностороннего треугольника.  

Теорема о сумме углов треугольника

Если один угол треугольника становится больше, остальные углы «сжимаются». Выражаясь метафорично, треугольник — это фигура жесткой сцепки.

Отсюда и создается впечатление, что сумма углов треугольника будто бы всегда одна и та же, вне зависимости от того, сколько какому углу построением отмерено градусов.

Равенство накрест лежащих углов при параллельных и сумма односторонних углов в $180^\circ$ наводят нас на мысль, что сумма углов треугольника, скорее всего, также равняется $180^\circ$.

Теорема о сумме углов треугольника:
Сумма углов треугольника равняется $180^\circ$.

Доказательство

Скрыть

Начертим произвольный треугольник $\bigtriangleup{ABC}$. Расположим его на чертеже боковой стороной $AB$, а на основании $BC$ отметим середину — точку $O$. Продолжим медиану $AO$ от основания и отложим равный медиане отрезок $OA_1$.

Рассмотрим треугольники $\bigtriangleup{ABO}$ и $\bigtriangleup{OA_{1}C}$. Треугольники равны по первому признаку: $AO=OA_1$, $BO=OC$, углы $\angle{BOA}$ и $\angle{A_{1}OC}$ равны как вертикальные. Из равенства треугольников следует, что $\angle{ABC}=\angle{A_{1}CB}$.

Заметим, что $\angle{ABC}$ и $\angle{A_{1}CB}$ — накрест лежащие углы при отрезках $AB$ и $CA_1$ и секущей $CB$. Следовательно, $AB\parallel{CA_1}$.

Рассмотреть эти же отрезки можно при секущей $CA$. Раз отрезки параллельны, то сумма односторонних углов $\angle{A}$ и $\angle{A_{1}CA}$ равна $180^\circ$. Поскольку накрест лежащие $\angle{ABC}$ и $\angle{A_{1}CB}$ равны, а $\angle{A_{1}CA}=\angle{ACB}+\angle{ABC}$, то выходит: $$\angle{A}+\angle{A_{1}CA}=180^\circ\\\angle{A}+\angle{ABC}+\angle{ACB}=180^\circ$$

Это и есть сумма углов треугольника $\bigtriangleup{ABC}$. Теорема доказана.

Почему в доказательстве используется нестандартный чертеж?

Располагать треугольник на чертеже боковой стороной — нетипичная практика. Обычно мы рисуем эту фигуру по принципу ее геометрического значка — $\bigtriangleup$. Однако теоремы об углах при параллельных навели нас на мысль, чему может равняться сумма углов треугольника.

Мы расположили треугольник таким образом, чтобы его стороны «играли роль» потенциальных секущих, а третья сторона —  «роль» одной из возможных параллельных прямых. Так что подобный чертеж — попытка сразу «подогнать» ситуацию к удобному графическому использованию уже ранее доказанных теорем.

{"questions":[{"content":"Один угол в треугольнике равен $50^\\circ$. Второй — по величине в два раза больше первого. Чему равен третий угол?[[fill_choice_big-3]]","widgets":{"fill_choice_big-3":{"type":"fill_choice_big","options":["$30^\\circ$","$45^\\circ$","$60^\\circ$","$90^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0}}}]}

Следствие из теоремы о сумме углов треугольника

Следствие из теоремы о сумме углов треугольника:
У любого треугольника хотя бы два угла являются острыми.

Острый угол меньше $90^\circ$. Если бы в треугольнике два угла были неострыми, то есть прямыми или тупыми, их сумма была бы не меньше $180^\circ$. Но третий угол положителен, поэтому сумма всех трех углов превысила бы $180^\circ$. Следовательно, не менее двух углов треугольника являются острыми.

Доказательство

Скрыть

{"questions":[{"content":"В любом треугольнике [[fill_choice_big-4]] являются острыми.","widgets":{"fill_choice_big-4":{"type":"fill_choice_big","options":["не менее двух углов","не более одного угла","все углы","два угла не"],"answer":0}},"step":1,"explanation":"Сумма углов треугольника равна $180^\\circ$. Если два угла были бы прямыми или тупыми, их сумма была бы не меньше $180^\\circ$. Тогда третий угол должен был бы иметь значение $0^\\circ$ или меньше, что невозможно. Следовательно, в любом треугольнике не менее двух углов являются острыми.","hints":["Вспомним, что сумма углов любого треугольника равна $180^\\circ$.","Два угла, каждый из которых не меньше $90^\\circ$, в сумме составляют не менее $180^\\circ$. Значит, не менее двух углов треугольника должны быть острыми."]}]}

Виды треугольников

С опорой на следствие из теоремы о сумме углов треугольника про виды треугольников можно сказать следующее:

• есть треугольник с одним тупым углом, двумя другими острыми;
• также треугольник, где все углы острые;
• есть «пограничный» треугольник, где один угол — ровно $90^\circ$.

Треугольник, в котором один угол тупой, остальные острые, называется тупоугольным. Посмотрите на чертеж треугольника $\bigtriangleup{TUP}$. В нем $\angle{P}$ является тупым, $\angle{T}$ и $\angle{U}$ — острыми.

Треугольник, в котором все углы являются острыми, называется остроугольным. Например, посмотрите на треугольник $\bigtriangleup{OST}$. Все углы в нем — $\angle{O}$, $\angle{S}$, $\angle{T}$ — меньше $90^\circ$.

Треугольник, в котором присутствует угол со значением ровно $90^\circ$, называется прямоугольным. Потому что угол, равный $90^\circ$, в геометрии называется прямым. На чертеже-примере в треугольнике $\bigtriangleup{PRT}$ такой угол представляет $\angle{P}$.

{"questions":[{"content":"Два угла треугольника равны $35^\\circ$ и $55^\\circ$. Определите вид этого треугольника по углам. [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Остроугольный","Прямоугольный","Тупоугольный"],"explanations":["В остроугольном треугольнике каждый угол меньше $90^\\circ$, а третий угол данного треугольника равен $90^\\circ$.","Третий угол равен $180^\\circ-35^\\circ-55^\\circ=90^\\circ$, поэтому треугольник прямоугольный.","В тупоугольном треугольнике один из углов больше $90^\\circ$, но среди углов данного треугольника такого угла нет."],"answer":[1]}},"step":1,"explanation":"Найдем третий угол треугольника: $180^\\circ-(35^\\circ+55^\\circ)=90^\\circ$. Треугольник, один из углов которого равен $90^\\circ$, называется прямоугольным.","hints":["Вспомним, что сумма углов треугольника равна $180^\\circ$.","Найдем третий угол: $180^\\circ-35^\\circ-55^\\circ=90^\\circ$."]}]}

Углы равностороннего треугольника

Следствие к равностороннему треугольнику:
Все углы равностороннего треугольника равны между собой и составляют $60^\circ$.  

Теорема о сумме углов треугольника приводит нас к еще одному следствию. По теореме о равнобедренном треугольнике известно, что против равных сторон лежат равные углы. В равностороннем треугольнике — частном случае равнобедренного — равны все стороны.  

Следовательно, в изображенном выше равностороннем $\bigtriangleup{ABC}$:

• $\angle{A}=\angle{B}$, поскольку $AC=BC$;
• $\angle{B}=\angle{C}$, поскольку $AB=AC$;
• $\angle{C}=\angle{A}$, поскольку $AB=BC$.

В $\bigtriangleup{ABC}$ мы можем заключить, что все углы равностороннего треугольника равны: $\angle{A}=\angle{B}=\angle{C}$. Сумма углов треугольника составляет $180^\circ$, откуда получаем: $$180^\circ=\angle{A}+\angle{B}+\angle{C}=60^\circ+60^\circ+60^\circ.$$   

{"questions":[{"content":"Может ли существовать треугольник, в котором $\\angle{A}=60^\\circ$, $\\angle{C}=60^\\circ$, стороны $AC$ и $CB$ равны? [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Да.","Нет!"],"answer":[0]}},"explanation":"Мыслите верно. Хоть по условию стороны заданы не при указанных углах, мы можем сделать вывод, что третий угол тоже равен шестидесяти градусам. Значит, треугольник равносторонний. Значит, такой треугольник, конечно, возможен."}]}

Практика

Показать решение

Скрыть

«Один из углов…» — в условии не уточняется, какой именно. Угол может быть как при основании, так и при вершине. При основании слева или справа — не важно, так как треугольник равнобедренный. У него углы при основании равны. Поэтому на второй вопрос отвечаем сразу: да, задача имеет два решения.

1. Предположим, что данные приводятся для угла при основании. Значит, еще один угол при основании также равняется $70^\circ$. Теорема о сумме углов треугольника «подсказывает», что угол при вершине равен разнице между $180^\circ$ и суммой углов при основании. Тогда угол при вершине равен $40^\circ$.

2. С другой стороны, предполагаем, что данные приводятся для угла при вершине. По теореме о сумме углов треугольника получаем: $180^\circ-70=110^\circ$. Последнее — сумма углов при основании равнобедренного треугольника. Они равны, откуда получаем, что каждый равняется по $55^\circ$.

Ответ: $70^\circ,~40^\circ$ или $55^\circ,~55^\circ$.

задача

В треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$ медиана $BD$ равна половине стороны $AC$. Чему равняется $\angle{B}$ треугольника?

Показать решение

Скрыть

При правильно выполненном чертеже видно, что $\bigtriangleup{ABC}$ прямоугольный. Однако это нужно доказать. Для этого рассмотрим $\bigtriangleup{ABD}$ и $\bigtriangleup{BCD}$.

В треугольнике $\bigtriangleup{ABD}$ стороны $AD$ и $BD$ равны. Значит, треугольник равнобедренный. Из этого следует равенство углов $\angle{A}$ и $\angle{ABD}$. В треугольнике $\bigtriangleup{BCD}$ стороны $DB$ и $DC$ равны. Этот треугольник также равнобедренный. Откуда следует, что $\angle{C}=\angle{DBC}$.

По теореме о сумме углов треугольника $\angle{A}+\angle{B}+\angle{C}=180^\circ$. Из рассмотренных треугольников $\bigtriangleup{ABD}$ и $\bigtriangleup{BCD}$ имеем, что $\angle{B}=\angle{A}+\angle{C}$. Выразим сумму $\angle{A}+\angle{C}$ через сумму углов треугольника и подставим в полученное уравнение для $\angle{B}$.

$$\angle{B}=\angle{A}+\angle{C}\\\angle{A}+\angle{C}=180^\circ-\angle{B}$$

Выполняем подстановку и получаем: $2\angle{B}=180^\circ$. Угол $\angle{B}$ — прямой, а треугольник $\bigtriangleup{ABC}$ действительно прямоугольный.

Ответ: $\angle{B}=90^\circ$.

Часто задаваемые вопросы