0 0 0
Личный кабинет Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Сумма углов треугольника. Виды треугольников

Содержание

    В прошлом разделе мы доказали, что сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равняется $180^\circ$ — как внутренних, так и, следовательно из этого, внешних. В действительности теорема о сумме односторонних углов позволяет установить, что сумма углов треугольника — тоже величина постоянная. Сегодня мы узнаем, какое значение имеет эта постоянная величина, а на основе данных о сумме углов треугольника выведем важные следствия, выделим основные виды треугольников и обсудим углы равностороннего треугольника.  

    Теорема о сумме углов треугольника

    Если один угол треугольника становится больше, остальные углы «сжимаются». Выражаясь метафорично, треугольник — это фигура жесткой сцепки.

    Отсюда и создается впечатление, что сумма углов треугольника будто бы всегда одна и та же, вне зависимости от того, сколько какому углу построением отмерено градусов.

    А еще внимательный читатель мог заметить, что равенство накрест лежащих углов при параллельных и сумма односторонних углов в $180^\circ$, если крепко призадуматься, подает сигнал в том числе: сумма углов треугольника, скорее всего, также равняется $180^\circ$.

    Нам остается проверить данные наблюдения и доказать их:

    Теорема о сумме углов треугольника. Сумма углов треугольника равняется $180^\circ$.

    Доказательство

    Начертим произвольный треугольник $\bigtriangleup{ABC}$. Расположим его на чертеже боковой стороной $AB$, а на основании $BC$ отметим середину — точку $O$. Продолжим медиану $AO$ от основания и отложим равный медиане отрезок $OA_1$.

    Рассмотрим треугольники $\bigtriangleup{ABO}$ и $\bigtriangleup{OA_{1}C}$. Треугольники равны по первому признаку: $AO=OA_1$, $BO=OC$, углы $\angle{BOA}$ и $\angle{A_{1}OC}$ равны как вертикальные. Из равенства треугольников следует, что $\angle{ABC}=\angle{A_{1}CB}$.

    Заметим, что $\angle{ABC}$ и $\angle{A_{1}CB}$ — накрест лежащие углы при отрезках $AB$ и $CA_1$ и секущей $CB$. Следовательно $AB\parallel{CA_1}$.

    Рассмотреть эти же отрезки можно при секущей $CA$. Раз отрезки параллельны, то сумма односторонних углов $\angle{A}$ и $\angle{A_{1}CA}$ равна $180^\circ$. Поскольку накрест лежащие $\angle{ABC}$ и $\angle{A_{1}CB}$ равны, а $\angle{A_{1}CA}=\angle{ACB}+\angle{ABC}$, то выходит:

    $$\angle{A}+\angle{A_{1}CA}=180^\circ\\\angle{A}+\angle{ABC}+\angle{ACB}=180^\circ$$

    Это и есть сумма углов треугольника $\bigtriangleup{ABC}$. Теорема доказана.

    Сумма углов треугольника: комментарий к доказательству

    Совершенно нормальный вопрос при изучении геометрии: «Почему именно такой нестандартный чертеж?! Боковой стороной?»

    Располагать треугольник на чертеже боковой стороной — нетипичная практика. Обычно мы рисуем эту фигуру по принципу его геометрического значка — $\bigtriangleup$. Однако допустите мысль, что теоремы об углах при параллельных таки навели вас на мысли, чему может равняться сумма углов треугольника. Что бы вы сделали первым делом при чертеже к доказательству?

    Расположили бы треугольник таким образом, чтобы его стороны «играли роль» потенциальных секущих, а третья сторона —  «роль» одной из возможных параллельных прямых.

    Так что подобный чертеж — попытка сразу «подогнать» ситуацию к удобному графическому использованию уже ранее доказанных теорем. Это — геометрическая сноровка. Так что не переживайте, если иногда кажется, что IQ рисовавшего чертеж уж слишком переваливает за 300… Сноровка вырабатывается со временем. Практикуйтесь и вы сможете так же!

    Следствие из теоремы о сумме углов треугольника

    Следствие из теоремы о сумме углов треугольника. У любого треугольника хотя бы два угла являются острыми.

    Напомним, что острым считается угол меньше $90^\circ$. Исходя из того, что сумма углов треугольника — всегда $180^\circ$, логично заключить невозможность наличия в треугольнике двух тупых углов. Сумма двух тупых углов всегда больше $180^\circ$. А это противоречит теореме о сумме углов треугольника.

    Виды треугольников

    Веточка «из одного $\rightarrow$ в другое» продолжается. С опорой на следствие из теоремы о сумме углов треугольника про виды треугольников можно сказать следующее:

    • есть треугольник с одним тупым углом, двумя другими острыми;
    • также треугольник, где все углы острые;
    • есть «пограничный» треугольник, где один угол — ровно $90^\circ$.

    Как видите, в евклидовой геометрии виды треугольников по параметру величины углов не так уж разнообразны. Всего три, ибо сумма углов всегда постоянна. Другое дело неевклидова геометрия, где бывают треугольники со «странными» углами.

    Эти странные углы в сумме дают как меньше $180^\circ$, так и больше $180^\circ$ — там всякое встречается. Да-а-а… Кстати, про одну из таких геометрий мы кое-что интересное рассказывали ранее. Можете ознакомиться.

    Треугольник, в котором один угол тупой, остальные острые, называется тупоугольным. Посмотрите на чертеж треугольника $\bigtriangleup{TUP}$. В нем $\angle{P}$ является тупым, $\angle{T}$ и $\angle{U}$ — острыми.

    Треугольник, в котором все углы являются острыми, называется остроугольным. Например, посмотрите на треугольник $\bigtriangleup{OST}$. Все углы в нем — $\angle{O}$, $\angle{S}$, $\angle{T}$ — меньше $90^\circ$.

    Треугольник, в котором присутствует угол со значением ровно $90^\circ$, называется прямоугольным. Потому что угол, равный $90^\circ$, в геометрии называется прямым. На чертеже-примере в треугольнике $\bigtriangleup{PRT}$ такой угол представляет $\angle{P}$.

    Углы равностороннего треугольника

    Следствие к равностороннему треугольнику. Все углы равностороннего треугольника равны между собой и составляют $60^\circ$.  

    Теорема о сумме углов треугольника приводит нас к еще одному следствию. По теореме о равнобедренном треугольнике известно, что против равных сторон лежат равные углы. В равностороннем треугольнике — частном случае равнобедренного — равны все стороны.  

    Следовательно в изображенном выше равностороннем $\bigtriangleup{ABC}$:

    • $\angle{A}=\angle{B}$, поскольку $AC=BC$;
    • $\angle{B}=\angle{C}$, поскольку $AB=AC$;
    • $\angle{C}=\angle{A}$, поскольку $AB=BC$.

    В $\bigtriangleup{ABC}$ мы можем заключить, что все углы равностороннего треугольника равны: $\angle{A}=\angle{B}=\angle{C}$. Сумма углов треугольников составляет $180^\circ$, откуда получаем: $$180^\circ=\angle{A}+\angle{B}+\angle{C}=60^\circ+60^\circ+60^\circ$$   

    Сумма углов треугольника: практика!

    Задача. Один из углов равнобедренного треугольника равняется $70^\circ$. Чему равняются остальные углы? Имеет ли данная задача больше одного решения?

    Решение

    «Один из углов…» — в условии не уточняется, какой именно. Угол может быть как при основании, так и при вершине. При основании слева или справа — не важно, так как треугольник равнобедренный. У него углы при основании равны. Поэтому на второй вопрос отвечаем сразу: да, задача имеет два решения.

    1. Предположим, что данные приводятся для угла при основании. Значит, еще один угол при основании также равняется $70^\circ$. Теорема о сумме углов треугольника «подсказывает», что угол при вершине равен разнице между $180^\circ$ и суммой углов при основании. Тогда угол при вершине равен $40^\circ$.

    2. С другой стороны, предполагаем, что данные приводятся для угла при вершине. По теореме о сумме углов треугольника получаем: $180^\circ-70=110^\circ$. Последнее — сумма углов при основании равнобедренного треугольника. Они равны, откуда получаем, что каждый равняется по $55^\circ$.

    Ответ: $70^\circ,~40^\circ$ или $55^\circ,~55^\circ$.  

    Задача для самостоятельного решения

    Образавр предупреждает: задача может показаться непростой. Это только кажется.

    В треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$ медиана $BD$ равна половине стороны $AC$. Чему равняется $\angle{B}$ треугольника?

    Показать решение

    Скрыть решение

    Дано:

    $\bigtriangleup{ABC}$
    $AD=DC=DB$

    Найти:

    $\angle{B}$ — ?

    Решение. При правильно выполненном чертеже видно, что $\bigtriangleup{ABC}$ прямоугольный. Однако это нужно доказать. Для этого рассмотрим $\bigtriangleup{ABD}$ и $\bigtriangleup{BCD}$.

    В треугольнике $\bigtriangleup{ABD}$ стороны $AD$ и $BD$ равны. Значит, треугольник равнобедренный. Из этого следует равенство углов $\angle{A}$ и $\angle{ABD}$. В треугольнике $\bigtriangleup{BCD}$ стороны $DB$ и $DC$ равны. Этот треугольник также равнобедренный. Откуда следует, что $\angle{C}=\angle{DBC}$.

    По теореме о сумме углов треугольника $\angle{A}+\angle{B}+\angle{C}=180^\circ$. Из рассмотренных треугольников $\bigtriangleup{ABD}$ и $\bigtriangleup{BCD}$ имеем, что $\angle{B}=\angle{A}+\angle{C}$. Выразим сумму $\angle{A}+\angle{C}$ через сумму углов треугольника и подставим в полученное уравнение для $\angle{B}$.

    $$\angle{B}=\angle{A}+\angle{C}\\\angle{A}+\angle{C}=180^\circ-\angle{B}$$

    Выполняем подстановку и получаем: $2\angle{B}=180^\circ$. Угол $\angle{B}$ — прямой, а треугольник $\bigtriangleup{ABC}$ действительно прямоугольный.

    Ответ: $\angle{B}=90^\circ$.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение