7 класс Геометрия Углы и стороны треугольника Сумма углов треугольника

Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника

Содержание

Вы уже знаете свойства параллельных прямых: если прямые параллельны, то накрест лежащие и соответственные углы равны. В этом уроке с их помощью докажем, что сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$, познакомимся с внешним углом треугольника и научимся находить неизвестные углы, в том числе в равнобедренном треугольнике.

Вопрос для начала: двенадцатилетний Блез Паскаль, по рассказу его сестры, без учебника и учителя сам дошел до этой теоремы. Как он мог убедиться, что прав, если транспортир показывает сумму углов лишь приблизительно, и какое место эта теорема занимает в книге Евклида? Ответим в последнем разделе.

Оторванные углы складываются в развернутый угол

Вырежьте из бумаги любой треугольник, отметьте дугами его углы и оторвите их. Приложите три кусочка вершинами к одной точке так, чтобы соседние касались сторонами без зазоров. Крайние стороны легли на одну прямую: три угла сложились в развернутый угол, то есть в $180^\circ$.

Опыт: у бумажного треугольника ABC оторвали три угла (линии отрыва пунктиром) и приложили вершинами к одной точке на прямой — они сложились в развернутый угол 180°: три угла треугольника вместе дают развернутый угол — Три угла треугольника, приложенные вершинами к одной точке, заполняют развернутый угол

Проверим транспортиром. Три ученика начертили разные треугольники и измерили их углы.

Ученик	Угол $A$	Угол $B$	Угол $C$	Сумма
Аня	$62^\circ$	$49^\circ$	$68^\circ$	$179^\circ$
Борис	$35^\circ$	$101^\circ$	$46^\circ$	$182^\circ$
Вера	$90^\circ$	$28^\circ$	$63^\circ$	$181^\circ$

Ровно $180^\circ$ не получилось ни у кого, но все суммы рядом. Транспортир ошибается на градус-другой, бумага рвется неровно. Опыт подсказывает гипотезу: сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Доказать ее опытом нельзя: треугольников бесконечно много, а каждое измерение приблизительно. Нужно рассуждение, которое годится сразу для всех треугольников.

{"questions":[{"content":"Три ученика оторвали углы бумажных треугольников и приложили их вершинами друг к другу. Транспортир показал $178^\\circ$, $181^\\circ$ и $180^\\circ$. Что показывает этот опыт?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Доказывает: у одного ученика получилось ровно $180^\\circ$","Показывает, что сумма углов у разных треугольников разная","Доказывает, что сумма углов любого треугольника равна $180^\\circ$","Подсказывает, что сумма углов равна $180^\\circ$, но не доказывает этого"],"explanations":["Одно измерение тоже приблизительно и проверяет только один треугольник","Разница в $1$–$2^\\circ$ — погрешность измерения, а не свойство треугольников","Три измерения с погрешностью не доказывают утверждения для всех треугольников",""],"answer":[3]}},"hints":["Измерение всегда приблизительно и проверяет только несколько треугольников.","Опыт подсказывает гипотезу, а для любого треугольника ее нужно доказать.","Ответ: опыт подсказывает, что сумма углов равна $180^\\circ$, но не доказывает этого."],"step":1}],"mix":1}

Калька переносит углы A и B к вершине C

В уроке о признаках параллельности калька переносила угол двумя движениями: сдвиг вдоль секущей дает соответственный угол, пол-оборота вокруг середины отрезка — накрест лежащий. Перенесем так углы треугольника $ABC$ вместо того, чтобы их отрывать. Продлим сторону $AC$ за точку $C$ и отметим на продолжении точку $D$.

Угол $A$ сдвинем калькой вдоль прямой $AC$, пока вершина $A$ не попадет в $C$. Луч $AC$ ляжет на луч $CD$, а луч $AB$ — на луч $CE$, параллельный $AB$. Угол $B$ повернем на пол-оборота вокруг середины $N$ стороны $BC$: вершина $B$ попадет в $C$, луч $BC$ ляжет на луч $CB$, а луч $BA$ — на тот же луч $CE$. Через точку $C$ проходит только одна прямая, параллельная $AB$, поэтому обе копии легли вдоль $CE$ вплотную, без зазора и без наложения. Вместе с углом $ACB$ они составили угол $ACD$, а он развернутый.

Треугольник ABC; через C проведена прямая CE, параллельная AB, D на продолжении AC. Калька: угол A сдвигается вдоль AC в угол ECD, угол B поворачивается на пол-оборота вокруг середины N стороны BC в угол BCE. У вершины C три угла (копия B, угол C, копия A) заполняют развернутый угол ACD — Копия угла B (накрест лежащий угол BCE) и копия угла A (соответственный угол ECD) вместе с углом C составляют развернутый угол ACD

Калька показывает, где искать равные углы, а доказывают их равенство свойства параллельных прямых. Запишем доказательство.

Теорема (о сумме углов треугольника)

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.

Доказательство

Дано: $\triangle ABC$. Доказать: $\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$.

Шаг 1. Через вершину $C$ проведем прямую $CE \parallel AB$ (по аксиоме параллельности такая прямая одна); точку $E$ возьмем по ту же сторону от прямой $AC$, что и точку $B$. На продолжении стороны $AC$ за точку $C$ отметим точку $D$.

Шаг 2. $\angle BCE=\angle B$ как накрест лежащие при $CE \parallel AB$ и секущей $BC$.

Шаг 3. $\angle ECD=\angle A$ как соответственные при $CE \parallel AB$ и секущей $AC$.

Шаг 4. Угол $ACD$ развернутый, лучи $CB$ и $CE$ делят его на три угла: $\angle ACB+\angle BCE+\angle ECD=180^\circ$. Подставим равенства из шагов 2 и 3: $\angle C+\angle B+\angle A=180^\circ$. Что и требовалось доказать.

uploaded-summa-uglov-perenos-d2625fa3ca99

Пример 1

Углы треугольника относятся как $3:4:5$. Найдите их.

Решение. Пусть углы равны $3x$, $4x$ и $5x$. По теореме о сумме углов $3x+4x+5x=180^\circ$, то есть $12x=180^\circ$, $x=15^\circ$. Углы: $3 \cdot 15^\circ=45^\circ$, $4 \cdot 15^\circ=60^\circ$, $5 \cdot 15^\circ=75^\circ$. Проверка: $45^\circ+60^\circ+75^\circ=180^\circ$.

Ответ: $45^\circ$, $60^\circ$, $75^\circ$.

{"questions":[{"content":"В треугольнике $ABC$ $\\angle A = 47^\\circ$, $\\angle B = 68^\\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"65"}},"hints":["Сумма углов треугольника равна $180^\\circ$.","$\\angle C = 180^\\circ-47^\\circ-68^\\circ = 65^\\circ$."],"step":1},{"content":"[[image-1]]Расставьте шаги доказательства того, что в треугольнике $ABC$ $\\angle A + \\angle B + \\angle C = 180^\\circ$, по порядку ($D$ — точка на продолжении $AC$ за точку $C$).[[sorter-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/cygpsm3yrxsw.svg"},"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Через вершину $C$ проведем прямую $CE \\parallel AB$","$\\angle BCE = \\angle B$ (накрест лежащие при секущей $BC$) и $\\angle ECD = \\angle A$ (соответственные при секущей $AC$)","Угол $ACD$ развернутый: $\\angle ACB + \\angle BCE + \\angle ECD = 180^\\circ$, значит, $\\angle C + \\angle B + \\angle A = 180^\\circ$"]}},"hints":["Идея: перенести углы $A$ и $B$ к вершине $C$ с помощью прямой, параллельной $AB$.","Углы $BCE$ и $ECD$ появляются только после построения — с него и начните.","Ответ: прямая $CE \\parallel AB$ → $\\angle BCE = \\angle B$ и $\\angle ECD = \\angle A$ → развернутый угол $ACD$ дает сумму $180^\\circ$."],"step":1}],"mix":1}

Тупой угол в треугольнике может быть только один

Теорема сразу запрещает некоторые треугольники. Пусть два угла треугольника прямые или тупые; назовем вершины так, чтобы это были углы $A$ и $B$. Их копии у вершины $C$ заняли бы не меньше $90^\circ+90^\circ=180^\circ$, то есть весь развернутый угол, и на третий угол не осталось бы места. На чертеже это видно так: лучи, проведенные из $A$ и $B$ под такими углами, расходятся и не встречаются.

Отрезок AB; из A проведен луч под углом 100° к AB, из B — под углом 95° к AB; лучи расходятся и не пересекаются, поэтому треугольник не получается: два тупых угла в треугольнике невозможны — При углах 100° и 95° у стороны AB лучи расходятся: третьей вершины нет

Определение

По углам треугольники делят на три вида. Остроугольный треугольник — все его углы острые. Прямоугольный треугольник — один его угол прямой. Тупоугольный треугольник — один его угол тупой.

Три вида треугольников: остроугольный (все углы острые), прямоугольный (есть прямой угол), тупоугольный (есть тупой угол); наибольший угол каждого выделен — он определяет вид треугольника — Вид треугольника определяет его наибольший угол: острый, прямой или тупой

Следствия из теоремы о сумме углов

1. В треугольнике не больше одного прямого или тупого угла; хотя бы два угла острые.

2. Каждый угол равностороннего треугольника равен $60^\circ$.

3. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$.

Второе следствие обещал урок «Равнобедренный и равносторонний треугольники»: все углы равностороннего треугольника равны, их три, а в сумме они дают $180^\circ$, поэтому каждый равен $180^\circ:3=60^\circ$. Третье: прямой угол забирает $90^\circ$, на два острых угла остается $180^\circ-90^\circ=90^\circ$.

Чтобы узнать вид треугольника по двум углам, сначала найдите третий. Два острых данных угла еще не значат, что треугольник остроугольный: при углах $30^\circ$ и $45^\circ$ третий угол равен $180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ$, и треугольник тупоугольный.

{"questions":[{"content":"Может ли в треугольнике быть два прямых угла?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Не может, но два тупых угла быть могут","Не может: на третий угол не останется градусов","Может, если третий угол острый","Может, если треугольник равнобедренный"],"explanations":["Два тупых угла в сумме больше $180^\\circ$ — тем более невозможно","","Даже острый угол больше $0^\\circ$, а сумма уже $180^\\circ$","В равнобедренном треугольнике сумма углов та же — $180^\\circ$"],"answer":[1]}},"hints":["Сумма углов треугольника равна $180^\\circ$.","Два прямых угла уже дают $90^\\circ + 90^\\circ = 180^\\circ$, на третий угол ничего не остается.","Ответ: не может."],"step":1},{"content":"В треугольнике $ABC$ $\\angle A = 37^\\circ$, $\\angle B = 48^\\circ$. Каков вид треугольника по углам?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Прямоугольный","Тупоугольный","Остроугольный","По двум углам вид определить нельзя"],"explanations":["Третий угол $95^\\circ$, а не $90^\\circ$","","Оба данных угла острые, но третий угол $95^\\circ$ — тупой","Третий угол находится по сумме углов: $180^\\circ-37^\\circ-48^\\circ$"],"answer":[1]}},"hints":["Найдем третий угол: $\\angle C = 180^\\circ-37^\\circ-48^\\circ = 95^\\circ$.","Угол больше $90^\\circ$ — тупой.","Ответ: тупоугольный."],"step":1},{"content":"В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $34^\\circ$. Найдите другой острый угол. Ответ дайте в градусах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"56"}},"hints":["Прямой угол $90^\\circ$, на два острых угла остается $180^\\circ-90^\\circ = 90^\\circ$.","$90^\\circ-34^\\circ = 56^\\circ$."],"step":1}],"mix":1}

Внешний угол собран из двух перенесенных углов

Определение

Внешний угол треугольника при вершине $C$ — угол, смежный с углом $C$ треугольника. Одна его сторона — сторона треугольника, другая — продолжение второй стороны за вершину $C$.

Вернемся к чертежу переноса. Угол $BCD$ смежен с углом $ACB$ — это внешний угол при вершине $C$. Он целиком заполнен двумя копиями: угла $B$ и угла $A$. Значит, $\angle BCD=\angle A+\angle B$.

Треугольник ABC; через C проведена прямая CE, параллельная AB, D — на продолжении AC за точку C. Внешний угол BCD выделен: его заполняют копия угла B (накрест лежащий угол BCE) и копия угла A (соответственный угол ECD) — Внешний угол BCD заполнен копиями углов A и B: копия B — угол BCE, копия A — угол ECD

Теорема (о внешнем угле треугольника)

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Это можно получить и подсчетом. Внешний угол $BCD$ и угол $C$ — смежные углы, вместе они дают $180^\circ$. Углы $A$, $B$, $C$ вместе тоже дают $180^\circ$. Уберем из обеих сумм угол $C$ — останется $\angle BCD=\angle A+\angle B$. Отсюда следствие: внешний угол больше каждого угла треугольника, не смежного с ним.

У каждой вершины два внешних угла: можно продлить за точку $C$ сторону $AC$, а можно сторону $BC$. Эти два угла вертикальные, поэтому равны.

Ошибка

В треугольнике $ABC$ $\angle A=35^\circ$, $\angle B=65^\circ$. Решавр продлил за точку $C$ обе стороны: $AC$ до точки $D$, $BC$ до точки $F$. Угол $DCF$ между продолжениями он назвал внешним и записал: «$\angle DCF=35^\circ+65^\circ=100^\circ$».

Проверим на числах. $\angle C=180^\circ-35^\circ-65^\circ=80^\circ$. Угол $DCF$ вертикален углу $ACB$, значит, он равен $80^\circ$, а не $100^\circ$.

Где сломалось. Ни одна сторона угла $DCF$ не является стороной треугольника: он не смежен с углом $C$ и внешним не является. Внешний угол — $BCD$ (или равный ему $ACF$): $180^\circ-80^\circ=100^\circ=35^\circ+65^\circ$.

Треугольник ABC; D — на продолжении AC за точку C, F — на продолжении BC за точку C. Внешние углы при вершине C — BCD и ACF (выделены); угол DCF между продолжениями вертикален углу ACB и внешним не является (красный) — Внешние углы при вершине C — BCD и ACF; угол DCF между продолжениями сторон вертикален углу C и внешним не является

Пример 2

Внешний угол треугольника $ABC$ при вершине $C$ равен $134^\circ$, $\angle A=81^\circ$. Найдите углы $B$ и $C$.

Решение. По теореме о внешнем угле $\angle A+\angle B=134^\circ$, поэтому $\angle B=134^\circ-81^\circ=53^\circ$. Угол $C$ смежен с внешним: $\angle C=180^\circ-134^\circ=46^\circ$. Проверка: $81^\circ+53^\circ+46^\circ=180^\circ$.

Ответ: $\angle B=53^\circ$, $\angle C=46^\circ$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]На рисунке у вершины $C$ треугольника $ABC$ отмечены углы $1$, $2$, $3$, $4$. Какие из них — внешние углы треугольника при вершине $C$? Отметьте все верные ответы.[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/zq3tglzuztpn.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\angle 3$","$\\angle 1$","$\\angle 2$","$\\angle 4$"],"explanations":["","","Угол $2$ вертикален углу $C$ треугольника, а не смежен с ним: ни одна его сторона не сторона треугольника","Угол $4$ — сам угол $C$ треугольника, а не внешний"],"answer":[0,1]}},"hints":["Внешний угол — угол, смежный с углом треугольника: одна его сторона — сторона треугольника, другая — продолжение второй стороны.","Угол $1$ смежный с углом $4$ (общая сторона $CB$), угол $3$ смежный с углом $4$ (общая сторона $CA$). Угол $2$ вертикален углу $4$.","Ответ: углы $1$ и $3$."],"step":1},{"content":"В треугольнике $ABC$ $\\angle A = 52^\\circ$, $\\angle B = 71^\\circ$. Найдите внешний угол при вершине $C$. Ответ дайте в градусах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"123"}},"hints":["Внешний угол при вершине — смежный с углом треугольника; он равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.","Внешний угол при вершине $C$ равен $\\angle A + \\angle B$.","$52^\\circ + 71^\\circ = 123^\\circ$."],"step":1},{"content":"В треугольнике $ABC$ $\\angle A = 50^\\circ$, $\\angle B = 60^\\circ$. Решавр продлил стороны $AC$ и $BC$ за точку $C$, назвал угол между продолжениями внешним и написал: «он равен $50^\\circ + 60^\\circ = 110^\\circ$». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Ошибка в сумме: внешний угол равен $\\angle A + \\angle C$","Ошибки нет: внешний угол равен сумме двух углов, не смежных с ним","Угол Решавра вертикален углу $C$ и равен $70^\\circ$; внешний угол смежен с углом $C$","Ошибка в сумме: внешний угол равен $\\angle A + \\angle B + \\angle C$"],"explanations":["Внешний угол при $C$ равен сумме углов, не смежных с ним, — $A$ и $B$","Сумма $110^\\circ$ верна для внешнего угла, но угол Решавра — вертикальный к $\\angle C$, он равен $70^\\circ$","","Сумма трех углов $180^\\circ$ — это развернутый угол, а не внешний"],"answer":[2]}},"hints":["Есть ли у угла Решавра сторона, которая является стороной треугольника?","Его стороны — продолжения $CA$ и $CB$ за точку $C$, значит, он вертикален углу $C$. Найдите $\\angle C$.","Ответ: Решавр взял вертикальный угол; он равен $\\angle C = 180^\\circ-50^\\circ-60^\\circ = 70^\\circ$, а внешний — $110^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Дан угол равнобедренного треугольника: при вершине или при основании?

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, развернутый угол $180^\circ$ делят три угла, два из которых равны. Если известен один угол, сначала надо понять, какой он: при вершине или при основании.

Ошибка

Задача: один из углов равнобедренного треугольника равен $70^\circ$, найдите два других. Решавр пишет: «Углы при основании равны $(180^\circ-70^\circ):2=55^\circ$. Ответ: $55^\circ$ и $55^\circ$».

Проверим другой случай. Пусть $70^\circ$ — угол при основании. Тогда второй угол при основании тоже $70^\circ$, а угол при вершине $180^\circ-140^\circ=40^\circ$. Сумма $70^\circ+70^\circ+40^\circ=180^\circ$ — такой треугольник существует.

Где сломалось. В условии не сказано, где лежит данный угол, а Решавр молча выбрал один случай. Верный ответ: $55^\circ$ и $55^\circ$ или $70^\circ$ и $40^\circ$.

Два равнобедренных треугольника с углом 70°: слева 70° при вершине (углы при основании по 55°), справа 70° при основании (угол при вершине 40°); оба треугольника существуют, поэтому ответов два — Угол 70° при вершине дает углы 55° и 55°, при основании — 70° и 40°: оба треугольника существуют

Данный угол	Если он при вершине	Если он при основании
$70^\circ$	$55^\circ$, $55^\circ$	$70^\circ$, $40^\circ$
$90^\circ$	$45^\circ$, $45^\circ$	невозможно: $90^\circ+90^\circ=180^\circ$
$100^\circ$	$40^\circ$, $40^\circ$	невозможно: $100^\circ+100^\circ>180^\circ$

Прямой или тупой угол может быть только при вершине: углы при основании равны, а двух прямых или тупых углов в треугольнике не бывает (первое следствие). Поэтому угол $100^\circ$ дает один ответ: $(180^\circ-100^\circ):2=40^\circ$.

Пример 3

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ угол $B$ равен $36^\circ$. Биссектрисы углов $A$ и $C$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $AOC$.

Решение. Угол $B$ лежит против основания, это угол при вершине. Углы при основании: $(180^\circ-36^\circ):2=72^\circ$. Биссектрисы делят их пополам: $\angle OAC=\angle OCA=36^\circ$. В треугольнике $AOC$ по теореме о сумме углов $\angle AOC=180^\circ-36^\circ-36^\circ=108^\circ$.

Ответ: $108^\circ$.

Равнобедренный треугольник ABC с основанием AC и углом B = 36°; биссектрисы углов A и C пересекаются в точке O; половины углов при основании по 36°; в треугольнике AOC два угла известны, угол AOC нужно найти — Сумма углов работает и в треугольнике AOC, который образовали биссектрисы

Вернемся к вопросу из начала. Сестра Паскаля Жильберта Перье в «Жизни господина Паскаля» рассказала: отец не давал мальчику книг по геометрии, и тот, придумав свои названия для окружности и прямой, сам вывел цепочку утверждений до 32-го предложения первой книги «Начал» Евклида. В этом предложении Евклид доказывает сразу обе теоремы урока: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, а три угла треугольника вместе равны двум прямым, то есть $180^\circ$. Доказывает он так же, как мы: через вершину проводит прямую, параллельную противоположной стороне. Паскаль не мерил углы — он рассуждал, а рассуждение верно сразу для всех треугольников.

Интересный факт: внешний угол у Евклида встречается дважды

Скрыть

Задолго до 32-го предложения, в 16-м, Евклид доказал более слабое утверждение: внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла, не смежного с ним. Для этого ему не понадобились параллельные прямые. А чтобы узнать, чему внешний угол равен, понадобилось свойство параллельных — поэтому сумма углов и равенство для внешнего угла стоят у Евклида в одном предложении, после параллельных.

{"questions":[{"content":"Один из углов равнобедренного треугольника равен $50^\\circ$. Какими могут быть два других угла? Отметьте все верные ответы.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$50^\\circ$ и $130^\\circ$","$40^\\circ$ и $90^\\circ$","$50^\\circ$ и $80^\\circ$","$65^\\circ$ и $65^\\circ$"],"explanations":["Сумма углов была бы $230^\\circ$: $130^\\circ$ — смежный угол, а не угол треугольника","Сумма $180^\\circ$, но равных углов нет — треугольник не равнобедренный","",""],"answer":[2,3]}},"hints":["Угол $50^\\circ$ может быть углом при вершине или углом при основании.","При вершине: углы при основании $(180^\\circ-50^\\circ) : 2 = 65^\\circ$. При основании: второй угол при основании $50^\\circ$, угол при вершине $180^\\circ-100^\\circ = 80^\\circ$.","Ответ: $65^\\circ$ и $65^\\circ$ или $50^\\circ$ и $80^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Прямые $a$ и $b$ параллельны, секущая пересекает $a$ в точке $A$, $b$ — в точке $B$. Биссектрисы односторонних углов при вершинах $A$ и $B$ пересекаются в точке $M$. Расставьте шаги доказательства того, что $\\angle AMB = 90^\\circ$, по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Односторонние углы при $a \\parallel b$ в сумме дают $180^\\circ$","Биссектрисы делят их пополам, поэтому $\\angle MAB + \\angle MBA = 180^\\circ : 2 = 90^\\circ$","В треугольнике $AMB$ сумма углов $180^\\circ$, значит, $\\angle AMB = 180^\\circ-90^\\circ = 90^\\circ$"]}},"hints":["При $a \\parallel b$ сумма односторонних углов $180^\\circ$; биссектрисы берут по половине каждого.","В треугольнике $AMB$ углы при $A$ и $B$ в сумме дают $90^\\circ$, на угол $M$ остается $90^\\circ$.","Ответ: свойство односторонних → половины в сумме $90^\\circ$ → сумма углов треугольника $AMB$ → $90^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Задача: один из углов равнобедренного треугольника равен $80^\\circ$, найдите два других. Решавр отвечает: «$50^\\circ$ и $50^\\circ$». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: данный угол равнобедренного треугольника всегда при вершине","Ответ должен быть только один: $80^\\circ$ и $20^\\circ$","Забыт случай, когда $80^\\circ$ — угол при основании: тогда углы $80^\\circ$ и $20^\\circ$","Забыт случай, когда $80^\\circ$ — угол при основании: тогда углы $80^\\circ$ и $100^\\circ$"],"explanations":["В условии не сказано, при вершине угол или при основании; проверка $80 + 80 + 20 = 180$ дает второй треугольник","Случай «при вершине» тоже возможен: $80 + 50 + 50 = 180$; ответов два","","$100^\\circ$ — смежный угол; сумма $80 + 80 + 100 = 260$, а не $180$"],"answer":[2]}},"hints":["Угол $80^\\circ$ может быть углом при вершине или углом при основании.","При основании: второй угол при основании тоже $80^\\circ$, угол при вершине $180^\\circ-160^\\circ = 20^\\circ$. Проверка: $80 + 80 + 20 = 180$.","Ответ: Решавр нашел только случай «угол при вершине» и забыл второй: $80^\\circ$ и $20^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Теорема о сумме углов — главный инструмент в задачах на углы треугольника: она дает третий угол по двум, вид треугольника, углы равностороннего и равнобедренного треугольников. Дальше она понадобится в уроках о неравенствах в треугольнике и о прямоугольном треугольнике. Чтобы вспомнить главное, представьте кальку, которая переносит углы $A$ и $B$ к вершине $C$.

Часто задаваемые вопросы

Почему сумма углов не зависит от размеров треугольника?

В доказательстве использованы только параллельная прямая и равенство накрест лежащих и соответственных углов, длины сторон в нем не участвуют. Поэтому у маленького и у огромного треугольника сумма углов одна и та же — $180^\circ$.

Может ли внешний угол быть острым?

Может, если угол треугольника при этой вершине тупой. Например, при угле $120^\circ$ внешний угол равен $180^\circ-120^\circ=60^\circ$. Он все равно равен сумме двух других углов треугольника: оба они острые и вместе дают $60^\circ$.

Чему равна сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине?

Каждый внешний угол равен $180^\circ$ минус угол треугольника. Три внешних угла вместе дают $3 \cdot 180^\circ-180^\circ=360^\circ$ — для любого треугольника.

Зачем доказывать теорему, если транспортир и так показывает около 180°?

Транспортир дает результат с погрешностью и только для тех треугольников, которые измерили. Доказательство отвечает сразу для всех треугольников и без погрешности. Кроме того, из опыта нельзя понять, $180^\circ$ это или, скажем, $179{,}9^\circ$.

Всегда ли сумма углов треугольника равна 180°?

На плоскости — всегда: доказательство опирается на аксиому параллельности. На поверхности шара роль прямых играют дуги больших окружностей, и там сумма углов треугольника больше $180^\circ$: треугольник из куска экватора и двух меридианов, угол между которыми $90^\circ$, имеет три прямых угла.

Награды за урок