{"questions":[{"content":"Сумма углов $\\angle{A}$, $\\angle{B}$ и $\\angle{C}$ в треугольнике $\\bigtriangleup{ABC}$ равняется:[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","unit":"$^\\circ$","answer":"180"}}},{"content":"<script src=\"https://unpkg.com/@lottiefiles/lottie-player@latest/dist/lottie-player.js\"></script><br /><lottie-player src=\"https://assets10.lottiefiles.com/packages/lf20_gndown9g.json\" background=\"transparent\" speed=\"1\" style=\"max-width: 50%;height: auto;\" loop=\"\" autoplay=\"\"></lottie-player>Согласно следствию из теоремы о сумме углов треугольника, что можно сказать о величине углов?[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Все углы в треугольнике всегда только острые.","В треугольнике всегда имеется минимум два острых угла.","В треугольнике всегда имеется минимум два тупых угла."],"answer":[1]}}},{"content":"[[speech-20]]<br><br>[[input-32]]","widgets":{"speech-20":{"type":"speech","text":"Известно, что в <i><b>равнобедренном</b></i> треугольнике $\\bigtriangleup{DFG}$ угол при вершине $G$ равен $110^\\circ$. Чему равняется угол при основании?"},"input-32":{"type":"input","unit":"$^\\circ$","answer":"35"}},"step":1,"hints":["$\\angle{D}+\\angle{F}+\\angle{G}=180^\\circ$. Углы при основании в равнобедренном треугольнике равны.","Сумма углов при основании равняется $70^\\circ$.","Нужно поделить данную сумму на $2$. Это и будет ответ."]},{"content":"[[image-54]]Даны три треугольника. Распределите их согласно видам. [[matcher-70]]","widgets":{"image-54":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/04/123-test.svg"},"matcher-70":{"type":"matcher","labels":["Треугольник «1»","Треугольник «2»","Треугольник «3»"],"items":["Остроугольный","Тупоугольный","Прямоугольный"]}}},{"content":"В треугольнике $\\bigtriangleup{ABC}$ угол $\\angle{A}$ равняется $30^\\circ$, угол $\\angle{B}$ равняется $60^\\circ$. К какому виду относится $\\bigtriangleup{ABC}$?[[choice-191]]","widgets":{"choice-191":{"type":"choice","options":["Этот треугольник тупоугольный.","Этот треугольник остроугольный.","Этот треугольник прямоугольный."],"answer":[2]}},"hints":["Воспользуйтесь теоремой о сумме углов треугольника и найдите, чему равняется $\\angle{C}$. Это сразу ответит на вопрос."]},{"content":"[[image-130]]Чему равняется величина угла в <i><b>равностороннем</b></i> треугольнике? [[input-159]]","widgets":{"image-130":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/04/ABC-r.svg","width":"300"},"input-159":{"type":"input","unit":"$^\\circ$","answer":"60"}},"hints":["В равностороннем треугольнике равны как все стороны, так и все углы."]},{"content":"<script src=\"https://unpkg.com/@lottiefiles/lottie-player@latest/dist/lottie-player.js\"></script><br /><lottie-player src=\"https://assets2.lottiefiles.com/packages/lf20_ghfhy6sw.json\" background=\"transparent\" speed=\"1\" style=\"max-width: 65%;height: auto;\" loop=\"\" autoplay=\"\"></lottie-player>Что такое <i><b>внешний</b></i> угол?[[choice-377]]","widgets":{"choice-377":{"type":"choice","options":["Это угол, смежный с внутренним углом треугольника.","Это угол, располагающийся между биссектрисами двух внутренних углов в треугольнике."],"answer":[0]}}},{"content":"[[image-435]]На чертеже изображен треугольник с внешним углом $\\angle{1}$. По теореме о внешнем угле треугольника, чему равняется $\\angle{1}$?[[choice-469]]","widgets":{"image-435":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/04/1234-test.svg"},"choice-469":{"type":"choice","options":["$\\angle{2}+\\angle{4}$","$\\angle{2}+\\angle{3}$","$\\angle{2}+\\angle{4}+\\angle{3}$","$\\angle{4}-\\angle{2}$"],"answer":[1]}},"hints":["Теорема о внешнем угле треугольника гласит, что величина внешнего угла при некоторой вершине треугольника равняется сумме величин двух других внутренних углов, не смежных с этим внешним."]},{"content":"[[image-587]]В треугольнике $\\bigtriangleup{ABC}$ отрезок $BK$ — биссектриса <i><b>внешнего</b></i> угла $\\angle{B}$, а $BG$ — биссектриса <i><b>внутреннего</b></i> угла $\\angle{B}$. Чему равняется угол $\\angle{KBG}$? [[input-1681]]","widgets":{"image-587":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/04/KGB-test.svg"},"input-1681":{"type":"input","unit":"$\\circ$","answer":"90"}},"hints":["$\\angle{KBG}$ — угол, образованный биссектрисами внутреннего и внешнего углов при одной вершине. <br><br>Воспользуйтесь соответствующим свойством угла между такими биссектрисами."]},{"content":"[[image-705]]В треугольнике $\\bigtriangleup{ABC}$ углы $\\angle{B}$ и $\\angle{C}$ равны $50^\\circ$ и $60^\\circ$ соответственно. На продолжении основания $AC$ отмечены точки $D$ и $E$ таким образом, что $AD=AB$, $CE=CB$. Найдите углы треугольника $\\bigtriangleup{DEB}$.<br><br>$\\angle{D}$ = [[input-748]]<br>$\\angle{E}$ = [[input-867]]<br>$\\angle{B}$ = [[input-961]]","widgets":{"image-705":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/04/hard-final.svg"},"input-748":{"type":"input","inline":1,"answer":"125"},"input-867":{"type":"input","inline":1,"answer":"30"},"input-961":{"type":"input","inline":1,"answer":"25"}},"step":1,"hints":["1. Рассмотрим $\\bigtriangleup{CEB}$. Стороны $CE$ и $CB$ равны по условию, следовательно треугольник равнобедренный и углы $\\angle{CEB}$ и $\\angle{EBC}$ равны. Угол $\\angle{ECB}$ в $\\bigtriangleup{CEB}$ — <i><b>внешний</b></i> $\\angle{C}$ в треугольнике $\\bigtriangleup{ABC}$. <br><br>Значит, в треугольнике $\\bigtriangleup{CEB}$: <br>$$\\angle{ECB}=120^\\circ, \\angle{CEB}=\\angle{EBC}=30^\\circ$$","2. Рассмотрим $\\bigtriangleup{ABD}$. По условию$AD=AB$, треугольник равнобедренный. Угол $\\angle{A}$ равняется $70^\\circ$, $\\angle{ADB}=\\angle{DBA}=55^\\circ$. Раз $\\angle{DBA}=55^\\circ$, $\\angle{B}$ в треугольнике $\\bigtriangleup{ABC}$ по условию равен $50^\\circ$, мы можем найти значение $\\angle{DBC}$. Этот угол равен $5^\\circ$.","3. Ранее мы нашли, что $\\angle{EBC}$ равен $30^\\circ$. У нас есть значение $\\angle{DBC}=5^\\circ$. Тогда $\\angle{EBD}=25^\\circ$. Это один из искомых углов в $\\bigtriangleup{DEB}$, угол $\\angle{B}$.","4. Рассмотрим $\\bigtriangleup{AEB}$. В нем $\\angle{A}=70^\\circ$, $\\angle{EBA}=30^\\circ+50^\\circ$. Значит, $\\angle{AEB}=30^\\circ$. Это еще один искомый угол в $\\bigtriangleup{DEB}$, угол $\\angle{E}$.","5. Остается найти $\\angle{D}$. Он равняется: $$180^\\circ-25^\\circ-30^\\circ=125^\\circ$$","<b>Ответ</b>: $\\angle{D}=125^\\circ,~\\angle{E}=30^\\circ,~\\angle{B}=25^\\circ$."]}],"mix":1}