0 0 0
Личный кабинет Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Внешний угол треугольника. Теорема о внешнем угле

Содержание

    Мы привыкли рассматривать треугольники, в особенности их углы, только «изнутри». Однако, знаете ли, «снаружи» треугольника тоже кипит жизнь. В этом уроке предлагаем узнать, что в геометрии треугольников имеется также внешний угол. А что же такое внешний угол? Какие свойства внешнего угла треугольника существуют? Может, есть какая-нибудь теорема о внешнем угле треугольника? Вот, сейчас будем все выяснять.

    Что такое внешний угол?

    Начертим треугольник $\bigtriangleup{ABC}$ и построим при вершине $B$ угол, смежный с $\angle{B}$. Теперь в $\bigtriangleup{ABC}$ при вершине $B$ появилось два угла — один «внутри», другой «снаружи». Угол «снаружи» называется внешним углом при вершине $B$. Дадим ему определение.  

    Внешний угол при данной вершине — угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.  

    Как обозначается внешний угол?

    Углы в треугольнике обозначаются согласно вершинам, где они располагаются, либо по трем точкам.

    Например, в треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$ угол при вершине $B$ обозначается как $\angle{B}$, либо как $\angle{ABC}$. А если при вершине $B$ в том числе имеется внешний угол? Его тоже обозначать как $\angle{B}$?

    Или лучше указать дополнительную точку на продолжении стороны? Вопрос отличный. Для того, чтобы подобной путаницы не возникало, в геометрии принят термин «внутренний угол».

    К примеру, в ходе задачи или доказательства вы пользуетесь внешним углом при некоторой вершине. Скажем, вновь при вершине $B$ в треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$. Когда вы ссылаетесь к углу треугольника внутри, можно уточнить: «Внутренний угол $\angle{B}$». 

    Когда ссылаетесь к углу снаружи, уточняйте: «Внешний угол $\angle{B}$». 

    Способ с уточнениями «внутренний угол», «внешний угол» проще и не требует дополнительных точек. К тому же, такое обозначение облегчает понимание, где в треугольнике располагается угол. Ведь вы акцентируете внимание только на вершине.

    Такое особенно полезно, когда решения или чертежи к задачам громоздкие. Бывает, что при одной вершине нужно рассматривать два внешних угла. Они все равно равны как вертикальные, но все же… Мало ли. Тут удобнее дать углам обозначение в стиле «$\angle{1}$» или, например, «$\angle{x}$».

    Теорема о внешнем угле треугольника

    Применим наши знания теоремы о сумме углов треугольника к внешним углам. Рассмотрим внешний угол $\angle{B}$ в треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$. Сумма $\angle{B}$ внешнего и $\angle{B}$ внутреннего равняется $180^\circ$, как смежных.

    По теореме о сумме углов треугольника: $$\angle{A}+\angle{B}+\angle{C}=180^\circ$$

    Если:

    • внутр. $\angle{B}+$ внеш. $\angle{B}=180^\circ$
    • $\angle{A}+$ внутр. $\angle{B}+\angle{C}=180^\circ$

    То:

    • внеш. $\angle{B}=180^\circ-$ внутр. $\angle{B}$
    • внутр. $\angle{B}=180^\circ-\angle{A}-\angle{C}$
    • внеш. $\angle{B}=180^\circ-180^\circ+\angle{A}+\angle{C}$

    Методом подстановки переменных из одного уравнения в другое мы обнаружили, что внешний угол равняется сумме двух других углов, с ним не смежных. Так, величина внешнего $\angle{B}$ равна сумме $\angle{A}+\angle{C}$ внутренних.

    Теорема о внешнем угле треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, с ним не смежных.

    Обратим ваше внимание вот еще на что.

    Раз внешний угол по величине — это сумма двух внутренних углов, внешний угол всегда будет по величине больше любого внутреннего угла, не смежного с ним. Полезное следствие, особенно если вдруг придется, скажем, доказывать возможность или невозможность существования некоторого треугольника. Или еще для чего-нибудь.

    Теорема о внешнем угле треугольника: доказательство Евклида

    Официально теорему о внешнем угле треугольника впервые доказал Евклид — древнегреческий математик, считающийся «отцом геометрии». Примечательно, что его доказательство не имеет ничего общего с теоремой о сумме углов треугольника — математик воспользовался свойствами углов при параллельных и секущей. Оно в принципе и понятно: Евклид огромное количество времени посвятил изучению параллельных прямых.

    В качестве практики и повторения материала по параллельным прямым и секущим мы приводим евклидовое доказательство. Оно очень даже достойно внимания. Итак, посмотрим, как внешний угол треугольника «общается» с параллельными прямыми.

    Доказательство

    Рассмотрим $\bigtriangleup{ABC}$ с внешним углом при вершине $B$. Проведем через эту вершину луч, параллельный стороне $AC$. Отметим на полученном луче точку $B_1$. На продолжении стороны $AB$ отметим точку $B_2$.

    Теперь рассмотрим параллельные отрезки $BB_1$ и $AC$ при секущей $AB$. Внутренний угол $\angle{A}$ и угол $\angle{B_{1}BB_2}$ равны как соответственные. Далее рассмотрим отрезки $BB_1$ и $AC$ при секущей $CB$. Углы $\angle{B_{1}BC}$ и $\angle{ACB}$ равны как накрест лежащие.

    Видим, что внешний $\angle{B}$ состоит из суммы внутренних углов $\angle{A}$ и $\angle{C}$. Что и требовалось доказать.

    Свойства внешнего угла

    Не сказать, что свойства внешнего угла многочисленные. В основном, когда затрагивается внешний угол, для решения задач или доказательства чего-либо хватает теоремы о внешнем угле треугольника. Ну, и смежности внутреннего и внешнего углов.

    То есть базового определения.

    Правда если к делу подключается биссектриса, свойства внешнего угла, помимо «классических», таки обнаруживаются. Разберем одно наиболее полезное.     

    Свойство биссектрис внешнего и внутреннего углов треугольника. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов являются перпендикулярными друг к другу.

    Доказательство

    Проведем в треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$ биссектрисы при внешнем $\angle{B}$ и при внутреннем $\angle{B}$. Для удобства разметим все полученные углы следующим образом: $x$ и $y$ — значения внутренних углов при вершинах $A$ и $C$ соответственно; $z$ — половина внутреннего $\angle{B}$; $f$ — половина внешнего $\angle{B}$.

    Нам требуется установить, чему равняется $z+f$. Если сумма будет равна $90^\circ$ — свойство доказано. Воспользуемся теоремой о внешнем угле и теоремой о сумме углов треугольника.

    $$2f=x+y\\2z+x+y=180^\circ$$

    Так как нам нужно найти сумму $z+f$, сложим уравнения выше:

    $$2f+2z+x+y=x+y+180^\circ$$

    Видим, что после сокращения $2(f+z)=180^\circ$.

    Следовательно сумма $f$ и $z$ равняется $90^\circ$. Биссектрисы перпендикулярны друг к другу. Свойство доказано.

    Задача для самостоятельного решения

    Свойства внешнего угла треугольника — нет. Теорема о внешнем угле треугольника — однозначное да. Решите данную задачу, не используя свойство смежности внешнего и внутреннего углов.

    Условие. В треугольнике $\bigtriangleup{ABH}$ величина внешних углов $\angle{1}$ и $\angle{2}$ равняется $97^\circ$ и $125^\circ$ соответственно. Найдите, чему равняется внутренний $\angle{A}$.

    Показать решение

    Спрятать решение

    Дано:

    $\bigtriangleup{ABH}$
    $\angle{1}=97^\circ$
    $\angle{2}=125^\circ$

    Найти:

    внутр. $\angle{A}$ — ?

    Решение. Воспользуемся теоремой о внешнем угле треугольника. Так как рассматривать мы будем только два внешних угла — $\angle{1}$ и $\angle{2}$, договоримся, что $\angle{A}$, $\angle{B}$ и $\angle{H}$ далее в решении относятся к обозначению только внутренних углов треугольника $\bigtriangleup{ABH}$.

    Имеем следующие равенства:

    $$\angle{1}=\angle{A}+\angle{B}\\\angle{2}=\angle{A}+\angle{H}$$

    Сложим между собой данные равенства и подставим имеющиеся по условию значения внешних углов $\angle{1}$ и $\angle{2}$:

    $$2\angle{A}+\angle{B}+\angle{H}=\angle{1}+\angle{2}=222^\circ$$

    Сумма углов $\angle{A}$, $\angle{B}$ и $\angle{H}$ составляет $180^\circ$. Вычтем из полученного выше равенства равенство $\angle{A}+\angle{B}+\angle{H}=180^\circ$.

    Получаем следующее:

    $$2\angle{A}+\angle{B}+\angle{H}=222^\circ\\\angle{A}+\angle{B}+\angle{H}=180^\circ\\\angle{A}=222^\circ-180^\circ$$

    Откуда получаем, что значение внутреннего угла $\angle{A}$ равняется $42^\circ$.

    Ответ: $42^\circ$.       

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение