Внешний угол треугольника. Теорема о внешнем угле

Мы привыкли рассматривать треугольники, в особенности их углы, только «изнутри». Однако, знаете ли, «снаружи» треугольника тоже кипит жизнь. В этом уроке предлагаем узнать, что в геометрии треугольников имеется также внешний угол. А что же такое внешний угол? Какие свойства внешнего угла треугольника существуют? Может, есть какая-нибудь теорема о внешнем угле треугольника? Вот, сейчас будем все выяснять.

Что такое внешний угол?

Начертим треугольник $\bigtriangleup{ABC}$ и построим при вершине $B$ угол, смежный с $\angle{B}$. Теперь в $\bigtriangleup{ABC}$ при вершине $B$ появилось два угла — один «внутри», другой «снаружи». Угол «снаружи» называется внешним углом при вершине $B$. Дадим ему определение.  

Внешний угол при данной вершине — угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.  

Как обозначается внешний угол?

Углы в треугольнике обозначаются согласно вершинам, где они располагаются, либо по трем точкам.

Например, в треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$ угол при вершине $B$ обозначается как $\angle{B}$, либо как $\angle{ABC}$. А если при вершине $B$ в том числе имеется внешний угол? Его тоже обозначать как $\angle{B}$?

К примеру, в ходе задачи или доказательства вы пользуетесь внешним углом при некоторой вершине. Скажем, вновь при вершине $B$ в треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$. Когда вы ссылаетесь к углу треугольника внутри, можно уточнить: «Внутренний угол $\angle{B}$». 

Когда ссылаетесь к углу снаружи, уточняйте: «Внешний угол $\angle{B}$». 

Способ с уточнениями «внутренний угол», «внешний угол» проще и не требует дополнительных точек. К тому же, такое обозначение облегчает понимание, где в треугольнике располагается угол. Ведь вы акцентируете внимание только на вершине.

Такое особенно полезно, когда решения или чертежи к задачам громоздкие. Бывает, что при одной вершине нужно рассматривать два внешних угла. Они все равно равны как вертикальные, но все же… Мало ли. Тут удобнее дать углам обозначение в стиле «$\angle{1}$» или, например, «$\angle{x}$».

{"questions":[{"content":"[[image-1]] В треугольнике $\\bigtriangleup{AHF}$ при вершине $A$ построен внешний угол. Как этот угол можно обозначить? Выберите <i><b>все</b></i> подходящие варианты. [[choice-5]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/04/test-O.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["$\\angle{A}$","Внешний $\\angle{A}$","$\\angle{OAH}$","$\\angle{OAF}$"],"answer":[1,2]}}}]}

Теорема о внешнем угле треугольника

Применим наши знания теоремы о сумме углов треугольника к внешним углам. Рассмотрим внешний угол $\angle{B}$ в треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$. Сумма $\angle{B}$ внешнего и $\angle{B}$ внутреннего равняется $180^\circ$, как смежных.

По теореме о сумме углов треугольника: $$\angle{A}+\angle{B}+\angle{C}=180^\circ$$

Методом подстановки переменных из одного уравнения в другое мы обнаружили, что внешний угол равняется сумме двух других углов, с ним не смежных. Так, величина внешнего $\angle{B}$ равна сумме $\angle{A}+\angle{C}$ внутренних.

Теорема о внешнем угле треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, с ним не смежных.

Обратим ваше внимание вот еще на что.

Раз внешний угол по величине — это сумма двух внутренних углов, внешний угол всегда будет по величине больше любого внутреннего угла, не смежного с ним. Полезное следствие, особенно если вдруг придется, скажем, доказывать возможность или невозможность существования некоторого треугольника. Или еще для чего-нибудь.

{"questions":[{"content":"<script src=\"https://unpkg.com/@lottiefiles/lottie-player@latest/dist/lottie-player.js\"></script><br /><lottie-player src=\"https://assets2.lottiefiles.com/packages/lf20_gdjvppm1.json\" background=\"transparent\" speed=\"1\" style=\"height: 300px; margin:auto; max-width: 300px\" loop=\"\" autoplay=\"\"></lottie-player>В треугольнике один угол равняется $40^\\circ$, второй угол равняется $70^\\circ$. Чему равна градусная мера угла, смежного с третьим углом в данном треугольнике? <br /><br />[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","unit":"$^\\circ$","answer":"110"}}}]}

Теорема о внешнем угле треугольника: доказательство Евклида

Официально теорему о внешнем угле треугольника впервые доказал Евклид — древнегреческий математик, считающийся «отцом геометрии». Примечательно, что его доказательство не имеет ничего общего с теоремой о сумме углов треугольника — математик воспользовался свойствами углов при параллельных и секущей. Оно в принципе и понятно: Евклид огромное количество времени посвятил изучению параллельных прямых.

В качестве практики и повторения материала по параллельным прямым и секущим мы приводим евклидовое доказательство. Оно очень даже достойно внимания. Итак, посмотрим, как внешний угол треугольника «общается» с параллельными прямыми.

Доказательство

Рассмотрим $\bigtriangleup{ABC}$ с внешним углом при вершине $B$. Проведем через эту вершину луч, параллельный стороне $AC$. Отметим на полученном луче точку $B_1$. На продолжении стороны $AB$ отметим точку $B_2$.

Теперь рассмотрим параллельные отрезки $BB_1$ и $AC$ при секущей $AB$. Внутренний угол $\angle{A}$ и угол $\angle{B_{1}BB_2}$ равны как соответственные. Далее рассмотрим отрезки $BB_1$ и $AC$ при секущей $CB$. Углы $\angle{B_{1}BC}$ и $\angle{ACB}$ равны как накрест лежащие.

Видим, что внешний $\angle{B}$ состоит из суммы внутренних углов $\angle{A}$ и $\angle{C}$. Что и требовалось доказать.

Свойства внешнего угла

Не сказать, что свойства внешнего угла многочисленные. В основном, когда затрагивается внешний угол, для решения задач или доказательства чего-либо хватает теоремы о внешнем угле треугольника. Ну, и смежности внутреннего и внешнего углов.

То есть базового определения.

Правда если к делу подключается биссектриса, свойства внешнего угла, помимо «классических», таки обнаруживаются. Разберем одно наиболее полезное.     

Свойство биссектрис внешнего и внутреннего углов треугольника. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов являются перпендикулярными друг к другу.

Доказательство

Проведем в треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$ биссектрисы при внешнем $\angle{B}$ и при внутреннем $\angle{B}$. Для удобства разметим все полученные углы следующим образом: $x$ и $y$ — значения внутренних углов при вершинах $A$ и $C$ соответственно; $z$ — половина внутреннего $\angle{B}$; $f$ — половина внешнего $\angle{B}$.

Нам требуется установить, чему равняется $z+f$. Если сумма будет равна $90^\circ$ — свойство доказано. Воспользуемся теоремой о внешнем угле и теоремой о сумме углов треугольника.

$$2f=x+y\\2z+x+y=180^\circ$$

Так как нам нужно найти сумму $z+f$, сложим уравнения выше:

$$2f+2z+x+y=x+y+180^\circ$$

Видим, что после сокращения $2(f+z)=180^\circ$.

Следовательно сумма $f$ и $z$ равняется $90^\circ$. Биссектрисы перпендикулярны друг к другу. Свойство доказано.

{"questions":[{"content":"[[image-1]] Треугольник $\\bigtriangleup{BKG}$ построен на биссектрисах внешнего и внутреннего угла $\\angle{B}$ треугольника $\\bigtriangleup{ABC}$. Из вершины $B$ в треугольнике $\\bigtriangleup{BKG}$ проведена еще <i><b>одна биссектриса</b></i> $BB_1$. Чему равняется угол $\\angle{KBB_1}$?[[input-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/04/test-bb1.svg","width":"500"},"input-6":{"type":"input","unit":"$^\\circ$","answer":"45"}},"step":1,"hints":["Это задача по принципу «кручу, верчу, запутать хочу». Угол $\\angle{KBG}$ — угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов при одной вершине в $\\bigtriangleup{ABC}$.","Значение угла между биссектрисами определяется свойством, которое мы только что разобрали.","Вам всего лишь остается указать градусную меру половины <b>этого</b> угла."]}]}

Задача для самостоятельного решения

Свойства внешнего угла треугольника — нет. Теорема о внешнем угле треугольника — однозначное да. Решите данную задачу, не используя свойство смежности внешнего и внутреннего углов.

Условие. В треугольнике $\bigtriangleup{ABH}$ величина внешних углов $\angle{1}$ и $\angle{2}$ равняется $97^\circ$ и $125^\circ$ соответственно. Найдите, чему равняется внутренний $\angle{A}$.

Показать решение

Спрятать решение