Личный кабинет Выйти Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание История России ОГЭ
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Внешний угол треугольника. Теорема о внешнем угле

Содержание

    Мы привыкли рассматривать треугольники, в особенности их углы, только «изнутри». Однако, знаете ли, «снаружи» треугольника тоже кипит жизнь. В этом уроке предлагаем узнать, что в геометрии треугольников имеется также внешний угол. А что же такое внешний угол? Какие свойства внешнего угла треугольника существуют? Может, есть какая-нибудь теорема о внешнем угле треугольника? Вот, сейчас будем все выяснять.

    Что такое внешний угол?

    Начертим треугольник $\bigtriangleup{ABC}$ и построим при вершине $B$ угол, смежный с $\angle{B}$. Теперь в $\bigtriangleup{ABC}$ при вершине $B$ появилось два угла — один «внутри», другой «снаружи». Угол «снаружи» называется внешним углом при вершине $B$. Дадим ему определение.  

    Внешний угол при данной вершине — угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.  

    Как обозначается внешний угол?

    Углы в треугольнике обозначаются согласно вершинам, где они располагаются, либо по трем точкам.

    Например, в треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$ угол при вершине $B$ обозначается как $\angle{B}$, либо как $\angle{ABC}$. А если при вершине $B$ в том числе имеется внешний угол? Его тоже обозначать как $\angle{B}$?

    Или лучше указать дополнительную точку на продолжении стороны? Вопрос отличный. Для того, чтобы подобной путаницы не возникало, в геометрии принят термин «внутренний угол».

    К примеру, в ходе задачи или доказательства вы пользуетесь внешним углом при некоторой вершине. Скажем, вновь при вершине $B$ в треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$. Когда вы ссылаетесь к углу треугольника внутри, можно уточнить: «Внутренний угол $\angle{B}$». 

    Когда ссылаетесь к углу снаружи, уточняйте: «Внешний угол $\angle{B}$». 

    Способ с уточнениями «внутренний угол», «внешний угол» проще и не требует дополнительных точек. К тому же, такое обозначение облегчает понимание, где в треугольнике располагается угол. Ведь вы акцентируете внимание только на вершине.

    Такое особенно полезно, когда решения или чертежи к задачам громоздкие. Бывает, что при одной вершине нужно рассматривать два внешних угла. Они все равно равны как вертикальные, но все же… Мало ли. Тут удобнее дать углам обозначение в стиле «$\angle{1}$» или, например, «$\angle{x}$».

    Теорема о внешнем угле треугольника

    Применим наши знания теоремы о сумме углов треугольника к внешним углам. Рассмотрим внешний угол $\angle{B}$ в треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$. Сумма $\angle{B}$ внешнего и $\angle{B}$ внутреннего равняется $180^\circ$, как смежных.

    По теореме о сумме углов треугольника: $$\angle{A}+\angle{B}+\angle{C}=180^\circ$$

    Если:

    • внутр. $\angle{B}+$ внеш. $\angle{B}=180^\circ$
    • $\angle{A}+$ внутр. $\angle{B}+\angle{C}=180^\circ$

    То:

    • внеш. $\angle{B}=180^\circ-$ внутр. $\angle{B}$
    • внутр. $\angle{B}=180^\circ-\angle{A}-\angle{C}$
    • внеш. $\angle{B}=180^\circ-180^\circ+\angle{A}+\angle{C}$

    Методом подстановки переменных из одного уравнения в другое мы обнаружили, что внешний угол равняется сумме двух других углов, с ним не смежных. Так, величина внешнего $\angle{B}$ равна сумме $\angle{A}+\angle{C}$ внутренних.

    Теорема о внешнем угле треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, с ним не смежных.

    Обратим ваше внимание вот еще на что.

    Раз внешний угол по величине — это сумма двух внутренних углов, внешний угол всегда будет по величине больше любого внутреннего угла, не смежного с ним. Полезное следствие, особенно если вдруг придется, скажем, доказывать возможность или невозможность существования некоторого треугольника. Или еще для чего-нибудь.

    Теорема о внешнем угле треугольника: доказательство Евклида

    Официально теорему о внешнем угле треугольника впервые доказал Евклид — древнегреческий математик, считающийся «отцом геометрии». Примечательно, что его доказательство не имеет ничего общего с теоремой о сумме углов треугольника — математик воспользовался свойствами углов при параллельных и секущей. Оно в принципе и понятно: Евклид огромное количество времени посвятил изучению параллельных прямых.

    В качестве практики и повторения материала по параллельным прямым и секущим мы приводим евклидовое доказательство. Оно очень даже достойно внимания. Итак, посмотрим, как внешний угол треугольника «общается» с параллельными прямыми.

    Доказательство

    Рассмотрим $\bigtriangleup{ABC}$ с внешним углом при вершине $B$. Проведем через эту вершину луч, параллельный стороне $AC$. Отметим на полученном луче точку $B_1$. На продолжении стороны $AB$ отметим точку $B_2$.

    Теперь рассмотрим параллельные отрезки $BB_1$ и $AC$ при секущей $AB$. Внутренний угол $\angle{A}$ и угол $\angle{B_{1}BB_2}$ равны как соответственные. Далее рассмотрим отрезки $BB_1$ и $AC$ при секущей $CB$. Углы $\angle{B_{1}BC}$ и $\angle{ACB}$ равны как накрест лежащие.

    Видим, что внешний $\angle{B}$ состоит из суммы внутренних углов $\angle{A}$ и $\angle{C}$. Что и требовалось доказать.

    Свойства внешнего угла

    Не сказать, что свойства внешнего угла многочисленные. В основном, когда затрагивается внешний угол, для решения задач или доказательства чего-либо хватает теоремы о внешнем угле треугольника. Ну, и смежности внутреннего и внешнего углов.

    То есть базового определения.

    Правда если к делу подключается биссектриса, свойства внешнего угла, помимо «классических», таки обнаруживаются. Разберем одно наиболее полезное.     

    Свойство биссектрис внешнего и внутреннего углов треугольника. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов являются перпендикулярными друг к другу.

    Доказательство

    Проведем в треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$ биссектрисы при внешнем $\angle{B}$ и при внутреннем $\angle{B}$. Для удобства разметим все полученные углы следующим образом: $x$ и $y$ — значения внутренних углов при вершинах $A$ и $C$ соответственно; $z$ — половина внутреннего $\angle{B}$; $f$ — половина внешнего $\angle{B}$.

    Нам требуется установить, чему равняется $z+f$. Если сумма будет равна $90^\circ$ — свойство доказано. Воспользуемся теоремой о внешнем угле и теоремой о сумме углов треугольника.

    $$2f=x+y\\2z+x+y=180^\circ$$

    Так как нам нужно найти сумму $z+f$, сложим уравнения выше:

    $$2f+2z+x+y=x+y+180^\circ$$

    Видим, что после сокращения $2(f+z)=180^\circ$.

    Следовательно сумма $f$ и $z$ равняется $90^\circ$. Биссектрисы перпендикулярны друг к другу. Свойство доказано.

    Задача для самостоятельного решения

    Свойства внешнего угла треугольника — нет. Теорема о внешнем угле треугольника — однозначное да. Решите данную задачу, не используя свойство смежности внешнего и внутреннего углов.

    Условие. В треугольнике $\bigtriangleup{ABH}$ величина внешних углов $\angle{1}$ и $\angle{2}$ равняется $97^\circ$ и $125^\circ$ соответственно. Найдите, чему равняется внутренний $\angle{A}$.

    Показать решение

    Спрятать решение

    Дано:

    $\bigtriangleup{ABH}$
    $\angle{1}=97^\circ$
    $\angle{2}=125^\circ$

    Найти:

    внутр. $\angle{A}$ — ?

    Решение. Воспользуемся теоремой о внешнем угле треугольника. Так как рассматривать мы будем только два внешних угла — $\angle{1}$ и $\angle{2}$, договоримся, что $\angle{A}$, $\angle{B}$ и $\angle{H}$ далее в решении относятся к обозначению только внутренних углов треугольника $\bigtriangleup{ABH}$.

    Имеем следующие равенства:

    $$\angle{1}=\angle{A}+\angle{B}\\\angle{2}=\angle{A}+\angle{H}$$

    Сложим между собой данные равенства и подставим имеющиеся по условию значения внешних углов $\angle{1}$ и $\angle{2}$:

    $$2\angle{A}+\angle{B}+\angle{H}=\angle{1}+\angle{2}=222^\circ$$

    Сумма углов $\angle{A}$, $\angle{B}$ и $\angle{H}$ составляет $180^\circ$. Вычтем из полученного выше равенства равенство $\angle{A}+\angle{B}+\angle{H}=180^\circ$.

    Получаем следующее:

    $$2\angle{A}+\angle{B}+\angle{H}=222^\circ\\\angle{A}+\angle{B}+\angle{H}=180^\circ\\\angle{A}=222^\circ-180^\circ$$

    Откуда получаем, что значение внутреннего угла $\angle{A}$ равняется $42^\circ$.

    Ответ: $42^\circ$.       

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии

    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение