Сумма углов треугольника. Внешний угол

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"В треугольнике $ABC$ $\\angle A = 38^\\circ$, $\\angle B = 97^\\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"45"}},"hints":["Сумма углов треугольника равна $180^\\circ$.","$\\angle C = 180^\\circ-38^\\circ-97^\\circ = 45^\\circ$."],"step":1},{"id":"1","content":"В треугольнике $MNK$ $\\angle M = 112^\\circ$, $\\angle N = 29^\\circ$. Найдите угол $K$. Ответ дайте в градусах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"39"}},"hints":["Сумма углов треугольника равна $180^\\circ$.","$\\angle K = 180^\\circ-112^\\circ-29^\\circ = 39^\\circ$."],"step":1},{"id":"2","content":"Даны два угла треугольника. Сопоставьте их с видом треугольника по углам.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$40^\\circ$ и $50^\\circ$","$30^\\circ$ и $40^\\circ$","$60^\\circ$ и $70^\\circ$"],"items":["Прямоугольный","Тупоугольный","Остроугольный","Такого треугольника нет"]}},"hints":["Найдите третий угол: $180^\\circ$ минус сумма данных.","Третьи углы: $90^\\circ$, $110^\\circ$, $50^\\circ$.","Ответ: прямоугольный, тупоугольный, остроугольный."],"step":1},{"id":"2","content":"Даны два угла треугольника. Сопоставьте их с видом треугольника по углам.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$35^\\circ$ и $45^\\circ$","$55^\\circ$ и $75^\\circ$","$25^\\circ$ и $65^\\circ$"],"items":["Тупоугольный","Остроугольный","Прямоугольный","Такого треугольника нет"]}},"hints":["Найдите третий угол: $180^\\circ$ минус сумма данных.","Третьи углы: $100^\\circ$, $50^\\circ$, $90^\\circ$.","Ответ: тупоугольный, остроугольный, прямоугольный."],"step":1},{"id":"3","content":"Распределите тройки углов: какие могут быть углами одного треугольника, а какие нет.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Могут","Не могут"],"items":[["$50^\\circ$, $60^\\circ$, $70^\\circ$","$90^\\circ$, $50^\\circ$, $40^\\circ$"],["$100^\\circ$, $50^\\circ$, $40^\\circ$","$30^\\circ$, $60^\\circ$, $80^\\circ$"]]}},"hints":["Сумма углов треугольника равна $180^\\circ$.","Суммы: $180^\\circ$, $180^\\circ$, $190^\\circ$, $170^\\circ$.","Могут: $50^\\circ$, $60^\\circ$, $70^\\circ$ и $90^\\circ$, $50^\\circ$, $40^\\circ$. Не могут: $100^\\circ$, $50^\\circ$, $40^\\circ$ и $30^\\circ$, $60^\\circ$, $80^\\circ$."],"step":1},{"id":"3","content":"Распределите тройки углов: какие могут быть углами одного треугольника, а какие нет.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Могут","Не могут"],"items":[["$20^\\circ$, $75^\\circ$, $85^\\circ$","$45^\\circ$, $45^\\circ$, $90^\\circ$"],["$110^\\circ$, $40^\\circ$, $40^\\circ$","$35^\\circ$, $65^\\circ$, $70^\\circ$"]]}},"hints":["Сумма углов треугольника равна $180^\\circ$.","Суммы: $180^\\circ$, $180^\\circ$, $190^\\circ$, $170^\\circ$.","Могут: $20^\\circ$, $75^\\circ$, $85^\\circ$ и $45^\\circ$, $45^\\circ$, $90^\\circ$. Не могут: $110^\\circ$, $40^\\circ$, $40^\\circ$ и $35^\\circ$, $65^\\circ$, $70^\\circ$."],"step":1},{"id":"4","content":"Какое утверждение верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Сумма углов треугольника зависит от длин его сторон","Внешний угол при вершине $C$ — угол между продолжениями сторон $CA$ и $CB$ за точку $C$","В любом треугольнике хотя бы два угла острые","В треугольнике может быть два тупых угла"],"explanations":["Сумма углов любого треугольника равна $180^\\circ$","Это угол, вертикальный углу $C$; внешний смежен с углом $C$","","Два тупых угла в сумме больше $180^\\circ$"],"answer":[2]}},"hints":["Сумма углов треугольника $180^\\circ$; внешний угол равен сумме двух углов, не смежных с ним.","Проверьте каждое утверждение на примере.","Ответ: в любом треугольнике хотя бы два угла острые."],"step":1},{"id":"4","content":"Какое утверждение верно?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Внешний угол треугольника меньше каждого угла, не смежного с ним","В треугольнике может быть два прямых угла","Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $180^\\circ$","Каждый угол равностороннего треугольника равен $60^\\circ$"],"explanations":["Он равен сумме двух таких углов, значит, больше каждого из них","Два прямых угла уже дают $180^\\circ$, на третий не остается","Острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают $90^\\circ$",""],"answer":[3]}},"hints":["Сумма углов треугольника $180^\\circ$; внешний угол равен сумме двух углов, не смежных с ним.","Проверьте каждое утверждение на примере.","Ответ: каждый угол равностороннего треугольника равен $60^\\circ$."],"step":1},{"id":"5","content":"В треугольнике $ABC$ $\\angle A = 44^\\circ$, $\\angle B = 77^\\circ$. Найдите внешний угол при вершине $C$. Ответ дайте в градусах. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"121"}},"hints":["Внешний угол при вершине — смежный с углом треугольника; он равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.","Внешний угол при $C$ равен $\\angle A + \\angle B$.","$44^\\circ + 77^\\circ = 121^\\circ$."],"step":1},{"id":"5","content":"В треугольнике $ABC$ $\\angle A = 39^\\circ$, $\\angle C = 86^\\circ$. Найдите внешний угол при вершине $B$. Ответ дайте в градусах. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"125"}},"hints":["Внешний угол при вершине — смежный с углом треугольника; он равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.","Внешний угол при $B$ равен $\\angle A + \\angle C$.","$39^\\circ + 86^\\circ = 125^\\circ$."],"step":1},{"id":"6","content":"Внешний угол треугольника $ABC$ при вершине $C$ равен $142^\\circ$, $\\angle A = 64^\\circ$. Найдите угол $B$. Ответ дайте в градусах. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"78"}},"hints":["Внешний угол при вершине — смежный с углом треугольника; он равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.","$\\angle A + \\angle B = 142^\\circ$.","$\\angle B = 142^\\circ-64^\\circ = 78^\\circ$."],"step":1},{"id":"6","content":"Внешний угол треугольника $ABC$ при вершине $A$ равен $115^\\circ$, $\\angle B = 48^\\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"67"}},"hints":["Внешний угол при вершине — смежный с углом треугольника; он равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.","$\\angle B + \\angle C = 115^\\circ$.","$\\angle C = 115^\\circ-48^\\circ = 67^\\circ$."],"step":1},{"id":"7","content":"В треугольнике $ABC$ $\\angle C = 80^\\circ$. Биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"130"}},"hints":["Углы $A$ и $B$ по отдельности неизвестны. Что можно найти по углу $C$?","$\\angle A + \\angle B = 180^\\circ-80^\\circ = 100^\\circ$; биссектрисы берут половины: $\\angle OAB + \\angle OBA = 100^\\circ : 2 = 50^\\circ$.","В треугольнике $AOB$: $\\angle AOB = 180^\\circ-50^\\circ = 130^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"В треугольнике $ABC$ $\\angle C = 64^\\circ$. Биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"122"}},"hints":["Углы $A$ и $B$ по отдельности неизвестны. Что можно найти по углу $C$?","$\\angle A + \\angle B = 180^\\circ-64^\\circ = 116^\\circ$; биссектрисы берут половины: $\\angle OAB + \\angle OBA = 116^\\circ : 2 = 58^\\circ$.","В треугольнике $AOB$: $\\angle AOB = 180^\\circ-58^\\circ = 122^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"В треугольнике $ABC$ $\\angle A = 40^\\circ$, $\\angle B = 75^\\circ$. Решавр продлил стороны $AC$ и $BC$ за точку $C$ и пишет: «Угол между продолжениями — внешний при вершине $C$, он равен $40^\\circ + 75^\\circ = 115^\\circ$». Какой угол на самом деле взял Решавр и чему он равен?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Угол Решавра внешний, но равен $\\angle A + \\angle C = 105^\\circ$","Угол Решавра вертикален углу $C$ и равен $65^\\circ$","Угол Решавра вертикален углу $C$ и равен $115^\\circ$","Угол Решавра смежен с углом $C$ и равен $115^\\circ$ — ошибки нет"],"explanations":["Ни одна сторона угла Решавра не является стороной треугольника, поэтому он не внешний, а вертикален углу $C$","","Вертикальные углы равны, поэтому угол Решавра равен $\\angle C = 65^\\circ$; $115^\\circ$ — внешний угол","У смежного угла одна сторона общая с углом $C$, а у угла Решавра обе стороны — продолжения сторон: он вертикален углу $C$"],"answer":[1]}},"hints":["Есть ли у угла Решавра сторона, которая является стороной треугольника?","Обе его стороны — продолжения сторон $CA$ и $CB$ за точку $C$, значит, он вертикален углу $C$. Найдите $\\angle C$.","Ответ: угол Решавра вертикален углу $C$ и равен $\\angle C = 180^\\circ-40^\\circ-75^\\circ = 65^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"В треугольнике $ABC$ $\\angle A = 45^\\circ$, $\\angle B = 75^\\circ$, $\\angle C = 60^\\circ$. Решавр пишет: «Внешний угол при вершине $C$ равен $\\angle A + \\angle C = 105^\\circ$». В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: внешний угол равен сумме двух углов треугольника","Внешний угол равен $\\angle A + \\angle B + \\angle C = 180^\\circ$","Внешний угол при $C$ равен самому углу $C$, то есть $60^\\circ$","Угол $C$ смежен с внешним углом; нужно $\\angle A + \\angle B = 120^\\circ$"],"explanations":["Не любых двух, а двух углов, не смежных с ним; угол $C$ смежен с внешним углом при $C$","Сумма всех углов дает развернутый угол, а не внешний","Угол $60^\\circ$ — угол треугольника; внешний смежен с ним и равен $120^\\circ$",""],"answer":[3]}},"hints":["Какой угол треугольника смежен с внешним углом при вершине $C$, а какие — нет?","Угол $C$ смежен с внешним, поэтому в сумму не входит: внешний угол равен сумме двух других углов треугольника.","Ответ: нужно $\\angle A + \\angle B = 45^\\circ + 75^\\circ = 120^\\circ$ (проверка: $180^\\circ-60^\\circ = 120^\\circ$)."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Задача: один из углов равнобедренного треугольника равен $40^\\circ$, найдите два других. Решавр отвечает: «$70^\\circ$ и $70^\\circ$». В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Забыт случай, когда $40^\\circ$ — угол при основании: тогда углы $40^\\circ$ и $140^\\circ$","Ошибки нет: данный угол равнобедренного треугольника всегда при вершине","Ответ должен быть только один: $40^\\circ$ и $100^\\circ$","Забыт случай, когда $40^\\circ$ — угол при основании: тогда углы $40^\\circ$ и $100^\\circ$"],"explanations":["$140^\\circ$ — смежный угол; сумма $40 + 40 + 140 = 220$, а не $180$","В условии не сказано, при вершине угол или при основании; проверка $40 + 40 + 100 = 180$ дает второй треугольник","Случай «при вершине» тоже возможен: $40 + 70 + 70 = 180$; ответов два",""],"answer":[3]}},"hints":["Угол $40^\\circ$ может быть при вершине или при основании.","При основании: второй угол при основании $40^\\circ$, угол при вершине $180^\\circ-80^\\circ = 100^\\circ$. Проверка: $40 + 40 + 100 = 180$.","Ответ: Решавр забыл второй случай: $40^\\circ$ и $100^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Задача: один из углов равнобедренного треугольника равен $30^\\circ$, найдите два других. Решавр отвечает: «$75^\\circ$ и $75^\\circ$». В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Забыт случай, когда $30^\\circ$ — угол при основании: тогда углы $30^\\circ$ и $150^\\circ$","Ошибки нет: данный угол равнобедренного треугольника всегда при вершине","Забыт случай, когда $30^\\circ$ — угол при основании: тогда углы $30^\\circ$ и $120^\\circ$","Ответ должен быть только один: $30^\\circ$ и $120^\\circ$"],"explanations":["$150^\\circ$ — смежный угол; сумма $30 + 30 + 150 = 210$, а не $180$","В условии не сказано, при вершине угол или при основании; проверка $30 + 30 + 120 = 180$ дает второй треугольник","","Случай «при вершине» тоже возможен: $30 + 75 + 75 = 180$; ответов два"],"answer":[2]}},"hints":["Угол $30^\\circ$ может быть при вершине или при основании.","При основании: второй угол при основании $30^\\circ$, угол при вершине $180^\\circ-60^\\circ = 120^\\circ$. Проверка: $30 + 30 + 120 = 180$.","Ответ: Решавр забыл второй случай: $30^\\circ$ и $120^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Один из углов равнобедренного треугольника равен $110^\\circ$. Найдите угол при основании. Ответ дайте в градусах. [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"35"}},"hints":["Может ли $110^\\circ$ быть углом при основании? Тогда два угла при основании дали бы $220^\\circ > 180^\\circ$ — нельзя.","Значит, $110^\\circ$ — угол при вершине. Углы при основании: $(180^\\circ-110^\\circ) : 2$.","$35^\\circ$."],"step":1},{"id":"10","content":"Один из углов равнобедренного треугольника равен $96^\\circ$. Найдите угол при основании. Ответ дайте в градусах. [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"42"}},"hints":["Может ли $96^\\circ$ быть углом при основании? Тогда два угла при основании дали бы $192^\\circ > 180^\\circ$ — нельзя.","Значит, $96^\\circ$ — угол при вершине. Углы при основании: $(180^\\circ-96^\\circ) : 2$.","$42^\\circ$."],"step":1}]}</textarea></pre></div>