Медиана, биссектриса и высота треугольника

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"[[image-1]]Какой отрезок на рисунке является биссектрисой треугольника $ABC$?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/rjium4rlhz34.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$BE$","$AD$","$CF$","Такого отрезка на рисунке нет"],"explanations":["","Штрихи $BD = DC$ показывают середину стороны: $AD$ — медиана","У точки $F$ прямой угол: $CF$ — высота","Равные дуги у вершины $B$ показывают, что $BE$ делит угол $B$ пополам"],"answer":[0]}},"hints":["Биссектриса — сгиб, кладущий одну сторону угла на другую: ее отмечают равными дугами при вершине.","Равные дуги стоят у угла $B$: $\\angle ABE = \\angle EBC$, и $E$ лежит на стороне $AC$.","Ответ: $BE$."],"step":1},{"id":"1","content":"[[image-2]]Какой отрезок на рисунке является высотой треугольника $KLM$?[[choice-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/dkoxtwiioqfx.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["$LP$","$KQ$","$MR$","Такого отрезка на рисунке нет"],"explanations":["","Штрихи $LQ = QM$ показывают середину стороны: $KQ$ — медиана","Равные дуги у вершины $M$: $MR$ — биссектриса","Знак прямого угла у точки $P$ показывает, что $LP \\perp KM$"],"answer":[0]}},"hints":["Высота — перпендикуляр из вершины к прямой, содержащей противолежащую сторону: ее отмечают знаком прямого угла.","Знак прямого угла стоит у точки $P$ на стороне $KM$.","Ответ: $LP$."],"step":1},{"id":"2","content":"$CK$ — медиана треугольника $ABC$, $AK = 7{,}5$ см. Найдите длину стороны $AB$ в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["Медиана $CK$ идет в середину стороны $AB$: $AK = KB$.","$AB = 2 \\cdot 7{,}5 = 15$ см."],"step":1},{"id":"2","content":"$AP$ — медиана треугольника $ABC$, $BC = 23$ см. Найдите длину отрезка $PC$ в сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["11,5","11.5"]}},"hints":["Медиана $AP$ идет в середину стороны $BC$: $BP = PC$.","$PC = 23 : 2 = 11{,}5$ см."],"step":1},{"id":"3","content":"$BD$ — биссектриса треугольника $ABC$, $\\angle ABD = 29^\\circ$. Найдите угол $ABC$ в градусах. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"58"}},"hints":["Биссектриса $BD$ делит угол $ABC$ на два равных угла: $\\angle ABD = \\angle DBC$.","$\\angle ABC = 2 \\cdot 29^\\circ = 58^\\circ$."],"step":1},{"id":"3","content":"$KP$ — биссектриса треугольника $KLM$, $\\angle LKM = 84^\\circ$. Найдите угол $PKM$ в градусах. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"42"}},"hints":["Биссектриса $KP$ делит угол $LKM$ на два равных угла.","$\\angle PKM = 84^\\circ : 2 = 42^\\circ$."],"step":1},{"id":"4","content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой. Какой отрезок является высотой, проведенной из вершины $B$?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["У этого треугольника нет такой высоты","Медиана, проведенная из вершины $B$","Сторона $AB$","Сторона $BC$"],"explanations":["Высота есть из каждой вершины; здесь она совпала со стороной $BC$","Медиана идет в середину $AC$ и не перпендикулярна ей: прямой угол — у вершины $C$","$AB$ лежит против прямого угла и не перпендикулярна $AC$",""],"answer":[3]}},"hints":["Высота из $B$ — перпендикуляр из $B$ к прямой $AC$; такой перпендикуляр только один.","$\\angle C = 90^\\circ$, значит, $BC \\perp AC$: перпендикуляр — сторона $BC$.","Ответ: сторона $BC$."],"step":1},{"id":"4","content":"В треугольнике $MNK$ угол $N$ прямой. Какой отрезок является высотой, проведенной из вершины $K$?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Сторона $KN$","Медиана, проведенная из вершины $K$","У этого треугольника нет такой высоты","Сторона $KM$"],"explanations":["","Медиана идет в середину $MN$ и не перпендикулярна ей: прямой угол — у вершины $N$","Высота есть из каждой вершины; здесь она совпала со стороной $KN$","$KM$ лежит против прямого угла и не перпендикулярна $MN$"],"answer":[0]}},"hints":["Высота из $K$ — перпендикуляр из $K$ к прямой $MN$; такой перпендикуляр только один.","$\\angle N = 90^\\circ$, значит, $KN \\perp MN$: перпендикуляр — сторона $KN$.","Ответ: сторона $KN$."],"step":1},{"id":"5","content":"Распределите утверждения.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Верно","Неверно"],"items":[["Медиана делит противолежащую сторону треугольника пополам","Высота треугольника может совпадать с его стороной"],["Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону пополам","Основание высоты всегда лежит на стороне треугольника"]]}},"hints":["Сверьте каждое утверждение с определением: медиана — в середину стороны, биссектриса — делит угол, высота — перпендикуляр к прямой.","Биссектриса делит пополам угол, а не сторону. У тупоугольного треугольника основание высоты может лежать на продолжении стороны.","Верно: про медиану и про высоту, совпавшую со стороной. Неверно: про биссектрису и про основание высоты."],"step":1},{"id":"5","content":"Распределите утверждения.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Верно","Неверно"],"items":[["Биссектриса треугольника — отрезок с концами в вершине и на противолежащей стороне","Основание высоты может лежать на продолжении стороны"],["Медиана треугольника делит его угол пополам","Высоту треугольника проводят в середину противолежащей стороны"]]}},"hints":["Сверьте каждое утверждение с определением: медиана — в середину стороны, биссектриса — делит угол, высота — перпендикуляр к прямой.","Медиана делит пополам сторону, а не угол. Высоту проводят перпендикулярно прямой, а не в середину стороны.","Верно: про биссектрису-отрезок и про основание высоты. Неверно: про медиану и про высоту в середину стороны."],"step":1},{"id":"6","content":"[[image-3]]Угол $B$ треугольника $ABC$ тупой. Решавр провел высоту $AK$ к стороне $BC$ (см. рисунок). Найдите ошибку: какая из отмеченных точек на самом деле — основание высоты, проведенной из вершины $A$?[[choice-5]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/g2vhogjiueql.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["Точка $M$","Точка $B$","Точка $P$","Точка $K$"],"explanations":["$M$ — середина $BC$: отрезок $AM$ — медиана, а не высота","Угол $ABC$ тупой, а не прямой, поэтому $AB$ не перпендикулярна прямой $BC$","","$AK$ идет по диагоналям клеток: угол $AKB$ равен $45^\\circ$, это не перпендикуляр"],"answer":[2]}},"hints":["Высоту проводят к прямой $BC$, а не к отрезку. Проверьте угол $AKB$: отрезок $AK$ идет по диагоналям клеток, угол равен $45^\\circ$, а не $90^\\circ$.","Прямая $BC$ идет по горизонтали сетки, перпендикуляр к ней — вертикаль через $A$. Она встречает прямую $BC$ в точке $P$, на 2 клетки левее $B$.","Ответ: $P$ — основание лежит на продолжении стороны $CB$."],"step":1},{"id":"6","content":"[[image-4]]Угол $C$ треугольника $ABC$ тупой. Решавр провел высоту $BK$ к стороне $AC$ (см. рисунок). Найдите ошибку: какая из отмеченных точек на самом деле — основание высоты, проведенной из вершины $B$?[[choice-6]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/lay6ywrctdrb.svg"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Точка $P$","Точка $K$","Точка $M$","Точка $C$"],"explanations":["","$BK$ идет по диагоналям клеток: угол $BKC$ равен $45^\\circ$, это не перпендикуляр","$M$ — середина $AC$: отрезок $BM$ — медиана, а не высота","Угол $ACB$ тупой, а не прямой, поэтому $BC$ не перпендикулярна прямой $AC$"],"answer":[0]}},"hints":["Высоту проводят к прямой $AC$, а не к отрезку. Проверьте угол $BKC$: отрезок $BK$ идет по диагоналям клеток, угол равен $45^\\circ$, а не $90^\\circ$.","Прямая $AC$ идет по горизонтали сетки, перпендикуляр к ней — вертикаль через $B$. Она встречает прямую $AC$ в точке $P$, на 3 клетки правее $C$.","Ответ: $P$ — основание лежит на продолжении стороны $AC$."],"step":1},{"id":"7","content":"В треугольнике $ABC$ $AB = 4$ см, $AC = 9$ см, $\\angle BAC = 70^\\circ$, $AM$ — медиана. Решавр пишет: «$\\angle BAM = 70^\\circ : 2 = 35^\\circ$». В чем ошибка?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Ошибка в оценке: сторона $AB$ короче $AC$, поэтому $\\angle BAM$ меньше $35^\\circ$","Медиана делит пополам сторону $BC$, а не угол $A$: угол $BAM$ так не найти","Ошибки нет: медиана делит угол $A$ пополам, и $\\angle BAM = 35^\\circ$","Ответ $35^\\circ$ верен, неверно только обоснование: раз $BM = MC$, то и углы при $A$ равны"],"explanations":["Определение медианы ничего не говорит об углах $BAM$ и $MAC$, поэтому вывод «меньше $35^\\circ$» из него не следует. К тому же на деле при $AB < AC$ угол $BAM$, наоборот, больше угла $MAC$","","Это свойство биссектрисы; медиана задана равенством $BM = MC$","Равенство отрезков $BM$ и $MC$ не дает равенства углов при $A$: при $AB \\ne AC$ треугольники $ABM$ и $ACM$ не равны, и углы $BAM$ и $MAC$ разные"],"answer":[1]}},"hints":["Медиана — сгиб «$B$ на $C$»: по определению $BM = MC$. Про углы $BAM$ и $MAC$ определение ничего не говорит.","Угол пополам делит биссектриса — сгиб «луч $AB$ на луч $AC$». При $AB \\ne AC$ медиана и биссектриса — разные отрезки.","Ответ: медиана делит пополам сторону $BC$; из того, что $AM$ — медиана, угол $BAM$ не следует — делить угол $A$ пополам нельзя."],"step":1},{"id":"7","content":"В треугольнике $KLM$ $KL = 10$ см, $KM = 5$ см, $\\angle LKM = 64^\\circ$, $KP$ — медиана. Решавр пишет: «$\\angle LKP = 64^\\circ : 2 = 32^\\circ$». В чем ошибка?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: медиана делит угол $K$ пополам, и $\\angle LKP = 32^\\circ$","Ответ $32^\\circ$ верен, неверно только обоснование: раз $LP = PM$, то и углы при $K$ равны","Медиана делит пополам сторону $LM$, а не угол $K$: угол $LKP$ так не найти","Ошибка в оценке: сторона $KL$ длиннее $KM$, поэтому $\\angle LKP$ больше $32^\\circ$"],"explanations":["Это свойство биссектрисы; медиана задана равенством $LP = PM$","Равенство отрезков $LP$ и $PM$ не дает равенства углов при $K$: при $KL \\ne KM$ треугольники $KLP$ и $KMP$ не равны, и углы $LKP$ и $PKM$ разные","","Определение медианы ничего не говорит об углах $LKP$ и $PKM$, поэтому вывод «больше $32^\\circ$» из него не следует. К тому же на деле при $KL > KM$ угол $LKP$, наоборот, меньше угла $PKM$"],"answer":[2]}},"hints":["Медиана — сгиб «$L$ на $M$»: по определению $LP = PM$. Про углы $LKP$ и $PKM$ определение ничего не говорит.","Угол пополам делит биссектриса — сгиб «луч $KL$ на луч $KM$». При $KL \\ne KM$ медиана и биссектриса — разные отрезки.","Ответ: медиана делит пополам сторону $LM$; из того, что $KP$ — медиана, угол $LKP$ не следует — делить угол $K$ пополам нельзя."],"step":1},{"id":"8","content":"В треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $136^\\circ$, $AH$ — высота, $BL$ — биссектриса треугольника. Найдите угол $HBL$ в градусах. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"112"}},"hints":["Угол $B$ тупой, поэтому основание высоты $H$ лежит на продолжении стороны $CB$ за точку $B$: луч $BH$ дополняет луч $BC$.","Биссектриса: $\\angle LBC = 136^\\circ : 2 = 68^\\circ$. Углы $HBL$ и $LBC$ смежные.","$\\angle HBL = 180^\\circ-68^\\circ = 112^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"В треугольнике $KLM$ угол $KLM$ равен $124^\\circ$, $KH$ — высота, $LP$ — биссектриса треугольника. Найдите угол $HLP$ в градусах. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"118"}},"hints":["Угол $L$ тупой, поэтому основание высоты $H$ лежит на продолжении стороны $ML$ за точку $L$: луч $LH$ дополняет луч $LM$.","Биссектриса: $\\angle PLM = 124^\\circ : 2 = 62^\\circ$. Углы $HLP$ и $PLM$ смежные.","$\\angle HLP = 180^\\circ-62^\\circ = 118^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"$AM$ — медиана треугольника $ABC$. Периметр треугольника $ABM$ на 4 см больше периметра треугольника $ACM$, $AC = 7$ см. Найдите $AB$ в сантиметрах. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"11"}},"hints":["$P_{ABM} = AB + BM + AM$, $P_{ACM} = AC + MC + AM$.","$AM$ — общая сторона, а $BM = MC$ (медиана). В разности периметров они сокращаются: $P_{ABM}-P_{ACM} = AB-AC$.","$AB-7 = 4$, значит, $AB = 7 + 4 = 11$ см."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"$KP$ — медиана треугольника $KLM$. Периметр треугольника $KLP$ на 5 см больше периметра треугольника $KMP$, $KM = 8$ см. Найдите $KL$ в сантиметрах. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"13"}},"hints":["$P_{KLP} = KL + LP + KP$, $P_{KMP} = KM + MP + KP$.","$KP$ — общая сторона, а $LP = PM$ (медиана). В разности периметров они сокращаются: $P_{KLP}-P_{KMP} = KL-KM$.","$KL-8 = 5$, значит, $KL = 8 + 5 = 13$ см."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"[[image-5]]В треугольнике $ABC$ $AM$ — медиана. На продолжении $AM$ за точку $M$ отложен отрезок $MD = AM$ (см. рисунок). Докажем, что $BD = AC$. Выберите обоснование каждого шага.<br>В треугольниках $BMD$ и $CMA$: $BM = MC$, так как [[fill_choice-1]]; $MD = MA$ по условию; $\\angle BMD = \\angle CMA$, так как [[fill_choice-2]]. Значит, $\\triangle BMD = \\triangle CMA$ [[fill_choice-3]], и $BD = AC$ как соответственные стороны.","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/lexvykl8rqif.svg"},"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$AM$ — биссектриса","$AM$ — медиана","$MD = AM$ по условию","$BD = AC$"],"answer":1},"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["эти углы вертикальные","эти углы смежные","$AM$ — биссектриса угла $A$","$BM = MC$"],"answer":0},"fill_choice-3":{"type":"fill_choice","options":["по равенству двух сторон","так как углы при $M$ вертикальные","по первому признаку","так как $BD = AC$"],"answer":2}},"hints":["Медиана идет в середину стороны: это дает пару $BM = MC$. Вторая пара $MD = MA$ — из построения.","Углы $BMD$ и $CMA$ образованы двумя пересекающимися прямыми $AD$ и $BC$ и не прилежат друг к другу — они вертикальные, значит, равны.","Две стороны и угол между ними — это первый признак равенства треугольников. Ответ: медиана; вертикальные; по первому признаку."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"[[image-6]]В треугольнике $PQR$ $QK$ — медиана. На продолжении $QK$ за точку $K$ отложен отрезок $KT = QK$ (см. рисунок). Докажем, что $PT = RQ$. Выберите обоснование каждого шага.<br>В треугольниках $PKT$ и $RKQ$: $PK = KR$, так как [[fill_choice-4]]; $KT = KQ$ по условию; $\\angle PKT = \\angle RKQ$, так как [[fill_choice-5]]. Значит, $\\triangle PKT = \\triangle RKQ$ [[fill_choice-6]], и $PT = RQ$ как соответственные стороны.","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/izpmifczdcv3.svg"},"fill_choice-4":{"type":"fill_choice","options":["$KT = QK$ по условию","$PT = RQ$","$QK$ — медиана","$QK$ — биссектриса"],"answer":2},"fill_choice-5":{"type":"fill_choice","options":["эти углы смежные","эти углы вертикальные","$PK = KR$","$QK$ — биссектриса угла $Q$"],"answer":1},"fill_choice-6":{"type":"fill_choice","options":["по первому признаку","так как $PT = RQ$","по равенству двух сторон","так как углы при $K$ вертикальные"],"answer":0}},"hints":["Медиана идет в середину стороны: это дает пару $PK = KR$. Вторая пара $KT = KQ$ — из построения.","Углы $PKT$ и $RKQ$ образованы двумя пересекающимися прямыми $QT$ и $PR$ и не прилежат друг к другу — они вертикальные, значит, равны.","Две стороны и угол между ними — это первый признак равенства треугольников. Ответ: медиана; вертикальные; по первому признаку."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>