7 класс Геометрия Треугольники Высоты, биссектрисы и медианы треугольника

Медиана, биссектриса и высота треугольника

Содержание

В уроке «Треугольник. Равные треугольники. Первый признак равенства» вы узнали, из чего состоит треугольник и как сравнивать треугольники наложением. Теперь проведем в треугольнике три важных отрезка — медиану, биссектрису и высоту — и разберем, где каждый из них лежит и чем они отличаются.

Вопрос для начала. Можно ли у бумажного треугольника провести медиану, биссектрису и высоту без линейки, циркуля и транспортира — одними сгибами? И всегда ли такой сгиб поместится на самом треугольнике? Ответим в последнем разделе.

Медиана: сгиб, который кладет одну вершину на другую

Вырежьте из бумаги треугольник $ABC$. Перегните его так, чтобы вершина $B$ легла точно на вершину $C$. В уроке «Длина отрезка. Равные отрезки. Середина отрезка» такой сгиб давал середину отрезка: линия сгиба пересекает сторону $BC$ в точке $M$, и отрезки $BM$ и $MC$ совпадают, значит, $BM = MC$. Разверните лист и перегните его по линии, проходящей через $A$ и $M$, — получится отрезок $AM$.

Сгиб, при котором вершина B ложится на C, дает середину M стороны BC; отрезок AM из вершины A в середину противолежащей стороны — медиана. У треугольника три медианы — Сгиб «$B$ на $C$» дал середину $M$ стороны $BC$; отрезок $AM$ — медиана

Определение

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Медиану из вершины $A$ обозначают $AM$, а равенство $BM = MC$ отмечают на чертеже одинаковыми штрихами. Из вершины $B$ можно провести медиану к середине стороны $AC$, из вершины $C$ — к середине стороны $AB$. У каждого треугольника три медианы.

Пример 1

$AM$ — медиана треугольника $ABC$, $BM = 3{,}5$ см. Найдите сторону $BC$.

Решение. Точка $M$ — середина стороны $BC$, поэтому $MC = BM = 3{,}5$ см и $BC = BM + MC = 2 \cdot 3{,}5 = 7$ см.

Ответ: 7 см.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Какой из отрезков на рисунке является медианой треугольника $ABC$?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/1vjjw1pqkwbo.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$BF$","$AD$","$AK$","Медианы на рисунке нет"],"explanations":["На стороне $AC$ нет отметок равенства: неизвестно, что $F$ — середина $AC$","","Середина стороны $BC$ — точка $D$ (штрихи у $BD$ и $DC$), а точка $K$ — другая точка стороны","Штрихи $BD = DC$ показывают середину стороны $BC$, и отрезок $AD$ проведен"],"answer":[1]}},"hints":["Медиана соединяет вершину с серединой противолежащей стороны: это сгиб, при котором $B$ легла на $C$, и отрезок из $A$ в точку сгиба.","Штрихи показывают, что $BD = DC$: середина стороны $BC$ — точка $D$. На стороне $AC$ отметок нет.","Ответ: $AD$."],"step":1},{"content":"$BK$ — медиана треугольника $ABC$, $AC = 17$ см. Найдите длину отрезка $AK$ в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["8,5","8.5"]}},"hints":["Медиана $BK$ проведена к стороне $AC$, значит, $K$ — середина $AC$.","$AK = 17 : 2 = 8{,}5$ см."],"step":1}],"mix":1}

Биссектриса треугольника — отрезок, а не луч

Второй сгиб — через вершину $A$, так, чтобы луч $AB$ лег на луч $AC$. В уроке «Угол. Развернутый угол. Сравнение углов. Биссектриса» линия такого сгиба была биссектрисой угла: углы $BAL$ и $LAC$ совпали, значит, они равны. Биссектриса угла — луч, он уходит дальше стороны $BC$ без конца. В треугольнике нужен не весь луч, а его часть от вершины $A$ до точки $L$, где луч пересек сторону $BC$.

Биссектриса угла A — луч, который уходит за сторону BC без конца; биссектриса треугольника — только отрезок AL от вершины до стороны BC — Биссектриса угла $A$ — луч; биссектриса треугольника — его отрезок $AL$ от вершины до стороны $BC$

Определение

Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой противолежащей стороны.

У треугольника три биссектрисы — по одной из каждой вершины. Равные углы при биссектрисе отмечают одинаковыми дугами.

Пример 2

$AL$ — биссектриса треугольника $ABC$, $\angle BAL = 27^\circ$. Найдите угол $BAC$.

Решение. Биссектриса делит угол $BAC$ на два равных угла: $\angle LAC = \angle BAL = 27^\circ$. Поэтому $\angle BAC = 2 \cdot 27^\circ = 54^\circ$.

Ответ: $54^\circ$.

Ошибка

На клетчатой бумаге вершины $B$ и $C$ лежат на одной линии сетки, $BC = 12$ клеток, вершина $A$ — на 6 клеток выше прямой $BC$ и на 2 клетки правее $B$. Проведена медиана $AM$, $BM = MC = 6$ клеток. Решавр пишет: «$AM$ — медиана, значит, она делит угол $A$ пополам: $\angle BAM = \angle MAC$».

Проверка. Перегнем чертеж по $AM$: луч $AB$ не ляжет на луч $AC$. Транспортир показывает $\angle BAM \approx 52^\circ$, а $\angle MAC \approx 25^\circ$. Биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в другой точке — в точке $L$ между $B$ и $M$.

Где сломалось рассуждение. Медиана — сгиб «$B$ на $C$», она делит пополам сторону $BC$. Угол пополам делит другой сгиб — «луч $AB$ на луч $AC$», это биссектриса. Определение медианы ничего не говорит об углах.

Треугольник ABC: медиана AM делит сторону BC пополам (скобки со штрихами под BC: BM = MC), но углы BAM и MAC разные, примерно 52 и 25 градусов; угол A пополам делит биссектриса AL, ее основание L лежит между B и M — Медиана $AM$ делит пополам сторону, а не угол: $\angle BAM \approx 52^\circ$, $\angle MAC \approx 25^\circ$; угол делит биссектриса $AL$

{"questions":[{"content":"Чем биссектриса треугольника $ABC$, проведенная из вершины $A$, отличается от биссектрисы угла $BAC$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Биссектриса угла — луч, а биссектриса треугольника — отрезок $AL$ этого луча","Биссектриса треугольника делит пополам сторону $BC$, а биссектриса угла — угол","Ничем: биссектриса треугольника тоже луч, выходящий из вершины $A$","Биссектриса угла — отрезок, а биссектриса треугольника — прямая через $A$"],"explanations":["","Сторону пополам делит медиана; биссектриса треугольника тоже делит пополам угол $A$","По определению биссектриса треугольника — отрезок: от вершины до точки противолежащей стороны","Наоборот: биссектриса угла — луч, а биссектриса треугольника — отрезок"],"answer":[0]}},"hints":["Биссектриса угла — луч: сгиб кладет луч $AB$ на луч $AC$, и линия сгиба уходит бесконечно.","Биссектриса треугольника — часть этого луча от вершины $A$ до точки $L$ на стороне $BC$.","Ответ: у угла — луч, у треугольника — отрезок $AL$."],"step":1},{"content":"$AL$ — биссектриса треугольника $ABC$, $\\angle LAC = 34^\\circ$. Найдите угол $BAC$ в градусах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"68"}},"hints":["Биссектриса — сгиб, кладущий луч $AB$ на луч $AC$: углы $BAL$ и $LAC$ равны.","$\\angle BAC = 2 \\cdot 34^\\circ = 68^\\circ$."],"step":1},{"content":"[[image-1]]В треугольнике $ABC$ проведена медиана $AM$, $\\angle BAC = 80^\\circ$ (см. рисунок). Решавр пишет: «Медиана делит угол пополам, значит, $\\angle BAM = 40^\\circ$». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/aqaqf5mnyour.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["Медиана перпендикулярна $BC$, поэтому угол $BAM$ прямой","Медиана делит пополам сторону $BC$, а угол пополам делит биссектриса","Ошибки нет: медиана делит угол $A$ пополам, поэтому $\\angle BAM = 40^\\circ$","Медиана делит пополам угол $B$, а не угол $A$ треугольника"],"explanations":["Перпендикуляр из $A$ к прямой $BC$ — высота; медиана обычно не перпендикулярна стороне","","По определению $BM = MC$; про углы $BAM$ и $MAC$ определение медианы ничего не говорит","Медиана $AM$ выходит из вершины $A$ и делит пополам сторону $BC$, а не угол $B$"],"answer":[1]}},"hints":["Медиана — сгиб «$B$ на $C$»: он делит пополам сторону $BC$. Угол пополам делит другой сгиб — «луч $AB$ на луч $AC$», это биссектриса.","На рисунке углы при $AM$ разные: $\\angle BAM \\approx 59^\\circ$, $\\angle MAC \\approx 21^\\circ$.","Ответ: медиана делит пополам сторону, а не угол."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Высота проводится к прямой, а не к стороне

Третий сгиб — тоже через вершину $A$, но теперь так, чтобы прямая $BC$ легла сама на себя. В уроке «Перпендикулярные прямые. Перпендикуляр к прямой» доказано, что линия такого сгиба перпендикулярна прямой $BC$ и что из точки к прямой можно провести только один перпендикуляр. Пусть линия сгиба пересекает прямую $BC$ в точке $H$. Отрезок $AH$ — перпендикуляр из вершины $A$ к прямой $BC$.

Определение

Высота треугольника — перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Обратите внимание на слова «к прямой, содержащей противолежащую сторону». Точка $H$ — основание высоты — лежит на прямой $BC$, но не обязательно на самой стороне. Где именно, зависит от углов треугольника. Прямой угол при основании высоты отмечают квадратиком. Высот у треугольника три — из каждой вершины.

По углам треугольники делят на остроугольные (все углы острые), прямоугольные (есть прямой угол) и тупоугольные (есть тупой угол).

Вид треугольника	Признак	Высота из вершины $A$
Остроугольный	все углы острые	внутри треугольника, $H$ — на стороне $BC$
Прямоугольный	есть прямой угол	при $\angle B = 90^\circ$ совпадает со стороной $AB$, $H$ — это $B$
Тупоугольный	есть тупой угол	при тупом $\angle B$ — вне треугольника (следующий раздел)

Высота AH из вершины A в треугольниках трех видов: в остроугольном основание H лежит на стороне BC, в прямоугольном совпадает с вершиной B, в тупоугольном лежит на продолжении стороны CB — Высота $AH$ в остроугольном треугольнике внутри, в прямоугольном совпадает со стороной $AB$, в тупоугольном выходит наружу

Почему у прямоугольного треугольника с прямым углом $B$ высота из $A$ — сторона $AB$? Угол $ABC$ прямой, значит, $AB$ уже перпендикулярна прямой $BC$. А другого перпендикуляра из $A$ к этой прямой нет. По той же причине высота из вершины $C$ — сторона $CB$.

{"questions":[{"content":"Даны углы треугольников. Распределите треугольники по видам.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Остроугольный","Прямоугольный","Тупоугольный"],"items":[["50°, 60°, 70°","58°, 61°, 61°"],["30°, 60°, 90°","45°, 45°, 90°"],["20°, 40°, 120°","35°, 40°, 105°"]]}},"hints":["Остроугольный — все углы острые; прямоугольный — есть прямой угол; тупоугольный — есть тупой угол.","Смотрите на самый большой угол: меньше $90^\\circ$, равен $90^\\circ$ или больше $90^\\circ$.","Остроугольные: 50°, 60°, 70° и 58°, 61°, 61°. Прямоугольные: 30°, 60°, 90° и 45°, 45°, 90°. Тупоугольные: 20°, 40°, 120° и 35°, 40°, 105°."],"step":1},{"content":"[[image-1]]В треугольнике $ABC$ угол $B$ прямой, $AM$ — медиана (см. рисунок). Какой отрезок является высотой, проведенной из вершины $A$?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/a6pblbrhotm7.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$AB$","Высоты из $A$ нет","$AC$","$AM$"],"explanations":["","Высота есть всегда; здесь она совпала со стороной $AB$","$AC$ не перпендикулярна $BC$: прямой угол — при вершине $B$, а не при $C$","$AM$ — медиана: она идет в середину $BC$, а угол $AMB$ не прямой"],"answer":[0]}},"hints":["Высота из $A$ — перпендикуляр из $A$ к прямой $BC$; из точки к прямой перпендикуляр только один.","$\\angle ABC = 90^\\circ$, значит, $AB \\perp BC$: перпендикуляр — сама сторона $AB$, его основание — точка $B$.","Ответ: $AB$."],"step":1}],"mix":1}

У тупоугольного треугольника высота выходит наружу

Возьмем бумажный треугольник $ABC$ с тупым углом $B$ и попробуем перегнуть его через вершину $A$ так, чтобы прямая $BC$ легла сама на себя. Не получится: такая линия сгиба касается треугольника только в точке $A$ и проходит мимо него. Положим треугольник на большой лист и продолжим сторону $CB$ за точку $B$. Теперь сгиб можно сделать на большом листе: линия сгиба через $A$ встретит продолжение стороны в точке $H$.

Бумажный тупоугольный треугольник ABC на большом листе: линия сгиба для высоты из A, перпендикулярная BC, проходит мимо треугольника и касается его только в вершине A; основание H лежит на продолжении стороны CB — У тупоугольного треугольника линия сгиба для высоты проходит мимо него; основание $H$ — на продолжении стороны $CB$

Ошибка

На клетчатой бумаге сторона $BC$ треугольника $ABC$ идет по линии сетки, $BC = 6$ клеток; вершина $A$ на 4 клетки выше прямой $BC$ и на 3 клетки левее $B$. Угол $B$ тупой. Решавр рассуждает: «Высота из $A$ должна упасть на сторону $BC$» — и проводит отрезок $AK$ в точку $K$ стороны $BC$, на 1 клетку правее $B$.

Проверка. Отрезок $AK$ идет по диагоналям клеток, и угольник показывает: $\angle AKB = 45^\circ$, а не $90^\circ$. Перпендикуляр к горизонтальной прямой $BC$ — вертикальная линия сетки через $A$. Она пересекает прямую $BC$ в точке $H$ на 3 клетки левее $B$, вне стороны $BC$. Другого перпендикуляра из $A$ к прямой $BC$ нет.

Где сломалось рассуждение. Высоту проводят к прямой $BC$, а не к стороне. Если угол $B$ тупой, основание высоты из $A$ лежит на продолжении стороны $CB$.

На клетках: отрезок AK наклонный, угол AKB равен 45 градусам, это не перпендикуляр; высота AH проведена к прямой BC по вертикали сетки, ее основание H лежит на продолжении стороны CB, HB равно 3 клеткам — Отрезок $AK$ не перпендикулярен $BC$; высота $AH$ — вертикаль сетки, ее основание лежит на продолжении стороны $CB$

Как построить высоту тупоугольного треугольника

Продолжите противолежащую сторону за вершину тупого угла. Приложите угольник одной стороной прямого угла к этой прямой так, чтобы другая сторона прошла через вершину, и проведите перпендикуляр. На клетчатой бумаге, если сторона идет по линии сетки, высота — линия сетки, перпендикулярная ей.

Пример 3

В треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$, $AH$ — высота. Найдите угол $ABH$.

Решение. Угол $B$ тупой, поэтому основание высоты $H$ лежит на продолжении стороны $CB$ за точку $B$. Лучи $BH$ и $BC$ дополняют друг друга до прямой, значит, углы $ABH$ и $ABC$ смежные (урок «Смежные и вертикальные углы»). Их сумма $180^\circ$, поэтому $\angle ABH = 180^\circ-120^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Угол $B$ треугольника $ABC$ тупой (см. рисунок). Какая из отмеченных точек — основание высоты, проведенной из вершины $A$?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/fucjql05aiq9.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$P$","$B$","$T$","$N$"],"explanations":["$P$ — середина $BC$, отрезок $AP$ — медиана, а не высота","Отрезок $AB$ идет наклонно, угол $ABC$ тупой, а не прямой: $AB$ не перпендикулярна $BC$","","$AN$ идет по диагоналям клеток: угол $ANB$ равен $45^\\circ$, а не $90^\\circ$"],"answer":[2]}},"hints":["Высоту проводят к прямой $BC$, а не к отрезку. Прямая $BC$ идет по линии сетки, поэтому перпендикуляр к ней — вертикальная линия сетки.","Вертикаль через $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $T$ — на 3 клетки левее $B$, на продолжении стороны.","Ответ: $T$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Из вершины $A$ треугольника $ABC$ проведена высота $AH$. Угол $C$ острый. Сопоставьте угол $B$ и положение точки $H$.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$\\angle B$ острый","$\\angle B$ прямой","$\\angle B$ тупой"],"items":["Внутри стороны $BC$","В вершине $B$","На продолжении стороны $CB$ за точку $B$","На продолжении стороны $BC$ за точку $C$"]}},"hints":["Высота — перпендикуляр к прямой $BC$, а не обязательно к отрезку $BC$.","Если $\\angle B$ прямой, перпендикуляр — сторона $AB$, $H$ совпала с $B$. Если $\\angle B$ тупой, перпендикуляр падает за точку $B$.","Ответ: острый — внутри стороны $BC$; прямой — в вершине $B$; тупой — на продолжении стороны $CB$ за точку $B$."],"step":1},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $130^\\circ$, $AH$ — высота. Найдите угол $ABH$ в градусах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"50"}},"hints":["Угол $B$ тупой, поэтому основание высоты $H$ лежит на продолжении стороны $CB$ за точку $B$.","Углы $ABH$ и $ABC$ смежные: их сумма $180^\\circ$.","$\\angle ABH = 180^\\circ-130^\\circ = 50^\\circ$."],"step":1}],"mix":1}

Три сгиба из одной вершины — три разных отрезка

Соберем все вместе. Из вершины $A$ мы сделали три разных сгиба, и каждый дал свое равенство. Медиана, биссектриса и высота из одной вершины обычно не совпадают: у каждой своя точка на прямой $BC$.

Сгиб	Что совпало	Отрезок
$B$ на $C$	$BM$ и $MC$: $BM = MC$	медиана $AM$
луч $AB$ на луч $AC$	углы $BAL$ и $LAC$: $\angle BAL = \angle LAC$	биссектриса $AL$
прямая $BC$ сама на себя, через $A$	смежные углы при $H$: $\angle AHB = 90^\circ$	высота $AH$

Треугольник ABC и три отрезка из вершины A: высота AH, биссектриса AL и медиана AM — это разные отрезки; под стороной BC скобки со штрихами показывают BM = MC — Высота $AH$, биссектриса $AL$ и медиана $AM$ из одной вершины — три разных отрезка

Бывают ли треугольники, у которых три отрезка из одной вершины сливаются в один? Найдите такое положение вершины $A$ в интерактиве (задание 3).

uploaded-mediana-tri-sgiba-f43862e92cd3

Почему три отрезка сливаются при $AB = AC$, разберем в уроке «Равнобедренный и равносторонний треугольники».

Пример 4 (повышенный)

$AL$ — биссектриса треугольника $ABC$, $AB < AC$. На стороне $AC$ отмечена точка $E$ так, что $AE = AB$. Докажите, что $BL = EL$.

Подсказка — сгиб: перегнем чертеж по $AL$. Луч $AB$ ляжет на луч $AC$, а так как $AE = AB$, точка $B$ попадет в $E$. Но сгиб — только способ увидеть ответ. Доказательство — признак равенства треугольников.

Треугольник ABC с биссектрисой AL: AB равно AE, угол BAL равен углу EAL, AL общая сторона; сгиб по AL кладет точку B в E на стороне AC, нужно сравнить BL и EL — Сгиб по биссектрисе $AL$ кладет $B$ в $E$; в треугольниках $ABL$ и $AEL$ две стороны и угол между ними соответственно равны

Показать доказательство

Скрыть

Дано: $\triangle ABC$, $AL$ — биссектриса, $E$ на стороне $AC$, $AE = AB$. Доказать: $BL = EL$.

Доказательство. Рассмотрим треугольники $ABL$ и $AEL$.

1) $AB = AE$ (по условию).

2) $AL$ — общая сторона.

3) $\angle BAL = \angle EAL$ ($AL$ — биссектриса угла $BAC$) — это углы между равными сторонами.

По первому признаку $\triangle ABL = \triangle AEL$. Значит, $BL = EL$ как соответственные стороны. Что и требовалось доказать.

Теперь ответим на вопрос из начала урока. Да, все три отрезка можно получить одними сгибами: медиану — сгибом «$B$ на $C$» и затем сгибом через $A$ и $M$, биссектрису — сгибом «луч $AB$ на луч $AC$», высоту — сгибом через $A$, кладущим прямую $BC$ саму на себя. Но не всегда сгиб помещается на самом треугольнике: у тупоугольного треугольника линия сгиба для высоты из вершины острого угла проходит мимо него, и треугольник приходится класть на лист больше.

Интересный факт: сгибы как инструмент геометрии

Скрыть

Три сгиба этого урока входят в список основных операций геометрии на бумаге. В 1986 году такой список составил французский математик Жак Жюстен, а в 1989 году независимо от него — Хумиаки Хузита на первой международной конференции по науке и технике оригами в Ферраре (Италия). Среди операций есть сгиб, кладущий точку на точку, сгиб, кладущий прямую на прямую, и сгиб через точку, перпендикулярный прямой, — так строятся середина стороны (для медианы), биссектриса и высота.

Интересный факт: треугольник на острие

Скрыть

Вырежьте треугольник из плотного картона и проведите все три медианы. Они пересекутся в одной точке. Если поставить треугольник этой точкой на острие карандаша, он будет держаться в равновесии. Еще Архимед в сочинении «О равновесии плоских фигур» доказал, что центр тяжести треугольника лежит на пересечении его медиан. Доказательство того, что медианы пересекаются в одной точке, вас ждет в старших классах.

{"questions":[{"content":"Из вершины $A$ треугольника $ABC$ проведены высота $AH$, биссектриса $AL$ и медиана $AM$. Сопоставьте отрезок и то, что о нем известно.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$AH$","$AL$","$AM$"],"items":["$\\angle AHB = 90^\\circ$","$\\angle BAL = \\angle LAC$","$BM = MC$","$AB = AC$"]}},"hints":["Высота — сгиб, кладущий прямую $BC$ саму на себя; биссектриса — сгиб «луч $AB$ на луч $AC$»; медиана — сгиб «$B$ на $C$».","Каждый сгиб дает свое равенство: прямые углы при $H$, равные углы при $A$, равные отрезки $BM$ и $MC$.","Ответ: $AH$ — $\\angle AHB = 90^\\circ$; $AL$ — $\\angle BAL = \\angle LAC$; $AM$ — $BM = MC$."],"step":1},{"content":"В треугольнике $ABC$ $AB = 9$ см, $AC = 6$ см, $BC = 10$ см, $AM$ — медиана. На сколько сантиметров периметр треугольника $ABM$ больше периметра треугольника $ACM$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["$P_{ABM} = AB + BM + AM$, $P_{ACM} = AC + MC + AM$.","$AM$ — общая, а $BM = MC$ (медиана). В разности они сокращаются.","$P_{ABM}-P_{ACM} = AB-AC = 9-6 = 3$ см."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Медиана, биссектриса и высота — три главных отрезка треугольника, они понадобятся почти в каждой задаче о треугольниках, в том числе на ОГЭ. Чтобы не путать их, вспоминайте три сгиба: каждый отвечает за свое равенство.

Часто задаваемые вопросы

Чем биссектриса треугольника отличается от биссектрисы угла?

Биссектриса угла — луч: линия сгиба уходит без конца. Биссектриса треугольника — отрезок этого луча от вершины до точки на противолежащей стороне. Поэтому у биссектрисы треугольника есть длина, а у биссектрисы угла ее нет.

Почему высоту проводят к прямой, а не к стороне?

Если один из углов при стороне тупой, перпендикуляр из противолежащей вершины не попадает на саму сторону. Он встречает только ее продолжение. Чтобы высота была у каждого треугольника, в определении говорят о прямой, содержащей сторону.

Может ли медиана быть одновременно биссектрисой?

Может, но не в любом треугольнике. В треугольнике с равными сторонами $AB$ и $AC$ медиана, биссектриса и высота из вершины $A$ совпадают — это докажем в уроке о равнобедренном треугольнике. Поэтому из того, что отрезок — медиана, нельзя заключать, что он делит угол пополам.

Как провести высоту на клетчатой бумаге?

Если сторона идет по линии сетки, высота к ней — линия сетки, перпендикулярная этой стороне, через противолежащую вершину. Если основание высоты не попало на сторону, продолжите сторону. Длину такой высоты считают по клеткам.

Награды за урок