{"questions":[{"content":"Треугольник называют равнобедренным, если [[fill_choice_big-1]].","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["две его стороны равны","все его стороны равны","один из его углов прямой","два его угла в сумме составляют $180^{\\circ}$"],"answer":0}},"explanation":"Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны. Их называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием.","hints":["Вспомним, сколько равных сторон должно быть у равнобедренного треугольника."]},{"instruction":"Установите соответствие","content":"В равнобедренном треугольнике $ABC$ известно, что $AB=AC$. Соотнесите элементы треугольника с их названиями. [[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Сторона $AB$","Сторона $AC$","Сторона $BC$","Вершина $A$"],"items":["Боковая сторона","Боковая сторона","Основание","Вершина, противолежащая основанию"]}},"explanation":"Равные стороны $AB$ и $AC$ являются боковыми. Сторона $BC$ — основание, а точка $A$ — вершина, противолежащая основанию."},{"content":"В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен $44^{\\circ}$. Найдите угол при основании. [[choice-14]]","widgets":{"choice-14":{"type":"choice","options":["$68^{\\circ}$","$56^{\\circ}$","$44^{\\circ}$","$16^{\\circ}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Сумма углов треугольника равна $180^{\\circ}$, а углы при основании равнобедренного треугольника равны.","Вычтем угол при вершине: $180^{\\circ}-44^{\\circ}=136^{\\circ}$. Затем разделим полученную сумму на два."],"id":"2"},{"content":"В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен $32^{\\circ}$. Найдите угол при основании. [[fill_choice_big-15]]","widgets":{"fill_choice_big-15":{"type":"fill_choice_big","options":["$74^{\\circ}$","$90^{\\circ}$","$45^{\\circ}$","$38^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Сумма углов треугольника равна $180^{\\circ}$, а углы при основании равнобедренного треугольника равны.","Вычтем угол при вершине: $180^{\\circ}-32^{\\circ}=148^{\\circ}$. Затем разделим полученную сумму на два."],"id":"2"},{"content":"В равнобедренном треугольнике каждый угол при основании равен $72^{\\circ}$. Найдите угол, противолежащий основанию. [[fill_choice_big-16]]","widgets":{"fill_choice_big-16":{"type":"fill_choice_big","options":["$36^{\\circ}$","$108^{\\circ}$","$18^{\\circ}$","$45^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Сначала найдем сумму двух равных углов при основании.","Сумма углов при основании равна $72^{\\circ}+72^{\\circ}=144^{\\circ}$. Поэтому угол при вершине равен $180^{\\circ}-144^{\\circ}=36^{\\circ}$."],"id":"3"},{"content":"В равнобедренном треугольнике каждый угол при основании равен $58^{\\circ}$. Найдите угол, противолежащий основанию. [[fill_choice_big-17]]","widgets":{"fill_choice_big-17":{"type":"fill_choice_big","options":["$64^{\\circ}$","$122^{\\circ}$","$32^{\\circ}$","$24^{\\circ}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Сначала найдем сумму двух равных углов при основании.","Угол при вершине равен $180^{\\circ}-58^{\\circ}-58^{\\circ}$."],"id":"3"},{"content":"Основание равнобедренного треугольника равно $10$ см, а каждая боковая сторона — $7$ см. Найдите периметр треугольника. [[fill_choice_big-5]]","widgets":{"fill_choice_big-5":{"type":"fill_choice_big","options":["$24$ см","$17$ см","$27$ см","$34$ см"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Периметр равен сумме основания и двух равных боковых сторон.","Сложим длины трех сторон: $P=10+7+7=24$ см."],"id":"4"},{"content":"Основание равнобедренного треугольника равно $12$ см, а каждая боковая сторона — $7$ см. Найдите периметр треугольника. [[choice-18]]","widgets":{"choice-18":{"type":"choice","options":["$26$ см","$34$ см","$17$ см","$27$ см"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Периметр равен сумме основания и двух равных боковых сторон.","Сложим длины трех сторон: $P=12+7+7=26$ см."],"id":"4"},{"content":"В равнобедренном треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $AC$ равны. Отрезок $AD$ — медиана, проведенная к основанию $BC$. Выберите все свойства отрезка $AD$. [[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Отрезок $AD$ является высотой","Отрезок $AD$ является биссектрисой угла $A$","Точка $D$ является серединой стороны $BC$","Отрезок $AD$ равен основанию $BC$"],"explanations":["Медиана к основанию равнобедренного треугольника перпендикулярна основанию.","Медиана к основанию делит угол при вершине на два равных угла.","По определению медианы точка $D$ является серединой стороны $BC$.","Равенство медианы и основания не является общим свойством равнобедренного треугольника."],"answer":[0,1,2]}},"explanation":"Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, одновременно является биссектрисой и высотой."},{"content":"Известно, что в треугольнике $KLM$ углы $K$ и $M$ равны. Какой вывод можно сделать? [[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Стороны $KL$ и $LM$ равны","Стороны $KL$ и $KM$ равны","Стороны $KM$ и $LM$ равны","Все стороны треугольника равны"],"explanations":["Равным углам $K$ и $M$ противолежат равные стороны $LM$ и $KL$.","Сторона $KL$ лежит напротив угла $M$, а сторона $KM$ — напротив угла $L$.","Сторона $KM$ лежит напротив угла $L$, а сторона $LM$ — напротив угла $K$.","Из равенства двух углов следует равенство двух противолежащих им сторон, но не обязательно всех трех сторон."],"answer":[0]}},"explanation":"Если два угла треугольника равны, то противолежащие им стороны также равны. Углу $K$ противолежит сторона $LM$, а углу $M$ — сторона $KL$."},{"content":"Периметр равнобедренного треугольника равен $26$ см, а основание — $8$ см. Найдите длину боковой стороны. [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","unit":"см","answer":"9"}},"step":1,"explanation":"Сумма боковых сторон равна $26-8=18$ см. Поскольку боковые стороны равны, длина каждой из них составляет $18:2=9$ см.","hints":["Вычтем из периметра длину основания.","Оставшаяся длина равна сумме двух равных боковых сторон: $26-8=18$ см. Разделим ее на два."]},{"content":"В равнобедренном треугольнике $ABC$ основанием является сторона $BC$. Внешний угол при вершине $B$ равен $110^{\\circ}$. Найдите внутренний угол $A$. [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","unit":"°","answer":"40"}},"step":1,"explanation":"Внутренний угол $B$ равен $180^{\\circ}-110^{\\circ}=70^{\\circ}$. Углы при основании равны, поэтому $\\angle C=70^{\\circ}$. Тогда $\\angle A=180^{\\circ}-70^{\\circ}-70^{\\circ}=40^{\\circ}$.","hints":["Внутренний угол $B$ и смежный с ним внешний угол в сумме составляют $180^{\\circ}$.","Найдем угол $B$: $180^{\\circ}-110^{\\circ}=70^{\\circ}$. Угол $C$ равен углу $B$, так как они лежат при основании.","Вычтем из $180^{\\circ}$ сумму углов $B$ и $C$."]}],"mix":1}
Карточки
Тесты
Зави
