Равнобедренный и равносторонний треугольники

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Периметр равнобедренного треугольника равен 30 см, основание — 8 см. Найдите длину боковой стороны в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"11"}},"hints":["Две боковые стороны вместе: $30-8 = 22$ см.","Боковая сторона: $22 : 2 = 11$ см."],"step":1},{"id":"1","content":"Периметр равнобедренного треугольника равен 23 см, боковая сторона — 7 см. Найдите длину основания в сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["Две боковые стороны вместе: $7 + 7 = 14$ см.","Основание: $23-14 = 9$ см."],"step":1},{"id":"2","content":"В треугольнике $ABC$ $AB = BC$, $\\angle A = 72^\\circ$. Сторону $AC$ продлили за точку $C$. Найдите угол, смежный с углом $C$, в градусах. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"108"}},"hints":["$AB = BC$, значит, основание — $AC$ и $\\angle C = \\angle A = 72^\\circ$.","$180^\\circ-72^\\circ = 108^\\circ$."],"step":1},{"id":"2","content":"В треугольнике $MNK$ $MN = NK$, $\\angle K = 54^\\circ$. Сторону $KM$ продлили за точку $M$. Найдите угол, смежный с углом $M$, в градусах. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"126"}},"hints":["$MN = NK$, значит, основание — $MK$ и $\\angle M = \\angle K = 54^\\circ$.","$180^\\circ-54^\\circ = 126^\\circ$."],"step":1},{"id":"3","content":"В треугольнике $ABC$ $AB = BC$, $BD$ — биссектриса, $AC = 18$ см. Найдите длину отрезка $DC$ в сантиметрах. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["$AC$ — основание; биссектриса $BD$, проведенная к основанию, является медианой.","$DC = 18 : 2 = 9$ см."],"step":1},{"id":"3","content":"В треугольнике $KLM$ $KL = LM$, $LP$ — биссектриса, $KM = 22$ см. Найдите длину отрезка $PM$ в сантиметрах. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"11"}},"hints":["$KM$ — основание; биссектриса $LP$, проведенная к основанию, является медианой.","$PM = 22 : 2 = 11$ см."],"step":1},{"id":"4","content":"В треугольнике $ABC$ $\\angle A = \\angle C$, $AB = 11$ см, $AC = 7$ см. Найдите длину стороны $BC$ в сантиметрах. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"11"}},"hints":["Если два угла треугольника равны, то равны стороны, лежащие против них.","Против $\\angle A$ лежит $BC$, против $\\angle C$ — $AB$.","$BC = AB = 11$ см."],"step":1},{"id":"4","content":"В треугольнике $PQR$ $\\angle P = \\angle R$, $QR = 13$ см, $PR = 8$ см. Найдите длину стороны $PQ$ в сантиметрах. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"13"}},"hints":["Если два угла треугольника равны, то равны стороны, лежащие против них.","Против $\\angle P$ лежит $QR$, против $\\angle R$ — $PQ$.","$PQ = QR = 13$ см."],"step":1},{"id":"5","content":"Распределите утверждения.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Верно","Неверно"],"items":[["Всякий равносторонний треугольник является равнобедренным","В равнобедренном треугольнике углы при основании равны"],["Все углы равнобедренного треугольника равны","Медиана любого треугольника является его биссектрисой"]]}},"hints":["Проверьте каждое утверждение по определениям и доказанным свойствам; для неверного найдите контрпример.","Если все углы треугольника равны, то по признаку он равносторонний, а у равнобедренного треугольника 5, 5, 8 см не все стороны равны. Медиана разностороннего треугольника не делит угол пополам.","Верно: первые два. Неверно: утверждение «все углы равнобедренного треугольника равны» и утверждение «медиана любого треугольника — биссектриса»."],"step":1},{"id":"5","content":"Распределите утверждения.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Верно","Неверно"],"items":[["В равностороннем треугольнике все углы равны","Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является его высотой"],["Если в треугольнике два угла равны, то он равносторонний","Высота любого треугольника делит противолежащую сторону пополам"]]}},"hints":["Проверьте каждое утверждение по определениям и доказанным свойствам; для неверного найдите контрпример.","Признак говорит о равнобедренном, а не о равностороннем треугольнике. Высота разностороннего треугольника не делит сторону пополам.","Верно: первые два. Неверно: про равносторонний по двум углам и про высоту любого треугольника."],"step":1},{"id":"6","content":"В треугольнике $ABC$ $AB = BC$, а сторона $AC$ им не равна. Сколько осей симметрии у этого треугольника? [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"1"}},"hints":["Ось симметрии кладет треугольник сам на себя: одна вершина остается на месте, а стороны, выходящие из нее, равны.","Равны только $AB$ и $BC$, они выходят из вершины $B$. Значит, ось одна — прямая, содержащая биссектрису угла $B$.","Ответ: 1."],"step":1},{"id":"6","content":"В треугольнике $KLM$ $KL = LM = MK$. Сколько осей симметрии у этого треугольника? [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Равносторонний треугольник равнобедренный, и основанием можно считать любую из трех сторон.","Каждому основанию соответствует своя ось — прямая, содержащая биссектрису противолежащего угла.","Ответ: 3."],"step":1},{"id":"7","content":"[[image-1]]В треугольнике $DEF$ стороны $ED$ и $EF$ равны. Решавр рассуждает: «Основание — нижняя сторона $EF$, значит, $\\angle E = \\angle F$» и отмечает эти углы (см. рисунок). В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/svjwwv5ktvcw.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: основание всегда снизу","Основание — $DF$, против вершины $E$; равны углы $D$ и $F$","В этом треугольнике равны все три угла","Основание — $ED$; равны углы $E$ и $D$"],"explanations":["Треугольник можно повернуть как угодно; основание определяется равными сторонами, а не положением","","Равны только две стороны, поэтому треугольник не обязательно равносторонний","$ED$ — одна из равных сторон, то есть боковая"],"answer":[1]}},"hints":["Основание лежит против вершины, где сходятся равные стороны. Равные стороны $ED$ и $EF$ сходятся в $E$.","Основание — $DF$, углы при основании — $\\angle D$ и $\\angle F$. Перегиб по биссектрисе угла $E$ кладет $D$ на $F$.","Ответ: равны $\\angle D$ и $\\angle F$."],"step":1},{"id":"7","content":"[[image-2]]В треугольнике $ABC$ стороны $BA$ и $BC$ равны. Решавр рассуждает: «Основание — нижняя сторона $AB$, значит, $\\angle A = \\angle B$» и отмечает эти углы (см. рисунок). В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/nwwc95lkxjzc.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: основание всегда снизу","В этом треугольнике равны все три угла","Основание — $AC$, против вершины $B$; равны углы $A$ и $C$","Основание — $BC$; равны углы $B$ и $C$"],"explanations":["Треугольник можно повернуть как угодно; основание определяется равными сторонами, а не положением","Равны только две стороны, поэтому треугольник не обязательно равносторонний","","$BC$ — одна из равных сторон, то есть боковая"],"answer":[2]}},"hints":["Основание лежит против вершины, где сходятся равные стороны. Равные стороны $BA$ и $BC$ сходятся в $B$.","Основание — $AC$, углы при основании — $\\angle A$ и $\\angle C$.","Ответ: равны $\\angle A$ и $\\angle C$."],"step":1},{"id":"8","content":"[[image-3]]В треугольнике $ABC$ $AB = BC = 5$, $AC = 8$, $AL$ — биссектриса угла $A$ (см. рисунок). Решавр пишет: «Треугольник равнобедренный, значит, $AL$ — и медиана: $BL = LC = 2{,}5$». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/t0vzvighunh9.svg"},"choice-3":{"type":"choice","options":["Ошибка в том, что треугольник не равнобедренный","Ошибки нет: в равнобедренном треугольнике биссектриса — медиана","Медианой является биссектриса угла $C$, а не угла $A$","$AL$ проведена к боковой стороне $BC$, а не к основанию $AC$"],"explanations":["$AB = BC$, треугольник равнобедренный; ошибка в выборе отрезка: свойство относится к отрезку, проведенному к основанию","Только биссектриса, проведенная к основанию; основание здесь $AC$, а $AL$ идет к боковой стороне","Биссектриса угла $C$ тоже идет к боковой стороне $AB$; медиана и высота — биссектриса угла $B$, проведенная к основанию $AC$",""],"answer":[3]}},"hints":["Свойство доказано для биссектрисы, проведенной к основанию. Основание лежит против вершины $B$, где сходятся равные стороны, — это $AC$.","Биссектриса $AL$ проведена к боковой стороне $BC$, поэтому свойство к ней не относится. На рисунке $BL$ заметно короче $LC$.","Ответ: $AL$ проведена к боковой стороне $BC$, а не к основанию $AC$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"[[image-4]]В треугольнике $KLM$ $KL = LM = 10$, $KM = 12$, $KH$ — высота, проведенная к стороне $LM$ (см. рисунок). Решавр пишет: «Треугольник равнобедренный, значит, $KH$ — и медиана: $LH = HM = 5$». В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/v6axlzbt8seo.svg"},"choice-4":{"type":"choice","options":["Медианой является высота из вершины $M$, а не из $K$","$KH$ проведена к боковой стороне $LM$, а не к основанию $KM$","Ошибка в том, что треугольник не равнобедренный","Ошибки нет: в равнобедренном треугольнике высота — медиана"],"explanations":["Высота из $M$ тоже идет к боковой стороне $KL$; медиана — высота из $L$, проведенная к основанию $KM$","","$KL = LM$, треугольник равнобедренный; ошибка в выборе отрезка: свойство относится к отрезку, проведенному к основанию","Только высота, проведенная к основанию; основание здесь $KM$, а $KH$ идет к боковой стороне"],"answer":[1]}},"hints":["Свойство доказано для высоты, проведенной к основанию. Основание лежит против вершины $L$, где сходятся равные стороны, — это $KM$.","Высота $KH$ проведена к боковой стороне $LM$, поэтому свойство к ней не относится. На рисунке $LH$ заметно короче $HM$.","Ответ: $KH$ проведена к боковой стороне $LM$, а не к основанию $KM$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"[[image-5]]В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ на основании отмечены точки $M$ и $K$ так, что $AM = CK$ (см. рисунок). Докажем, что $BM = BK$. В треугольниках $ABM$ и $CBK$: $AB = CB$ и $AM = CK$ (по условию), $\\angle A = \\angle C$ [[fill_choice-1]]. Поэтому $\\triangle ABM = \\triangle CBK$ по первому признаку, и $BM = BK$.","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/wz3gdpgpyb7j.svg"},"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["как углы при основании равнобедренного треугольника","как соответственные углы равных треугольников $ABM$ и $CBK$","по условию задачи, так как $AM = CK$","так как $BM = BK$ и треугольник $MBK$ равнобедренный"],"answer":0}},"instruction":"Выберите обоснование","hints":["Для первого признака нужна третья пара — углы между названными сторонами: $\\angle A$ и $\\angle C$.","Углы $A$ и $C$ прилежат к основанию $AC$ равнобедренного треугольника. Опираться на равенство треугольников $ABM$ и $CBK$ или на $BM = BK$ нельзя: это и доказываем.","Ответ: как углы при основании равнобедренного треугольника."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"[[image-6]]В треугольнике $ABC$ $AB = AC$; на сторонах $AB$ и $AC$ отмечены точки $M$ и $K$ так, что $BM = CK$ (см. рисунок). Докажем, что $CM = BK$. В треугольниках $MBC$ и $KCB$: $BM = CK$ (по условию), $BC$ — общая сторона, $\\angle MBC = \\angle KCB$ [[fill_choice-2]]. Поэтому $\\triangle MBC = \\triangle KCB$ по первому признаку, и $CM = BK$.","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/qzq4cfjbdktw.svg"},"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["как углы при основании равнобедренного треугольника","как соответственные углы равных треугольников $MBC$ и $KCB$","по условию задачи, так как $BM = CK$","так как $CM = BK$ и эти углы лежат против равных сторон"],"answer":0}},"instruction":"Выберите обоснование","hints":["Для первого признака нужна третья пара — углы между названными сторонами: $\\angle MBC$ и $\\angle KCB$, то есть углы $B$ и $C$ треугольника $ABC$.","$AB = AC$, поэтому $BC$ — основание, а углы $B$ и $C$ — углы при основании. Опираться на равенство треугольников $MBC$ и $KCB$ или на $CM = BK$ нельзя: это и доказываем.","Ответ: как углы при основании равнобедренного треугольника."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Периметр равнобедренного треугольника равен 26 см, одна из его сторон — 8 см. Чему могут быть равны две другие стороны?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Только 8 и 10 см","8 и 10 см или 9 и 9 см","9 и 9 см или 13 и 13 см","Только 9 и 9 см"],"explanations":["Это случай, когда 8 см — боковая сторона; забыт случай, когда 8 см — основание","","13 см — половина периметра; при боковых по 13 см периметр $8 + 13 + 13 = 34$ см, а не 26","Это случай, когда 8 см — основание; забыт случай, когда 8 см — боковая сторона"],"answer":[1]}},"hints":["Неизвестно, боковая сторона 8 см или основание. Рассмотрите оба случая.","Если 8 см — боковая, то вторая боковая тоже 8 см, а основание $26-8-8 = 10$ см. Если 8 см — основание, то боковые по $(26-8) : 2 = 9$ см.","Оба треугольника существуют ($10 < 8 + 8$, $8 < 9 + 9$). Ответ: 8 и 10 см или 9 и 9 см."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Периметр равнобедренного треугольника равен 28 см, одна из его сторон — 10 см. Чему могут быть равны две другие стороны?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["9 и 9 см или 14 и 14 см","Только 9 и 9 см","10 и 8 см или 9 и 9 см","Только 10 и 8 см"],"explanations":["14 см — половина периметра; при боковых по 14 см периметр $10 + 14 + 14 = 38$ см, а не 28","Это случай, когда 10 см — основание; забыт случай, когда 10 см — боковая сторона","","Это случай, когда 10 см — боковая сторона; забыт случай, когда 10 см — основание"],"answer":[2]}},"hints":["Неизвестно, боковая сторона 10 см или основание. Рассмотрите оба случая.","Если 10 см — боковая, то вторая боковая тоже 10 см, а основание $28-10-10 = 8$ см. Если 10 см — основание, то боковые по $(28-10) : 2 = 9$ см.","Оба треугольника существуют ($8 < 10 + 10$, $10 < 9 + 9$). Ответ: 10 и 8 см или 9 и 9 см."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>