ТРЕНАЖЁРЫ
КУРСЫ
Составление математической модели: задачи
На прошлом уроке нами была установлена взаимозависимость между математическим языком и математической моделью. Теоретический базис заложен, так что теперь самое время переходить к практике. Далее мы подробнее рассмотрим составление математической модели и простые задачи, решаемые с помощью математической модели.
На первых порах тема может даваться с трудом. Но есть хорошая новость. Составление математической модели — это во многом навык.
Чем больше типовых задач вы нарешаете, тем проще вам будет ориентироваться в моделировании.
Этапы составления математической модели
Ранее мы описывали, что этапы составления математической модели включают в себя:
| 1. Наблюдение | 2. Моделирование | 3. Предсказание |
|---|---|---|
| Анализ задачи; на основе анализа подготовка частей будущей математической модели. | Логическое объединение частей и составление математической модели. | Использование составленной математической модели для заключений по вопросу задачи. |
С практической точки зрения наибольшую сложность представляют два первых этапа — наблюдение и моделирование. Чтобы их успешно завершать, необходимо умение правильно переводить текстовые утверждения на язык математики.
Что нужно хорошо понимать. На этапе наблюдения обычно переводятся части будущего алгебраического выражения. В процессе этапа моделирования эти части объединяются.
«Типовая задача»?
Еще раз подчеркнем, что задачи для седьмого класса, решаемые с помощью математической модели, являются типовыми. Что это означает? Они отличаются одинаковостью алгоритма решения.
Логика вычислений в них зациклена. А составление математической модели от задачи к задаче также следует одной схеме.
Например, пусть дана части задачи:
«Стоимость яблочного сока $x$ рублей, а томатного — $y$ рублей. Известно, что $5$ стаканов яблочного сока стоят столько же, сколько $6$ стаканов томатного…»
То, как составлена задача, подводит нас к двум концепциям — приравниванию и умножению. Опорным для решения будет следующее алгебраическое выражение:
$$5x=6y$$
Раз задача типовая, то выражения наподобие «$ax=by$» непременно встретятся еще раз, просто уже, так скажем, не в контексте сока. Вот почему мы выше говорили про то, что составление математической модели — это навык. Оно же умение отбросить текст и увидеть алгебру за ним.
Задачи на наблюдение и моделирование
Рассмотрим далее некоторые задачи, решаемые с помощью математической модели, в которых опущен этап наблюдения — где нет вывода ответа. Это поможет освоиться в основных типах учебных задач и научит выражать важные части текста алгебраически.
Операции сложения и вычитания
Задача. Первый рабочий выполняет порученное задание за $x$ часов, второй то же задание — за $y$ часов, при этом первый работает на три часа больше, чем второй.
Решение
Между производительностью двух рабочих можно установить отношение равенства, но с учетом условия «на три часа больше». Для начала составим каркасное тождество, которое дополним далее:
$$x=y$$
«Полноправно» приравнять данные переменные мы можем, только дополнив, что первый рабочий ($x$) работает на три часа больше. Интуитивно так и хочется переписать тождество следующим образом:
$$x+3=y$$
Однако это неверное составление математической модели для данной задачи. Мало того, что по условию очевидно неравенство $x>y$, так еще и тождество с частью «$x+3$» увеличивает разрыв между значениями $x$ и $y$ на лишние три раза.
Чтобы производительность рабочих все-таки приравнять, у первого, наоборот, нужно «отобрать» три часа и «отдать» их тому, кто работает быстрее:
$$x=y+3$$
Операции умножения и деления
Задача. На двух стройках трудится одинаковое количество рабочих. На первой стройке работает 5 бригад по $x$ человек в каждой, на второй стройке — 3 бригады по $y$ человек в каждой.
РЕШЕНИЕ
Первая стройка. В одной бригаде трудится $x$ человек. По условию таких бригад пять. Откуда получаем количество человек всего, трудящихся на первой стройке: $5x$.
Вторая стройка. Здесь же в одной бригаде трудится $y$ человек. По условию имеем три бригады. Следовательно количество работников, трудящихся на второй стройке: $3y$.
Также нам известно, что на двух стройках работает одно и то же количество рабочих. Остается данные части приравнять, чтобы получить тождество:
$$5x=3y$$
Вот, буквально мгновение — и мы вновь увидели составление математической модели коэффициентного типа «$ax=bx$».
Задачи, решаемые с помощью математической модели, со смешанной арифметикой
Задача. У Кати $x$ марок, а у Димы $y$ марок. Если Катя отдаст Диме 5 марок, то у Димы станет марок вдвое больше, чем останется у Кати.
РЕШЕНИЕ
Внимание на следующие части текста задачи:
| «Отдаст пять марок…» | «Вдвое больше» |
| Сложение/вычитание | Умножение/деление |
В зависимости от того, какая часть тождества отражает данные положения, операция может быть как прямой («Катя отдаст, $x-5$»), так и обратной («Дима возьмет, $y+5$).
Разделим составление математической модели задачи на два шага.
1. Катя отдает Диме 5 марок и у нее остается $x-5$ марок. Теперь у Димы $y+5$ марок.
2. В результате у Димы марок в два раза больше.
Однако нам нужно количество марок ребят приравнять. Раз у Димы их по условию задачи больше, то для равенства с количеством марок Кати у него их должно быть меньше. Значит, мы можем либо умножить количество марок Кати на 2, либо разделить количество марок Димы на 2:
| $$2(x-5)=y+5$$ | $$x-5=\frac{y+5}{2}$$ |
Составление математической модели — полные задачи
Самое время усложнить содержание задач и ввести все этапы составления математической модели, включая этап планирования. Далее мы решим ряд показательных задач, где требуется дать ответ.
Задача. В двух залах кинотеатра 460 мест. Сколько мест в большом зале, если в нем в 3 раза больше мест, чем в малом?
РЕШЕНИЕ
Заметим, что в данном случае составление математической модели задачи будет вестись в двух направлениях. С одной стороны, устанавливается алгебраическое равенство между количеством мест в залах. С другой стороны, нам известна их сумма. Составим эти выражения.
Приравнивание. Пусть количество мест в большом зале равняется $x$. Вместо того, чтобы вводить лишнюю переменную $y$ для количества мест в малом зале, выразим места малого зала через уже введенную переменную $x$ — как $\frac{x}{3}$. Это краткая модель записи:
$$y=\frac{x}{3}$$
Сложение. Всего в залах 460 мест. Количество мест в большом зале $x$, в малом — $\frac{x}{3}$, одна треть от мест в большом. Вместе:
$$x+\frac{x}{3}=460$$
Задаче требуется ответ; этапы составления математической модели должны завершаться в полном объеме. С этой целью мы и взяли за «главную» переменную количество мест в большом зале. Остается решить уравнение выше.
$$\frac{4}{3}x=460\\x=345$$
Ответ: 345.
Составление математической модели — задачи на движение
Задача. От пристани отошел теплоход со скоростью 22 км/ч, а от другой пристани навстречу ему через три часа отошел теплоход со скоростью 26 км/ч. Расстояние между пристанями составляет 306 км. Сколько времени в пути был каждый из теплоходов до встречи?
Для решения нам понадобится формула пути:
$$S=vt$$
Этап наблюдения
Время в пути — искомый параметр, введем его в качестве переменной $t$.
Пусть $t_1$ — это количество времени, затраченное первым теплоходом на преодоление всего своего пути. Сколько при этом затратил времени второй теплоход? На три часа меньше, ведь по условию от пристани он отошел в сравнении с первым с задержкой:
$$t_1-3$$
Этап моделирования
Каркасная модель выглядит так:
$$v_{1}t_1+ v_{2}t_2=S,$$
где $S$ — расстояние между пристанями, $v_1$ — скорость первого теплохода, $v_2$ — скорость второго, $t_1$ и $t_2$ — соответствующее время в пути.
Откуда взялась модель? Зарисуем перемещение теплоходов, что бывает иногда очень полезно при решении задач на движение. Теплоходы двигаются навстречу друг другу. Значит, в сумме они проходят расстояние между пристанями.
Доработаем модель и добавим в нее имеющиеся у нас данные:
$$22t_1+26(t_{1}-3)=306$$
Этап предсказания
Остается решить уравнение, найти значение $t_1$ и вычесть из него 3, чтобы получить $t_2$.
$$22t_1+26t_1=306+78\\t_1=8$$
Первый теплоход затратил 8 часов. Второй, соответственно, 5 часов.
Ответ: 8 и 5.
Решите сами!
Показать решение
Спрятать решение
🔵 РЕШЕНИЕ
Не очевидно, но за переменную $x$ удобно взять количество учащихся в старших классах. Почему — увидите далее.
Выразим количество учащихся в начальных и средних классах также через $x$. Для этого проанализируем утверждения, заданные условием задачи.
Утверждение первое: «В начальных классах учащихся в три раза больше, чем в старших». Раз их в три раза больше, то количество учеников в начальных классах через $x$ — это $3x$.
Утверждение второе: «В начальных классах учащихся в два раза меньше, чем в средних». Количество учащихся в начальных классах мы выразили ранее как $3x$. Сколько тогда учеников в средних классах? В два раза больше, то есть $2\cdot{3x}=6x$.
Остается составить модель:
$$x+3x+6x=900$$
Решаем и находим количество учеников в старших классах ($x$):
$$10x=900\\x=90$$
Откуда получаем, что в начальных классах учится 270 учеников ($3x$), а в средних классах — 540 учеников ($6x$).
Ответ: 270, 540, 90.
5
5
1
Оценить урок
Что можно улучшить?
Войдите, чтобы оценивать уроки
Что нужно исправить?
Спасибо, что помогаете нам стать лучше!
Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.
Хотите оставить комментарий?
Войти
Элизабет Митчелл
Когнитивный лингвист и автор научно-популярного контента.