Составление математической модели: задачи
На прошлом уроке нами была установлена взаимозависимость между математическим языком и математической моделью. Теоретический базис заложен, так что теперь самое время переходить к практике. Далее мы подробнее рассмотрим составление математической модели и простые задачи, решаемые с помощью математической модели.
На первых порах тема может даваться с трудом. Но есть хорошая новость. Составление математической модели — это во многом навык.
Чем больше типовых задач вы нарешаете, тем проще вам будет ориентироваться в моделировании.
Этапы составления математической модели
Ранее мы описывали, что этапы составления математической модели включают в себя:
| 1. Наблюдение | 2. Моделирование | 3. Предсказание |
|---|---|---|
| Анализ задачи; на основе анализа подготовка частей будущей математической модели. | Логическое объединение частей и составление математической модели. | Использование составленной математической модели для заключений по вопросу задачи. |
С практической точки зрения наибольшую сложность представляют два первых этапа — наблюдение и моделирование. Чтобы их успешно завершать, необходимо умение правильно переводить текстовые утверждения на язык математики.
Что нужно хорошо понимать. На этапе наблюдения обычно переводятся части будущего алгебраического выражения. В процессе этапа моделирования эти части объединяются.
«Типовая задача»?
Еще раз подчеркнем, что задачи для седьмого класса, решаемые с помощью математической модели, являются типовыми. Что это означает? Они отличаются одинаковостью алгоритма решения.
Логика вычислений в них зациклена. А составление математической модели от задачи к задаче также следует одной схеме.
Например, пусть дана части задачи:
«Стоимость яблочного сока $x$ рублей, а томатного — $y$ рублей. Известно, что $5$ стаканов яблочного сока стоят столько же, сколько $6$ стаканов томатного…»
То, как составлена задача, подводит нас к двум концепциям — приравниванию и умножению. Опорным для решения будет следующее алгебраическое выражение:
$$5x=6y$$
Раз задача типовая, то выражения наподобие «$ax=by$» непременно встретятся еще раз, просто уже, так скажем, не в контексте сока. Вот почему мы выше говорили про то, что составление математической модели — это навык. Оно же умение отбросить текст и увидеть алгебру за ним.
Задачи на наблюдение и моделирование
Рассмотрим далее некоторые задачи, решаемые с помощью математической модели, в которых опущен этап наблюдения — где нет вывода ответа. Это поможет освоиться в основных типах учебных задач и научит выражать важные части текста алгебраически.
Операции сложения и вычитания
Задача. Первый рабочий выполняет порученное задание за $x$ часов, второй то же задание — за $y$ часов, при этом первый работает на три часа больше, чем второй.
Решение
Между производительностью двух рабочих можно установить отношение равенства, но с учетом условия «на три часа больше». Для начала составим каркасное тождество, которое дополним далее:
$$x=y$$
«Полноправно» приравнять данные переменные мы можем, только дополнив, что первый рабочий ($x$) работает на три часа больше. Интуитивно так и хочется переписать тождество следующим образом:
$$x+3=y$$
Однако это неверное составление математической модели для данной задачи. Мало того, что по условию очевидно неравенство $x>y$, так еще и тождество с частью «$x+3$» увеличивает разрыв между значениями $x$ и $y$ на лишние три раза.
Чтобы производительность рабочих все-таки приравнять, у первого, наоборот, нужно «отобрать» три часа и «отдать» их тому, кто работает быстрее:
$$x=y+3$$
Операции умножения и деления
Задача. На двух стройках трудится одинаковое количество рабочих. На первой стройке работает 5 бригад по $x$ человек в каждой, на второй стройке — 3 бригады по $y$ человек в каждой.
РЕШЕНИЕ
Первая стройка. В одной бригаде трудится $x$ человек. По условию таких бригад пять. Откуда получаем количество человек всего, трудящихся на первой стройке: $5x$.
Вторая стройка. Здесь же в одной бригаде трудится $y$ человек. По условию имеем три бригады. Следовательно количество работников, трудящихся на второй стройке: $3y$.
Также нам известно, что на двух стройках работает одно и то же количество рабочих. Остается данные части приравнять, чтобы получить тождество:
$$5x=3y$$
Вот, буквально мгновение — и мы вновь увидели составление математической модели коэффициентного типа «$ax=bx$».
Задачи, решаемые с помощью математической модели, со смешанной арифметикой
Задача. У Кати $x$ марок, а у Димы $y$ марок. Если Катя отдаст Диме 5 марок, то у Димы станет марок вдвое больше, чем останется у Кати.
РЕШЕНИЕ
Внимание на следующие части текста задачи:
| «Отдаст пять марок…» | «Вдвое больше» |
| Сложение/вычитание | Умножение/деление |
В зависимости от того, какая часть тождества отражает данные положения, операция может быть как прямой («Катя отдаст, $x-5$»), так и обратной («Дима возьмет, $y+5$).
Разделим составление математической модели задачи на два шага.
1. Катя отдает Диме 5 марок и у нее остается $x-5$ марок. Теперь у Димы $y+5$ марок.
2. В результате у Димы марок в два раза больше.
Однако нам нужно количество марок ребят приравнять. Раз у Димы их по условию задачи больше, то для равенства с количеством марок Кати у него их должно быть меньше. Значит, мы можем либо умножить количество марок Кати на 2, либо разделить количество марок Димы на 2:
| $$2(x-5)=y+5$$ | $$x-5=\frac{y+5}{2}$$ |
Составление математической модели — полные задачи
Самое время усложнить содержание задач и ввести все этапы составления математической модели, включая этап планирования. Далее мы решим ряд показательных задач, где требуется дать ответ.
Задача. В двух залах кинотеатра 460 мест. Сколько мест в большом зале, если в нем в 3 раза больше мест, чем в малом?
РЕШЕНИЕ
Заметим, что в данном случае составление математической модели задачи будет вестись в двух направлениях. С одной стороны, устанавливается алгебраическое равенство между количеством мест в залах. С другой стороны, нам известна их сумма. Составим эти выражения.
Приравнивание. Пусть количество мест в большом зале равняется $x$. Вместо того, чтобы вводить лишнюю переменную $y$ для количества мест в малом зале, выразим места малого зала через уже введенную переменную $x$ — как $\frac{x}{3}$. Это краткая модель записи:
$$y=\frac{x}{3}$$
Сложение. Всего в залах 460 мест. Количество мест в большом зале $x$, в малом — $\frac{x}{3}$, одна треть от мест в большом. Вместе:
$$x+\frac{x}{3}=460$$
Задаче требуется ответ; этапы составления математической модели должны завершаться в полном объеме. С этой целью мы и взяли за «главную» переменную количество мест в большом зале. Остается решить уравнение выше.
$$\frac{4}{3}x=460\\x=345$$
Ответ: 345.
Составление математической модели — задачи на движение
Задача. От пристани отошел теплоход со скоростью 22 км/ч, а от другой пристани навстречу ему через три часа отошел теплоход со скоростью 26 км/ч. Расстояние между пристанями составляет 306 км. Сколько времени в пути был каждый из теплоходов до встречи?
Для решения нам понадобится формула пути:
$$S=vt$$
Этап наблюдения
Время в пути — искомый параметр, введем его в качестве переменной $t$.
Пусть $t_1$ — это количество времени, затраченное первым теплоходом на преодоление всего своего пути. Сколько при этом затратил времени второй теплоход? На три часа меньше, ведь по условию от пристани он отошел в сравнении с первым с задержкой:
$$t_1-3$$
Этап моделирования
Каркасная модель выглядит так:
$$v_{1}t_1+ v_{2}t_2=S,$$
где $S$ — расстояние между пристанями, $v_1$ — скорость первого теплохода, $v_2$ — скорость второго, $t_1$ и $t_2$ — соответствующее время в пути.
Откуда взялась модель? Зарисуем перемещение теплоходов, что бывает иногда очень полезно при решении задач на движение. Теплоходы двигаются навстречу друг другу. Значит, в сумме они проходят расстояние между пристанями.
Доработаем модель и добавим в нее имеющиеся у нас данные:
$$22t_1+26(t_{1}-3)=306$$
Этап предсказания
Остается решить уравнение, найти значение $t_1$ и вычесть из него 3, чтобы получить $t_2$.
$$22t_1+26t_1=306+78\\t_1=8$$
Первый теплоход затратил 8 часов. Второй, соответственно, 5 часов.
Ответ: 8 и 5.
Решите сами!
Показать решение
Спрятать решение
🔵 РЕШЕНИЕ
Не очевидно, но за переменную $x$ удобно взять количество учащихся в старших классах. Почему — увидите далее.
Выразим количество учащихся в начальных и средних классах также через $x$. Для этого проанализируем утверждения, заданные условием задачи.
Утверждение первое: «В начальных классах учащихся в три раза больше, чем в старших». Раз их в три раза больше, то количество учеников в начальных классах через $x$ — это $3x$.
Утверждение второе: «В начальных классах учащихся в два раза меньше, чем в средних». Количество учащихся в начальных классах мы выразили ранее как $3x$. Сколько тогда учеников в средних классах? В два раза больше, то есть $2\cdot{3x}=6x$.
Остается составить модель:
$$x+3x+6x=900$$
Решаем и находим количество учеников в старших классах ($x$):
$$10x=900\\x=90$$
Откуда получаем, что в начальных классах учится 270 учеников ($3x$), а в средних классах — 540 учеников ($6x$).
Ответ: 270, 540, 90.
5
5
1
5
Хотите оставить комментарий?
Войти