Личный кабинет Выйти Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание История России ОГЭ
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Алгебраические выражения

Содержание

    Чем алгебраические выражения отличаются от числовых? Сразу рассмотрим простой пример. Допустим, Решавру нужно рассчитать свой индекс массы тела. Известно, что ИМТ рассчитывается как отношение массы тела (кг) к росту (м) в квадрате. Решавр взвесился, замерил рост и получил следующее:

    $$\textbf{\textcolor{blue}{ИМТ}}=\frac{60~\textit{кг}}{1,55^{2}~\textitм}\approx{25~\frac{\textit{кг}}{\textit{м}^2}}$$

    Запись выше представляет собой числовое выражение, и оно было бы совершенно бесполезно, если бы вы захотели рассчитать свой ИМТ. Но что, если представить расчет ИМТ в общем виде?

    Например, вот так:

    $$\textbf{\textcolor{blue}{ИМТ}}=\frac{m}{h^2},$$

    где $m$ — масса в $\textit{кг}$, $h$ — рост в $\textit{м}$.

    Подставляя вместо «m» и «h» соответствующие величины, можно находить ИМТ для абсолютно любого человека. В целом, запись стала универсальной. Она сообщает не столько информацию о взаимосвязи чисел, сколько инструкцию для вычисления такой информации.  

    Числовое выражениеАлгебраическая дробь
    $$\frac{60}{1,55^2}$$$$\frac{m}{h^2}$$
    🔎 Сравните формы двух данных записей.

    В данном уроке мы:

    • разберемся, как устроены такие «буквенные» записи;  
    • дадим определение понятия «переменная»;
    • узнаем, какие значения переменных называют недопустимыми;
    • а также отдельно разберем свойства алгебраических дробей.

    Определение понятия «переменная»



    Числовые выражения состоят из чисел. Алгебраические выражения — из переменных. Возьмем безразмерную коробку, в которой можно хранить любой предмет. Так вот, предмет — это число, а коробка — это переменная.

    🔵 ЗАЧЕМ ЭТО НУЖНО?

    В математике не всегда удобно работать с выражениями, содержащими постоянные величины. Как, к примеру, с числовым выражением $\frac{60}{1,55^2}$. Оно сообщает значение, но не отражает какую-либо концепцию или идею, как алгебраическая дробь $\frac{m}{h^2}$.

    Если же «предлагать» внутри выражения не конкретные предметы, а коробки, в которые по необходимости кладутся предметы, потенциал применения выражения значительно возрастает.

    Так, можно дать определение понятия «переменная»:

    Переменная — математический объект, занимающий некоторое множество числовых значений.  

    Пусть дана такая переменная $x$ и известно правило, задающее множество ее значений: $x\in\mathbb{N^+}$. Запись расшифровывается следующим образом: «В качестве значения $x$ допускается любое положительное натуральное число $\mathbb{N}$».

    ПеременнаяМножество ее значенийПримеры возможных числовых значений
    $x$$x\in\mathbb{N^+}$$1, 2, 3, 4…$
    ⚠️ Определение понятия «переменная» через множество допустимых значений.

    Образавр объясняет: расширенный натуральный ряд


    Возможно, с формой записи $\mathbb{N^+}$ вы ранее не сталкивались. Так как к подобному ограничению числовых множеств мы будем прибегать еще не раз, проясним момент.

    Существует несколько определений множества натуральных чисел, с включением нуля и с его исключением. Чтобы не создавать неопределенность, к множеству натуральных чисел мы будем обращаться по-разному:

    🔷⠀⠀расширенный натуральный ряд $\mathbb{N}$ $\{0, 1, 2, 3…\}$
    🔷⠀⠀ряд с исключением нуля $\mathbb{N^+}$ $\{1, 2, 3…\}$

    Переменная в алгебре: пример

    Выше мы не зря для примера обозначили переменную как $x$. В алгебре переменные принято записывать строчными литерами латинского алфавита $(a, b, c, x, y…)$, реже греческого $(\alpha,\beta,\theta…)$. Греческие литеры обычно применяются как переменные значения углов.

    Также нужно понимать, что числовые значения, спрятанные за буквами, могут задаваться как с ограничениями, так и без. Коробки ведь бывают разными: маленькими, большими или огромными.

    Переменная в алгебре: пример. Запишем переместительный закон с помощью переменных $a$ и $b$:

    $$a+b=b+a$$

    Пояснение. За $a$ и $b$ принимаются какие угодно числовые значения — это пример записи с переменными, когда последние ничем не ограничены. Абсолютно любые числа, пришедшие вам в голову, могут быть подставлены на место переменных в указанном порядке. Если, допустим, $a=-6$ и $b=10^{23}$, то:

    $$-6+10^{23}=10^{23}+(-6)$$

    Допустимые и недопустимые значения переменной

    С другой стороны, подставлять какие угодно числа вместо переменных не всегда возможно. Некоторые математические операции могут не допускать определенные значения переменных. Чаще всего это обусловлено законами арифметики. В таком случае говорят, что запись имеет допустимые и недопустимые значения переменной.

    Допустимые значения переменной в алгебраическом выражении — значения переменной, при которых выражение имеет смысл.

    Повторим еще раз, но с другой «стороны»: какие значения переменных тогда называют недопустимыми? Те, при которых выражение не имеет смысл.

    Рассмотрим пример:

    Дана алгебраическая дробь. $\frac{a^2}{a+b}$

    Пояснение. Подставим в запись значения $a=-10$, $b=10$. Выражение $\frac{a^2}{\textcolor{coral}{\textbf{0}}}$ не имеет смысла — деление на ноль в классической математике недопустимо.

    Видим, что данная запись, в отличие от алгебраической записи переместительного закона, имеет как допустимые, так и недопустимые значения переменной.

    Можно сказать, что алгебраическая дробь $\frac{a^2}{a+b}$ имеет смысл только при:

    $$a\neq{-b}$$

    Алгебраические выражения — даем определение

    Теперь определенно ясно, что:

    Алгебраические выражения — всякие записи, состоящие из переменных и чисел, связанных между собою арифметическими операциями.

    Алгебраическое выражениеЧисловое выражение
    $x^3+4y^2-49$$(2\frac{1}{10}:2-1,8)\cdot0,4+5$
    Состоит из переменных, чисел, арифметических операций.  Состоит только из чисел и арифметических операций.  
    🔎 Сравните формы записей.

    «Алгебраическая» — значит, особая буквенная форма записи математических объектов. Заметьте, что в подобном выражении могут находиться не только переменные, но и постоянные величины — числа.

    Синтаксис алгебраических выражений

    В языках, чтобы составить корректное предложение, нужно знать законы синтаксиса. Алгебраические выражения, как и предложения, подчиняются математическому синтаксису. Далее мы разберем наиболее важные положения.

    Переменные и коэффициенты

    В алгебраическом выражении «$7x^2$»:

    🔷 «$7$» — коэффициент переменной;

    🔷 «$x$» — буквенное обозначение переменной.

    Числовой множитель при переменной называется коэффициентом. Порядок при записи всегда следующий: вначале, если имеется, идет коэффициент, только после — переменная. Также обратите внимание, что в синтаксисе алгебраических выражений не принято указывать знак умножения между коэффициентом и переменной.  

    Порядок переменных в выражении

    $$\frac{6(a+2b-4c)}{(a+b)^2}$$

    Данная алгебраическая дробь арифметически связывает три переменные — $a$, $b$, $c$. Обращаем ваше внимание, что порядок алфавитный, не произвольный: точно так же, как, например, друг за другом в кириллице идут буквы «а», «б», «в» и так далее. Это не обязательное правило, а, скорее, правило хорошего тона.

    Вычисление алгебраических выражений

    Задача. Найдите, чему равняется выражение при $a=3,$ $b=-2,$ $c=1,$ и укажите допустимые и недопустимые значения переменных в данном алгебраическом выражении.

    $$\frac{(a+b)(b+c)}{(a+b)^2}$$

    Решение. Найти значение алгебраического выражения — это найти, чему оно равняется при заданных значениях переменных. Прежде чем перейти к вычислению, заметим, что:

    $$(a+b)^2=(a+b)(a+b)$$

    Выражение можно упростить:

    $$\frac{\cancel{(a+b)}(b+c)}{(a+b)^{\cancel{2}}}=\frac{b+c}{a+b}$$

    Первое. Находим значение при $a=3$, $b=-2$, $c=1$:

    $$\frac{-2+1}{3+(-2)}=\frac{-1}{1}=-1$$

    Второе. Еще раз ключевой вопрос: какие значения переменных называют недопустимыми? Те, при которых алгебраическое выражение не имеет смысла. Поскольку мы имеем дело с алгебраической дробью, приравняем знаменатель к нулю:

    $$a+b\neq{0}\\a\neq{-b}$$

    Теперь мы можем указать допустимые значения переменных в алгебраическом выражении и ограничить числовое множество выше найденным «правилом»:

    $$\begin{cases}a\in{\mathbb{R}}\\b\in{\mathbb{R}}\\c\in{\mathbb{R}}\\a\neq{-b}\end{cases}$$

    Таким образом, допустимые значения переменных в данном алгебраическом выражении — любые вещественные числа при условии, что $a\neq{-b}$.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии

    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение