7 класс Алгебра Введение в алгебру Алгебраические выражения

Вычисления по формулам. Выражение величины из формулы

Содержание

В уроке «Алгебраические выражения» мы подставляли числа вместо букв и находили значение выражения. Теперь применим это умение к формулам — записям, по которым в физике, химии, экономике и на экзамене считают самые разные величины: путь, стоимость, температуру, мощность. В этом уроке вы научитесь вычислять по формуле, не путаясь в знаках, степенях и единицах измерения, и находить другую величину формулы, если известны остальные. Такие расчеты — задание №12 ОГЭ по математике.

Формула — это цепочка вычислений

Температуру в России измеряют в градусах Цельсия, а, например, в США — в градусах Фаренгейта. Чтобы перевести одну шкалу в другую, используют формулу $F = 1{,}8C + 32$. Здесь $C$ — температура по Цельсию (в °C), $F$ — температура по Фаренгейту (в °F). Прочитаем формулу как цепочку действий: берем число $C$, умножаем на $1{,}8$ и прибавляем $32$. Получается число $F$.

Конвейер формулы F = 1,8C + 32: число C входит, умножается на 1,8, к результату прибавляется 32, выходит число F. Для C = 20 получается 36, затем F = 68 — Формула как конвейер: число $C$ входит слева, проходит два действия и выходит числом $F$. Для $C = 20$ получается $F = 68$

Определение

Формула — запись правила вычисления с помощью букв: равенство, в котором одна величина выражена через другие. Величина — то, что можно измерить и выразить числом с единицей измерения: температура, путь, время, стоимость. Каждая буква в формуле обозначает величину.

Для $C = 20$ получаем: $1{,}8 \cdot 20 = 36$, затем $36 + 32 = 68$. Значит, $20$ °C — это $68$ °F. Числа $1{,}8$ и $32$ не случайны. Вода замерзает при $0$ °C, или $32$ °F, а кипит при $100$ °C, или $212$ °F. Между этими отметками $100$ градусов Цельсия и $212-32 = 180$ градусов Фаренгейта. Значит, изменение температуры на $1$ градус Цельсия — это изменение на $180 : 100 = 1{,}8$ градуса Фаренгейта. А $0$ °C — это $32$ °F, поэтому к произведению $1{,}8C$ прибавляют $32$.

Интересный факт: откуда взялась шкала Фаренгейта

Скрыть

Шкалу предложил в 1724 году немецкий физик Даниэль Габриэль Фаренгейт. Нулем он назвал температуру смеси льда, воды и нашатыря (хлорида аммония): такая смесь держит постоянную температуру. Позднее шкалу привязали к воде: плавление льда — $32$ °F, кипение воды — $212$ °F.

Другая простая формула — $s = nl$: длина $s$ ряда из $n$ одинаковых плиток, каждая длиной $l$. Между буквами $n$ и $l$ нет знака, но это умножение: $nl$ означает $n \cdot l$. Для $12$ плиток длиной $30$ см получаем $s = 12 \cdot 30 = 360$ см. Знак умножения при подстановке чисел нужно ставить обязательно.

Ошибка

Подставляя числа в $nl$, пишут их рядом: $n = 12$ и $l = 30$ дают «$1230$». Проверьте на простом случае: $2$ плитки по $3$ см — это $6$ см, а не «$23$». Запись двух букв рядом без знака всегда означает произведение, поэтому при подстановке числа тоже нужно соединить знаком $\cdot$.

Алгоритм

Чтобы вычислить по формуле: 1) запишите формулу; 2) подставьте вместо каждой буквы ее значение; 3) выполните действия в нужном порядке; 4) запишите ответ с единицей измерения.

Вопрос на потом

На одном термометре две шкалы: Цельсия и Фаренгейта. Есть ли температура, при которой оба показывают одно и то же число? Запомните вопрос: ответ вы найдете сами в конце урока.

{"questions":[{"content":"Что обозначает запись $nl$ в формуле $s = nl$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Произведение $n \\cdot l$","Число, составленное из цифр $n$ и $l$","Сумму $n + l$","Разность $n-l$"],"explanations":["","Две буквы рядом — не число из двух цифр. Если $n = 2$ и $l = 3$, то $nl = 2 \\cdot 3 = 6$, а не $23$.","Сложение записывают знаком $+$. Знака между буквами нет, значит, это умножение.","Вычитание записывают знаком $-$. Знака между буквами нет, значит, это умножение."],"answer":[0]}}},{"content":"По формуле $F = 1{,}8C + 32$ найдите $F$ при $C = 30$.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"86","unit":"°F"}},"hints":["Сначала умножьте $C$ на $1{,}8$: $1{,}8 \\cdot 30 = 54$.","Затем прибавьте $32$: $54 + 32 = 86$."],"step":1},{"content":"Ученик вычислял длину ряда по формуле $s = nl$ при $n = 15$ и $l = 20$ и получил $1520$. В чем его ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Записал числа рядом вместо умножения","Сложил числа вместо умножения","Поменял местами $n$ и $l$","Ошибки нет: длина ряда $1520$ см"],"explanations":["","Сумма $15 + 20 = 35$ — это не $1520$. Число $1520$ получается, если записать цифры рядом.","От перестановки множителей произведение не меняется: $20 \\cdot 15 = 15 \\cdot 20 = 300$.","Проверьте на простом случае: $2$ плитки по $3$ см — это $6$ см, а не «$23$». Значит, $1520$ не может быть произведением."],"answer":[0]}},"hints":["Число $1520$ — это цифры $15$ и $20$, записанные рядом.","Нужно: $15 \\cdot 20 = 300$."],"step":1}],"mix":1}

Подставляем числа: в окошки и по порядку

Заменять буквы числами — подставлять значения в формулу — нужно аккуратно. Чтобы не терять знаки, представьте формулу как шаблон с окошками: на месте каждой буквы — окошко, а число вставляется в него целиком, вместе со знаком. Если число отрицательное, берите его в скобки: тогда рядом не окажется двух знаков подряд.

Подстановка C = −10 в формулу F = 1,8C + 32: шаблон с окошком, число в скобках, затем действия: 1,8 · (−10) = −18, −18 + 32 = 14 — Подстановка $C = -10$: число входит в окошко целиком, отрицательное — в скобках. Затем действия по порядку

Пример

Найдем $F$ при $C = -10$.

Подставляем число в скобках: $F = 1{,}8 \cdot (-10) + 32$. Сначала умножение: $1{,}8 \cdot (-10) = -18$. Затем сложение: $-18 + 32 = 14$.

Ответ: $14$ °F.

Правило

При подстановке заменяйте букву числом целиком, отрицательное число берите в скобки. Действия выполняйте в таком же порядке, как в числовых выражениях: скобки, степень, умножение и деление, сложение и вычитание.

На экзамене часто встречается обратный перевод: из шкалы Фаренгейта в шкалу Цельсия. Он записывается формулой со скобкой: $C = \frac{5}{9}(F-32)$.

Пример

Найдем $C$ при $F = 23$.

Подставляем: $C = \frac{5}{9} \cdot (23-32)$. Сначала скобка: $23-32 = -9$. Затем умножение: $\frac{5}{9} \cdot (-9) = -5$.

Ответ: $-5$ °C.

Ошибка

Скобку в формуле читают как будто ее нет: $\frac{5}{9} \cdot F-32$. При $F = 23$ получается $\frac{5}{9} \cdot 23-32 \approx -19{,}2$ вместо $-5$. Скобка означает, что $32$ вычитают из $F$ до умножения.

Пример

Мощность $P$ (в ваттах) электрического прибора вычисляют по формуле $P = I^2R$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах). Найдем $P$ при $I = 4{,}5$ и $R = 6$.

Напомним: квадрат числа — произведение двух одинаковых множителей, $4{,}5^2 = 4{,}5 \cdot 4{,}5$. Подставляем: $P = 4{,}5^2 \cdot 6$. Степень выполняем раньше умножения: $4{,}5^2 = 20{,}25$. Затем $20{,}25 \cdot 6 = 121{,}5$.

Ответ: $121{,}5$ Вт.

Ошибка

Степень принимают за умножение: $I^2$ при $I = 4{,}5$ считают как $4{,}5 \cdot 2 = 9$. Но $I^2 = 4{,}5 \cdot 4{,}5 = 20{,}25$. Показатель говорит, сколько раз число стоит множителем, а не на что его умножить.

uploaded-formuly-konveyer-3bffef706506

{"questions":[{"content":"Как записать подстановку $C = -4$ в формулу $F = 1{,}8C + 32$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$1{,}8 \\cdot (-4) + 32$","$1{,}8-4 + 32$","$1{,}84 + 32$","$(1{,}8 + 32) \\cdot (-4)$"],"explanations":["","Здесь пропало умножение: между $1{,}8$ и $-4$ получился знак минус. Подстановка без потерь — $1{,}8 \\cdot (-4)$: число $-4$ входит в скобках вместо $C$.","Числа склеились: «$1{,}84$» — другое число, кроме того, потерян знак минус.","Нарушен порядок действий: в формуле $1{,}8$ умножают на $C$, а затем прибавляют $32$."],"answer":[0]}}},{"content":"По формуле $C = \\frac{5}{9}(F-32)$ найдите $C$ при $F = -4$.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["-20","−20"],"unit":"°C"}},"hints":["Сначала скобка: $-4-32 = -36$.","Затем $\\frac{5}{9} \\cdot (-36) = -20$."],"step":1},{"content":"Мощность вычисляют по формуле $P = I^2R$. Найдите $P$ при $I = 3$ и $R = 5$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$45$","$30$","$15$","$225$"],"explanations":["","Так получится, если принять $I^2$ за $2 \\cdot 3$. Но $I^2 = 3 \\cdot 3 = 9$.","Так получится, если не возводить в квадрат: $3 \\cdot 5$. В формуле есть степень.","Так получится, если возвести в квадрат все произведение: $(3 \\cdot 5)^2$. Но в квадрат возводится только $I$."],"answer":[0]}},"hints":["Сначала степень: $3^2 = 9$.","Затем умножение: $9 \\cdot 5 = 45$."],"step":1}],"mix":1}

Единицы измерения: следим за единицей ответа

У каждой величины есть единица измерения: километры, метры, часы, минуты, секунды. Единицы подставленных величин определяют единицу результата. Рассмотрим формулу скорости $v = \frac{S}{t}$, где $S$ — путь, $t$ — время. Если путь выражен в километрах, а время в часах, скорость получится в километрах в час. Если путь в метрах, а время в секундах — в метрах в секунду.

Пусть путь равен $2{,}4$ км, а время — $20$ мин. Подставим числа как есть: $2{,}4 : 20 = 0{,}12$. Это километры в минуту — результат верный, но скорость обычно выражают в километрах в час. Чтобы получить км/ч, время нужно выразить в часах: $20$ мин $= \frac{1}{3}$ ч. Тогда $v = 2{,}4 : \frac{1}{3} = 2{,}4 \cdot 3 = 7{,}2$ км/ч.

Конвейер скорости v = S : t. Слева путь в километрах и время в минутах дают 0,12 км/мин. Справа время переведено в часы: 20 минут это 1/3 часа, получается 7,2 км/ч — Единицы подставленных величин определяют единицу результата: километры и минуты дают км/мин, километры и часы — км/ч

Величина	Соотношения единиц
Длина	$1$ км $= 1000$ м; $1$ м $= 100$ см
Время	$1$ ч $= 60$ мин; $1$ мин $= 60$ с; $1$ ч $= 3600$ с
Скорость	$1$ м/с $= 3{,}6$ км/ч

Правило

Единицы подставленных величин определяют единицу результата. Прочитайте, в каких единицах нужен ответ и в каких единицах записаны числа в формуле, и заранее приведите величины к этим единицам.

Обратите внимание

Чтобы перевести скорость из км/ч в м/с, делят на $3{,}6$: $36$ км/ч $= 36\,000$ м $: 3600$ с $= 10$ м/с. Чтобы перевести из м/с в км/ч, умножают на $3{,}6$.

Пример

Расстояние $S$ (в метрах) до места вспышки молнии можно оценить по формуле $S = vt$, где $v = 340$ м/с — примерная скорость звука в воздухе, $t$ — время в секундах между вспышкой и громом. Между вспышкой и громом прошло $8$ с. Найдите расстояние. Ответ дайте в километрах.

Подставляем: $S = 340 \cdot 8 = 2720$ м. В задаче просят километры, поэтому переводим: $2720$ м $= 2720 : 1000 = 2{,}72$ км.

Ответ: $2{,}72$ км.

Ошибка

В примере с молнией записывают ответ $2720$: вычисление верное, но единица — метры, а спрашивали километры. Другая ошибка — перевести в километры неверно: получить $27{,}2$ или $0{,}272$. Чтобы не ошибиться, проверьте здравый смысл: $2720$ м — почти три километра, значит, ответ около $2{,}7$ км.

{"questions":[{"content":"В формуле $v = \\frac{S}{t}$ путь дан в метрах, а время — в секундах. В каких единицах получится скорость?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["В метрах в секунду","В километрах в час","В секундах на метр","В метрах, умноженных на секунды"],"explanations":["","Единицы не меняются сами: если путь в метрах, а время в секундах, то и скорость в метрах в секунду.","Так получится, если перевернуть дробь: $\\frac{t}{S}$. Но в формуле путь делят на время.","Умножать пришлось бы, если бы в формуле стоял знак умножения. Здесь деление."],"answer":[0]}}},{"content":"Автомобиль проехал $150$ км за $2$ ч $30$ мин. Найдите его скорость в километрах в час.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"60","unit":"км/ч"}},"hints":["Переведите время в часы: $2$ ч $30$ мин $= 2{,}5$ ч. Число $2{,}3$ — частая ошибка: $30$ минут — это половина часа.","$150 : 2{,}5 = 60$."],"step":1},{"content":"Ученик перевел $36$ км/ч в м/с, умножив на $3{,}6$, и получил $129{,}6$ м/с. В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Нужно разделить на $3{,}6$: $36$ км/ч $= 10$ м/с","Нужно умножить на $36$","Нужно умножить на $60$","Ошибки нет"],"explanations":["","Получится $1296$ м/с — еще больше. Перевод: $36$ км/ч — это $36\\,000$ м за $3600$ с, то есть $36 : 3{,}6 = 10$ м/с.","На $60$ умножают, когда переводят часы в минуты. Для скорости нужен коэффициент $3{,}6$.","Проверьте здравый смысл: $129{,}6$ м/с — почти $470$ км/ч, быстрее любого поезда, а $36$ км/ч — скорость автомобиля в городе."],"answer":[0]}},"hints":["$36$ км $= 36\\,000$ м, $1$ ч $= 3600$ с.","$36\\,000 : 3600 = 10$ м/с, то есть надо делить на $3{,}6$."],"step":1}],"mix":1}

Выражаем величину: конвейер идет назад

Часто известен результат, а нужно найти величину, которая «входила» в формулу. Например, американский термометр показывает $77$ °F. Сколько это градусов Цельсия? Нужно выразить величину $C$ из формулы $F = 1{,}8C + 32$, то есть пройти конвейер в обратную сторону: с конца в начало, и каждое действие заменить обратным.

Конвейер F = 1,8C + 32. Вперед: C = 25, умножить на 1,8 получим 45, прибавить 32 получим 77. Назад: из 77 вычесть 32 получим 45, разделить на 1,8 получим 25 — Вперед: умножить на $1{,}8$, затем прибавить $32$. Назад: сначала вычесть $32$, затем разделить на $1{,}8$. Порядок действий меняется на противоположный

Пример

Найдем $C$ при $F = 77$.

Последнее действие вперед — прибавление $32$. Обратное — вычитание: $77-32 = 45$. Перед ним было умножение на $1{,}8$. Обратное — деление: $45 : 1{,}8 = 25$.

Ответ: $25$ °C. Проверка: $1{,}8 \cdot 25 + 32 = 45 + 32 = 77$ — получилось исходное число.

Правило

Чтобы найти величину из формулы, идите по цепочке с конца. Последнее действие определяется порядком действий, а не порядком записи: в $150 + 12k$ число $150$ записано первым, но прибавляется последним. Выполняйте обратные действия в обратном порядке и каждое заменяйте обратным: сложение — вычитанием, умножение — делением и наоборот. Проверка: подставьте найденное значение в формулу — должно получиться исходное число.

Так находят величину, которая стоит как слагаемое или множитель. Если искомая величина — делитель, например $t$ в $v = \frac{S}{t}$, помните: делитель равен делимому, деленному на частное, то есть $t = \frac{S}{v}$.

То же самое можно записать в общем виде: $C = \frac{F-32}{1{,}8}$. Черта дроби работает как скобки: делится вся разность $F-32$. Заметим, что $\frac{1}{1{,}8} = \frac{5}{9}$, поэтому это та же формула $C = \frac{5}{9}(F-32)$, которую мы подставляли в предыдущем разделе.

Три пути выражения k из C = 150 + 12k при C = 450. Верно: (450 − 150) : 12 = 25. Ошибки: 450 − 150 : 12 = 437,5 (делили одно слагаемое) и (450 + 150) : 12 = 50 (знак не сменили) — Такси: $T = 150 + 12k$, счет $450$ рублей. Обратный ход без ошибок дает $25$ км. Если делить только одно слагаемое или не менять знак, получаются неверные ответы

Ошибка

Пусть такси стоит $T = 150 + 12k$: $150$ рублей за подачу и $12$ рублей за каждый километр. Чтобы найти $k$, ошибаются двумя способами. Первый — делят только одно слагаемое: $k = T-150 : 12$. При $T = 450$ получается $450-12{,}5 = 437{,}5$ км — слишком много за такую сумму. Второй — прибавляют вместо вычитания: $k = \frac{T + 150}{12}$. При $T = 450$ получается $50$, но $150 + 12 \cdot 50 = 750$, а не $450$. Обратный ход без ошибок: $k = \frac{T-150}{12} = \frac{300}{12} = 25$ км.

Пример

Найдем $R$ из формулы $P = I^2R$ при $P = 121{,}5$ и $I = 4{,}5$.

Величину $R$ умножили на $I^2$ и получили $P$. Обратное действие — деление: $R = \frac{P}{I^2}$. Считаем: $I^2 = 20{,}25$, тогда $R = 121{,}5 : 20{,}25 = 6$.

Ответ: $6$ Ом. Проверка: $20{,}25 \cdot 6 = 121{,}5$.

Пример

Найдем $F$ из формулы $C = \frac{5}{9}(F-32)$ при $C = 10$.

Вперед в формуле: сначала вычитание $32$ из $F$ (скобка), затем умножение на $\frac{5}{9}$. Назад: сначала отменяем умножение, то есть умножаем на $\frac{9}{5}$: $10 \cdot \frac{9}{5} = 18$. Затем отменяем вычитание: $18 + 32 = 50$.

Ответ: $50$ °F. Проверка: $\frac{5}{9} \cdot (50-32) = \frac{5}{9} \cdot 18 = 10$.

uploaded-formuly-nazad-a529dc4de0c3

{"questions":[{"content":"В формуле $F = 1{,}8C + 32$ известно $F$. Какое действие нужно выполнить первым, чтобы найти $C$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Вычесть $32$ из $F$","Прибавить $32$ к $F$","Разделить $F$ на $1{,}8$","Умножить $F$ на $1{,}8$"],"explanations":["","Последнее действие в формуле — прибавление $32$. Обратное ему — вычитание, а не еще одно прибавление.","Делить на $1{,}8$ нужно не $F$, а то, что осталось после вычитания $32$. Первым идет действие, которое выполнялось последним.","Умножение на $1{,}8$ — прямое действие формулы. Назад идут обратным действием — делением, и не первым."],"answer":[0]}}},{"content":"Из каждой формулы нужно выразить $x$.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$y = 5x$","$y = x + 5$","$y = x-5$","$y = x : 5$"],"items":["$x = y : 5$","$x = y-5$","$x = y + 5$","$x = 5y$"]}},"instruction":"Установите соответствие","hints":["Каждое действие заменяют обратным: умножение — делением, сложение — вычитанием.","Деление отменяют умножением: из $y = x : 5$ получаем $x = 5y$."],"step":1},{"content":"Из формулы $y = 5(x-1) + 2$ нужно найти $x$. В каком порядке выполнять обратные действия?[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Вычесть 2","Разделить на 5","Прибавить 1"]}},"instruction":"Расставьте действия по порядку","hints":["Идите с конца формулы: последнее действие — прибавление $2$, значит, первым вычитаем $2$.","Затем отменяем умножение на $5$ — делим. Последним отменяем вычитание $1$ внутри скобки — прибавляем $1$."],"step":1}],"mix":1}

Формулы в задачах: от условия до ответа

В задаче формулу нередко нужно составить самому. Для этого выберите буквы для величин, определите, какие действия с ними выполняются, и запишите цепочку — собственный конвейер. Составленную формулу можно использовать в обе стороны: подставлять числа и выражать величину.

Пример

Абонемент в бассейн: за оформление карты платят один раз $600$ рублей, а каждое посещение стоит $250$ рублей. Составьте формулу стоимости $T$ после $k$ посещений и найдите, сколько посещений можно оплатить на $3100$ рублей.

Карта стоит $600$ рублей, $k$ посещений — $250k$ рублей. Формула: $T = 600 + 250k$.

Если $T = 3100$, идем назад: $3100-600 = 2500$, затем $2500 : 250 = 10$. То есть $k = \frac{T-600}{250} = 10$.

Ответ: $10$ посещений. Проверка: $600 + 250 \cdot 10 = 3100$.

Конвейер абонемента T = 600 + 250k. Вперед: k = 10, умножить на 250 получим 2500, прибавить 600 получим 3100. Назад: из 3100 вычесть 600 получим 2500, разделить на 250 получим 10 — Собственный конвейер для абонемента: вперед $k \to 250k \to 600 + 250k = T$, назад — те же блоки в обратном порядке с обратными действиями

Как решать задачи ОГЭ №12

Выпишите формулу и данные с единицами измерения.
Посмотрите, в каких единицах нужен ответ, и приведите данные к этим единицам.
Подставьте числа: отрицательные — в скобках, действия — по порядку. Если неизвестна не та величина, что слева, сначала выразите ее обратным ходом.
Проверьте результат подстановкой в формулу и здравым смыслом.
Запишите ответ с единицей измерения.

Те же приемы работают в физике. Скорость: $v = \frac{S}{t}$ (урок «Скорость. Единицы скорости»). Плотность: $\rho = \frac{m}{V}$ (урок «Плотность вещества»). Из плотности можно выразить массу: $m = \rho V$. Если искомая величина стоит в знаменателе, используют правило делителя: $V = \frac{m}{\rho}$. Составлять уравнения по условию задачи вы будете в уроках «Решение задач с помощью уравнений» и «Задачи на работу и проценты»: формулы там тоже служат основой решения.

Ответ на вопрос из начала урока. Вернемся к вопросу: есть ли температура, при которой термометры Цельсия и Фаренгейта показывают одно и то же число? Заполним таблицу по формуле $F = 1{,}8C + 32$ и добавим столбец с разностью $F-C$. Найдите строку, в которой разность равна нулю.

$C$, °C	$F$, °F	$F-C$
$-60$	$-76$	$-16$
$-50$	$-58$	$-8$
$-40$	$-40$	$0$
$-30$	$-22$	$8$
$-20$	$-4$	$16$

{"questions":[{"content":"При какой температуре по Цельсию оба термометра показывают одно и то же число?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-40$ °C","$0$ °C","$32$ °C","Такой температуры нет"],"explanations":["","При $0$ °C термометр Фаренгейта показывает $32$ °F: числа разные.","При $32$ °C получается $1{,}8 \\cdot 32 + 32 = 89{,}6$ °F: числа разные.","Посмотрите на столбец $F-C$: в одной из строк таблицы он равен нулю, значит, числа на шкалах там совпадают."],"answer":[0]}},"hints":["Числа на шкалах совпадают, когда $F-C = 0$.","В таблице разность равна нулю в строке с $C = -40$."],"step":1}],"mix":1}

Проверим подстановкой: $1{,}8 \cdot (-40) + 32 = -72 + 32 = -40$. Да, такая температура есть: $-40$ °C — это $-40$ °F. Покажем это на координатной плоскости: отметим точки таблицы и соединим их, получится прямая $F = 1{,}8C + 32$. Точки прямой $F = C$ — те, у которых оба числа равны. Прямые пересекаются в точке $(-40;\ -40)$: только в ней значения равны.

Графики F = 1,8C + 32 и F = C пересекаются в точке (−40; −40): при температуре −40 градусов шкалы Цельсия и Фаренгейта показывают одно число — Прямая $F = 1{,}8C + 32$ пересекает прямую $F = C$ в точке $(-40;\ -40)$: здесь обе шкалы показывают одно число

{"questions":[{"content":"Абонемент: $500$ рублей за оформление и $300$ рублей за каждое занятие. Стоимость $T$ после $k$ занятий равна $T = 500 +$ [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$300k$","$500k$","$800$","$300 + k$"],"answer":0}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Оформление платят один раз: это слагаемое $500$ без $k$.","За $k$ занятий по $300$ рублей платят $300 \\cdot k = 300k$ рублей."],"step":1},{"content":"По формуле $T = 500 + 300k$ найдите, сколько занятий оплачено, если заплатили $2000$ рублей.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Идите назад: вычтите $500$: $2000-500 = 1500$.","Разделите на $300$: $1500 : 300 = 5$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Формула — это конвейер вычислений: числа входят слева, проходят действия по порядку и выходят результатом. Подставляйте числа в окошки целиком, отрицательные — в скобках, и следите за степенью и скобками. Прежде чем считать, проверьте единицы измерения и в какой единице нужен ответ. Чтобы найти другую величину, пройдите конвейер назад: обратные действия в обратном порядке. Подстановка в исходную формулу сразу покажет, верен ли результат. Эти умения нужны в задании №12 ОГЭ, в физике и химии, при расчете стоимости и в любой работе с таблицами и программами. А в следующих темах вы увидите, что решение линейного уравнения — тот же ход назад, только запись другая.

Часто задаваемые вопросы

Зачем брать отрицательное число в скобки при подстановке?

Скобки показывают, что знак минус относится к самому числу и не сливается со знаком действия. Запись $1{,}8 \cdot (-10)$ понятна, а запись $1{,}8 \cdot -10$ легко прочитать неверно. Скобки также сохраняют порядок действий: $(-3)^2 = 9$, а $-3^2 = -9$.

Как понять, в каких единицах подставлять величины?

Смотрите, в каких единицах нужен ответ и в каких записаны числа формулы. Если нужна скорость в км/ч, путь берите в километрах, время — в часах. Если единицы в условии другие, сначала переведите их по таблице соотношений.

Как проверить, что величина выражена верно?

Подставьте в исходную формулу найденное значение: должно получиться число, данное в условии. Например, при $F = 77$ получили $C = 25$; проверка: $1{,}8 \cdot 25 + 32 = 77$.

Чем формула отличается от уравнения?

Формула связывает величины и позволяет найти одну из них, если остальные известны. В уравнении ищут неизвестное число, при котором равенство верно. Нахождение величины из формулы по сути близко к решению уравнения: например, при известном $F$ в формуле $F = 1{,}8C + 32$ ищут $C$. Как решать такие уравнения, рассказано в уроке «Линейное уравнение с одной переменной».

Как запомнить порядок действий при выражении величины?

Представьте, что вы разматываете цепочку: последнее действие формулы отменяется первым. Если вперед шли «умножить, затем прибавить», то назад идут «вычесть, затем разделить».

Награды за урок