0 0 0
Личный кабинет Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание ОГЭ
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Выражения: числовые, с переменной, алгебраические

Содержание

    Мы начинаем знакомство с новым разделом математики — с алгеброй. Алгебра позволяет не только выполнять вычисления, но и учит делать это как можно быстрее, то есть рациональнее. На самом деле у вас уже есть познания в этой области, ведь алгебра изучает числовые выражения и выражения с переменной. А с ними вы уже наверняка встречались.

    Числовые выражения

    Числовое выражение — это запись, состоящая из чисел, знаков арифметических действий и скобок.

    Примеры числовых выражений:

    • $(12.8: 0.5-13.2)\cdot0.4$;
    • $\frac{6-3\cdot5}{20:5-2^{2}}$;
    • $(40:5-2^{3})^{0}$;
    • $-\frac{7}{15}$.

    Обратите внимание, что одно число также является числовым выражением.

    Заметим, что запись должна иметь смысл, например, запись $4+\cdot$ — это не числовое выражение, а бессмысленный набор символов.

    Также вы уже знакомы с арифметическими действиями.

    Арифметические действия — это сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень с целым показателем.

    При этом помните, что:

    • сложение и вычитание — это действия первой ступени;
    • умножение и деление — действия второй ступени;
    • возведение в степень — действия третьей ступени.

    Это необходимо учитывать при выполнении действий. Вначале выполняются действия третьей ступени, потом второй, а в конце первой.
    Однако при наличии скобок вначале выполняются действия, заключенные в скобки, в том же порядке, а затем все остальные.

    Если посчитать приведенные примеры, то мы получим значение числового выражения.

    Значение числового выражения – это число, полученное в результате выполнения указанных в выражении действий (если их можно выполнить).

    Найдем значения приведенных в примере числовых выражений:

    a) $(12.8: 0.5-13.2)\cdot0.4=$

    Показать решение

    Скрыть решение

    $=(25.6-13.2)\cdot0.4=12.4\cdot0.4=4.96$.
    Полученное число $4.96$ является значением числового выражения.

    b) $\frac{6-3\cdot5}{20:5-2^{2}}=$

    Показать решение

    Скрыть решение

    $=\frac{6-15}{20:5-2^{2}}=\frac{-9}{20:5-2^{2}}=\frac{-9}{4-2^{2}}=\frac{-9}{4-4}=\frac{-9}{0}$.
    Мы знаем, что на ноль делить нельзя, поэтому числовое выражение не имеет смысла.

    c) $(40:5-2^{3})^{0}=$

    Показать решение

    Скрыть решение

    $=(8-2^{3})^{0}=(8-8)^{0}=(0)^{0}$.
    Известно, что нельзя возводить ноль в нулевую степень. Поэтому данное числовое выражение не имеет смысла.

    Выражение не имеет значения, если встречается деление на ноль, возведение нуля в нулевую или отрицательную степень.

    Выражения с переменной

    Вам уже приходилось записывать формулы и составлять уравнения, используя буквенные выражения. Поскольку буквы можно заменить на произвольное число, то эти буквы называют переменными, а буквенные выражения — выражением с переменными (или с переменной, если она одна).

    Выражение с переменной — это запись, состоящая из чисел, букв, знаков арифметических действий и скобок.

    Снова отметим, что запись должна иметь смысл, например, запись $2x+)$ — это не выражение с переменной, а бессмысленный набор символов.

    Примеры выражений с переменной:

    • $(2x+3)\cdot0.1$;
    • $a^{3}bc^{2}$;
    • $\frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{(a+b)(a-b)}$;
    • $с$.

    Обратите внимание, что одна буква также является выражением с переменной.

    Рассмотрим первое выражение из примера: $(2x+3)\cdot0.1$.
    Если переменную $x$ заменить числом, к примеру, $\frac{1}{4}$ ($\frac{1}{4}$ — это значение переменной), то получим числовое выражение $(2\cdot\frac{1}{4}+3)\cdot0.1$.

    Значение переменной — это определенное число, которое присваивается переменной.

    Показать решение

    Скрыть решение

    $(\frac{2}{1}\cdot\frac{1}{4}+3)\cdot0.1=(\frac{1}{2}+3)\cdot0.1=(0.5+3)\cdot0.1=3.5\cdot0.1=0.35$. Полученное число $0.35$ является значением данного выражения с переменной при $x=\frac{1}{4}$

    Также найдем значение третьего выражения из примера $\frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{(a+b)(a-b)}$ при разных $a$ и $b$.
    $a_{1}=3.7$, $b_{1}=-1.7$;
    $a_{2}=\frac{3}{5}$, $b_{2}=\frac{3}{5}$.

    Показать решение с первой парой значений переменных

    Скрыть решение с первой парой значений переменных

    1. Подставим значения переменных. Получим $\frac{3.7^{2}+2\cdot3.7\cdot(-1.7)+(-1.7)^{2}}{(3.7+(-1.7))(3.7-(-1.7))}$
    2. Посчитаем числитель: $=13.69+2\cdot3.7\cdot(-1.7)+2.89=13.69-12.58+2.89=4$
    3. Посчитаем знаменатель: $=(3.7-1.7)(3.7+1.7)=2\cdot5.4=10.8$
    4. Выполним деление числителя на знаменатель: $\frac{4}{10.8}=\frac{4}{1}:\frac{108}{10}=\frac{4}{1}:\frac{54}{5}=\frac{4}{1}\cdot\frac{5}{54}=\frac{2}{1}\cdot\frac{5}{27}=\frac{10}{27}$. Полученное число $\frac{10}{27}$ является значением данного выражения с переменными при $a_{1}=3.7$, $b_{1}=-1.7$.

    Показать решение со второй парой значений переменных

    Скрыть решение со второй парой значений переменных

    1. Подставим значения переменных. Получим $\frac{(\frac{3}{5})^{2}+2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{5}+(\frac{3}{5})^{2}}{(\frac{3}{5}+\frac{3}{5})(\frac{3}{5}-\frac{3}{5})}$
    2. Посчитаем числитель: $=\frac{9}{25}+\frac{2}{1}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{5}+\frac{9}{25}=\frac{9}{25}+\frac{18}{25}+\frac{9}{25}=\frac{36}{25}$
    3. Посчитаем знаменатель: $=\frac{6}{5}\cdot\frac{0}{5}=\frac{6}{5}\cdot0=0$
    4. Выполним деление числителя на знаменатель: $\frac{4}{0}$. Данное выражение с переменными при $a_{2}=\frac{3}{5}$, $b_{2}=\frac{3}{5}$ не имеет смысла.

    Получается, что выражение с переменными при конкретных значениях переменных может иметь числовое значение. Тогда говорят, что указаны допустимые значения переменной.
    Если же такое выражение при конкретных значениях переменных не имеет смысла, тогда указаны недопустимые значения переменной.

    Значения переменных могут быть допустимыми и недопустимыми.

    Потому в алгебре говорят об области допустимых значений выражения с переменными.

    Алгебраические выражения

    Числовые выражения и выражения с переменными называют алгебраическими выражениями.

    Существует две группы алгебраических выражений.

    1 группа2 группа
    $\frac{b}{5}$$\frac{2}{a}$
    $a^{2}-b$$\frac{mn}{(m+n)^{2}}$
    $\frac{xy}{3}$$\frac{c}{d+2}$
    $\frac{2}{7}c^{2}+3d$$4-\frac{x}{y^{}2}$

    Выражения первой группы не содержат деления на выражения с переменными. Такие выражения называются целыми выражениями. Их мы и будем изучать в 7 классе.
    Выражения второй группы, наоборот, содержат деления на выражения с переменными. Такие выражения называются рациональными выражениями. С ними мы познакомимся в 9 классе.

    Алгебраические выражения могут быть целыми и рациональными.

    Упражнение

    Используя термины «сумма», «разность», «произведение», «частное», прочитайте алгебраические выражения и укажите, какие из них являются целыми:

    1) $а-(b+с)$;
    2) $а+bc$;
    3) $x-\frac{y}{z}$;

    4) $2m-10$;
    5) $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$;
    6) $(а+b)с$;

    7) $ac+bc$;
    8) $\frac{a}{b+4}$;
    9) $(а-b)(c+d)$.

    Показать ответ

    Скрыть ответ

    1. Разность числа $a$ и суммы чисел $b$ и $c$.
      Это целое выражение.
    2. Сумма числа $a$ и произведения чисел $b$ и $c$.
      Это целое выражение.
    3. Разность числа $x$ и частного чисел $y$ и $z$.
      Это рациональное выражение (не целое).
    4. Разность произведения чисел $2$ и $m$и числа 10.
      Это целое выражение.
    5. Сумма частных чисел $a$ и $b$ и чисел $c$ и$d$.
      Это рациональное выражение (не целое).
    6. Произведение суммы чисел $a$ и $b$ и числа $c$
      Это целое выражение.
    7. Сумма произведений чисел $a$ и $b$ и чисел $c$ и$d$.
      Это целое выражение.
    8. Частное числа $a$ и суммы чисел $b$ и $4$.
      Это рациональное выражение (не целое).
    9. Произведение разности чисел $a$ и $b$ и суммы чисел $c$ и $d$.
      Это целое выражение.
    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение