7 класс Алгебра Введение в алгебру Алгебраические выражения

Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых

Содержание

В уроке «Алгебраические выражения» мы находили значение выражения с переменной. Теперь научимся выражения упрощать: заменять запись на более простую — без скобок и без подобных слагаемых, — у которой значение при любом $x$ то же самое. Для этого нужны два приема: приведение подобных слагаемых и раскрытие скобок. Главным инструментом станет распределительное свойство умножения, которое вы знаете из 5 класса: $3 \cdot (2 + 4) = 3 \cdot 2 + 3 \cdot 4$, оба выражения равны $18$.

Все объясним на одной модели: выражение — набор плиток, а скобки — коробка, в которой плитки лежат вместе. Начнем с вопроса, к которому вернемся в разделе 3: чему равно $10-(3-2)$? Запомните свой ответ.

Плитки одного вида складываются в одну кучку

Представим выражение как набор плиток. Зеленая палка — это $x$ (длина палки нам неизвестна), желтый квадратик — число $1$. Слагаемое $3x$ — это три палки, а слагаемое $5$ — пять квадратиков. Значит, выражение $3x + 2 + 4x + 5$ — три палки, два квадратика, еще четыре палки и пять квадратиков.

Выражение 3x + 2 + 4x + 5 как набор плиток: 3 палки, 2 квадратика, 4 палки, 5 квадратиков. Плитки одного вида складываем в одну кучку: 7 палок и 7 квадратиков, то есть 7x + 7 — Палки складываем с палками, квадратики — с квадратиками: $3x + 2 + 4x + 5 = 7x + 7$

Палки можно сложить с палками: $3x + 4x = 7x$ — всего семь палок. Квадратики — с квадратиками: $2 + 5 = 7$. А палку с квадратиком в одну плитку не сложить, поэтому ответ остается суммой двух слагаемых: $7x + 7$.

Определение

Буквенная часть слагаемого — буква, на которую умножено число: у $3x$ это $x$.

Подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью, то есть плитки одного вида: $3x$ и $4x$, $-5x$ и $x$. Числа без букв тоже подобны друг другу. Не подобны, например, $3x$ и $3y$ (другая буква), $3x$ и $3$ (во втором нет буквы), $x$ и $x^2$ (палка и квадрат — разные плитки).

Коэффициент — число, на которое умножена буква. У $3x$ коэффициент равен $3$, у $-5x$ он равен $-5$, а у $x$ он равен $1$, потому что $x = 1 \cdot x$. Коэффициент может быть и дробным: $0{,}5a$ — половина палки.

Правило

Чтобы привести подобные слагаемые, сложите их коэффициенты и оставьте ту же буквенную часть:

$$3x + 4x = (3 + 4)x = 7x$$

Это распределительное свойство, прочитанное справа налево: общий множитель $x$ записали один раз.

Слагаемые со знаком «минус» изобразим красными плитками: $-2x$ — это две красные палки. Зеленая палка и красная палка вместе дают нуль. Такую пару назовем нулевой парой: ее можно убрать, и выражение не изменится. Плитки показывают, как преобразовывать выражение. Значение при конкретном $x$ считают уже числами: палка — это число $x$, каким бы оно ни было, в том числе отрицательным.

Выражение 2x − 5x + 3x − 1 + 4: пять зеленых палок и пять красных образуют пять нулевых пар и исчезают; один красный квадратик и один желтый тоже образуют пару, остаются три желтых квадратика. Ответ 3 — Нулевые пары исчезают: $2x-5x + 3x-1 + 4 = 3$

Посчитаем палки в выражении $2x-5x + 3x-1 + 4$: $2-5 + 3 = 0$, то есть все палки составили нулевые пары. Квадратиков остается $-1 + 4 = 3$. Значит, $2x-5x + 3x-1 + 4 = 3$. Буквы в ответе нет: значение выражения не зависит от $x$.

Ошибка

Три частые ошибки. Первая: записать плитки разного вида одной кучкой, $4x + 3 = 7x$ (четыре палки и три квадратика — это не семь палок). Вторая: считать, что $x + x = x^2$ (две палки — это $2x$, а $x^2$ — совсем другая плитка, квадрат со стороной $x$). Третья: забыть, что у $x$ коэффициент $1$: $5x-x = 5$ вместо верного $4x$.

Проверьте числом: при $x = 2$ выражение $4x + 3$ равно $11$, а $7x$ равно $14$.

Пример

Упростите выражение $7a-3 + 2a-a + 8$ и найдите его значение при $a = -2$.

Подобные слагаемые с $a$: $7a + 2a-a = (7 + 2-1)a = 8a$. Числа: $-3 + 8 = 5$. Значит, выражение равно $8a + 5$. При $a = -2$ получаем $8 \cdot (-2) + 5 = -11$.

Проверим по исходной записи: $7 \cdot (-2)-3 + 2 \cdot (-2)-(-2) + 8 = -14-3-4 + 2 + 8 = -11$. Ответ: $-11$.

{"questions":[{"content":"В выражении $2x + 5-x + 3x-4$ слагаемые с $x$ — это $2x$, $-x$ и $3x$. Чему равна сумма их коэффициентов?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$4$","$6$","$5$","$1$"],"explanations":["","Знак минус у $-x$ потерян: у $-x$ коэффициент равен $-1$, поэтому $2-1 + 3 = 4$, а не $2 + 1 + 3$.","Слагаемое $-x$ пропущено, потому что у $x$ «не видно» коэффициента. Но он есть: $-x = -1 \\cdot x$.","Это сумма чисел $5-4$, а нужны коэффициенты при $x$."],"answer":[0]}}},{"content":"[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Подобны $2x$","Не подобны $2x$"],"items":[["$-x$","$0{,}5x$","$7x$"],["$2$","$2y$","$2x^2$"]]}},"instruction":"Распределите слагаемые по группам","hints":["Подобные слагаемые отличаются только коэффициентом: буквенная часть у них одинаковая.","Подобны $2x$ слагаемые $-x$, $0{,}5x$ и $7x$: у всех буквенная часть $x$. У числа $2$ буквы нет, у $2y$ другая буква, а $2x^2$ — квадрат, а не палка."],"step":1},{"content":"Ученик записал: $5x-x = 5$. В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Подобные слагаемые нельзя вычитать, их можно только складывать","Нужно записать $5x-x = 6x$","Ошибки нет: $x$ можно убрать из записи","У $x$ коэффициент равен $1$, а не $0$: верно $5x-x = 4x$"],"explanations":["Вычитать подобные слагаемые можно: коэффициенты вычитаются, как и складываются.","При вычитании коэффициенты вычитают: $5-1 = 4$. Складывать $5 + 1$ нужно только в сумме $5x + x$.","Если $x = 2$, то $5x-x = 8$, а ответ $5$ дал бы неверное значение.",""],"answer":[3]}}}],"mix":1}

Скобки — это коробка с плитками

Скобки собирают слагаемые вместе, как коробка собирает плитки. Пока коробка закрыта, плитки лежат в ней одним набором. Раскрыть скобки — значит высыпать плитки на стол и записать их без скобок.

Начнем с коробки, перед которой стоит плюс: $5 + (2x + 3)$. Плюс говорит: «добавить к пяти все, что лежит в коробке». Коробку просто открываем, с плитками ничего не делая.

Выражение 5 + (2x + 3): перед скобками стоит плюс, коробку просто открываем, знаки внутри не меняются. Плитки высыпаются на стол: 2 палки и 8 квадратиков, то есть 2x + 8 — Плюс перед скобками: коробку открыли, знаки не изменились. $5 + (2x + 3) = 5 + 2x + 3 = 2x + 8$

Правило

Если перед скобками стоит «плюс» или ничего, скобки опускают, а знаки слагаемых в скобках не меняют:

$$a + (b + c) = a + b + c, \qquad a + (b-c) = a + b-c$$

Проверим числами: $10 + (3-2) = 10 + 1 = 11$ и $10 + 3-2 = 11$.

Теперь число перед скобками. Выражение $3(x + 2)$ — это три одинаковые коробки, в каждой палка и два квадратика. Высыплем все три коробки: получится три палки и $3 \cdot 2 = 6$ квадратиков. Если выложить коробки в строки, получится прямоугольник, и множитель $3$ действует на каждую плитку.

Три одинаковые коробки, в каждой палка x и 2 квадратика, выложены в прямоугольник из трех строк. В нем 3 палки и 3·2 = 6 квадратиков: 3(x + 2) = 3x + 6. Множитель действует на каждую плитку в скобках — Три коробки $(x + 2)$ — три строки прямоугольника: $3(x + 2) = 3x + 6$

Правило

Множитель перед скобками умножают на каждое слагаемое в скобках:

$$k(a + b) = ka + kb, \qquad k(a-b) = ka-kb$$

Пример

Раскройте скобки: $4(2x-3)$.

В каждой из четырех коробок лежат две зеленые палки и три красных квадратика. Всего получится восемь палок и двенадцать красных квадратиков: $4(2x-3) = 8x-12$. Ответ: $8x-12$.

Ошибка

Умножают только первое слагаемое: $3(x + 2) = 3x + 2$. Это все равно что открыть одну коробку из трех. Проверьте числом: при $x = 1$ выражение $3(1 + 2)$ равно $9$, а $3 \cdot 1 + 2$ равно $5$.

Пример

Упростите выражение $2a + 3(a-4)$.

Сначала раскроем скобки: $2a + 3a-12$. Затем приведем подобные слагаемые: $2a + 3a = 5a$. Ответ: $5a-12$.

Обратите внимание

Правило с множителем относится к скобкам, перед которыми стоит число или буква. Скобки, возведенные в степень, например $(a + b)^2$, раскрывают иначе: плитки складываются в квадрат. Об этом рассказывает урок «Квадрат суммы и квадрат разности».

{"questions":[{"content":"Сколько плиток каждого вида лежит в трех коробках, в каждой из которых палка и два квадратика?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Три палки и пять квадратиков","Шесть палок и шесть квадратиков","Три палки и шесть квадратиков","Три палки и два квадратика"],"explanations":["К двум квадратикам прибавили $3$, а нужно умножать: коробок три.","В каждой коробке по одной палке, значит, палок три, а не шесть.","","Умножили на $3$ только палку. Но коробок три, и квадратики лежат в каждой из них: $3 \\cdot 2 = 6$."],"answer":[2]}}},{"content":"Раскройте скобки: $5(a + 4)$[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["5a+20","5*a+20","20+5a","20+5*a"]}},"instruction":"Введите выражение без пробелов, букву — латинскую","hints":["Множитель $5$ умножаем на каждое слагаемое в скобках: $5 \\cdot a$ и $5 \\cdot 4$.","$5 \\cdot a = 5a$, $5 \\cdot 4 = 20$. Ответ: $5a + 20$."],"step":1},{"content":"Дополните запись: $7 + (x-2) = 7 + x$ [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$- 2$","$+ 2$","$- 5$","$+ 5$"],"answer":0}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Перед скобками стоит плюс, поэтому знаки слагаемых в скобках не меняются.","Слагаемое $-2$ переписываем со своим знаком: $7 + x-2$."],"step":1}],"mix":1}

Минус перед скобками: убираем коробку

Вернемся к вопросу из начала: $10-(3-2)$. Минус перед коробкой означает: из набора убрать все, что в ней лежит. В нашей коробке три желтых квадратика и два красных, ведь $3-2$ — это три и «минус два».

На столе десять желтых квадратиков, красных нет, а убрать надо и красные. Выручают нулевые пары: добавим две пары из желтого и красного квадратика, значение набора не изменится. Теперь на столе $12$ желтых и $2$ красных квадратика. Убираем коробку: три желтых и два красных. Остается $12-3 = 9$ желтых. Значит, $10-(3-2) = 10-3 + 2 = 9$.

Сравнение двух решений выражения 10 − (3 − 2). Верно: значение скобок 3 − 2 = 1, затем 10 − 1 = 9, или 10 − 3 + 2 = 9. Ошибка: 10 − 3 − 2 = 5, потому что знак у второго слагаемого в скобках не поменяли — $10-(3-2) = 9$. Ответ $5$ получается, если просто убрать скобки

Тот же ответ дает вычисление по действиям: $3-2 = 1$ и $10-1 = 9$. Ответ $5$ получается, если просто убрать скобки: $10-3-2$. Тогда из набора убирают еще два желтых квадратика, хотя в коробке лежали красные.

С буквами все работает так же. Разберем $7-(2x-5)$: в коробке две зеленые палки и пять красных квадратиков. Палок на столе нет, поэтому добавим две нулевые пары палок и пять нулевых пар квадратиков. Уберем коробку: две зеленые палки и пять красных квадратиков. Останутся две красные палки и $7 + 5 = 12$ желтых квадратиков: $12-2x$.

Выражение 7 − (2x − 5): минус перед коробкой значит убрать коробку. Палок на столе нет, поэтому добавляем две нулевые пары палок и пять нулевых пар квадратиков и убираем из них зеленые палки и красные квадратики. Остаются две красные палки и 12 желтых квадратиков: 7 − 2x + 5 = 12 − 2x — Минус перед скобками: добавили нулевые пары и убрали коробку. Остались плитки обратного цвета: $7-(2x-5) = 7-2x + 5 = 12-2x$

Правило

Если перед скобками стоит «минус», при раскрытии скобок знак каждого слагаемого в скобках меняется на противоположный (убрать красную плитку — значит остаться с желтой, убрать зеленую — остаться с красной):

$$-(a + b) = -a-b, \qquad -(a-b) = -a + b$$

Минус перед скобками — это множитель $-1$: $-(a-b) = (-1) \cdot (a-b) = -a + b$. Поэтому отрицательное число перед скобками действует так же: $-2(x-3) = -2x + 6$.

Ошибка

Меняют знак только у первого слагаемого: $-(2x-5) = -2x-5$. Или не меняют вовсе, как будто минус перед скобками просто «исчез». Проверьте числом: при $x = 1$ выражение $-(2 \cdot 1-5)$ равно $3$, а $-2 \cdot 1-5$ равно $-7$.

uploaded-skobki-tile-box-5d6d7be254df

Пример

Упростите выражение $9x-(4x-6)$.

Минус меняет знак каждого слагаемого в скобках: $9x-4x + 6$. Приводим подобные: $9x-4x = 5x$. Ответ: $5x + 6$.

Если перед скобками отрицательное число: $-2(x-3)$ — убираем две коробки, в каждой палка и три красных квадратика. Убрали две палки: $-2x$. Убрали шесть красных квадратиков: $+6$. Ответ: $-2x + 6$.

Интересный факт: правило знаков знали в III веке

Скрыть

Правило «минус на минус дает плюс» применял уже Диофант Александрийский — греческий математик, живший, по-видимому, в III веке. В своей «Арифметике» он перемножал выражения с вычитаемыми членами и пользовался правилами «минус на плюс дает минус» и «минус на минус дает плюс». Именно оно скрыто в правиле раскрытия скобок: минус перед скобками умножает каждое слагаемое на $-1$.

{"questions":[{"content":"Из набора убрали коробку, в которой лежали две зеленые палки и один красный квадратик. Что изменилось в наборе?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ничего не изменилось","Палок стало на две меньше, а желтых квадратиков на один больше","Палок стало на две меньше и квадратиков на один меньше","Палок стало на две больше, а квадратиков на один меньше"],"explanations":["Из набора убрали плитки, значит, он изменился.","","Убрали красный квадратик, а не желтый: красная и желтая плитки образуют нулевую пару, поэтому квадратиков стало не меньше, а больше.","Две зеленые палки убрали, поэтому палок стало меньше, а не больше."],"answer":[1]}}},{"content":"Раскройте скобки и упростите: $9-(3x-4)$[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$13-3x$","$5-3x$","$13 + 3x$","$5 + 3x$"],"explanations":["","Знак поменяли только у первого слагаемого: $3x$ стало $-3x$, а $-4$ должно стать $+4$.","Знак поменяли только у второго слагаемого: $-4$ стало $+4$, а $3x$ должно стать $-3x$.","Минус перед скобками просто опустили: $9 + 3x-4$. Знаки в скобках надо поменять."],"answer":[0]}}},{"content":"Ученик решил: $10-(3x + 4) = 10-3x + 4 = 14-3x$. Где ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Нельзя вычитать скобки из числа","Знак меняют только у $4$, а $3x$ оставляют как есть","Ошибки нет, ответ верный","У числа $4$ знак не поменяли на противоположный: верно $10-3x-4 = 6-3x$"],"explanations":["Скобки вычитать можно: из числа убирают все, что лежит в коробке.","Меняют знаки у всех слагаемых в скобках, в том числе у $3x$: верно $-3x$.","Проверка при $x = 0$: $10-4 = 6$, а ответ $14-3 \\cdot 0 = 14$.",""],"answer":[3]}}}],"mix":1}

Скобки и подобные вместе: четыре шага

Чаще всего в одном выражении встречаются и скобки, и подобные слагаемые. Тогда действуют по плану: раскрыть, собрать, привести, проверить.

Алгоритм

Раскройте все скобки: учтите множитель и знак «минус» перед скобками.
Выпишите подобные слагаемые рядом: палки с палками, числа с числами.
Приведите подобные слагаемые: сложите коэффициенты.
Проверьте результат подстановкой числа.

Три шага упрощения выражения 2(3x − 1) − (x − 4): раскрыть скобки — получаем 6x − 2 − x + 4; выписать подобные рядом — 6x − x и −2 + 4; привести подобные — 5x + 2. Проверка подстановкой x = 3 дает 17 в обоих выражениях — это четвертый шаг — Три шага и проверка: $2(3x-1)-(x-4) = 6x-2-x + 4 = 5x + 2$

Пример

Упростите выражение $3(a + 2)-2(a-5)$.

Раскрываем скобки. Вторая скобка стоит после минуса и умножается на $2$, поэтому $-2(a-5) = -2a + 10$. Получаем $3a + 6-2a + 10$. Подобные слагаемые: $3a-2a = a$ и $6 + 10 = 16$. Ответ: $a + 16$.

Проверка при $a = 1$: $3 \cdot 3-2 \cdot (-4) = 9 + 8 = 17$ и $1 + 16 = 17$.

Пример

Упростите выражение с двумя буквами: $3(a-2b)-2(a + b)$.

Раскроем скобки: $3a-6b-2a-2b$. Подобные слагаемые с $a$: $3a-2a = a$. С $b$: $-6b-2b = -8b$. Ответ: $a-8b$. Буквы $a$ и $b$ — плитки разных видов, поэтому в одну кучку они не складываются.

Пример

Упростите выражение со скобками внутри скобок: $x-(2x-(x + 1))$.

Внутри большой коробки лежит маленькая. Раскроем сначала внешние скобки: перед ними минус, поэтому знаки меняются у $2x$ и у маленькой коробки: $x-2x + (x + 1)$. Теперь раскроем маленькие скобки, перед ними плюс: $x-2x + x + 1$. Подобные: $x-2x + x = 0$. Ответ: $1$. Значение выражения не зависит от $x$: все палки образовали нулевые пары.

Важно

Сначала раскройте все скобки и только потом приводите подобные слагаемые. Если делать это вперемешку, легко потерять слагаемое или знак.

Как понять, что упрощение верное? Подставьте в исходное выражение и в ответ одно и то же число. Если упрощение верное, значения совпадут при любом числе. Если вы ошиблись, значения разойдутся почти при всех числах, но случайно могут совпасть при одном. Для выражений этого урока двух разных чисел достаточно; числа $0$ и $1$ лучше не брать, потому что на них ошибка часто не видна. Попробуйте в интерактиве: он покажет, где совпадают значения верного и ошибочного ответов.

uploaded-skobki-check-x-69023cba1277

{"questions":[{"content":"[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Раскрыть все скобки","Выписать подобные слагаемые рядом","Сложить коэффициенты подобных слагаемых","Проверить подстановкой числа"]}},"instruction":"Расставьте шаги упрощения по порядку","hints":["Пока в выражении есть скобки, подобные слагаемые не видны: плитки лежат в коробках.","Порядок: раскрыть скобки, собрать плитки одного вида, сложить коэффициенты, проверить числом."],"step":1},{"content":"Упростите выражение: $4(2x-1)-(3x-5)$[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["5x+1","5*x+1","1+5x","1+5*x"]}},"instruction":"Введите выражение без пробелов, букву — латинскую","hints":["Раскройте скобки: $4(2x-1) = 8x-4$, а $-(3x-5) = -3x + 5$.","Получилось $8x-4-3x + 5$. Подобные: $8x-3x = 5x$ и $-4 + 5 = 1$. Ответ: $5x + 1$."],"step":1},{"content":"Ученик записал: $3(x-2)-2(x-4) = 3x-6-2x-8 = x-14$. Где ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Подобные слагаемые $3x$ и $-2x$ приведены неверно: должно быть $5x$","Ошибки нет, ответ верный","У $-4$ во второй скобке не поменяли знак: должно быть $+8$, верный ответ $x + 2$","Первую скобку раскрыли неверно: должно быть $3x + 6$"],"explanations":["$3x-2x = (3-2)x = x$, это верно.","Проверка при $x = 4$: $3 \\cdot 2-2 \\cdot 0 = 6$, а ответ $4-14 = -10$.","","Множитель $3$ умножается на каждое слагаемое: $3 \\cdot (-2) = -6$, это верно."],"answer":[2]}}}],"mix":1}

Зачем упрощать: меньше действий — меньше ошибок

Упрощение нужно, чтобы считать быстрее и надежнее. Найдем значение выражения $2(3x-1)-(x-4)$ при $x = -7$. Можно подставить число сразу, а можно сначала упростить выражение до $5x + 2$.

Значение выражения 2(3x − 1) − (x − 4) при x = −7. Слева прямая подстановка: пять действий и много знаков минус. Справа сначала упрощение до 5x + 2, затем два действия. Результат одинаков: −33 — Одно и то же значение $-33$: слева пять действий со знаками, справа два

Вторую запись не только быстрее посчитать: ошибиться в ней труднее, потому что в ней нет скобок и почти нет знаков «минус».

Упрощение помогает и в задачах, где величины записаны буквами. Рассмотрим прямоугольник: ширина $x$, а длина на $3$ м больше.

Прямоугольник с шириной x и длиной x + 3. Периметр P = 2(x + (x + 3)) = 2(2x + 3) = 4x + 6. Скобки раскрываем изнутри наружу, затем приводим подобные — Периметр прямоугольника со сторонами $x$ и $x + 3$: $P = 2(x + (x + 3)) = 4x + 6$

Задача

Длина прямоугольника на $3$ м больше его ширины $x$. Запишите периметр выражением и упростите его. Найдите периметр при $x = 5$.

Длина равна $x + 3$. Периметр — удвоенная сумма длины и ширины: $P = 2(x + (x + 3))$. Раскрываем внутренние скобки: $2(2x + 3)$. Затем внешние: $4x + 6$. При $x = 5$ получаем $4 \cdot 5 + 6 = 26$ м.

Задача

Тетрадь стоит $t$ рублей, ручка на $12$ рублей дороже. Сколько стоят $3$ тетради и $2$ ручки? Найдите стоимость при $t = 20$.

Три тетради — три коробки с $t$ рублей, две ручки — две коробки, в каждой $t$ и еще $12$ рублей. Ручка стоит $t + 12$ рублей. Покупка: $3t + 2(t + 12) = 3t + 2t + 24 = 5t + 24$. При $t = 20$ получаем $5 \cdot 20 + 24 = 124$ рубля.

Выражения, которые равны при любых значениях переменной, называют тождественно равными, а замену одного выражения другим — тождественным преобразованием. Скобки в уравнениях раскрывают по тем же правилам: так решают, например, уравнения из урока «Уравнения, которые сводятся к линейным».

{"questions":[{"content":"Выражение $4x-4(x-3)$ после упрощения стало равно $12$. Каким будет его значение при $x = 100$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Это нельзя сказать, пока не подставить $100$ в исходное выражение","$12$: все палки образовали нулевые пары, и значение от $x$ не зависит","$412$: к $4x = 400$ прибавили $12$","$388$: из $400$ вычли $12$"],"explanations":["Упрощенное выражение равно исходному при любом $x$, поэтому подставлять не нужно. Для проверки подставьте $x = 100$: $400-4 \\cdot 97 = 12$.","","Упрощенная запись $12$ не содержит $x$, поэтому $4x$ в ней уже сократилось с палками из скобок.","Это значение $4x-12$, но в выражении после упрощения нет ни $4x$, ни $-12$."],"answer":[1]}}},{"content":"Найдите значение выражения $5(x-2)-3(x-4)$ при $x = -3$.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["-4","−4"]}},"hints":["Упростите: $5x-10-3x + 12 = 2x + 2$.","Подставьте $x = -3$: $2 \\cdot (-3) + 2 = -4$."],"step":1},{"content":"Ручка стоит $r$ рублей, карандаш на $5$ рублей дешевле. Упростите выражение для стоимости $4$ ручек и $3$ карандашей.[[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["7r-15","7r−15","7*r-15","7*r−15","-15+7r","−15+7r","-15+7*r","−15+7*r"]}},"instruction":"Введите выражение без пробелов, букву — латинскую","hints":["Карандаш стоит $r-5$ рублей. Стоимость: $4r + 3(r-5)$.","$4r + 3r-15 = 7r-15$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Подобные слагаемые — плитки одного вида: их коэффициенты складываются, а красная плитка и зеленая такого же вида дают нулевую пару. Скобки — коробка. Плюс перед ней или отсутствие знака: коробку открывают, знаки не меняются. Число перед скобками действует на каждую плитку. Минус убирает коробку и меняет знак каждого слагаемого. Порядок действий всегда один: раскрыть скобки, сгруппировать, привести подобные, проверить числом.

Следующая тема — урок «Тождество». Эти умения нужны во всей алгебре: при решении уравнений, в тождественных преобразованиях, в формулах сокращенного умножения. А еще без них не решить задания на преобразование выражений, которые встречаются в проверочных работах и на экзаменах.

Часто задаваемые вопросы

Можно ли складывать неподобные слагаемые?

Складывать можно любые слагаемые, но записать сумму одним слагаемым получится только для подобных. Например, $3x + 4x = 7x$, а сумму $3x + 2$ короче записать нельзя: палка и квадратик — плитки разного вида.

Что делать, если перед скобками нет ни плюса, ни минуса?

Это то же самое, что плюс. Скобки опускают, знаки слагаемых не меняют: $(a-3) + 5 = a-3 + 5$. Если перед скобками стоит число или буква, это множитель: его умножают на каждое слагаемое в скобках.

Почему после минуса меняются знаки всех слагаемых в скобках?

Минус перед скобками — это множитель $-1$, а множитель умножают на каждое слагаемое: $-(a-b) = -a + b$. В модели с плитками: чтобы убрать красную плитку, добавляют нулевую пару и убирают из нее красную — остается зеленая. Поэтому вычитание красной плитки равно прибавлению зеленой.

Как быстро проверить, что упрощение верное?

Подставьте в исходное выражение и в ответ два-три числа, например $x = 2$ и $x = -1$. Если значения совпали при двух-трех разных числах, упрощение, скорее всего, верное. Если разошлись хотя бы при одном числе, ошибка точно есть. Совпадение при одном числе ничего не доказывает.

Что значит «упростить выражение»?

Записать выражение проще, не изменив его значения при любых значениях переменных: раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Упрощенное выражение равно исходному при любом $x$.

Награды за урок