7 класс Алгебра Введение в алгебру Алгебраические выражения

Делимость, простые множители, НОД и НОК

Содержание

В уроке «Степень с натуральным показателем» одинаковые множители записывали степенью: $2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$. Такая запись нужна и здесь. Теперь соберем признаки делимости, разложение на простые множители, НОД и НОК в один алгоритм и применим его к дробям и задачам. Сквозной вопрос: лист фанеры 45 см на 75 см распиливают без остатка на одинаковые квадраты — какой наибольшей может быть сторона квадрата? Ответ — в последнем разделе.

Делитель — это сторона прямоугольника из клеток

Возьмем 12 одинаковых клеток и сложим из них прямоугольники без пустых мест. Получится три прямоугольника: $1 \times 12$, $2 \times 6$ и $3 \times 4$ (повернутый прямоугольник новым не считаем). Их стороны — 1, 2, 3, 4, 6 и 12 — это все числа, на которые 12 делится без остатка. Из 7 клеток складывается только полоска $1 \times 7$, а одна клетка — это квадрат $1 \times 1$.

Все прямоугольники из 12 клеток: 1 на 12, 2 на 6, 3 на 4, поэтому делители 12 — 1, 2, 3, 4, 6, 12; из 7 клеток получается только полоска, у единицы один делитель — У 12 три прямоугольника и шесть делителей, у 7 — только полоска и два делителя, у 1 — одна клетка и один делитель

Определение

Делитель натурального числа $a$ — натуральное число, на которое $a$ делится без остатка. Тогда $a$ называют кратным этого числа: 12 кратно 3, а 3 — делитель 12.

Простое число — натуральное число больше 1, у которого ровно два делителя: 1 и само число. Число больше 1, у которого делителей больше двух, — составное. Число 1 не простое и не составное.

На модели: простое число складывается только в полоску, составное — еще в прямоугольник со сторонами больше 1. Подробнее — в уроках 6 класса «Делители и кратные» и «Простые и составные числа».

Пример

Найдем все делители числа 28. Перебираем короткую сторону прямоугольника по порядку: $1 \cdot 28$, $2 \cdot 14$, на 3 число не делится, $4 \cdot 7$, на 5 и 6 не делится. Следующая короткая сторона была бы 7, а она уже встретилась в паре $4 \cdot 7$ — перебор окончен.

Ответ: делители 28 — это 1, 2, 4, 7, 14, 28. Их шесть, значит, 28 — составное число.

Ошибка

«Число 1 простое: оно делится только на 1 и на само себя».

Проверка: у числа 1 один делитель — само число 1. В модели из одной клетки не сложить полоску $1 \times n$, где $n$ больше 1.

Где ломается рассуждение: в определении простого числа главное — ровно два делителя. У 1 «единица» и «само число» совпадают, поэтому делитель всего один.

{"questions":[{"content":"Сколько всего делителей у числа 18? Считайте 1 и само число. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Делитель 18 — число, на которое 18 делится без остатка. Перебираем пары: $1 \\cdot 18$, $2 \\cdot 9$, $3 \\cdot 6$.","Делители: 1, 2, 3, 6, 9, 18.","Ответ: 6."],"step":1},{"content":"Решавр говорит: «У числа 1 два делителя — 1 и само число, значит, 1 простое». Что верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Прав: из 1 клетки складывается только полоска","Ошибся: у 1 один делитель, а у простого — ровно два","Прав: 1 делится на 1 и на само себя","Ошибся: 1 — составное число"],"explanations":["Одна клетка — квадрат 1 × 1 с одним делителем; простое число — полоска 1 × n, где n больше 1","","Для числа 1 это один и тот же делитель, а простому числу нужно ровно два разных","У составного числа больше двух делителей, а у 1 делитель один: 1 не простое и не составное"],"answer":[1]}},"hints":["Простое число — число больше 1, у которого ровно два делителя: 1 и само число.","У числа 1 только один делитель — 1: «единица» и «само число» здесь одно и то же.","Ответ: 1 не простое и не составное, Решавр ошибся."],"step":1}],"mix":1}

Признаки делимости: последние цифры и сумма цифр

Число 234 — это 2 сотни, 3 десятка и 4 единицы. Нарисуем сотню квадратом из 100 клеток, а десяток — полоской из 10 клеток и разложим все клетки группами по 9. В полоске помещается одна группа, и остается 1 клетка. В квадрате помещается 11 групп ($11 \cdot 9 = 99$), и тоже остается 1 клетка.

Число 234 разрядами: каждая сотня и каждый десяток раскладываются на группы по 9 клеток и одну лишнюю; лишних клеток 2 + 3 + 4 = 9, это целая группа, поэтому 234 делится на 9 — От каждой сотни и каждого десятка остается по одной клетке: лишних клеток столько, какова сумма цифр

Лишних клеток $2 + 3 + 4 = 9$ — ровно сумма цифр. Они складываются в группу из 9, значит, 234 делится на 9: $234 : 9 = 26$.

Правило

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Если сумма цифр не делится на 3 (на 9), то и число не делится на 3 (на 9).

Почему признак верен для любого трехзначного числа

Скрыть

Трехзначное число с цифрами $a$, $b$, $c$ равно

$$100a + 10b + c = 99a + 9b + (a + b + c)$$

Слагаемые $99a$ и $9b$ делятся на 9 и на 3 при любых цифрах. Поэтому все число делится на 9 (на 3) тогда и только тогда, когда на 9 (на 3) делится $a + b + c$. Для четырехзначного числа добавится $1000d = 999d + d$.

Для 2, 5, 10, 4 и 8 решают последние цифры: остальная часть числа — это целые десятки, сотни или тысячи, а они делятся на эти числа без остатка. Полоска-десяток раскладывается на 5 пар и на 2 пятерки, поэтому от десятков для 2 и 5 ничего не остается — решает последняя цифра. Для 4 так же раскладывается сотня (25 групп по 4), для 8 — тысяча (125 групп по 8). Признаки подробнее — в уроках «Признаки делимости на 10, 5 и на 2» и «Признаки делимости на 9 и 3».

Десяток раскладывается на 5 пар и на 2 пятерки, сотня на 25 групп по 4, тысяча на 125 групп по 8, без остатка; поэтому для 2, 5, 10, 4 и 8 решают только последние цифры — Десяток — это 5 пар и 2 пятерки, сотня — 25 групп по 4, тысяча — 125 групп по 8: остатка нет, решают последние цифры

Делится на	Если	Почему
2	последняя цифра четная	десяток — это 5 пар
5	последняя цифра 0 или 5	десяток — это 2 пятерки
10	последняя цифра 0	$10 = 2 \cdot 5$
4	число из двух последних цифр делится на 4	$100 = 4 \cdot 25$
8	число из трех последних цифр делится на 8	$1000 = 8 \cdot 125$
3	сумма цифр делится на 3	$10 = 9 + 1$, $100 = 99 + 1$
9	сумма цифр делится на 9	$10 = 9 + 1$, $100 = 99 + 1$

Пример

Делится ли 5136 на 8? Тысячи делятся на 8, так как $1000 = 8 \cdot 125$. Остается проверить три последние цифры: $136 = 80 + 56 = 8 \cdot 17$ — делится. Значит, 5136 делится на 8: $5136 : 8 = 642$.

Пример

На какие из чисел 2, 4, 5, 3, 9 делится 4572?

Последняя цифра 2 — четная: на 2 делится, на 5 не делится.
Две последние цифры образуют 72, $72 : 4 = 18$ — на 4 делится.
Сумма цифр $4 + 5 + 7 + 2 = 18$ делится и на 3, и на 9.

Ответ: на 2, 4, 3 и 9. Проверка: $4572 : 9 = 508$.

Ошибка

«Сумма цифр числа 2715 равна 15 и делится на 3, значит, 2715 делится и на 9».

Проверка: $2715 : 9 = 301$ (остаток 6) — не делится. А на 3 делится: $2715 : 3 = 905$.

Где ломается рассуждение: 15 делится на 3, но не на 9. Лишние 15 клеток раскладываются по 3 без остатка, а по 9 — одна группа и еще 6 клеток. Каждое число, кратное 9, кратно и 3, но не наоборот.

15 клеток делятся на группы по 3 без остатка, а на группы по 9 — с остатком 6; значит, сумма цифр 15 делится на 3, но не на 9 — 15 клеток делятся на группы по 3 без остатка, а по 9 — нет: остаются 6 клеток

{"questions":[{"content":"Решавр рассуждает: «Сумма цифр числа 12 делится на 3, значит, 12 делится и на 9». Что верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Не делится: 12 — четное число","Делится: сумма цифр делится на 3","Не делится: сумма цифр 3 не делится на 9","Делится: 12 больше 9"],"explanations":["Четность не мешает делимости на 9: например, 18 четное и делится на 9. Вывод верный, причина ложная","Сумма цифр, кратная 3, говорит о делимости на 3, а не на 9","","Делимость не зависит от того, какое число больше"],"answer":[2]}},"hints":["Число делится на 9, если на 9 делится сумма его цифр.","У числа 12 сумма цифр $1 + 2 = 3$, а 3 на 9 не делится.","Проверка: $12 : 9$ — не целое. Ответ: 12 не делится на 9."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Какое из чисел делится на 8: 3124, 3128, 3132, 3142?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["3124","3132","3142","3128"],"explanations":["Последние две цифры 24 делятся на 4, но проверять надо три цифры: 124 на 8 не делится","Последние две цифры 32 делятся на 8, но надо взять три цифры: 132 на 8 не делится","Три последние цифры 142 на 8 не делятся; на 4 число тоже не делится",""],"answer":[3]}},"hints":["Тысяча делится на 8: $1000 = 8 \\cdot 125$. Поэтому проверяем три последние цифры.","Три последние цифры: 124, 128, 132, 142. Делятся на 8: $128 = 8 \\cdot 16$; $124 : 8 = 15{,}5$, $132 : 8 = 16{,}5$, $142 : 8 = 17{,}75$.","Проверка: $3128 : 8 = 391$. Ответ: 3128."],"step":1},{"content":"Вместо $*$ нужно поставить цифру так, чтобы число $52*$ делилось на 3. Какую наименьшую цифру можно поставить? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Число делится на 3, если на 3 делится сумма его цифр.","Сумма известных цифр: $5 + 2 = 7$. Нужна сумма, кратная 3: $9$, $12$, ...","$7 + 2 = 9$ — делится на 3. Цифры 0 и 1 дают 7 и 8 — не подходят. Ответ: 2."],"step":1}],"mix":1}

Делится на 4 и на 6 — еще не значит, что делится на 24

Число 36 делится на 4 и на 6. Хочется сделать вывод, что оно делится и на $4 \cdot 6 = 24$. Проверим: $36 : 24 = 1{,}5$ — не делится.

Возьмем полоску длиной 36 и сделаем отметки через каждые 4 клетки (сверху) и через каждые 6 (снизу). Число делится на 4 и на 6, если его конец попадает на отметку и сверху, и снизу.

Полоска от 0 до 36 с отметками через 4 и через 6: общие отметки 12, 24 и 36 идут через 12, а не через 24 — Отметки через 4 и через 6 совпадают на 12, 24 и 36 — через каждые 12, а не через 24

Общие отметки повторяются через каждые 12, поэтому из делимости на 4 и на 6 следует только делимость на 12. Причина — общий множитель: $4 = 2 \cdot 2$, $6 = 2 \cdot 3$. В произведении $4 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$ три двойки, а в $36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$ — две.

Произведение 4 · 6 = 24 содержит три двойки, а в 36 их только две: общая двойка чисел 4 и 6 посчитана дважды, поэтому 24 не делитель 36 — Для 24 нужны три двойки, а в 36 их две: общая двойка 4 и 6 посчитана дважды

Ошибка

«36 делится на 4 и на 6, значит, 36 делится на 24».

Проверка: $36 : 24 = 1{,}5$ — не целое число.

Где ломается рассуждение: общий множитель 2 чисел 4 и 6 в произведении $4 \cdot 6$ учтен дважды. Верный вывод: 36 делится на 12.

Определение

Числа называют взаимно простыми, если у них нет общих делителей, кроме 1. Например, 3 и 8, 2 и 9, 4 и 25 — взаимно простые, а 4 и 6 — нет: у них общий делитель 2.

Правило

Чтобы проверить делимость на составное число, разложите его в произведение взаимно простых множителей и проверьте делимость на каждый из них.

$$24 = 3 \cdot 8, \quad 18 = 2 \cdot 9, \quad 12 = 3 \cdot 4, \quad 6 = 2 \cdot 3$$

Почему для взаимно простых множителей правило работает: отметки через 3 и через 8 впервые совпадают на 24 и дальше повторяются через каждые 24 — значит, число, делящееся на 3 и на 8, делится на 24. Общего множителя у 3 и 8 нет, поэтому ничего не посчитано дважды.

Пример

Делится ли 2376 на 24?

Разложим $24 = 3 \cdot 8$ — множители взаимно простые. Сумма цифр $2 + 3 + 7 + 6 = 18$ делится на 3. По признаку на 8 из раздела 2 проверяем три последние цифры: $376 = 320 + 56 = 8 \cdot 40 + 8 \cdot 7 = 8 \cdot 47$ — на 8 делится. Значит, 2376 делится на 24.

Ответ: делится, $2376 : 24 = 99$. Проверка на 4 и на 6 здесь тоже прошла бы, но ничего бы не доказала — как с числом 36.

{"questions":[{"content":"Решавр рассуждает: «Число 12 делится на 4 и на 6, значит, оно делится на $4 \\cdot 6 = 24$». Что верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Делится: $4 \\cdot 6 = 24$ и $12 \\cdot 2 = 24$","Не делится: 12 не делится на 9","Делится: 12 делится на оба числа","Не делится: у 4 и 6 общий множитель 2"],"explanations":["Равенство произведений ничего не говорит о делимости числа на произведение","Вывод верный, но причина ложная: 9 не делитель 24, а проверяем делимость на 24","Делимость на оба числа достаточна только для взаимно простых делителей, а у 4 и 6 общий множитель 2",""],"answer":[3]}},"hints":["Разложим: $4 = 2^2$, $6 = 2 \\cdot 3$. У 4 и 6 есть общий множитель 2, при умножении он учтен дважды.","$12 = 2^2 \\cdot 3$, а $24 = 2^3 \\cdot 3$: в 12 только две двойки, а нужно три.","Проверка: $12 : 24$ — не целое. Ответ: 12 не делится на 24."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Какое из чисел делится на 18?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["2742","2718","2763","2728"],"explanations":["Делится на 3 и на 6, но 3 и 6 не взаимно простые: из этого не следует делимость на $3 \\cdot 6 = 18$. Сумма цифр 15 на 9 не делится","","Сумма цифр 18 делится на 9, но число нечетное: на 2 не делится","Число четное, но сумма цифр 19 не делится на 9"],"answer":[1]}},"hints":["$18 = 2 \\cdot 9$, числа 2 и 9 взаимно простые. Число должно делиться и на 2, и на 9.","Четные числа: 2718, 2742, 2728. Суммы их цифр: 18, 15, 19.","На 9 делится только сумма 18. Проверка: $2718 : 18 = 151$. Ответ: 2718."],"step":1}],"mix":1}

Любое составное число собирается из простых

Составное число складывается в прямоугольник, у которого обе стороны больше 1, например $180 = 18 \cdot 10$. Каждую составную сторону снова раскладываем: $18 = 2 \cdot 9$, $9 = 3 \cdot 3$, $10 = 2 \cdot 5$. Останавливаемся, когда остались одни простые числа — те, что складываются только в полоску. Получается дерево разложения.

Два разных дерева разложения числа 180 на множители дают одни и те же простые листья 2, 2, 3, 3, 5, поэтому 180 = 2 в квадрате · 3 в квадрате · 5 — Деревья разные, а внизу одни и те же простые множители: две двойки, две тройки и пятерка

Начнем иначе: $180 = 4 \cdot 45$, $4 = 2 \cdot 2$, $45 = 5 \cdot 3 \cdot 3$. Дерево другое, а внизу те же пять чисел: разложение на простые множители единственно, меняется только порядок. Повторить разложение можно в уроке «Простые и составные числа».

Правило

Разложение на простые множители:

разделите число на наименьший простой делитель (2, 3, 5, 7, …) — его подсказывают признаки делимости;
частное снова разделите на его наименьший простой делитель;
повторяйте, пока частное не станет равно 1;
запишите произведением все простые числа, на которые делили, по возрастанию; одинаковые — степенью.

$$180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$$

Пример

Разложим 180 столбиком: $180 : 2 = 90$, $90 : 2 = 45$. Число 45 нечетное, сумма цифр 9 — делим на 3: $45 : 3 = 15$, $15 : 3 = 5$, $5 : 5 = 1$.

Ответ: $180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$. Проверка: $4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$.

{"questions":[{"content":"Разложите число 72 на простые множители. Сколько всего простых множителей в разложении, считая повторяющиеся? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Делим на наименьший простой множитель: $72 : 2 = 36$, $36 : 2 = 18$, $18 : 2 = 9$, $9 : 3 = 3$, $3 : 3 = 1$.","Разложение: $2^3 \\cdot 3^2 = 2 \\cdot 2 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot 3$.","Всего 5 множителей: три двойки и две тройки. Ответ: 5."],"step":1}],"mix":1}

НОД и НОК находятся по одному разложению

Возьмем полоски длиной 45 и 75. Какая самая длинная плитка укладывается без остатка в каждую? На какой наименьшей длине сойдутся ряды из полосок по 45 и по 75?

Полоски 45 и 75 разбиты плитками по 15, это НОД; ряд из пяти полосок по 45 и ряд из трех полосок по 75 впервые совпадают на длине 225, это НОК — Плитка 15 укладывается в обе полоски; ряды полосок по 45 и по 75 впервые сходятся на длине 225

Плитка 15 укладывается в полоску 45 три раза, в полоску 75 — пять раз. Общие делители 45 и 75 — это 1, 3, 5 и 15, длиннее плитки нет. Пять полосок по 45 и три полоски по 75 дают одну и ту же длину: $45 \cdot 5 = 75 \cdot 3 = 225$, а раньше ряды не совпадают.

Определение

Наибольший общий делитель (НОД) чисел $a$ и $b$ — наибольшее натуральное число, на которое делится и $a$, и $b$. Наименьшее общее кратное (НОК) — наименьшее натуральное число, которое делится и на $a$, и на $b$.

Запись: $\text{НОД}(45;\,75) = 15$, $\text{НОК}(45;\,75) = 225$.

Перебирать делители и кратные долго. Разложим оба числа на простые множители: $45 = 3^2 \cdot 5$, $75 = 3 \cdot 5^2$. Выпишем множители двумя столбцами и соединим одинаковые в пары.

Разложения 45 = 3² · 5 и 75 = 3 · 5²: общие пары множителей 3 и 5 дают НОД = 15, а все множители, где пара взята один раз, дают НОК = 225 — Общие множители — пары 3 и 5 — дают НОД 15; все множители обоих чисел, а каждую пару — один раз, дают НОК 225

Правило

НОД — произведение общих простых множителей, каждый в наименьшей из его степеней. НОК — произведение всех простых множителей обоих чисел, каждый в наибольшей из его степеней.

$$\text{НОД}(45;\,75) = 3 \cdot 5 = 15, \qquad \text{НОК}(45;\,75) = 3^2 \cdot 5^2 = 225$$

Почему так. Общий делитель состоит только из множителей, которые есть в обоих столбцах, — из пар. Общее кратное содержит все множители 45 и 75, но каждую пару достаточно взять один раз. В произведении $a \cdot b$ пары входят дважды — один раз в НОД, один раз в НОК.

$$\text{НОД}(a;\,b) \cdot \text{НОК}(a;\,b) = a \cdot b$$

Для наших чисел: $15 \cdot 225 = 3375$ и $45 \cdot 75 = 3375$.

Ошибка

«$\text{НОК}(45;\,75) = 45 \cdot 75 = 3375$».

Проверка: 225 тоже делится и на 45, и на 75 ($225 : 45 = 5$, $225 : 75 = 3$), а $225 < 3375$. Значит, 3375 — общее кратное, но не наименьшее.

Где ломается рассуждение: в произведении $3^2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 5^2$ общие множители 3 и 5 взяты дважды, и лишний раз — это ровно НОД: $3375 = 15 \cdot 225$. Произведение равно НОК, только если числа взаимно простые. Чтобы не перепутать НОД и НОК, сравните ответ с числами: НОД не больше меньшего, НОК не меньше большего.

В произведении 45 · 75 множители 3 и 5 второго числа взяты второй раз: 3375 = 15 · 225, лишний раз взят ровно НОД, а 225 уже делится на 45 и на 75 — В произведении 45 · 75 пара 3 и 5 стоит дважды: 3375 = 15 · 225, а не НОК

delimost-nod-nok

Другие способы найти НОД и НОК — в уроках 5 класса «Наибольший общий делитель» и «Наименьшее общее кратное». Тесты для самопроверки: «Делители и кратные», «Признаки делимости на 10, 5 и 2», «Признаки делимости на 9 и 3» и «Простые и составные числа».

{"questions":[{"content":"Решавр нашел НОК чисел 6 и 15 так: $\\text{НОК}(6;\\,15) = 6 \\cdot 15 = 90$. Что верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Прав: НОК двух чисел равен их произведению","Ошибся: НОК равен 3, общему множителю","Ошибся: НОК равен 15, большему числу","Ошибся: общая тройка взята дважды, НОК равен 30"],"explanations":["Произведение — общее кратное, но не всегда наименьшее: 30 тоже делится и на 6, и на 15","3 — это НОД. НОК делится на 15, поэтому он не меньше 15","15 не делится на 6, значит, 15 не кратно 6",""],"answer":[3]}},"hints":["Разложим: $6 = 2 \\cdot 3$, $15 = 3 \\cdot 5$. Общий множитель 3.","НОК — все множители по одному разу (общие — один раз): $2 \\cdot 3 \\cdot 5 = 30$. В произведении $6 \\cdot 15 = 2 \\cdot 3 \\cdot 3 \\cdot 5$ тройка взята дважды.","Проверка: $30 : 6 = 5$, $30 : 15 = 2$, и $30 < 90$. Ответ: НОК равен 30, Решавр ошибся."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Найдите $\\text{НОД}(48;\\,72)$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"24"}},"hints":["Разложим: $48 = 2^4 \\cdot 3$, $72 = 2^3 \\cdot 3^2$.","НОД — произведение общих множителей, каждый берем с наименьшей степенью: $2^3 \\cdot 3$.","Ответ: 24."],"step":1},{"content":"Найдите $\\text{НОК}(8;\\,12)$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"24"}},"hints":["Разложим: $8 = 2^3$, $12 = 2^2 \\cdot 3$.","НОК — произведение всех множителей, каждый берем с наибольшей степенью: $2^3 \\cdot 3$.","Ответ: 24."],"step":1}],"mix":1}

Где нужны НОД и НОК

Задача	Что ищем	Почему
Сократить дробь до конца	НОД числителя и знаменателя	делим сразу на наибольший общий делитель
Привести дроби к наименьшему общему знаменателю	НОК знаменателей	общий знаменатель делится на каждый
Наибольшие одинаковые квадраты, поровну разделить	НОД	часть укладывается в каждое число
Когда события снова совпадут	НОК	момент кратен каждому интервалу

Пример

Сократим дробь $\frac{45}{75}$ и сложим $\frac{5}{12} + \frac{7}{18}$.

$\text{НОД}(45;\,75) = 15$, поэтому $\frac{45}{75} = \frac{45 : 15}{75 : 15} = \frac{3}{5}$ — за один шаг.

$12 = 2^2 \cdot 3$, $18 = 2 \cdot 3^2$, $\text{НОК}(12;\,18) = 2^2 \cdot 3^2 = 36$. Тогда $\frac{5}{12} + \frac{7}{18} = \frac{15}{36} + \frac{14}{36} = \frac{29}{36}$.

Пример

Два автобуса отправились от одной остановки одновременно. Первый отправляется оттуда каждые 12 мин, второй — каждые 18 мин. Через сколько минут они снова отправятся вместе?

Моменты отправления первого автобуса кратны 12, второго — кратны 18. Нужно наименьшее общее кратное: $\text{НОК}(12;\,18) = 36$. Проверка: $36 : 12 = 3$, $36 : 18 = 2$.

Ответ: через 36 мин. Произведение $12 \cdot 18 = 216$ — тоже общее кратное, но не наименьшее.

Теперь вернемся к листу фанеры 45 см на 75 см. Сторона квадрата — общий делитель 45 и 75, наибольший: $\text{НОД}(45;\,75) = 15$. Получится 3 ряда по 5 квадратов со стороной 15 см, всего 15 квадратов.

Лист 45 на 75 сантиметров режется на наибольшие квадраты со стороной 15 сантиметров, НОД(45; 75) = 15: три ряда по пять квадратов, всего 15 — Лист 45 на 75 см делится на 3 ряда по 5 квадратов со стороной 15 см — это НОД

{"questions":[{"content":"Дробь $\\frac{54}{72}$ сократили на НОД числителя и знаменателя. Найдите знаменатель получившейся дроби. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["$54 = 2 \\cdot 3^3$, $72 = 2^3 \\cdot 3^2$.","$\\text{НОД}(54;\\,72) = 18$.","Делим на 18: $\\frac{54}{72} = \\frac{3}{4}$. Знаменатель — 4."],"step":1},{"content":"Прямоугольник со сторонами 24 см и 36 см нужно без остатка разрезать на одинаковые квадраты. Какая наибольшая сторона квадрата возможна? Ответ дайте в сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["Сторона квадрата должна быть делителем и 24, и 36 — общим делителем.","Нужен наибольший: $\\text{НОД}(24;\\,36) = 12$.","Проверка: по длине 2 квадрата, по ширине 3 квадрата. Ответ: 12."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"У двух чисел $\\text{НОД} = 5$ и $\\text{НОК} = 60$. Одно из чисел равно 15. Найдите другое число. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"20"}},"hints":["Для двух чисел верно: $\\text{НОД} \\cdot \\text{НОК} = a \\cdot b$.","$5 \\cdot 60 = 300$, значит, $b = 300 : 15 = 20$.","Проверка: $\\text{НОД}(15;\\,20) = 5$, $\\text{НОК}(15;\\,20) = 60$. Ответ: 20."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Все правила урока читаются на модели «число — прямоугольник или полоска из клеток»:

Эти умения нужны, когда сокращают дроби и ищут общий знаменатель, а в алгебре — когда выносят общий множитель: $12x + 18 = 6(2x + 3)$, где $6 = \text{НОД}(12;\,18)$. Следующий урок модуля — «Прямая и обратная пропорциональность».

Часто задаваемые вопросы

Почему 1 не считают простым числом?

У простого числа ровно два делителя, а у 1 — один. Если бы 1 была простой, разложение на простые множители перестало бы быть единственным: $6 = 2 \cdot 3 = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3$.

Как проверить делимость на 6 без деления?

Разложите $6 = 2 \cdot 3$: множители взаимно простые. Число делится на 6, если оно четное и сумма его цифр делится на 3. Например, 1374 четное, сумма цифр 15 — значит, делится на 6: $1374 : 6 = 229$.

Что делать, если у чисел нет общих простых множителей?

Тогда числа взаимно простые: их НОД равен 1, а НОК равен произведению. Например, $\text{НОД}(8;\,15) = 1$, $\text{НОК}(8;\,15) = 120$.

Как найти НОД и НОК трех чисел?

Так же, через разложение: для НОД — множители, общие для всех трех чисел, в наименьшей степени, для НОК — все множители в наибольшей. Формула $\text{НОД} \cdot \text{НОК} = a \cdot b$ верна только для двух чисел.

Награды за урок