Делители и кратные

Тест к уроку «Делители и кратные»: что такое делитель и кратное числа, как найти все делители и сколько их, сколько кратных у числа, задачи на раскладку поровну. 9 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Число $7$ — делитель числа $56$. Какое утверждение тоже верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Число $7$ кратно числу $56$","Число $56$ кратно числу $7$","Число $56$ — делитель числа $7$","Число $56$ делится на $7$ с остатком"],"explanations":["Роли перепутаны: кратное не меньше своего делителя, оно делится на делитель. Число $7$ на $56$ без остатка не делится.","","Роли перепутаны: делитель здесь $7$, а $56$ — делимое. Число $7$ на $56$ без остатка не делится.","Если $7$ — делитель $56$, то деление выполняется без остатка: $56 : 7 = 8$."],"answer":[1]}},"hints":["Делитель и кратное — две стороны одного деления без остатка: если $a$ делится на $b$, то $b$ — делитель $a$, а $a$ — кратное $b$.","Здесь $56 : 7 = 8$ без остатка. Значит, $56$ — кратное числа $7$."],"explanation":"$56 : 7 = 8$ без остатка, поэтому $7$ — делитель числа $56$, а $56$ — кратное числа $7$. Кратное всегда не меньше своего делителя.","step":1},{"id":"1","content":"Число $9$ — делитель числа $63$. Какое утверждение тоже верно?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Число $63$ — делитель числа $9$","Число $9$ кратно числу $63$","Число $63$ делится на $9$ с остатком","Число $63$ кратно числу $9$"],"explanations":["Роли перепутаны: делитель здесь $9$, а $63$ — делимое. Число $9$ на $63$ без остатка не делится.","Роли перепутаны: кратное не меньше своего делителя, оно делится на делитель. Число $9$ на $63$ без остатка не делится.","Если $9$ — делитель $63$, то деление выполняется без остатка: $63 : 9 = 7$.",""],"answer":[3]}},"hints":["Делитель и кратное — две стороны одного деления без остатка: если $a$ делится на $b$, то $b$ — делитель $a$, а $a$ — кратное $b$.","Здесь $63 : 9 = 7$ без остатка. Значит, $63$ — кратное числа $9$."],"explanation":"$63 : 9 = 7$ без остатка, поэтому $9$ — делитель числа $63$, а $63$ — кратное числа $9$. Кратное всегда не меньше своего делителя.","step":1},{"id":"2","content":"Распределите числа: какие из них — делители числа $18$, какие — кратные числа $18$, а какие ни то ни другое?[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Делитель $18$","Кратное $18$","Ни то ни другое"],"items":[["$1$","$3$","$9$"],["$36$","$72$","$90$"],["$4$","$12$","$27$"]]}},"instruction":"Распределите числа по группам","hints":["Делитель: $18$ делится на это число без остатка. Кратное: это число делится на $18$ без остатка.","Делители $18$: $1;\\ 2;\\ 3;\\ 6;\\ 9;\\ 18$. Кратные $18$: $18;\\ 36;\\ 54;\\ 72;\\ 90;\\ \\ldots$","Числа $4$, $12$ и $27$ не подходят: $18 : 4$ и $18 : 12$ дают остаток, а $27$ на $18$ без остатка не делится."],"explanation":"Делители: $1$, $3$, $9$ — на них $18$ делится без остатка. Кратные: $36 = 18 \\cdot 2$, $72 = 18 \\cdot 4$, $90 = 18 \\cdot 5$. Ни то ни другое: $4$, $12$, $27$. Числа $12$ и $27$, как и $18$, делятся на $3$, но $18$ на них без остатка не делится, и они на $18$ тоже не делятся.","step":1},{"id":"2","content":"Распределите числа: какие из них — делители числа $20$, какие — кратные числа $20$, а какие ни то ни другое?[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Делитель $20$","Кратное $20$","Ни то ни другое"],"items":[["$1$","$4$","$10$"],["$40$","$60$","$100$"],["$8$","$30$","$50$"]]}},"instruction":"Распределите числа по группам","hints":["Делитель: $20$ делится на это число без остатка. Кратное: это число делится на $20$ без остатка.","Делители $20$: $1;\\ 2;\\ 4;\\ 5;\\ 10;\\ 20$. Кратные $20$: $20;\\ 40;\\ 60;\\ 80;\\ 100;\\ \\ldots$","Числа $8$, $30$ и $50$ не подходят: $20 : 8$ дает остаток, а $30$ и $50$ на $20$ без остатка не делятся."],"explanation":"Делители: $1$, $4$, $10$ — на них $20$ делится без остатка. Кратные: $40 = 20 \\cdot 2$, $60 = 20 \\cdot 3$, $100 = 20 \\cdot 5$. Ни то ни другое: $8$, $30$, $50$. Числа $30$ и $50$ оканчиваются на $0$, как и $20$, но на $20$ без остатка не делятся.","step":1},{"id":"3","content":"Какой набор содержит все делители числа $30$?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$2;\\ 3;\\ 5;\\ 6;\\ 10;\\ 15$","$1;\\ 2;\\ 3;\\ 5;\\ 10;\\ 15;\\ 30$","$1;\\ 2;\\ 3;\\ 5;\\ 6;\\ 10;\\ 15;\\ 30$","$30;\\ 60;\\ 90;\\ 120$"],"explanations":["Пропущены $1$ и $30$: наименьший делитель любого числа — $1$, наибольший — само число.","Пропущен делитель $6$: $30 = 5 \\cdot 6$. Делители удобно искать парами, тогда ни один не потеряется.","","Это кратные числа $30$, а не делители: они делятся на $30$, а не $30$ делится на них."],"answer":[2]}},"hints":["Ищите делители парами: $30 = 1 \\cdot 30$, затем проверяйте $2;\\ 3;\\ 4;\\ \\ldots$","$30 = 1 \\cdot 30 = 2 \\cdot 15 = 3 \\cdot 10 = 5 \\cdot 6$. На $4$ число $30$ без остатка не делится.","Все делители: $1;\\ 2;\\ 3;\\ 5;\\ 6;\\ 10;\\ 15;\\ 30$."],"explanation":"Делители $30$: $1;\\ 2;\\ 3;\\ 5;\\ 6;\\ 10;\\ 15;\\ 30$. Как не потерять делитель: выписывайте пары, произведение которых равно числу, — $1 \\cdot 30$, $2 \\cdot 15$, $3 \\cdot 10$, $5 \\cdot 6$. Список всегда начинается с $1$ и заканчивается самим числом.","step":1},{"id":"3","content":"Какой набор содержит все делители числа $28$?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$1;\\ 2;\\ 7;\\ 14;\\ 28$","$2;\\ 4;\\ 7;\\ 14$","$28;\\ 56;\\ 84;\\ 112$","$1;\\ 2;\\ 4;\\ 7;\\ 14;\\ 28$"],"explanations":["Пропущен делитель $4$: $28 = 4 \\cdot 7$. Делители удобно искать парами, тогда ни один не потеряется.","Пропущены $1$ и $28$: наименьший делитель любого числа — $1$, наибольший — само число.","Это кратные числа $28$, а не делители: они делятся на $28$, а не $28$ делится на них.",""],"answer":[3]}},"hints":["Ищите делители парами: $28 = 1 \\cdot 28$, затем проверяйте $2;\\ 3;\\ 4;\\ \\ldots$","$28 = 1 \\cdot 28 = 2 \\cdot 14 = 4 \\cdot 7$. На $3$, $5$ и $6$ число $28$ без остатка не делится.","Все делители: $1;\\ 2;\\ 4;\\ 7;\\ 14;\\ 28$."],"explanation":"Делители $28$: $1;\\ 2;\\ 4;\\ 7;\\ 14;\\ 28$. Как не потерять делитель: выписывайте пары, произведение которых равно числу, — $1 \\cdot 28$, $2 \\cdot 14$, $4 \\cdot 7$. Список всегда начинается с $1$ и заканчивается самим числом.","step":1},{"id":"4","content":"Сколько делителей у числа $16$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"5","inline":1}},"hints":["Выпишите делители парами: $16 = 1 \\cdot 16 = 2 \\cdot 8 = 4 \\cdot 4$.","В паре $4 \\cdot 4$ оба множителя — одно и то же число $4$. Его считают один раз.","Делители: $1;\\ 2;\\ 4;\\ 8;\\ 16$ — всего $5$."],"explanation":"Делители числа $16$: $1;\\ 2;\\ 4;\\ 8;\\ 16$ — их $5$. Если посчитать $4$ дважды (пара $4 \\cdot 4$), получится неверный ответ $6$.","step":1},{"id":"4","content":"Сколько делителей у числа $81$? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"5","inline":1}},"hints":["Выпишите делители парами: $81 = 1 \\cdot 81 = 3 \\cdot 27 = 9 \\cdot 9$.","В паре $9 \\cdot 9$ оба множителя — одно и то же число $9$. Его считают один раз.","Делители: $1;\\ 3;\\ 9;\\ 27;\\ 81$ — всего $5$."],"explanation":"Делители числа $81$: $1;\\ 3;\\ 9;\\ 27;\\ 81$ — их $5$. Если посчитать $9$ дважды (пара $9 \\cdot 9$), получится неверный ответ $6$.","step":1},{"id":"5","content":"Отметьте все верные утверждения.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Наименьший делитель любого натурального числа — $1$","У числа $5$ ровно пять кратных: $5;\\ 10;\\ 15;\\ 20;\\ 25$","Наименьшее кратное числа $8$ — само число $8$","У числа $12$ кратных столько же, сколько делителей","Наибольший делитель числа $40$ — число $20$"],"explanations":["","Кратных у любого натурального числа бесконечно много: $5 \\cdot 1;\\ 5 \\cdot 2;\\ 5 \\cdot 3;\\ \\ldots$ и так без конца.","","Делителей у $12$ шесть, а кратных бесконечно много: $12;\\ 24;\\ 36;\\ \\ldots$","Наибольший делитель любого числа — само число: $40$ делится на $40$."],"answer":[0,2]}},"hints":["Вспомните из урока: наименьший делитель числа — $1$, наибольший — само число.","Кратные числа $a$ — это $a \\cdot 1;\\ a \\cdot 2;\\ a \\cdot 3;\\ \\ldots$ Их бесконечно много, наименьшее из них — само $a$.","Верны утверждения: «наименьший делитель любого натурального числа — $1$» и «наименьшее кратное числа $8$ — само число $8$»."],"explanation":"Как запомнить: делителей у числа конечное число, от $1$ до самого числа; кратных — бесконечно много, от самого числа и дальше: $a;\\ 2a;\\ 3a;\\ \\ldots$ Само число — одновременно и наибольший делитель, и наименьшее кратное.","step":1},{"id":"5","content":"Отметьте все верные утверждения.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Наименьший делитель числа $35$ — число $5$","Наибольший делитель любого натурального числа — само это число","У числа $7$ кратных бесконечно много","Наименьшее кратное числа $6$ — число $1$","У числа $10$ ровно десять кратных"],"explanations":["Наименьший делитель любого натурального числа — $1$: $35 : 1 = 35$.","","","Число $1$ не делится на $6$ без остатка. Наименьшее кратное числа — само число: $6 \\cdot 1 = 6$.","Кратных у любого натурального числа бесконечно много: $10;\\ 20;\\ 30;\\ \\ldots$ и так без конца."],"answer":[1,2]}},"hints":["Вспомните из урока: наименьший делитель числа — $1$, наибольший — само число.","Кратные числа $a$ — это $a \\cdot 1;\\ a \\cdot 2;\\ a \\cdot 3;\\ \\ldots$ Их бесконечно много, наименьшее из них — само $a$.","Верны утверждения: «наибольший делитель любого натурального числа — само это число» и «у числа $7$ кратных бесконечно много»."],"explanation":"Как запомнить: делителей у числа конечное число, от $1$ до самого числа; кратных — бесконечно много, от самого числа и дальше: $a;\\ 2a;\\ 3a;\\ \\ldots$ Само число — одновременно и наибольший делитель, и наименьшее кратное.","step":1},{"id":"6","content":"Повар хочет разложить все $18$ пирожков на тарелки поровну, ничего не оставляя. Сколько у него вариантов раскладки (на одну тарелку тоже можно)?[[image-1]][[input-3]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","width":"600","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/e8xyymtpqyry.svg"},"input-3":{"type":"input","answer":"6","inline":1}},"hints":["Пирожков на тарелке должно быть столько, чтобы $18$ делилось на это число без остатка. Значит, каждый вариант — это делитель числа $18$.","Делители $18$: $18 = 1 \\cdot 18 = 2 \\cdot 9 = 3 \\cdot 6$.","По $1;\\ 2;\\ 3;\\ 6;\\ 9$ или $18$ пирожков на тарелку — $6$ вариантов."],"explanation":"Вариантов столько же, сколько делителей у числа $18$: $1;\\ 2;\\ 3;\\ 6;\\ 9;\\ 18$ — всего $6$. Крайние варианты тоже считаются: все $18$ пирожков на одной тарелке и по одному пирожку на $18$ тарелках.","step":1},{"id":"6","content":"Повар хочет разложить все $32$ пирожка на тарелки поровну, ничего не оставляя. Сколько у него вариантов раскладки (на одну тарелку тоже можно)?[[image-2]][[input-4]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","width":"600","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/j19s7bqq0obk.svg"},"input-4":{"type":"input","answer":"6","inline":1}},"hints":["Пирожков на тарелке должно быть столько, чтобы $32$ делилось на это число без остатка. Значит, каждый вариант — это делитель числа $32$.","Делители $32$: $32 = 1 \\cdot 32 = 2 \\cdot 16 = 4 \\cdot 8$.","По $1;\\ 2;\\ 4;\\ 8;\\ 16$ или $32$ пирожка на тарелку — $6$ вариантов."],"explanation":"Вариантов столько же, сколько делителей у числа $32$: $1;\\ 2;\\ 4;\\ 8;\\ 16;\\ 32$ — всего $6$. Крайние варианты тоже считаются: все $32$ пирожка на одной тарелке и по одному пирожку на $32$ тарелках.","step":1},{"id":"7","content":"В одну коробку помещается $8$ карандашей. Какое наименьшее число коробок нужно, чтобы уложить $100$ карандашей?[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$12$","$13$","$8$","$100$"],"placeholder":0,"answer":1}},"hints":["Разделите $100$ на $8$ с остатком.","$100 : 8 = 12$ (остаток $4$): $12$ коробок заполнены целиком, а $4$ карандаша еще остались.","Для оставшихся $4$ карандашей нужна еще одна коробка: $12 + 1 = 13$."],"explanation":"$100 : 8 = 12$ (остаток $4$). Ответ $12$ — частое неверное решение: остаток отбросили, и $4$ карандаша остались без коробки. Нужна тринадцатая, неполная коробка. Ответ $100$ — это возможное, но не наименьшее число коробок (по одному карандашу).","step":1},{"id":"7","content":"В автобусе $45$ мест. Какое наименьшее число таких автобусов нужно, чтобы отвезти на экскурсию $200$ учеников?[[fill_choice_big-2]]","widgets":{"fill_choice_big-2":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$45$","$5$","$200$"],"placeholder":0,"answer":2}},"hints":["Разделите $200$ на $45$ с остатком.","$200 : 45 = 4$ (остаток $20$): $4$ автобуса заполнены целиком, а $20$ учеников еще остались.","Для оставшихся $20$ учеников нужен еще один автобус: $4 + 1 = 5$."],"explanation":"$200 : 45 = 4$ (остаток $20$). Ответ $4$ — частое неверное решение: остаток отбросили, и $20$ учеников остались без места. Нужен пятый, неполный автобус. Ответ $200$ — число учеников, а не автобусов.","step":1},{"id":"8","content":"Найдите наименьшее трехзначное число, кратное $7$. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"105","inline":1}},"hints":["Кратные $7$: $7 \\cdot 1;\\ 7 \\cdot 2;\\ 7 \\cdot 3;\\ \\ldots$ Нужно первое из них, которое не меньше $100$.","$7 \\cdot 14 = 98$ — еще двузначное. Следующее кратное: $7 \\cdot 15$.","$7 \\cdot 15 = 105$."],"explanation":"$7 \\cdot 14 = 98$ — двузначное, $7 \\cdot 15 = 105$ — первое трехзначное кратное $7$. Число $100$ не подходит: $100 : 7 = 14$ (остаток $2$).","step":1},{"id":"8","content":"Найдите наибольшее двузначное число, кратное $13$. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"91","inline":1}},"hints":["Кратные $13$: $13 \\cdot 1;\\ 13 \\cdot 2;\\ 13 \\cdot 3;\\ \\ldots$ Нужно последнее из них, которое меньше $100$.","$13 \\cdot 8 = 104$ — уже трехзначное. Предыдущее кратное: $13 \\cdot 7$.","$13 \\cdot 7 = 91$."],"explanation":"$13 \\cdot 7 = 91$ — двузначное, $13 \\cdot 8 = 104$ — уже трехзначное. Значит, $91$ — наибольшее двузначное кратное $13$. Число $99$ не подходит: $99 : 13 = 7$ (остаток $8$).","step":1},{"id":"9","content":"Открыток больше $40$, но меньше $60$. Все открытки можно без остатка разложить в наборы по $6$ штук. Эти же открытки можно без остатка разложить и в наборы по $9$ штук. Сколько открыток? [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"54","inline":1}},"hints":["Число открыток кратно $9$: выпишите кратные $9$ между $40$ и $60$.","Кратные $9$ на этом промежутке: $45$ и $54$. Какое из них делится на $6$?","$45 : 6 = 7$ (остаток $3$), $54 : 6 = 9$. Открыток $54$."],"explanation":"Число открыток кратно и $9$, и $6$. Кратные $9$ между $40$ и $60$: $45$ и $54$. На $6$ делится только $54$: $54 = 6 \\cdot 9$. Быстрый способ: перебирать кратные большего числа ($9$) — их меньше.","step":1},{"id":"9","content":"Открыток больше $50$, но меньше $70$. Все открытки можно без остатка разложить в наборы по $4$ штуки. Эти же открытки можно без остатка разложить и в наборы по $7$ штук. Сколько открыток? [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"56","inline":1}},"hints":["Число открыток кратно $7$: выпишите кратные $7$ между $50$ и $70$.","Кратные $7$ на этом промежутке: $56$ и $63$. Какое из них делится на $4$?","$56 : 4 = 14$, $63 : 4 = 15$ (остаток $3$). Открыток $56$."],"explanation":"Число открыток кратно и $7$, и $4$. Кратные $7$ между $50$ и $70$: $56$ и $63$. На $4$ делится только $56$: $56 = 4 \\cdot 14$. Быстрый способ: перебирать кратные большего числа ($7$) — их меньше.","step":1}]}</textarea></pre></div>