Признаки делимости на 10, 5 и на 2

В предыдущем уроке мы разобрались, что такое делители и кратные. Мы узнали, чем они отличаются друг от друга, и зачем они нужны. Теперь перейдем к конкретным числам – узнаем, каковы признаки делимости на $10$, на $5$ и на $2$.

Делимость на $10$

Вспомним главный признак делимости: число должно делиться на заданное без остатка.

Если натуральное число оканчивается на $0$, то это число будет делиться на $10$. Если натуральное число оканчивается любой другой цифрой, то число делиться без остатка не будет.

Приведем пример.

Каждое из чисел $40$; $1500$; $20 000$ будет делиться на $10$, поскольку на конце каждого числа стоит $0$.

Убедимся в этом: $40:10=4$; $1500:10=150$; $20 000:10=2 000$.

А вот число $221$ не будет делиться без остатка на $10$.

Представим число $221$ в виде суммы чисел. Мы получим $220+1$. Из этих чисел $220$ оканчивается на $0$, и оно будет делиться на $10$, а $1$ — нет. Поскольку одно из слагаемых не обладает признаком делимости на $10$, то и вся сумма не будет делиться на $10$.

Второй пример показал нам: если мы делим на $10$ натуральное число, которое не оканчивается на $0$, то остаток от деления будет равен цифре, стоящей в натуральном числе на последнем месте.

{"questions":[{"content":"Какое число делится на $10$ без остатка?[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$13500$","$678$","$229$","$871$"],"placeholder":0,"answer":0}}}]}

Делимость на $2$

Рассмотрим числа $2$; $16$; $34$ и $98$. Все они будут делиться на $2$ без остатка. А числа $41$; $33$ и $59$ на $2$ — нет.

Мы видим закономерность. Если число оканчивается цифрой $0$; $2$; $4$; $6$ или $8$, то есть четной цифрой, то оно будет делиться на $2$.

Если число оканчивается цифрой $1$; $3$; $5$; $7$ или $9$, то есть нечетной цифрой, то оно не будет делиться на $2$.

Если натуральное число оканчивается четной цифрой, то оно делится на $2$. Если число оканчивается нечетной цифрой, то оно не будет делиться на $2$ без остатка.

Заметим еще один интересный момент.

Все нечетные числа при делении на $2$ будут давать в остатке $1$. Убедимся в этом на примере.

Рассмотрим число $127$. Представим его в виде суммы чисел $127=126+1$. Из этих чисел $126$ будет делиться на $2$, поскольку это четное число, а $1$ не будет делиться на $2$ — это и будет остаток при делении.

{"questions":[{"content":"Какое число будет делиться на $2$ без остатка?[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$13576$","$231$","$177$","$28649$"],"placeholder":0,"answer":0}}}]}

Делимость на $5$

Рассмотрим число $17$. Будет ли оно делиться на $5$ без остатка? Представим его в виде суммы: $17=15+2$. Из этих чисел $15$ будет делиться на $5$, а $2$ — нет.

При этом, если мы умножим $17$ на $5$, то получим $17\cdot5=85$. Новое число $85$ уже будет делиться на $5$ без остатка. Какой вывод мы можем сделать?

Любое натуральное число, которое оканчивается цифрой $5$, будет делиться на $5$ без остатка.

Также на $5$ будут делиться и все числа, которые оканчиваются на $0$. Почему? Потому что эти числа, как мы уже поняли, делятся на $10$, то есть на произведение $5$ и $2$. Как и в первом примере, умножим неделящееся на $5$ число $2$ на саму пятерку. Получаем $5\cdot2=10$.

Если натуральное число оканчивается на $0$ или $5$, то оно будет делиться на $5$. Если натуральное число оканчивается любой другой цифрой, то оно делиться на $5$ без остатка не будет.

{"questions":[{"content":"Выберите пару, в которой каждое число будет делиться на $5$ без остатка.[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$1485$ и $340$","$220$ и $19$","$5551$ и $1003$","$1945$ и $1348$"],"placeholder":0,"answer":0}}}]}

Практика

{"questions":[{"content":"Выберите из предложенных чисел те, что делятся на $2$ и на $5$ одновременно.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$2860$","$336$","$1865$","$557220$"],"explanations":["","Это число делится только на $2$.","Это число делится только на $5$.",""],"answer":[0,3]}}},{"content":"Какой цифрой нужно заменить звездочку на конце числа 238*, чтобы оно делилось на $5$ без остатка?[[fill_choice_big-26]]","widgets":{"fill_choice_big-26":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$ или $0$","$3$ или $0$","$2$ или $5$","$7$ или $1$"],"placeholder":0,"answer":0}}},{"content":"Выберите из предложенных чисел тe, что при делении на $2$ и $10$ будут давать одинаковый остаток.[[choice-49]]","widgets":{"choice-49":{"type":"choice","options":["$34581$","$1393$","$125$","$181$"],"explanations":["","При делении на $2$ число даст остаток $1$, а при делении на $10$ — $3$.","При делении на $2$ число даст остаток $1$, а при делении на $10$ — $5$.",""],"answer":[0,3]}}}]}

Часто задаваемые вопросы