Признаки делимости на 9 и 3

Тест к уроку «Признаки делимости на 9 и 3»: как по сумме цифр узнать, делится ли число на 9 и на 3, какую цифру поставить вместо звездочки, задачи. 9 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Найдите сумму цифр числа $4\\,572$: [[input-1]] <br>Значит, число $4\\,572$ [[fill_choice-1]] на $9$.","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"18","inline":1},"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["делится","не делится"],"answer":0}},"hints":["Сложите все цифры: $4 + 5 + 7 + 2$.","Сумма цифр равна $18$. Признак: если сумма цифр делится на $9$, то и число делится на $9$.","$18 : 9 = 2$ без остатка, значит, $4\\,572$ делится на $9$."],"explanation":"$4 + 5 + 7 + 2 = 18$, а $18$ делится на $9$. Поэтому и $4\\,572$ делится на $9$: $4\\,572 : 9 = 508$.","step":1},{"id":"1","content":"Найдите сумму цифр числа $5\\,381$: [[input-2]] <br>Значит, число $5\\,381$ [[fill_choice-2]] на $9$.","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"17","inline":1},"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["делится","не делится"],"answer":1}},"hints":["Сложите все цифры: $5 + 3 + 8 + 1$.","Сумма цифр равна $17$. Признак: если сумма цифр не делится на $9$, то и число не делится на $9$.","$17$ на $9$ без остатка не делится, значит, и $5\\,381$ не делится на $9$."],"explanation":"$5 + 3 + 8 + 1 = 17$, а $17$ на $9$ не делится. Поэтому и $5\\,381$ на $9$ не делится: $5\\,381 : 9 = 597$ (остаток $8$).","step":1},{"id":"2","content":"Какие числа делятся на $3$ без остатка, а какие нет?[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Делится на $3$","Не делится на $3$"],"items":[["$111$","$2\\,304$","$735$"],["$1\\,003$","$233$","$9\\,001$"]]}},"instruction":"Распределите числа по группам","hints":["Признак делимости на $3$ — сумма цифр, а не последняя цифра.","Суммы цифр: $111 \\to 3$, $2\\,304 \\to 9$, $735 \\to 15$ — делятся на $3$; $1\\,003 \\to 4$, $233 \\to 8$, $9\\,001 \\to 10$ — не делятся."],"explanation":"На $3$ делятся $111$, $2\\,304$, $735$: суммы их цифр $3$, $9$, $15$ делятся на $3$. Числа $1\\,003$ и $233$ оканчиваются на $3$, а $9\\,001$ начинается с $9$, но суммы цифр $4$, $8$, $10$ на $3$ не делятся — и сами числа тоже.","step":1},{"id":"2","content":"Какие числа делятся на $3$ без остатка, а какие нет?[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Делится на $3$","Не делится на $3$"],"items":[["$117$","$2\\,802$","$5\\,010$"],["$23$","$1\\,343$","$7\\,000$"]]}},"instruction":"Распределите числа по группам","hints":["Признак делимости на $3$ — сумма цифр, а не последняя цифра.","Суммы цифр: $117 \\to 9$, $2\\,802 \\to 12$, $5\\,010 \\to 6$ — делятся на $3$; $23 \\to 5$, $1\\,343 \\to 11$, $7\\,000 \\to 7$ — не делятся."],"explanation":"На $3$ делятся $117$, $2\\,802$, $5\\,010$: суммы их цифр $9$, $12$, $6$ делятся на $3$. Числа $23$ и $1\\,343$ оканчиваются на $3$, но суммы цифр $5$ и $11$ на $3$ не делятся — и сами числа тоже.","step":1},{"id":"3","content":"Отметьте все числа, которые делятся на $9$ без остатка.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$3\\,087$","$1\\,239$","$4\\,590$","$2\\,019$","$9\\,001$"],"explanations":["","Сумма цифр $15$ делится на $3$, но не на $9$. Число делится только на $3$.","","Число оканчивается на $9$, но признак смотрит на сумму цифр: $12$ на $9$ не делится.","Число начинается с $9$, но сумма цифр $10$ на $9$ не делится."],"answer":[0,2]}},"hints":["Найдите сумму цифр каждого числа и проверьте, делится ли она на $9$.","Суммы: $3\\,087 \\to 18$, $1\\,239 \\to 15$, $4\\,590 \\to 18$, $2\\,019 \\to 12$, $9\\,001 \\to 10$.","На $9$ делятся $3\\,087$ и $4\\,590$: сумма цифр каждого равна $18$."],"step":1},{"id":"3","content":"Отметьте все числа, которые делятся на $9$ без остатка.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$1\\,119$","$7\\,299$","$5\\,109$","$2\\,349$","$9\\,302$"],"explanations":["Сумма цифр $12$ делится на $3$, но не на $9$. Число делится только на $3$.","","Число оканчивается на $9$, но признак смотрит на сумму цифр: $15$ на $9$ не делится.","","Число начинается с $9$, но сумма цифр $14$ на $9$ не делится."],"answer":[1,3]}},"hints":["Найдите сумму цифр каждого числа и проверьте, делится ли она на $9$.","Суммы: $1\\,119 \\to 12$, $7\\,299 \\to 27$, $5\\,109 \\to 15$, $2\\,349 \\to 18$, $9\\,302 \\to 14$.","На $9$ делятся $7\\,299$ (сумма $27$) и $2\\,349$ (сумма $18$)."],"step":1},{"id":"4","content":"Какими цифрами можно заменить звездочку в числе $4*7$, чтобы оно делилось на $3$? Отметьте все.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$0$","$1$","$2$","$4$","$5$","$7$"],"explanations":["$4 + 0 + 7 = 11$ — на $3$ не делится.","","$4 + 2 + 7 = 13$ — на $3$ не делится.","","$4 + 5 + 7 = 16$ — на $3$ не делится.",""],"answer":[1,3,5]}},"hints":["Сумма известных цифр: $4 + 7 = 11$. Нужно, чтобы $11 + *$ делилось на $3$.","Ближайшие суммы, кратные $3$: $12$, $15$, $18$. Значит, $* = 1$, $4$ или $7$."],"step":1},{"id":"4","content":"Какими цифрами можно заменить звездочку в числе $2*5$, чтобы оно делилось на $3$? Отметьте все.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$1$","$2$","$3$","$5$","$7$","$8$"],"explanations":["$2 + 1 + 5 = 8$ — на $3$ не делится.","","$2 + 3 + 5 = 10$ — на $3$ не делится.","","$2 + 7 + 5 = 14$ — на $3$ не делится.",""],"answer":[1,3,5]}},"hints":["Сумма известных цифр: $2 + 5 = 7$. Нужно, чтобы $7 + *$ делилось на $3$.","Ближайшие суммы, кратные $3$: $9$, $12$, $15$. Значит, $* = 2$, $5$ или $8$."],"step":1},{"id":"5","content":"Число делится на $9$. Что можно сказать о его делимости на $3$?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Оно обязательно делится на $3$","Оно может делиться на $3$, а может и не делиться","Оно не делится на $3$","Оно делится на $3$, только если оканчивается на $3$"],"explanations":["","Если сумма цифр делится на $9$, она делится и на $3$, ведь $9 = 3 \\cdot 3$. Исключений нет.","Например, $18$ делится и на $9$, и на $3$.","Последняя цифра для признака делимости на $3$ не важна: $18$ делится на $3$, а оканчивается на $8$."],"answer":[0]}},"hints":["Сумма цифр такого числа делится на $9$: это $9$, $18$, $27$, …","Каждое из чисел $9$, $18$, $27$, … делится и на $3$. Значит, по признаку число делится на $3$.","Ответ: число обязательно делится на $3$."],"step":1},{"id":"5","content":"Число делится на $3$. Что можно сказать о его делимости на $9$?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Оно обязательно делится на $9$","Оно не делится на $9$","Оно может делиться на $9$, а может и не делиться","Оно делится на $9$, только если оканчивается на $9$"],"explanations":["Например, $12$ делится на $3$, но не на $9$: сумма цифр $3$ на $9$ не делится.","Например, $18$ делится и на $3$, и на $9$.","","Последняя цифра для признака делимости на $9$ не важна: $39$ на $9$ не делится, а $18$ делится."],"answer":[2]}},"hints":["Сумма цифр такого числа делится на $3$: это $3$, $6$, $9$, $12$, …","Одни из этих сумм делятся на $9$, другие нет. Сравните $12$ (сумма $3$) и $18$ (сумма $9$).","Ответ: число может делиться на $9$, а может и не делиться."],"step":1},{"id":"6","content":"Сколько пуговиц в банке, написано на ее этикетке. Пуговицы раскладывают в наборы по $9$ штук. Можно ли разложить все пуговицы без остатка и сколько получится наборов?[[image-1]][[fill_choice_big-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","width":"600","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/k15vjkxgsi4z.svg"},"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["Можно, $204$ набора","Нельзя: число не оканчивается на $9$","Можно, $24$ набора","Нельзя: останется $6$ пуговиц"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["На этикетке число $1\\,836$. Проверьте делимость на $9$ по сумме цифр: $1 + 8 + 3 + 6$.","Сумма цифр $18$ — число делится на $9$ без остатка. Осталось разделить: $1\\,836 : 9$.","$18 : 9 = 2$; $3 < 9$ — в частном $0$; $36 : 9 = 4$. Итого $1\\,836 : 9 = 204$."],"explanation":"Сумма цифр $1 + 8 + 3 + 6 = 18$ делится на $9$, поэтому пуговицы раскладываются без остатка: $1\\,836 : 9 = 204$ набора. Ответ $24$ — при делении столбиком потерян ноль в частном: после $18 : 9 = 2$ число $3$ меньше $9$, и в частное нужно записать $0$. Ответ «останется $6$» — ошибка: Последняя цифра показывает остаток только при делении на $10$, а не на $9$.","step":1},{"id":"6","content":"Сколько пуговиц в банке, написано на ее этикетке. Пуговицы раскладывают в наборы по $9$ штук. Можно ли разложить все пуговицы без остатка и сколько получится наборов?[[image-2]][[fill_choice_big-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","width":"600","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ponfn9mxubnx.svg"},"fill_choice_big-2":{"type":"fill_choice_big","options":["Нельзя: число не оканчивается на $9$","Можно, $207$ наборов","Нельзя: останется $3$ пуговицы","Можно, $27$ наборов"],"placeholder":0,"answer":1}},"hints":["На этикетке число $1\\,863$. Проверьте делимость на $9$ по сумме цифр: $1 + 8 + 6 + 3$.","Сумма цифр $18$ — число делится на $9$ без остатка. Осталось разделить: $1\\,863 : 9$.","$18 : 9 = 2$; $6 < 9$ — в частном $0$; $63 : 9 = 7$. Итого $1\\,863 : 9 = 207$."],"explanation":"Сумма цифр $1 + 8 + 6 + 3 = 18$ делится на $9$, поэтому пуговицы раскладываются без остатка: $1\\,863 : 9 = 207$ наборов. Ответ $27$ — при делении столбиком потерян ноль в частном: после $18 : 9 = 2$ число $6$ меньше $9$, и в частное нужно записать $0$. Ответ «останется $3$» — ошибка: Последняя цифра показывает остаток только при делении на $10$, а не на $9$.","step":1},{"id":"7","content":"Какую цифру нужно поставить вместо звездочки в числе $28*4$, чтобы оно делилось и на $3$, и на $9$? [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"4","inline":1}},"hints":["Если число делится на $9$, то оно делится и на $3$. Достаточно добиться делимости на $9$.","Сумма известных цифр: $2 + 8 + 4 = 14$. Нужна сумма, кратная $9$: ближайшая $18$.","$18 - 14 = 4$. Следующая сумма $27$ потребовала бы цифру $13$ — так нельзя."],"explanation":"$2 + 8 + 4 + 4 = 18$ делится на $9$, а значит, и на $3$. Число $2\\,844$ подходит. Цифры $1$ и $7$ дают суммы $15$ и $21$: число будет делиться на $3$, но не на $9$.","step":1},{"id":"7","content":"Какую цифру нужно поставить вместо звездочки в числе $7*35$, чтобы оно делилось и на $3$, и на $9$? [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"3","inline":1}},"hints":["Если число делится на $9$, то оно делится и на $3$. Достаточно добиться делимости на $9$.","Сумма известных цифр: $7 + 3 + 5 = 15$. Нужна сумма, кратная $9$: ближайшая $18$.","$18 - 15 = 3$. Следующая сумма $27$ потребовала бы цифру $12$ — так нельзя."],"explanation":"$7 + 3 + 3 + 5 = 18$ делится на $9$, а значит, и на $3$. Число $7\\,335$ подходит. Цифры $0$, $6$ и $9$ дают суммы $15$, $21$ и $24$: число будет делиться на $3$, но не на $9$.","step":1},{"id":"8","content":"Ваня рассуждает: «Число $1\\,236$ делится на $9$, потому что сумма его цифр $12$ делится на $3$». Прав ли Ваня?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Прав: и вывод, и довод верные","Не прав: сумма $12$ на $9$ не делится","Не прав: число не оканчивается на $9$","Вывод верный, а довод неверный"],"explanations":["Делимость суммы цифр на $3$ говорит только о делимости числа на $3$, а не на $9$.","","Последняя цифра для признака делимости на $9$ не важна: $18$ делится на $9$, а оканчивается на $8$.","Вывод тоже неверный: $1\\,236 : 9 = 137$ (остаток $3$)."],"answer":[1]}},"hints":["Какой признак нужен для делимости на $9$: сумма цифр должна делиться на $3$ или на $9$?","Сумма цифр $1 + 2 + 3 + 6 = 12$ на $9$ не делится.","Ваня не прав: сумма цифр $12$ на $9$ не делится, поэтому и $1\\,236$ на $9$ не делится."],"step":1},{"id":"8","content":"Оля рассуждает: «Число $3\\,589$ делится на $3$, потому что оканчивается на $9$, а $9$ делится на $3$». Права ли Оля?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Права: и вывод, и довод верные","Вывод верный, а довод неверный","Не права: сумма $25$ на $3$ не делится","Не права: число не оканчивается на $3$"],"explanations":["По последней цифре делимость на $3$ не определяют: $19$ оканчивается на $9$, но на $3$ не делится.","Вывод тоже неверный: $3\\,589 : 3 = 1\\,196$ (остаток $1$).","","Последняя цифра для признака делимости на $3$ не важна: $12$ делится на $3$, а оканчивается на $2$."],"answer":[2]}},"hints":["Какой признак нужен для делимости на $3$: последняя цифра или сумма цифр?","Сумма цифр $3 + 5 + 8 + 9 = 25$ на $3$ не делится.","Оля не права: сумма цифр $25$ на $3$ не делится, поэтому и $3\\,589$ на $3$ не делится."],"step":1},{"id":"9","content":"Купили $3$ одинаковые ручки и заплатили $1\\,252$ рубля. Цена ручки — целое число рублей. Ошибся ли кассир?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Ошибся: $1\\,252$ не делится на $3$","Не ошибся: сумма может быть любой","Без цены ручки узнать нельзя","Ошибся: сумма не оканчивается на $3$"],"explanations":["","Три одинаковые цены в сумме дают число, кратное $3$. Сумма не может быть любой.","Цену знать не нужно: сумма трех одинаковых целых цен обязательно делится на $3$, а это проверяется по сумме цифр.","Вывод верный, но довод нет: делимость на $3$ определяют по сумме цифр, а не по последней цифре."],"answer":[0]}},"hints":["Стоимость трех одинаковых ручек — это цена, умноженная на $3$. Значит, сумма должна делиться на $3$.","Сумма цифр $1 + 2 + 5 + 2 = 10$ на $3$ не делится.","Кассир ошибся: $1\\,252$ на $3$ не делится."],"explanation":"Если ручки одинаковые и цена целая, то сумма кратна $3$. Сумма цифр $1\\,252$ равна $10$ — на $3$ не делится, поэтому такой суммы быть не может. Так признаки делимости помогают проверить чек, не зная цены.","step":1},{"id":"9","content":"Купили $3$ одинаковые книги и заплатили $1\\,735$ рублей. Цена книги — целое число рублей. Ошибся ли кассир?[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Без цены книги узнать нельзя","Ошибся: $1\\,735$ не делится на $3$","Ошибся: сумма не оканчивается на $3$","Не ошибся: сумма может быть любой"],"explanations":["Цену знать не нужно: сумма трех одинаковых целых цен обязательно делится на $3$, а это проверяется по сумме цифр.","","Вывод верный, но довод нет: делимость на $3$ определяют по сумме цифр, а не по последней цифре.","Три одинаковые цены в сумме дают число, кратное $3$. Сумма не может быть любой."],"answer":[1]}},"hints":["Стоимость трех одинаковых книг — это цена, умноженная на $3$. Значит, сумма должна делиться на $3$.","Сумма цифр $1 + 7 + 3 + 5 = 16$ на $3$ не делится.","Кассир ошибся: $1\\,735$ на $3$ не делится."],"explanation":"Если книги одинаковые и цена целая, то сумма кратна $3$. Сумма цифр $1\\,735$ равна $16$ — на $3$ не делится, поэтому такой суммы быть не может. Так признаки делимости помогают проверить чек, не зная цены.","step":1}]}</textarea></pre></div>