7 класс Алгебра Выражения со степенями Свойства степеней

Степень с натуральным показателем

Содержание

В уроке «Числовые выражения» мы находили значения выражений и соблюдали порядок действий. Сумму одинаковых слагаемых коротко записывают умножением: $2 + 2 + 2 = 2 \cdot 3$. А как коротко записать произведение одинаковых множителей $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$? Для этого есть степень. В этом уроке разберем, что такое степень, почему вторую степень называют квадратом, а третью — кубом, как найти знак степени отрицательного числа и где в записи $-3^2$ прячется ловушка. А еще ответим на вопрос: сколько раз нужно сложить лист бумаги пополам, чтобы стопка достала до Луны?

Степень — это повторное умножение

Клетка делится пополам — получаются $2$ клетки. Каждая из них снова делится — уже $4$ клетки. После третьего деления клеток $8$, после четвертого — $16$. На каждом шаге число клеток умножается на $2$.

Дерево деления клеток: из одной клетки после каждого деления число клеток удваивается — 2, 4, 8, 16. После 4 делений клеток 2 · 2 · 2 · 2 = 2 в четвертой степени = 16 — После каждого деления клеток становится в $2$ раза больше. После $4$ делений их $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4 = 16$

После $10$ делений клеток будет произведение десяти двоек:

$$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2.$$

Такую длинную запись заменяют короткой: $2^{10}$. Читают: «два в десятой степени».

Определение

Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$, большим $1$, называют произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$:

$$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}}$$

Число $a$ — основание степени, число $n$ — показатель степени. Степень с показателем $1$ — само число: $a^1 = a$.

Степень 5 в третьей степени: 5 — основание (какое число умножаем), 3 — показатель (сколько одинаковых множителей). 5 в кубе = 5 · 5 · 5 = 125 — Основание показывает, какое число умножаем, показатель — сколько одинаковых множителей: $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$

Действие, при котором находят степень, называют возведением в степень. Например, возведем $3$ в четвертую степень: $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.

Ошибка

Основание умножают на показатель: $2^3 = 2 \cdot 3 = 6$. Но $2 \cdot 3$ — это сумма трех двоек: $2 + 2 + 2 = 6$. А $2^3$ — произведение трех двоек: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. Показатель говорит, сколько раз число стоит множителем, а не на что его умножить.

Слева: 2 · 3 = 2 + 2 + 2 = 6 — это сложение трех двоек. Справа: 2 в кубе = 2 · 2 · 2 — удвоение три раза: 2, 4, 8 клеток. Поэтому 2 в третьей степени равно 8, а не 6 — Слева три двойки сложили — $6$ клеток. Справа три двойки перемножили: клеток стало $2$, $4$, $8$. Поэтому $2^3 = 8$, а не $6$

Вернемся к листу бумаги. Обычный лист имеет толщину около $0{,}1$ мм. Сложим его пополам — получится $2$ слоя, еще раз — $4$ слоя. Каждый сгиб удваивает число слоев, поэтому после $n$ сгибаний слоев $2^n$. Проверьте в интерактиве, сколько сгибаний нужно, чтобы стопка достала до Луны. Сначала запишите свой прогноз.

uploaded-power-fold-30fc0d19dc1f

Интересный факт: сколько раз на самом деле можно сложить лист бумаги? Показать

Скрыть

Обычный лист формата A4 удается сложить пополам $6$–$7$ раз: стопка становится слишком толстой и короткой. В $2002$ году американская школьница Бритни Галливан вывела формулу, которая показывает, какой длины нужна бумага для заданного числа сгибаний. Она взяла рулон очень тонкой бумаги длиной больше километра и сложила его пополам $12$ раз — это был рекорд. После $12$ сгибаний в стопке $2^{12} = 4096$ слоев.

Пример

1. Запишем произведение $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ в виде степени и вычислим. Множитель $3$ повторяется $5$ раз, поэтому это $3^5$. Считаем по ярусам: $3$, $9$, $27$, $81$, $243$. Ответ: $3^5 = 243$.

2. Обратная задача: представим число $64$ в виде степени с основанием $2$, $4$ и $8$. Будем делить на основание, пока не получим $1$, и считать шаги:

$64 \to 32 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1$ — шесть делений на $2$, значит, $64 = 2^6$;
$64 \to 16 \to 4 \to 1$ — три деления на $4$, значит, $64 = 4^3$;
$64 \to 8 \to 1$ — два деления на $8$, значит, $64 = 8^2$.

Одно и то же число можно записать степенями с разными основаниями.

{"questions":[{"content":"Лист сложили пополам $8$ раз. Сколько получилось слоев?[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"256"}},"hints":["Каждый сгиб удваивает число слоев: после $8$ сгибаний слоев $2^8$.","$2^8 = 2 \\cdot 2 \\cdot 2 \\cdot 2 \\cdot 2 \\cdot 2 \\cdot 2 \\cdot 2 = 256$."],"step":1},{"content":"Чему равно $2^5$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$32$","$10$","$25$","$7$"],"explanations":["","Так получится, если основание умножить на показатель: $2 \\cdot 5 = 10$. А $2^5 = 2 \\cdot 2 \\cdot 2 \\cdot 2 \\cdot 2$.","Это $5^2 = 5 \\cdot 5$: основание и показатель поменяли местами.","Это сумма $2 + 5$, а не степень."],"answer":[0]}},"hints":["Запишите степень произведением: $2^5 = 2 \\cdot 2 \\cdot 2 \\cdot 2 \\cdot 2$.","Считаем по ярусам: $2$, $4$, $8$, $16$, $32$."],"step":1},{"content":"$7 \\cdot 7 \\cdot 7 \\cdot 7 \\cdot 7 =$ [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$7^5$","$5^7$","$7 \\cdot 5$","$7^4$"],"answer":0}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Основание — число, которое умножают. Показатель — сколько одинаковых множителей.","Множитель $7$ стоит $5$ раз: $7^5$."],"step":1}],"mix":1}

Почему вторую степень называют квадратом, а третью — кубом

Квадрат со стороной $3$ состоит из $3 \cdot 3 = 3^2 = 9$ клеток. Площадь квадрата со стороной $a$ равна $a \cdot a = a^2$. Поэтому вторую степень числа называют его квадратом: $a^2$ читают «$a$ в квадрате».

Слева квадрат со стороной 3 из 3 · 3 = 9 клеток: поэтому вторую степень называют квадратом. Справа куб с ребром 3 из 3 · 3 · 3 = 27 кубиков: поэтому третью степень называют кубом — Вторая степень — это площадь квадрата: $3^2 = 9$ клеток. Третья степень — объем куба: $3^3 = 27$ кубиков

Куб с ребром $3$ сложен из трех слоев по $9$ кубиков: $3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3 = 27$. Объем куба с ребром $a$ равен $a^3$, поэтому третью степень называют кубом: $a^3$ читают «$a$ в кубе». Каждый новый множитель $3$ добавляет к фигуре еще одно измерение: отрезок → квадрат → куб.

Пример

1. Сторону квадрата увеличили в $3$ раза. Во сколько раз увеличилась его площадь?

Была сторона $a$, площадь $a^2$. Стала сторона $3a$, площадь $(3a)^2 = 3a \cdot 3a = 3 \cdot 3 \cdot a \cdot a = 9a^2$. Площадь увеличилась в $9$ раз, а не в $3$: квадрат растет сразу в двух направлениях, и множитель $3$ входит дважды. Проверим на клетках: квадрат $2 \times 2$ — это $4$ клетки, квадрат $6 \times 6$ — $36$ клеток, в $9$ раз больше.

2. Объем куба равен $125$ см³. Найдем его ребро. Нужно число, куб которого равен $125$. Перебираем: $3^3 = 27$, $4^3 = 64$, $5^3 = 125$. Ребро — $5$ см.

$n$	$n^2$ (квадрат)	$n^3$ (куб)
$1$	$1$	$1$
$2$	$4$	$8$
$3$	$9$	$27$
$4$	$16$	$64$
$5$	$25$	$125$
$6$	$36$	$216$
$7$	$49$	$343$
$8$	$64$	$512$
$9$	$81$	$729$
$10$	$100$	$1000$

Ошибка

Часто в квадрат возводят только числитель: $\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2}{9}$. Но $\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$: множителем стоит вся дробь, поэтому в квадрат возводятся и числитель, и знаменатель. На рисунке это видно: квадрат со стороной $\frac{2}{3}$ занимает $4$ клетки из $9$.

Квадрат со стороной 1 разбит на 9 клеток. Квадрат со стороной две трети занимает 4 клетки из 9, поэтому две трети в квадрате равно четыре девятых, а не две девятых — Квадрат со стороной $\frac{2}{3}$ занимает $4$ клетки из $9$: $\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$, а не $\frac{2}{9}$

Обратите внимание

Единица в любой степени равна единице: $1^n = 1$. Ноль в любой натуральной степени равен нулю: $0^n = 0$. Степень числа $10$ — это единица и столько нулей, каков показатель: $10^3 = 1000$, $10^6 = 1\,000\,000$.

{"questions":[{"content":"[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Площадь квадрата со стороной $6$ см","Объем куба с ребром $4$ см","$10^4$","$1^{9}$"],"items":["$36$","$64$","$10\\,000$","$1$"]}},"instruction":"Соотнесите величину и ее значение","hints":["Площадь квадрата — $a^2$, объем куба — $a^3$.","$6^2 = 36$, $4^3 = 64$, $10^4 = 10\\,000$, $1^9 = 1$."],"step":1},{"content":"Ребро кубика $5$ см. Чему равен его объем в кубических сантиметрах?[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"125","unit":"см³"}},"hints":["Объем куба с ребром $a$ равен $a^3$.","$5^3 = 5 \\cdot 5 \\cdot 5 = 125$."],"step":1},{"content":"Сторону квадрата увеличили в $4$ раза. Во сколько раз увеличилась его площадь?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["В $16$ раз","В $4$ раза","В $8$ раз","В $64$ раза"],"explanations":["","Сторона выросла в $4$ раза, но площадь — произведение двух сторон: $(4a)^2 = 16a^2$.","Множитель $4$ умножили на $2$. Но $4^2 = 4 \\cdot 4 = 16$, а не $4 \\cdot 2$.","Так меняется объем куба, если ребро увеличить в $4$ раза: $4^3 = 64$. У квадрата два измерения."],"answer":[0]}},"hints":["Была площадь $a^2$, стала $(4a)^2$.","$(4a)^2 = 4a \\cdot 4a = 4 \\cdot 4 \\cdot a \\cdot a = 16a^2$ — в $16$ раз больше."],"step":1}],"mix":1}

Степень отрицательного числа: знак меняется на каждом шаге

Возведем в степень число $-2$. Каждый множитель $-2$ удваивает расстояние до нуля и меняет знак:

$$(-2)^1 = -2, \qquad (-2)^2 = 4,$$

$$(-2)^3 = -8, \qquad (-2)^4 = 16.$$

На числовой прямой точка прыгает через ноль то влево, то вправо.

Числовая прямая: степени числа −2 прыгают через ноль то влево, то вправо: −2, 4, −8, 16. При нечетном показателе результат отрицательный, при четном — положительный — Степени числа $-2$: каждый прыжок вдвое дальше от нуля и на другую сторону. Нечетный показатель — слева от нуля, четный — справа

Почему так? Произведение двух отрицательных чисел положительно. Отрицательные множители можно разбить на пары, и каждая пара дает плюс. Если множителей четное число, они все разбиваются на пары. Если нечетное — один минус остается без пары.

Правило

Четная степень отрицательного числа — положительное число. Нечетная степень отрицательного числа — отрицательное число.

Любая натуральная степень положительного числа положительна.

Ошибка

Видят минус в основании и пишут минус в ответе: $(-2)^4 = -16$. Но знак зависит от числа множителей: $(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)$ — две пары минусов, каждая дает плюс. Верно: $(-2)^4 = 16$.

Пример

1. Определим знак выражения $(-3)^5 \cdot (-2)^4$, не вычисляя его. Показатель $5$ нечетный, поэтому $(-3)^5 < 0$. Показатель $4$ четный, поэтому $(-2)^4 > 0$. Отрицательное число, умноженное на положительное, отрицательно: выражение меньше нуля.

2. Найдем $(-1)^{2026} + (-1)^{2027}$. Считать $2026$ множителей не нужно: у $-1$ модуль не меняется, а знак зависит от четности. $2026$ — четное, $(-1)^{2026} = 1$; $2027$ — нечетное, $(-1)^{2027} = -1$. Сумма: $1 + (-1) = 0$.

uploaded-power-sign-5df7c5122337

{"questions":[{"content":"[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Положительное","Отрицательное"],"items":[["$(-3)^4$","$(-1)^{10}$","$(-5)^2$"],["$(-2)^5$","$(-1)^7$","$(-4)^3$"]]}},"instruction":"Распределите степени по знаку","hints":["Посмотрите на показатель: четный или нечетный.","Четный показатель — плюс, нечетный — минус."],"step":1},{"content":"Какой знак у выражения $(-5)^3 \\cdot (-1)^8$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Минус","Плюс","Выражение равно нулю","Знак нельзя определить без вычислений"],"explanations":["","$(-1)^8 = 1$, но $(-5)^3 < 0$: показатель нечетный.","Ни одна степень здесь не равна нулю: основания не нули.","Знак степени определяется по четности показателя, вычислять не нужно."],"answer":[0]}},"hints":["$(-5)^3$: показатель нечетный. $(-1)^8$: показатель четный.","Отрицательное число умножаем на положительное — получается отрицательное."],"step":1},{"content":"Вычислите $(-3)^3$.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["-27","−27"]}},"hints":["$(-3)^3 = (-3) \\cdot (-3) \\cdot (-3)$.","$(-3) \\cdot (-3) = 9$, $9 \\cdot (-3) = -27$."],"step":1}],"mix":1}

Что входит в основание: $(-3)^2$ и $-3^2$

Сравним две записи. В записи $(-3)^2$ основание — число $-3$ в скобках, его и умножаем: $(-3) \cdot (-3) = 9$. В записи $-3^2$ скобок нет. Показатель относится только к тройке, а минус стоит перед степенью: $-3^2 = -(3 \cdot 3) = -9$. Ярусы строим из тройки: $3$, $9$ — и только потом ставим минус.

Слева: в (−3) в квадрате основание — все число −3 в скобках, (−3) · (−3) = 9. Справа: в −3 в квадрате основание только 3, минус стоит перед степенью: −(3 · 3) = −9 — Основание — то, что стоит прямо перед показателем: число или выражение в скобках. Поэтому $(-3)^2 = 9$, а $-3^2 = -9$

Ошибка

Считают, что $-3^2 = 9$, потому что «минус на минус дает плюс». Но второго минуса здесь нет: возводится в квадрат только $3$, а минус ставится потом. Проверьте себя вопросом: что стоит прямо перед показателем? Если там скобка — в основание входит все, что внутри скобок.

Возведение в степень выполняют раньше умножения и деления, а умножение и деление — раньше сложения и вычитания. Скобки, как обычно, меняют порядок.

Выражение	Порядок действий	Значение
$2 \cdot 3^2$	$3^2 = 9$, затем $2 \cdot 9$	$18$
$(2 \cdot 3)^2$	$2 \cdot 3 = 6$, затем $6^2$	$36$
$-4^2$	$4^2 = 16$, затем минус	$-16$
$5-2^3$	$2^3 = 8$, затем $5-8$	$-3$

Пример

1. Найдем значение выражения $3 \cdot 2^3-(-2)^4$.

Сначала степени: $2^3 = 8$, $(-2)^4 = 16$. Затем умножение: $3 \cdot 8 = 24$. Затем вычитание: $24-16 = 8$.

Ответ: $8$.

2. Найдем значение выражения $0{,}7 \cdot (-10)^3-50$. Похожие выражения бывают в задании 6 ОГЭ.

Сначала степень: $(-10)^3 = -1000$ — показатель нечетный, знак минус. Затем умножение: $0{,}7 \cdot (-1000) = -700$. Затем вычитание: $-700-50 = -750$.

Ответ: $-750$.

Ошибка

Сначала умножают, потом возводят в степень: $2 \cdot 3^2 = 6^2 = 36$. Но показатель стоит у тройки, а не у произведения. Верно: $3^2 = 9$, $2 \cdot 9 = 18$. Значение $36$ было бы у выражения $(2 \cdot 3)^2$ — со скобками.

{"questions":[{"content":"Что входит в основание степени в записи $-7^2$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Только число $7$","Число $-7$","Число $7^2$","Минус и двойка"],"explanations":["","Число $-7$ было бы основанием в записи $(-7)^2$ — со скобками.","$7^2$ — это вся степень, а основание — то, что возводят в степень.","Двойка — показатель, а минус стоит перед степенью."],"answer":[0]}},"hints":["Основание — то, что стоит прямо перед показателем.","Перед показателем стоит $7$, скобок нет: $-7^2 = -(7 \\cdot 7) = -49$."],"step":1},{"content":"Чему равно $-5^2$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$-25$","$25$","$-10$","$10$"],"explanations":["","Так было бы для $(-5)^2$. Здесь скобок нет: в квадрат возводится только $5$, а минус ставится потом.","Основание умножили на показатель. Нужно $-(5 \\cdot 5)$.","Основание умножили на показатель и потеряли минус."],"answer":[0]}},"hints":["Что стоит прямо перед показателем — $5$ или $-5$?","Скобок нет: $-5^2 = -(5 \\cdot 5) = -25$."],"step":1},{"content":"Найдите значение выражения $2 \\cdot 3^2 + (-1)^3$.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"17"}},"hints":["Сначала степени: $3^2 = 9$, $(-1)^3 = -1$.","$2 \\cdot 9 + (-1) = 18-1 = 17$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Степень — короткая запись произведения одинаковых множителей: основание показывает, что умножаем, показатель — сколько раз. Каждый новый множитель — новый ярус: еще одно деление клеток, еще один сгиб листа, еще одно измерение у квадрата и куба. Поэтому степени растут так быстро: $42$ сгибания листа дают стопку длиннее расстояния до Луны. Знак степени отрицательного числа зависит от четности показателя, а в записи $-3^2$ минус не входит в основание. Степени понадобятся в следующих уроках — при умножении и делении степеней, в одночленах и многочленах, а также для записи очень больших и очень маленьких чисел.

Зачем это в жизни? Квадратные метры комнаты и кубические метры воды — это вторая и третья степени. В информатике $1$ Кбайт $= 2^{10} = 1024$ байта. А любой рост «в два раза каждый шаг» — деление клеток, размножение бактерий, пересылка сообщения по цепочке — описывается степенью и очень быстро обгоняет обычное умножение.

Часто задаваемые вопросы

Чем $2^3$ отличается от $2 \cdot 3$?

$2 \cdot 3$ — это сумма трех двоек: $2 + 2 + 2 = 6$. $2^3$ — произведение трех двоек: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. Показатель говорит, сколько одинаковых множителей, а не на что умножить основание.

Как быстро определить знак степени?

Если основание положительное, степень положительна. Если основание отрицательное, посмотрите на показатель: четный — результат положительный, нечетный — отрицательный. Например, $(-1)^{100} = 1$, $(-1)^{101} = -1$.

Почему $-2^4$ отрицательно, а $(-2)^4$ положительно?

В $(-2)^4$ основание — число $-2$, четыре отрицательных множителя дают плюс: $16$. В $-2^4$ основание — только $2$: сначала $2^4 = 16$, потом минус, получается $-16$.

Как быстро вспомнить квадраты и кубы?

Квадраты чисел от $1$ до $10$ — площади квадратов из клеток: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$. Кубы первых чисел — $1, 8, 27, 64, 125$. Если забыли, достройте по ярусам: $7^2 = 7 \cdot 7 = 49$, $4^3 = 16 \cdot 4 = 64$.

Что больше: $2^{10}$ или $10^2$?

$2^{10} = 1024$, а $10^2 = 100$. Степень с большим показателем растет очень быстро, поэтому $2^{10}$ больше в десять с лишним раз. Основание и показатель нельзя менять местами.

Награды за урок