Тождество и тождественные преобразования

Тест по уроку «Тождество и тождественные преобразования». 10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Какое равенство называют тождеством?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Равенство, верное при всех допустимых значениях переменных","Равенство, верное хотя бы при одном значении переменной","Равенство, в котором есть переменная","Равенство, верное при трех разных значениях переменной"],"explanations":["","Так описывают уравнение, у которого есть корень. Тождество верно при всех допустимых значениях.","Переменная может быть и в уравнении, например $x + 2 = 5$, и в неверном равенстве. Тождество верно при всех допустимых значениях.","Трех совпадений мало: $x \\cdot x \\cdot x = 3 \\cdot x \\cdot x - 2x$ верно при $0$, $1$, $2$, но не при $3$."],"answer":[0]}}},{"id":"1","content":"Что значит «выражения $A$ и $B$ тождественно равны»?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Значения $A$ и $B$ равны хотя бы при одном значении переменных","$A$ и $B$ записаны одинаково","Значения $A$ и $B$ равны при нуле","Значения $A$ и $B$ равны при любых допустимых значениях переменных"],"explanations":["Совпадение при одном значении — это корень уравнения, а не тождественное равенство.","Записи могут быть разными: $2(x + 3)$ и $2x + 6$ тождественно равны.","При нуле совпадают и многие неравные выражения, например $x \\cdot x$ и $2x$.",""],"answer":[3]}}},{"id":"2","content":"[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Тождество","Не тождество"],"items":[["$a \\cdot b = b \\cdot a$","$x + 0 = x$","$3(a + 1) = 3a + 3$"],["$x + 4 = 9$","$a + a = a \\cdot a$","$3(a + 1) = 3a + 1$"]]}},"instruction":"Распределите равенства по группам","hints":["Для «не тождества» найдите контрпример: число, при котором части различаются.","$x + 4 = 9$ неверно при $x = 0$; $a + a = a \\cdot a$ неверно при $a = 1$; $3(a + 1) = 3a + 3$, а не $3a + 1$.","Тождества: $a \\cdot b = b \\cdot a$, $x + 0 = x$, $3(a + 1) = 3a + 3$."],"step":1},{"id":"2","content":"[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Тождество","Не тождество"],"items":[["$m + n = n + m$","$y \\cdot 1 = y$","$2(b - 4) = 2b - 8$"],["$y - 3 = 7$","$b \\cdot b = 3b$","$2(b - 4) = 2b - 4$"]]}},"instruction":"Распределите равенства по группам","hints":["Для «не тождества» найдите контрпример: число, при котором части различаются.","$y - 3 = 7$ неверно при $y = 0$; $b \\cdot b = 3b$ неверно при $b = 1$; $2(b - 4) = 2b - 8$, а не $2b - 4$.","Тождества: $m + n = n + m$, $y \\cdot 1 = y$, $2(b - 4) = 2b - 8$."],"step":1},{"id":"3","content":"Какое значение $x$ является контрпримером к равенству $x \\cdot x = 3x$?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$x = 3$","Контрпримера нет","$x = 1$","$x = 0$"],"explanations":["При $x = 3$ обе части равны $9$ — равенство верно.","Контрпример есть: при $x = 1$ слева $1$, справа $3$.","","При $x = 0$ обе части равны $0$ — равенство верно."],"answer":[2]}}},{"id":"3","content":"Какое значение $x$ является контрпримером к равенству $x \\cdot x = 5x$?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Контрпримера нет","$x = 2$","$x = 0$","$x = 5$"],"explanations":["Контрпример есть: при $x = 2$ слева $4$, справа $10$.","","При $x = 0$ обе части равны $0$ — равенство верно.","При $x = 5$ обе части равны $25$ — равенство верно."],"answer":[1]}}},{"id":"4","content":"Равенство проверили при $x = 0$, $1$, $2$, $3$ и $4$ — все пять строк зеленые. Что можно утверждать?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Контрпример пока не найден; доказать тождество можно только преобразованиями","Равенство — тождество: пяти проверок достаточно","Равенство — тождество, потому что проверены пять чисел подряд","Равенство не тождество"],"explanations":["","Никакого числа проверок не достаточно: выражение $n^2 + n + 41$ давало простые числа сорок раз подряд, а на сорок первый — нет.","Числа подряд ничем не лучше других: $x \\cdot x \\cdot x = 3 \\cdot x \\cdot x - 2x$ верно при $0$, $1$, $2$ и неверно при $3$.","Чтобы сказать «не тождество», нужна красная строка — контрпример. Здесь ее нет."],"answer":[0]}}},{"id":"4","content":"Ученик проверил равенство при десяти разных значениях $a$, и каждый раз значения частей совпали. Какой вывод верный?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Равенство — тождество: десяти проверок достаточно","Равенство — тождество, если среди чисел были отрицательные","Равенство не тождество","Контрпример пока не найден; доказать тождество можно только преобразованиями"],"explanations":["Никакого числа проверок не достаточно: чисел бесконечно много. Пример: $n^2 + n + 41$ давало простые числа сорок раз подряд, а на сорок первый — нет.","Выбор чисел не спасает: проверить все числа невозможно. Тождество доказывают преобразованиями.","Чтобы сказать «не тождество», нужен контрпример. Здесь все строки зеленые.",""],"answer":[3]}}},{"id":"5","content":"[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["$4(x - 1) - (x - 4)$","$4x - 4 - x + 4$","$4x - x - 4 + 4$","$3x$"]}},"instruction":"Расставьте звенья доказательства тождества $4(x - 1) - (x - 4) = 3x$ по порядку","hints":["Начало — левая часть, конец — правая часть $3x$.","Сначала раскрывают скобки, затем переставляют слагаемые, затем приводят подобные.","Порядок: $4(x - 1) - (x - 4)$, $4x - 4 - x + 4$, $4x - x - 4 + 4$, $3x$."],"step":1},{"id":"5","content":"[[sorter-2]]","widgets":{"sorter-2":{"type":"sorter","items":["$2(3 - a) + 5a$","$6 - 2a + 5a$","$6 + 3a$","$3a + 6$"]}},"instruction":"Расставьте звенья доказательства тождества $2(3 - a) + 5a = 3a + 6$ по порядку","hints":["Начало — левая часть, конец — правая часть $3a + 6$.","Сначала раскрывают скобки, затем приводят подобные, затем переставляют слагаемые.","Порядок: $2(3 - a) + 5a$, $6 - 2a + 5a$, $6 + 3a$, $3a + 6$."],"step":1},{"id":"6","content":"При каком значении $x$ выражение $7 : (x - 5)$ не имеет смысла?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$x = 0$","$x = 7$","$x = 5$","$x = -5$"],"explanations":["При $x = 0$ делитель равен $-5$, делить можно.","При $x = 7$ делитель равен $2$. Нулем должен стать делитель $x - 5$.","","При $x = -5$ делитель равен $-10$, делить можно."],"answer":[2]}}},{"id":"6","content":"При каком значении $x$ выражение $9 : (x + 4)$ не имеет смысла?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$x = 9$","$x = -4$","$x = 4$","$x = 0$"],"explanations":["При $x = 9$ делитель равен $13$. Нулем должен стать делитель $x + 4$.","","При $x = 4$ делитель равен $8$, делить можно.","При $x = 0$ делитель равен $4$, делить можно."],"answer":[1]}}},{"id":"7","content":"[[grouper-3]]","widgets":{"grouper-3":{"type":"grouper","labels":["Тождество","Уравнение с корнем","Уравнение без корней"],"items":[["$3(x + 2) = 3x + 6$","$x + 5x = 6x$"],["$3x + 2 = 8$","$2x = x + 7$"],["$3x + 2 = 3x + 6$","$x - 1 = x + 1$"]]}},"instruction":"Распределите равенства по группам","hints":["Упростите части. Одинаковые выражения — тождество. Разные коэффициенты при $x$ — уравнение с одним корнем. Одинаковые коэффициенты при $x$, но разные числа — корней нет.","$3(x + 2) = 3x + 6$ и $x + 5x = 6x$ верны при любом $x$. $3x + 2 = 8$ верно при $x = 2$, $2x = x + 7$ — при $x = 7$.","$3x + 2 = 3x + 6$ и $x - 1 = x + 1$ неверны ни при каком $x$."],"step":1},{"id":"7","content":"[[grouper-4]]","widgets":{"grouper-4":{"type":"grouper","labels":["Тождество","Уравнение с корнем","Уравнение без корней"],"items":[["$2(x - 4) = 2x - 8$","$4x - x = 3x$"],["$2x - 4 = 6$","$3x = x + 8$"],["$2x - 4 = 2x - 8$","$x + 3 = x - 3$"]]}},"instruction":"Распределите равенства по группам","hints":["Упростите части. Одинаковые выражения — тождество. Разные коэффициенты при $x$ — уравнение с одним корнем. Одинаковые коэффициенты при $x$, но разные числа — корней нет.","$2(x - 4) = 2x - 8$ и $4x - x = 3x$ верны при любом $x$. $2x - 4 = 6$ верно при $x = 5$, $3x = x + 8$ — при $x = 4$.","$2x - 4 = 2x - 8$ и $x + 3 = x - 3$ неверны ни при каком $x$."],"step":1},{"id":"8","content":"Ученик записал цепочку $6 - (2 - x) = 6 - 2 - x = 4 - x$ и решил, что $6 - (2 - x) = 4 - x$ — тождество. В чем ошибка?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["В первом звене: после минуса знак у $-x$ должен стать плюсом","Во втором звене: $6 - 2$ не равно $4$","Ошибки нет","В первом звене: знак у $2$ менять было не нужно"],"explanations":["","Второе звено верно: $6 - 2 = 4$. Проверка при $x = 1$: $6 - (2 - 1) = 5$, а $6 - 2 - 1 = 3$ — ломается первое звено.","При $x = 1$ левая часть равна $5$, а $4 - x$ равно $3$. Верно: $6 - (2 - x) = 4 + x$.","Знак у $2$ поменяли верно: $-(2 - x) = -2 + x$. Ошибка в знаке у $x$."],"answer":[0]}}},{"id":"8","content":"Ученик записал цепочку $8 - (x - 5) = 8 - x - 5 = 3 - x$ и решил, что $8 - (x - 5) = 3 - x$ — тождество. В чем ошибка?[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Во втором звене: $8 - 5$ не равно $3$","Ошибки нет","В первом звене: знак у $x$ менять было не нужно","В первом звене: после минуса знак у $-5$ должен стать плюсом"],"explanations":["Второе звено верно: $8 - 5 = 3$. Проверка при $x = 0$: $8 - (0 - 5) = 13$, а $8 - 0 - 5 = 3$ — ломается первое звено.","При $x = 0$ левая часть равна $13$, а $3 - x$ равно $3$. Верно: $8 - (x - 5) = 13 - x$.","Знак у $x$ поменяли верно: $-(x - 5) = -x + 5$. Ошибка в знаке у $5$.",""],"answer":[3]}}},{"id":"9","content":"При каком числе $a$ равенство $4(x + a) = 4x + 20$ верно при любом значении $x$?[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["5"]}},"hints":["Раскройте скобки: $4(x + a) = 4x + 4a$.","Равенство $4x + 4a = 4x + 20$ верно при любом $x$, если $4a = 20$.","$a = 20 : 4 = 5$. Ответ: $5$."],"step":1},{"id":"9","content":"При каком числе $a$ равенство $6(x + a) = 6x + 18$ верно при любом значении $x$?[[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["3"]}},"hints":["Раскройте скобки: $6(x + a) = 6x + 6a$.","Равенство $6x + 6a = 6x + 18$ верно при любом $x$, если $6a = 18$.","$a = 18 : 6 = 3$. Ответ: $3$."],"step":1},{"id":"10","content":"Ученик «доказал» равенство $x + 3 = x + 5$ так: умножил обе части на $0$ и получил верное равенство $0 = 0$. Что можно сказать?[[choice-11]]","widgets":{"choice-11":{"type":"choice","options":["Равенство доказано, но только при $x = 0$","Доказательство верно, но вместо $0$ нужно было умножить на $1$","Доказательство неверно: после умножения на $0$ верным становится любое равенство; а при $x = 0$ получаем $3 \\ne 5$","Равенство доказано: получилось верное равенство"],"explanations":["При $x = 0$ слева $3$, справа $5$ — равенство неверно. Оно неверно ни при каком $x$.","Умножение на $1$ ничего не меняет и ничего не доказывает. Тождество доказывают, преобразуя части отдельно или упрощая их разность.","","Умножение на $0$ — необратимый шаг: из $0 = 0$ нельзя вернуться к исходному равенству. Проверка: при $x = 0$ слева $3$, справа $5$."],"answer":[2]}}},{"id":"10","content":"Ученик «доказал» равенство $2(a + 1) = 2a + 1$ так: умножил обе части на $0$ и получил верное равенство $0 = 0$. Что можно сказать?[[choice-12]]","widgets":{"choice-12":{"type":"choice","options":["Доказательство верно, но вместо $0$ нужно было умножить на $1$","Доказательство неверно: после умножения на $0$ верным становится любое равенство; а при $a = 0$ получаем $2 \\ne 1$","Равенство доказано: получилось верное равенство","Равенство доказано, но только при $a = 0$"],"explanations":["Умножение на $1$ ничего не меняет и ничего не доказывает. Нужно раскрыть скобки: $2(a + 1) = 2a + 2$, а не $2a + 1$.","","Умножение на $0$ — необратимый шаг. Проверка: при $a = 0$ слева $2$, справа $1$. На самом деле $2(a + 1) = 2a + 2$.","При $a = 0$ слева $2$, справа $1$ — равенство неверно. Оно неверно ни при каком $a$."],"answer":[1]}}}]}</textarea></pre></div>