Делимость, простые множители, НОД и НОК

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Какое из чисел делится на 9?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["3126","7425","5124","4515"],"explanations":["Сумма цифр 12 делится на 3, но не на 9: число делится на 3 и не делится на 9","","Сумма цифр 12 делится на 3, но не на 9: число делится на 3 и не делится на 9","Сумма цифр 15 делится на 3, но не на 9: число делится на 3 и не делится на 9"],"answer":[1]}},"hints":["Число делится на 9, если на 9 делится сумма его цифр.","Суммы цифр: 7425 — 18, 5124 — 12, 3126 — 12, 4515 — 15. На 9 делится только 18.","Проверка: $7425 : 9 = 825$. Ответ: 7425."],"step":1},{"id":"1","content":"Какое из чисел делится на 9?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["4581","6114","2253","1302"],"explanations":["","Сумма цифр 12 делится на 3, но не на 9: число делится на 3 и не делится на 9","Сумма цифр 12 делится на 3, но не на 9: число делится на 3 и не делится на 9","Сумма цифр 6 делится на 3, но не на 9: число делится на 3 и не делится на 9"],"answer":[0]}},"hints":["Число делится на 9, если на 9 делится сумма его цифр.","Суммы цифр: 4581 — 18, 2253 — 12, 6114 — 12, 1302 — 6. На 9 делится только 18.","Проверка: $4581 : 9 = 509$. Ответ: 4581."],"step":1},{"id":"2","content":"Вместо $*$ нужно поставить цифру так, чтобы число $7*5$ делилось на 3. Какая наибольшая цифра подходит? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["Число делится на 3, если на 3 делится сумма его цифр.","Сумма известных цифр: $7 + 5 = 12$. Подходят цифры: 0, 3, 6, 9.","Наибольшая из них — 9."],"step":1},{"id":"2","content":"Вместо $*$ нужно поставить цифру так, чтобы число $4*6$ делилось на 3. Какая наибольшая цифра подходит? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Число делится на 3, если на 3 делится сумма его цифр.","Сумма известных цифр: $4 + 6 = 10$. Подходят цифры: 2, 5, 8.","Наибольшая из них — 8."],"step":1},{"id":"3","content":"Разложите число 90 на простые множители. Сколько всего простых множителей в разложении, считая повторяющиеся? [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Делим на наименьшие простые числа по очереди, пока не получим 1.","Разложение: $2 \\cdot 3^2 \\cdot 5 = 2 \\cdot 3 \\cdot 3 \\cdot 5$.","Множителей всего 4. Ответ: 4."],"step":1},{"id":"3","content":"Разложите число 360 на простые множители. Сколько всего простых множителей в разложении, считая повторяющиеся? [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Делим на наименьшие простые числа по очереди, пока не получим 1.","Разложение: $2^3 \\cdot 3^2 \\cdot 5 = 2 \\cdot 2 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot 3 \\cdot 5$.","Множителей всего 6. Ответ: 6."],"step":1},{"id":"4","content":"Найдите $\\text{НОД}(60;\\,90)$. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"30"}},"hints":["Разложим: $60 = 2^2 \\cdot 3 \\cdot 5$, $90 = 2 \\cdot 3^2 \\cdot 5$.","Берем общие множители с наименьшей степенью и перемножаем.","Ответ: 30."],"step":1},{"id":"4","content":"Найдите $\\text{НОД}(48;\\,84)$. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["Разложим: $48 = 2^4 \\cdot 3$, $84 = 2^2 \\cdot 3 \\cdot 7$.","Берем общие множители с наименьшей степенью и перемножаем.","Ответ: 12."],"step":1},{"id":"5","content":"Найдите $\\text{НОК}(12;\\,20)$.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["120","240","60","4"],"explanations":["Кратно обоим числам, но не наименьшее: 60 тоже кратно обоим","Это произведение чисел: общий множитель 4 взят дважды; оно кратно обоим числам, но не наименьшее","","Это НОД, а не НОК: НОК делится на оба числа"],"answer":[2]}},"hints":["Разложим: $12 = 2^2 \\cdot 3$, $20 = 2^2 \\cdot 5$.","Берем все множители с наибольшей степенью и перемножаем.","Ответ: 60."],"step":1},{"id":"5","content":"Найдите $\\text{НОК}(18;\\,24)$.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["6","144","432","72"],"explanations":["Это НОД, а не НОК: НОК делится на оба числа","Кратно обоим числам, но не наименьшее: 72 тоже кратно обоим","Это произведение чисел: общий множитель 6 взят дважды; оно кратно обоим числам, но не наименьшее",""],"answer":[3]}},"hints":["Разложим: $18 = 2 \\cdot 3^2$, $24 = 2^3 \\cdot 3$.","Берем все множители с наибольшей степенью и перемножаем.","Ответ: 72."],"step":1},{"id":"6","content":"Дробь $\\frac{36}{84}$ сократили на НОД числителя и знаменателя. Получили [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$\\frac{18}{42}$","$\\frac{12}{28}$","$\\frac{7}{3}$","$\\frac{3}{7}$"],"answer":3}},"hints":["$\\text{НОД}(36;\\,84) = 12$.","Делим числитель и знаменатель на 12: $36 : 12 = 3$, $84 : 12 = 7$.","Ответ: $\\frac{3}{7}$."],"step":1},{"id":"6","content":"Дробь $\\frac{42}{56}$ сократили на НОД числителя и знаменателя. Получили [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$\\frac{21}{28}$","$\\frac{3}{4}$","$\\frac{4}{3}$","$\\frac{6}{8}$"],"answer":1}},"hints":["$\\text{НОД}(42;\\,56) = 14$.","Делим числитель и знаменатель на 14: $42 : 14 = 3$, $56 : 14 = 4$.","Ответ: $\\frac{3}{4}$."],"step":1},{"id":"7","content":"Распределите числа по группам.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Простые","Составные","Ни простое, ни составное"],"items":[["$11$","$17$"],["$21$","$27$"],["$1$"]]}},"instruction":"Распределите числа по группам","hints":["Простое число имеет ровно два делителя: 1 и само число. У составного делителей больше двух.","Число 1 имеет один делитель, поэтому оно не простое и не составное.","Ответ: простые — 11, 17; составные — 21, 27; 1 — ни простое, ни составное."],"step":1},{"id":"7","content":"Распределите числа по группам.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Простые","Составные","Ни простое, ни составное"],"items":[["$13$","$23$"],["$33$","$49$"],["$1$"]]}},"instruction":"Распределите числа по группам","hints":["Простое число имеет ровно два делителя: 1 и само число. У составного делителей больше двух.","Число 1 имеет один делитель, поэтому оно не простое и не составное.","Ответ: простые — 13, 23; составные — 33, 49; 1 — ни простое, ни составное."],"step":1},{"id":"8","content":"Число делится и на 6, и на 8. На какое наибольшее из чисел 48, 24, 14, 12 оно обязательно делится?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["48","14","12","24"],"explanations":["Это произведение 6 · 8: число 24 делится на 6 и на 8, но на 48 не делится","14 не делитель НОК(6; 8) = 24: число, кратное 6 и 8, может на него не делиться","Делит 24, значит, число делится и на 12, но это не наибольшее из списка",""],"answer":[3]}},"hints":["Число, кратное 6 и 8, кратно их НОК: $\\text{НОК}(6;\\,8) = 24$.","Любое число, кратное 24, делится и на 24, и на каждый делитель числа 24. Таких чисел в списке два: 24 и 12; наибольшее из них — 24.","Проверка: число 24 делится на 6 и на 8, но не на 48. Ответ: 24."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Число делится и на 4, и на 10. На какое наибольшее из чисел 40, 20, 14, 10 оно обязательно делится?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["14","20","10","40"],"explanations":["14 не делитель НОК(4; 10) = 20: число, кратное 4 и 10, может на него не делиться","","Делит 20, значит, число делится и на 10, но это не наибольшее из списка","Это произведение 4 · 10: число 20 делится на 4 и на 10, но на 40 не делится"],"answer":[1]}},"hints":["Число, кратное 4 и 10, кратно их НОК: $\\text{НОК}(4;\\,10) = 20$.","Любое число, кратное 20, делится и на 20, и на каждый делитель числа 20. Таких чисел в списке два: 20 и 10; наибольшее из них — 20.","Проверка: число 20 делится на 4 и на 10, но не на 40. Ответ: 20."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Три маяка вспыхнули одновременно. Первый вспыхивает через каждые 6 с, второй — через каждые 10 с, третий — через каждые 15 с. Через сколько секунд они вспыхнут одновременно в следующий раз? [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"30"}},"hints":["Одновременная вспышка — момент, кратный всем трем интервалам.","Нужен наименьший такой момент: $\\text{НОК}(6;\\,10;\\,15) = 30$. Разложения: $6 = 2 \\cdot 3$, $10 = 2 \\cdot 5$, $15 = 3 \\cdot 5$.","Проверка: $30 : 6 = 5$, $30 : 10 = 3$, $30 : 15 = 2$ — целые числа. Ответ: 30."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Три маяка вспыхнули одновременно. Первый вспыхивает через каждые 8 с, второй — через каждые 12 с, третий — через каждые 20 с. Через сколько секунд они вспыхнут одновременно в следующий раз? [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"120"}},"hints":["Одновременная вспышка — момент, кратный всем трем интервалам.","Нужен наименьший такой момент: $\\text{НОК}(8;\\,12;\\,20) = 120$. Разложения: $8 = 2^3$, $12 = 2^2 \\cdot 3$, $20 = 2^2 \\cdot 5$.","Проверка: $120 : 8 = 15$, $120 : 12 = 10$, $120 : 20 = 6$ — целые числа. Ответ: 120."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"У двух натуральных чисел $\\text{НОД} = 4$ и $\\text{НОК} = 48$, оба числа больше 4. Найдите большее из них. [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"16"}},"hints":["Запишем числа как $4m$ и $4n$, где $m$ и $n$ взаимно простые. Тогда $\\text{НОК} = 4mn = 48$, откуда $mn = 12$.","Взаимно простые пары с произведением 12: 1 и 12, 3 и 4. Пара 1 и 12 дает числа 4 и 48, но по условию оба числа больше 4.","Остается пара 3 и 4: числа 12 и 16. Проверка: $\\text{НОД}(12;\\,16) = 4$, $\\text{НОК}(12;\\,16) = 48$. Ответ: 16."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"У двух натуральных чисел $\\text{НОД} = 6$ и $\\text{НОК} = 90$, оба числа больше 6. Найдите большее из них. [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"30"}},"hints":["Запишем числа как $6m$ и $6n$, где $m$ и $n$ взаимно простые. Тогда $\\text{НОК} = 6mn = 90$, откуда $mn = 15$.","Взаимно простые пары с произведением 15: 1 и 15, 3 и 5. Пара 1 и 15 дает числа 6 и 90, но по условию оба числа больше 6.","Остается пара 3 и 5: числа 18 и 30. Проверка: $\\text{НОД}(18;\\,30) = 6$, $\\text{НОК}(18;\\,30) = 90$. Ответ: 30."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>