Карточки
Тесты
Зави
Проценты в реальных задачах
Проценты в реальных задачах: скидка, наценка, налог и вклад
В уроке «Действия с рациональными числами» вы умножали и делили десятичные дроби, а в 6 классе узнали, что такое процент (если нужно, повторите уроки «Что такое процент» и «Процентное отношение двух чисел»). Здесь применим это к покупкам и деньгам: найдем часть числа и число по его части, посчитаем скидку, наценку, налог и доход по вкладу. И ответим на вопрос: продавец сначала повышает цену, а потом объявляет скидку на столько же процентов — так иногда делают перед распродажей. Вернется ли цена к прежней?
Процент — одна сотая полоски
Наушники стоят $3200$ руб. Изобразим цену полоской и разрежем ее на $100$ равных частей. Каждая часть — $3200 : 100 = 32$ руб. Одна такая часть и есть один процент цены. Тогда $7\%$ — семь частей: $7 \cdot 32 = 224$ руб., а $25\%$ — двадцать пять частей: $25 \cdot 32 = 800$ руб. Это ровно четверть полоски.
Сто частей на рисунке не различить, поэтому полоску удобно делить на $10$ крупных клеток. Каждая клетка — $10\%$, то есть $320$ руб.
Определение
Процент — одна сотая часть числа: $1\% = \frac{1}{100} = 0{,}01$. Число, от которого берут проценты, — вся полоска, оно составляет $100\%$.
Раз один процент — сотая часть, то $p\%$ — это $\frac{p}{100}$ числа. Поэтому процент от числа находят одним умножением: $25\%$ от $3200$ — это $0{,}25 \cdot 3200 = 800$. Полоска может стать и длиннее целой: $150\%$ — полторы полоски, $1{,}5 \cdot 3200 = 4800$ руб.
Правило
Чтобы найти $p\%$ от числа $a$, запишите проценты дробью и умножьте на нее число:
$$p\%\ \text{от}\ a = a \cdot \frac{p}{100} = a \cdot 0{,}01p$$
| Проценты | Дробь | Часть полоски |
|---|---|---|
| $1\%$ | $\frac{1}{100} = 0{,}01$ | одна сотая |
| $10\%$ | $\frac{1}{10} = 0{,}1$ | одна клетка из десяти |
| $25\%$ | $\frac{1}{4} = 0{,}25$ | четверть |
| $50\%$ | $\frac{1}{2} = 0{,}5$ | половина |
| $100\%$ | $1$ | вся полоска |
Эти дроби помогают прикинуть ответ до расчета: $50\%$ — половина, $25\%$ — четверть, $10\%$ — запятая сдвигается на один знак влево.
Пример
Найдите $15\%$ от $260$.
Решение. Способ 1: $15\% = 0{,}15$, и $0{,}15 \cdot 260 = 39$.
Способ 2 — по клеткам полоски: $10\%$ от $260$ — это $26$, а $5\%$ — половина клетки, $13$. Вместе $26 + 13 = 39$.
Прикидка: $15\%$ меньше пятой части, а пятая часть от $260$ — это $52$. Ответ $39$ правдоподобен.
Ответ: $39$.
Три вопроса к одной полоске
В задаче на проценты участвуют три величины: целое (оно же $100\%$), часть и то, сколько процентов эта часть составляет. Две известны — третью находим. Возьмем билет на поезд за $1500$ руб. и часть цены $300$ руб. Одна клетка полоски — $10\%$, то есть $150$ руб., а $300$ руб. — две клетки, $20\%$.
По этой полоске можно задать три вопроса.
- Часть. Сколько рублей составляют $20\%$ от $1500$ руб.? $0{,}2 \cdot 1500 = 300$ руб.
- Целое. $300$ руб. — это $20\%$ цены. Какова цена? Две клетки — $300$ руб., значит, одна — $150$ руб., а десять — $1500$ руб. Одним действием: $300 : 0{,}2 = 1500$ руб.
- Проценты. Сколько процентов цены составляют $300$ руб.? $300 : 1500 = 0{,}2 = 20\%$.
Правило
Пусть $a$ — целое, $b$ — часть, $p\%$ — сколько процентов часть составляет от целого.
- Найти часть: $b = a \cdot 0{,}01p$.
- Найти целое: $a = b : 0{,}01p$.
- Найти проценты: $\frac{b}{a} \cdot 100\%$.
Почему это верно: все три записи — одно и то же равенство «часть = целое $\cdot$ доля». Если неизвестен множитель, его находят делением — действием, обратным умножению. Поэтому проверка любой из трех задач одна: подставьте найденное число в равенство.
Ошибка
Самокат стоит $6000$ руб., велосипед — $12\,000$ руб. Велосипед дороже на $6000$ руб., это $100\%$ цены самоката. Отсюда делают вывод: «Значит, самокат дешевле велосипеда тоже на $100\%$».
Проверка на числах. $100\%$ от $12\,000$ руб. — это $12\,000$ руб. Если самокат дешевле на столько, он стоит $12\,000-12\,000 = 0$ руб. Так быть не может.
Где ломается рассуждение. В словах «дешевле велосипеда» сравнивают с велосипедом, и $100\%$ — его цена. Разница $6000$ руб. — половина этой полоски: $6000 : 12\,000 = 0{,}5$. Самокат дешевле на $50\%$.
Важно
За $100\%$ берут то, с чем сравнивают: «дороже самоката» — цену самоката, «дешевле велосипеда» — цену велосипеда, «процентов от вклада» — вклад.
Скидка и наценка — одно умножение
Рюкзак стоит $3500$ руб., на него скидка $20\%$. Можно считать в два действия: скидка — $0{,}2 \cdot 3500 = 700$ руб., новая цена — $3500-700 = 2800$ руб. На полоске видно короче: из десяти клеток убрали две, осталось восемь, то есть $80\%$ цены. Значит, новую цену можно найти сразу: $0{,}8 \cdot 3500 = 2800$ руб.
Наценка — наоборот: к полоске добавляют клетки. Магазин купил кроссовки за $3000$ руб. и продает их с наценкой $40\%$. К десяти клеткам добавились четыре, стало $140\%$, и цена продажи $1{,}4 \cdot 3000 = 4200$ руб.
Правило
Увеличить число $a$ на $p\%$ — умножить его на $1+0{,}01p$. Уменьшить на $p\%$ — умножить на $1-0{,}01p$:
$$a \cdot (1+0{,}01p), \qquad a \cdot (1-0{,}01p)$$
Множитель показывает, какая часть исходной полоски получилась: $0{,}8$ — это $80\%$, $1{,}4$ — это $140\%$.
Множитель помогает и в обратной задаче — найти цену до скидки. Цена со скидкой $20\%$ — это $0{,}8$ старой цены. Значит, старая цена получается делением: $2800 : 0{,}8 = 3500$ руб.
Ошибка
Чтобы найти цену рюкзака до скидки, к новой цене прибавляют $20\%$: $2800 \cdot 1{,}2 = 3360$ руб.
Проверка на числах. Скидка $20\%$ от $3360$ руб. дает $3360 \cdot 0{,}8 = 2688$ руб., а не $2800$.
Где ломается рассуждение. Скидку считали от старой цены — у нее $100\%$. А $20\%$ от новой цены — кусок другой, более короткой полоски.
Пример
После скидки $25\%$ палатка стоит $1950$ руб. Сколько рублей она стоила до скидки?
Решение. За $100\%$ берем цену до скидки. После скидки осталось $100\%-25\% = 75\%$ этой цены, множитель $0{,}75$. Цена до скидки: $1950 : 0{,}75 = 2600$ руб.
Проверка: $0{,}75 \cdot 2600 = 1950$.
Ответ: $2600$ руб.
Два изменения подряд: у второго шага свои 100%
Вернемся к вопросу из начала урока. Пусть товар стоил $4500$ руб. Цену повысили на $20\%$: $4500 \cdot 1{,}2 = 5400$ руб. Затем снизили на $20\%$. Снижение считают от той цены, которая есть сейчас, — от $5400$ руб.: $5400 \cdot 0{,}8 = 4320$ руб.
На рисунке вторая полоска длиннее первой, и ее $100\%$ — уже $5400$ руб. Клетка второй полоски — $540$ руб., а первой — $450$ руб. Добавили две маленькие клетки ($900$ руб.), а убрали две большие ($1080$ руб.). Поэтому цена стала ниже прежней: $4320 : 4500 = 0{,}96$, то есть $96\%$. Товар подешевел на $4\%$.
Короче — перемножить множители: $1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$. От порядка шагов итог не зависит: $0{,}8 \cdot 1{,}2 = 0{,}96$. Если сначала снизить цену на $20\%$, а потом повысить на $20\%$, тоже получится $96\%$.
Правило
При нескольких изменениях подряд каждый процент берут от числа, полученного на предыдущем шаге. Множители шагов перемножают:
$$a \cdot (1+0{,}01p) \cdot (1-0{,}01q)$$
Ошибка
Рассуждают: «$+20\%$ и $-20\%$ в сумме дают $0$, значит, цена вернулась к прежней».
Проверка на числах. Товар за $100$ руб. после повышения стоит $120$ руб., а после снижения на $20\%$ — $120 \cdot 0{,}8 = 96$ руб., а не $100$.
Где ломается рассуждение. Проценты разных шагов сложили, будто у них одна база. Но первые $20\%$ взяты от $100$ руб., а вторые — от $120$ руб.: у второго шага свои $100\%$.
Пример
Пылесос стоил $7000$ руб. Сначала его цену снизили на $10\%$, а через неделю — еще на $10\%$. Сколько стоит пылесос теперь и на сколько процентов он подешевел всего?
Решение. После первой скидки: $7000 \cdot 0{,}9 = 6300$ руб. Вторая скидка считается от $6300$ руб.: $6300 \cdot 0{,}9 = 5670$ руб.
Общий множитель $0{,}9 \cdot 0{,}9 = 0{,}81$: осталось $81\%$ цены, пылесос подешевел на $19\%$, а не на $20\%$. При одной скидке $20\%$ он стоил бы $5600$ руб.
Ответ: $5670$ руб.; на $19\%$.
Проверьте себя в интерактиве из четырех раундов. В каждом сначала сделайте прогноз — как изменится цена или сколько рублей получится, — затем сравните его с полосками. В последнем раунде подберите наценку, которая после скидки $20\%$ вернет прежнюю цену.
Задача повышенной сложности: вернуть цену после скидки 50%
Скрыть
Цену снизили на $50\%$. На сколько процентов нужно ее повысить, чтобы вернуть прежнюю цену?
Решение. После скидки осталась половина полоски. Новая цена — это новые $100\%$. Чтобы вернуть прежнюю цену, к ней нужно добавить столько же, сколько она сама, то есть $100\%$ новой цены. Проверка множителями: $0{,}5 \cdot (1+0{,}01 \cdot 100) = 0{,}5 \cdot 2 = 1$.
Ответ: на $100\%$, а не на $50\%$.
Те же множители понадобятся в уравнениях: в уроке «Задачи на работу и проценты» неизвестную цену обозначают буквой и составляют уравнение вида $1{,}2x = 840$.
Налог, вклад и выбор выгодного варианта
Налог и вклад — те же изменения на $p\%$. С зарплаты удерживают налог на доходы; для большинства работников в России он составляет $13\%$. Вклад, наоборот, растет: банк начисляет проценты на сумму, которая лежит на счете.
Пример
Работнику начислили $45\,000$ руб. Сколько рублей он получит после удержания налога $13\%$?
Решение. За $100\%$ берем начисленную сумму. После удержания остается $100\%-13\% = 87\%$, множитель $0{,}87$: $45\,000 \cdot 0{,}87 = 39\,150$ руб. Налог — $45\,000-39\,150 = 5850$ руб.
Ответ: $39\,150$ руб.
Сравним два предложения для вклада $50\,000$ руб. на один год. Банк А начисляет $10\%$ один раз — в конце года. Банк Б начисляет $5\%$ через полгода, а в конце года — еще $5\%$, но уже от новой суммы, вместе с первыми процентами.
Сначала прикинем. Вместе в банке Б тоже $10\%$, но второй шаг считается от большей суммы, поэтому в Б должно получиться немного больше. Теперь расчет. Банк А: $50\,000 \cdot 1{,}1 = 55\,000$ руб. Банк Б: $50\,000 \cdot 1{,}05 = 52\,500$ руб., затем $52\,500 \cdot 1{,}05 = 55\,125$ руб.
| Банк | Как начисляют проценты | Множитель за год | Через год |
|---|---|---|---|
| А | 10% в конце года | $1{,}1$ | 55 000 руб. |
| Б | 5% через полгода и 5% от новой суммы в конце года | $1{,}05 \cdot 1{,}05 = 1{,}1025$ | 55 125 руб. |
Правило
Чтобы сравнить предложения, запишите для каждого общий множитель от исходной суммы и сравните множители. Выгоднее тот вариант, где покупатель платит меньшую часть цены, а вкладчик получает большую часть вклада.
Вывод
Проценты встречаются в каждой покупке, зарплате и вкладе. Умение сразу увидеть множитель и понять, от чего берется процент, защищает от неверных выводов вроде «две скидки по $10\%$ — это $20\%$». Все задачи урока решаются на одной модели — полоске, где $100\%$ — то, с чем сравнивают:
Часто задаваемые вопросы
Потому что второй процент берется от другой, большей цены. Повышение на $20\%$ считают от старой цены, а снижение — от новой, поэтому снижение получается больше в рублях. Итог: $1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$, то есть $96\%$ прежней цены.
За $100\%$ берут то, с чем сравнивают или от чего начали изменение. В словах «дешевле велосипеда» база — велосипед, в «цену повысили» — цена до повышения, во втором шаге — цена после первого шага.
Можно, если у них одна база: $10\%$ учеников класса и еще $15\%$ учеников того же класса — это $25\%$ класса. При изменениях подряд база у каждого шага своя, и проценты складывать нельзя — множители перемножают.
Бывает: наценка $40\%$ дает $140\%$ закупочной цены, а $150\%$ от числа — это полторы полоски. Но уменьшить цену больше чем на $100\%$ нельзя: при скидке $100\%$ полоска исчезает, и цена становится равна нулю.
Сделайте прикидку по простым дробям: $50\%$ — половина, $25\%$ — четверть, $10\%$ — десятая часть. Если ответ сильно отличается от прикидки, ищите ошибку в разряде или в базе процента.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий