7 класс Алгебра Введение в алгебру Математическая модель

Задачи на работу и проценты

Содержание

В уроке «Решение задач с помощью уравнений» мы научились составлять уравнение по условию с помощью полосковой схемы и решили задачи на движение. В этом уроке применим тот же способ к задачам на работу и на проценты. Такие задачи часто встречаются в ВПР, а более сложные — в задании 21 ОГЭ. Начнем с вопроса: одна труба наполняет бассейн за $6$ ч, другая — за $3$ ч. За сколько часов они наполнят его вместе — за $9$? Ответ — в разделе о совместной работе. Разберем, как вычислять работу, что делать, когда трубы или бригады работают вместе, и как не перепутать, от какой величины считать процент.

Работа = производительность × время

В задачах на работу связаны три величины. Производительность $p$ — сколько работы выполняется за единицу времени, например деталей в час. Время $t$ — сколько работали. Работа $A$ — сколько сделано всего. Связь между ними такая же, как между скоростью, временем и путем:

Правило

$$A = p \cdot t, \qquad p = \frac{A}{t}, \qquad t = \frac{A}{p}$$

Работа равна производительности, умноженной на время.

Задача. Двое рабочих вместе изготовили $191$ деталь. Первый работал $6$ ч, второй — $5$ ч, причем второй делал в час на $3$ детали больше первого. Сколько деталей в час делал каждый рабочий?

Пусть первый рабочий делал $x$ деталей в час. Тогда каждый его час — это полоска $x$, а за $6$ ч таких полосок шесть. Час второго рабочего — полоска $x$ и добавка $3$, всего пять таких часов.

Работа равна производительности, умноженной на время. Первый рабочий 6 часов делал по x деталей — шесть оранжевых полосок x. Второй 5 часов делал по x + 3 детали — пять полосок x с голубой добавкой 3. Вместе 191 деталь: 6x + 5(x + 3) = 191, x = 16, второй делал 19 деталей в час — Каждый час работы — кусок полоски: у первого рабочего $x$ деталей, у второго $x + 3$

	Производительность, дет./ч	Время, ч	Работа, дет.
Первый рабочий	$x$	$6$	$6x$
Второй рабочий	$x + 3$	$5$	$5(x + 3)$

Вместе они сделали $191$ деталь: $6x + 5(x + 3) = 191$, откуда $11x + 15 = 191$, $11x = 176$, $x = 16$. Первый рабочий делал $16$ деталей в час, второй — $19$. Проверка: $6 \cdot 16 + 5 \cdot 19 = 96 + 95 = 191$.

Ошибка

Путают производительность и время. Условие «второй работал на $2$ ч дольше» относится ко времени: если первый работал $t$ ч, то второй — $t + 2$ ч. А «второй делал на $2$ детали в час больше» — к производительности: $x + 2$. Проверьте по единицам: часы прибавляют к часам, детали в час — к деталям в час.

Пример

Первый рабочий делает $12$ деталей в час, второй — $15$. Второй начал работу на $2$ ч позже первого, а закончили они одновременно. Всего сделано $240$ деталей. Сколько часов работал второй?

Здесь неизвестно время, а производительности даны. Пусть второй работал $t$ ч, тогда первый — $t + 2$ ч: он начал раньше. На полоске времени у первого на два часовых куска больше. Работа первого — $12(t + 2)$, второго — $15t$:

$$12(t + 2) + 15t = 240, \qquad 27t + 24 = 240, \qquad 27t = 216, \qquad t = 8.$$

Второй работал $8$ ч и сделал $120$ деталей, первый — $10$ ч и тоже сделал $120$ деталей. Проверка: $120 + 120 = 240$. Ответ: $8$ ч. «На $2$ ч позже» — это про время, поэтому $2$ прибавляем ко времени, а не к производительности.

{"questions":[{"content":"Что показывает производительность рабочего?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Сколько деталей он делает за $1$ ч","Сколько деталей он сделал всего","Сколько часов он работал","Во сколько раз он работает быстрее другого"],"explanations":["","Это работа $A$, а не производительность.","Это время $t$.","Это сравнение двух производительностей, а не сама производительность."],"answer":[0]}},"hints":["В формуле $A = p \\cdot t$ производительность — это $p$.","$p = \\frac{A}{t}$ — работа за единицу времени, например деталей в час."],"step":1},{"content":"Рабочий делает $12$ деталей в час. За сколько часов он сделает $84$ детали?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$7$","$1008$","$72$","$96$"],"explanations":["","Это $84 \\cdot 12$ — так получилась бы работа за $84$ ч, а не время. Время: $t = \\frac{A}{p}$.","Из деталей вычли производительность: $84-12$. Так нельзя — это величины разного смысла.","Детали сложили с производительностью: $84 + 12$. Время находят делением: $84 : 12$."],"answer":[0]}},"hints":["Время — это работа, деленная на производительность: $t = \\frac{A}{p}$.","$84 : 12 = 7$ ч."],"step":1},{"content":"Мастер работал $4$ ч, а ученик — $6$ ч, и вместе они сделали $112$ деталей. Мастер делает в час на $8$ деталей больше ученика. Сколько деталей в час делает ученик?[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Пусть ученик делает $x$ деталей в час, тогда мастер — $x + 8$. Работа мастера $4(x + 8)$, ученика — $6x$.","$4(x + 8) + 6x = 112$, $10x + 32 = 112$, $10x = 80$, $x = 8$."],"step":1}],"mix":1}

Совместная работа: вся работа — это 1

Задача. Одна труба наполняет бассейн за $6$ ч, другая — за $3$ ч. За сколько часов наполнят бассейн обе трубы вместе?

Здесь не сказано, сколько литров в бассейне, — и это не нужно. Примем весь бассейн за одну полоску, то есть за $1$. Первая труба наполняет его за $6$ ч, значит, за час — $\frac{1}{6}$ полоски. Вторая за час наполняет $\frac{1}{3}$.

Две трубы наполняют бассейн: первая одна — за 6 часов, вторая — за 3 часа. Весь бассейн — одна полоска. За час первая наполняет 1/6, вторая 1/3, вместе 1/6 + 1/3 = 1/2 бассейна, значит, весь бассейн вместе — за 2 часа. Уравнение t/6 + t/3 = 1, t = 2 — Весь бассейн — полоска. За час вместе трубы заполняют $\frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$ полоски, значит, вся полоска — за $2$ ч

За $t$ ч первая труба наполнит $\frac{t}{6}$ бассейна, вторая — $\frac{t}{3}$, а вместе — весь бассейн:

$$\frac{t}{6} + \frac{t}{3} = 1$$

Умножим обе части на $6$, как в уроке об уравнениях с дробями: $t + 2t = 6$, $3t = 6$, $t = 2$. Ответ: за $2$ ч.

Важно

Если объем работы неизвестен и не нужен, примите всю работу за $1$. Тогда тот, кто выполняет работу за $n$ ч, за $1$ ч выполняет $\frac{1}{n}$ ее часть.

Ошибка

Время работы складывают: $6 + 3 = 9$ ч. Или берут среднее: $(6 + 3) : 2 = 4{,}5$ ч. Но вторая труба одна справится за $3$ ч — неужели с помощью первой трубы получится дольше? Вместе трубы всегда работают быстрее, чем самая быстрая из них. Складывать можно части работы за час, а не время.

Шкала времени: первая труба одна наполняет бассейн за 6 часов, вторая — за 3 часа, вместе — за 2 часа, то есть быстрее самой быстрой трубы. Ответы 6 + 3 = 9 часов и среднее (6 + 3) : 2 = 4,5 часа неверны: вместе трубы не могут работать дольше, чем одна быстрая — Вместе трубы наполняют бассейн быстрее, чем самая быстрая из них: ответы 9 ч и 4,5 ч не подходят по смыслу

Пример

Первая бригада может выполнить заказ за $15$ дней, вторая — за $10$ дней. Первая бригада $5$ дней работала одна, потом к ней присоединилась вторая. За сколько дней выполнен весь заказ?

Весь заказ — $1$. За день первая бригада делает $\frac{1}{15}$ заказа, вторая — $\frac{1}{10}$. За $5$ дней первая сделала $\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ заказа. Вместе за день они делают $\frac{1}{15} + \frac{1}{10} = \frac{2}{30} + \frac{3}{30} = \frac{1}{6}$ заказа. Пусть вместе работали $t$ дней:

$$\frac{1}{3} + \frac{t}{6} = 1, \qquad \frac{t}{6} = \frac{2}{3}, \qquad t = 4.$$

Весь заказ выполнен за $5 + 4 = 9$ дней. Ответ — не $t = 4$, а $9$: спрашивали про все время работы. Такие задачи в более сложном виде бывают в задании 21 ОГЭ.

Весь заказ — полоска. Первая треть — работа первой бригады за 5 дней, по одной пятнадцатой в день. Остальные две трети бригады делают вместе по одной шестой в день, это 4 дня. Всего 9 дней — Первая треть заказа — работа одной бригады за $5$ дней, остальные две трети бригады делают вместе по $\frac{1}{6}$ в день

{"questions":[{"content":"Одна бригада выполнит заказ за $12$ дней, другая — за $6$ дней. За сколько дней они выполнят заказ, если будут работать вместе?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$4$","$18$","$9$","$6$"],"explanations":["","Сложили время: $12 + 6$. Вместе бригады работают быстрее, чем каждая отдельно.","Это среднее время $(12 + 6) : 2$. Вместе получится быстрее, чем у самой быстрой бригады.","За $6$ дней справится одна вторая бригада. С помощью первой получится быстрее: $\\frac{1}{12} + \\frac{1}{6} = \\frac{3}{12} = \\frac{1}{4}$ заказа в день."],"answer":[0]}},"hints":["Весь заказ — $1$. Какую часть заказа каждая бригада делает за день?","$\\frac{1}{12} + \\frac{1}{6} = \\frac{3}{12} = \\frac{1}{4}$ заказа в день — вместе за $4$ дня."],"step":1},{"content":"Первая труба наполняет бак за $20$ мин, а вторая — за $30$ мин. Какую часть бака они наполнят вместе за $1$ мин?<br>$\\frac{1}{20} + \\frac{1}{30} = $[[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$\\frac{1}{12}$","$\\frac{1}{50}$","$\\frac{2}{50}$","$\\frac{1}{10}$"],"answer":0}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Приведите дроби к общему знаменателю $60$: $\\frac{1}{20} = \\frac{3}{60}$, $\\frac{1}{30} = \\frac{2}{60}$.","$\\frac{3}{60} + \\frac{2}{60} = \\frac{5}{60} = \\frac{1}{12}$. Варианты со знаменателем $50$ получаются, если складывать знаменатели."],"step":1}],"mix":1}

Процент — сотая часть полоски

Процент — это сотая часть величины: $1\% = 0{,}01$. Изобразим величину $x$ полоской и разделим ее на $10$ равных клеток по $10\%$. Тогда $20\%$ от $x$ — две клетки, то есть $0{,}2x$.

Если величину увеличили на $20\%$, к полоске добавили две такие клетки: стало $120\%$, или $1{,}2x$. Если уменьшили на $20\%$ — две клетки убрали: осталось $80\%$, или $0{,}8x$.

Полоска x — это 100%, она разделена на 10 частей по 10%. 20% от x — две части, 0,2x. На 20% больше — полоска и еще две части, 120%, то есть 1,2x. На 20% меньше — от полоски убрали две части, 80%, то есть 0,8x — Полоска $x$ — это $100\%$: «на $20\%$ больше» — $1{,}2x$, «на $20\%$ меньше» — $0{,}8x$

Правило

$$p\% \text{ от } x = 0{,}01p \cdot x$$

Увеличить $x$ на $p\%$ — значит умножить на $(1 + 0{,}01p)$, уменьшить на $p\%$ — умножить на $(1-0{,}01p)$. За $100\%$ всегда принимают ту величину, с которой сравнивают.

Задача. После повышения цены на $20\%$ товар стоит $840$ рублей. Сколько он стоил до повышения?

Повышали старую цену — значит, она и есть $100\%$. Пусть старая цена $x$ рублей, тогда новая — $1{,}2x$. Уравнение: $1{,}2x = 840$, $x = 840 : 1{,}2 = 700$. Проверка: $20\%$ от $700$ — это $140$, и $700 + 140 = 840$. Ответ: $700$ рублей.

Ошибка

Находят $20\%$ от новой цены и вычитают: $840-0{,}2 \cdot 840 = 672$. Но $20\%$ прибавляли к старой цене, а не к новой. Проверка это показывает: $672 \cdot 1{,}2 = 806{,}4$, а не $840$. На схеме видно, что клетки разные: $20\%$ старой цены — $140$ рублей, а $20\%$ новой — $168$.

Цена после повышения на 20% стала 840 рублей. Верно: старая цена x — это 100%, пять частей по 20%; новая цена — шесть таких частей, 1,2x = 840, одна часть 140, x = 700. Ошибка: 840 приняли за 100% и отняли 20% от нее — получили 672, но проверка 672 · 1,2 = 806,4 не дает 840 — Слева $100\%$ — старая цена, и проверка сходится. Справа за $100\%$ ошибочно приняли новую цену

Повысили на 20%, потом снизили на 20% — цена вернется? Показать ответ

Скрыть

Нет. Пусть товар стоил $1000$ рублей. После повышения на $20\%$ — $1200$ рублей. Снижение на $20\%$ считают уже от $1200$: $1200 \cdot 0{,}8 = 960$ рублей. Цена стала на $40$ рублей меньше исходной, потому что второй раз за $100\%$ приняли другую величину.

Пример

Тетрадь стоила $40$ рублей, а стала стоить $50$ рублей. На сколько процентов подорожала тетрадь? На сколько процентов старая цена меньше новой?

На полоске: $40$ рублей — это $4$ клетки по $10$ рублей, новая цена — $5$ таких клеток. Разница одна и та же — $10$ рублей, одна клетка. Но в первом вопросе сравнивают со старой ценой, она — $100\%$: $\frac{10}{40} = 0{,}25$, то есть тетрадь подорожала на $25\%$. Во втором вопросе сравнивают с новой ценой: $\frac{10}{50} = 0{,}2$, старая цена меньше на $20\%$.

Одна разница в рублях — два разных ответа в процентах. Поэтому сначала находим, какая величина принята за $100\%$.

{"questions":[{"content":"[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$15\\%$ от $x$","на $15\\%$ больше $x$","на $15\\%$ меньше $x$","в $15$ раз больше $x$"],"items":["$0{,}15x$","$1{,}15x$","$0{,}85x$","$15x$"]}},"instruction":"Соотнесите слова и выражения","hints":["$15\\% = 0{,}15$. Больше на $15\\%$ — это $100\\% + 15\\% = 115\\%$, меньше — $100\\%-15\\% = 85\\%$.","$15\\%$ от $x$ — $0{,}15x$; больше на $15\\%$ — $1{,}15x$; меньше на $15\\%$ — $0{,}85x$; в $15$ раз больше — $15x$."],"step":1},{"content":"После снижения цены на $25\\%$ куртка стоит $4500$ рублей. Сколько рублей она стоила до снижения?[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"6000","unit":"руб."}},"hints":["За $100\\%$ принимаем старую цену $x$. После снижения на $25\\%$ осталось $75\\%$: $0{,}75x = 4500$.","$x = 4500 : 0{,}75 = 6000$. Проверка: $25\\%$ от $6000$ — это $1500$, и $6000-1500 = 4500$."],"step":1}],"mix":1}

Проценты в уравнении: задача целиком

Задача. Туристы прошли маршрут за три дня. В первый день они прошли $30\%$ маршрута, во второй — на $6$ км больше, чем в первый, а в третий — оставшиеся $12$ км. Найдите длину маршрута.

Проценты здесь берутся от всего маршрута, поэтому его и обозначим $x$ км — это вся полоска. Первый день — $0{,}3x$, второй — $0{,}3x + 6$, третий — $12$.

Маршрут туристов — полоска x км. В первый день прошли 30% пути, 0,3x; во второй — на 6 км больше, 0,3x + 6; осталось 12 км. Уравнение 0,3x + (0,3x + 6) + 12 = x, x = 45 км — Весь маршрут — полоска $x$ км, а три дня — ее куски

Три куска вместе составляют всю полоску:

$$0{,}3x + (0{,}3x + 6) + 12 = x, \qquad 0{,}6x + 18 = x, \qquad 0{,}4x = 18, \qquad x = 45$$

Проверка: в первый день $0{,}3 \cdot 45 = 13{,}5$ км, во второй $13{,}5 + 6 = 19{,}5$ км, в третий $12$ км, всего $13{,}5 + 19{,}5 + 12 = 45$ км. Ответ: $45$ км.

Пример

Есть $200$ г раствора, в котором $15\%$ соли. Сколько граммов воды нужно добавить, чтобы соли стало $10\%$?

Соли в растворе $0{,}15 \cdot 200 = 30$ г — это кусок полоски, и при добавлении воды он не меняется. Меняется вся полоска: раствор становится длиннее. Пусть добавили $x$ г воды. Тогда раствора стало $200 + x$ г, а соль — это $10\%$ от нового раствора:

$$0{,}1(200 + x) = 30, \qquad 200 + x = 300, \qquad x = 100.$$

Проверка: $30$ г соли в $300$ г раствора — это $\frac{30}{300} = 10\%$. Ответ: $100$ г. Ключ — найти величину, которая не меняется (соль), и понять, от чего теперь берется процент (от нового раствора).

Алгоритм

Найдите величину, которую принимают за $100\%$, — обычно ее удобно обозначить $x$.
Выразите части через $x$: $p\%$ — это $0{,}01p \cdot x$.
Составьте уравнение: части вместе дают целое.
Решите, ответьте на вопрос задачи и проверьте ответ по условию.

{"questions":[{"content":"В книге $240$ страниц. В первый день прочитали $25\\%$ книги, а во второй — $50\\%$ оставшихся страниц. Что во втором дне принимают за $100\\%$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Страницы, оставшиеся после первого дня","Всю книгу","Страницы, прочитанные в первый день","Страницы, прочитанные за два дня"],"explanations":["","Вся книга — $100\\%$ только для первого дня. Сказано «от оставшихся».","Процент второго дня считают не от первого дня, а от того, что осталось.","Прочитанное за два дня станет известно только после решения; процент считают от того, что осталось после первого дня."],"answer":[0]}},"hints":["Найдите в условии слово «от» или «оставшихся».","«$50\\%$ оставшихся» — за $100\\%$ принимают оставшиеся страницы."],"step":1},{"content":"В книге $240$ страниц. В первый день прочитали $25\\%$ книги, а во второй — $50\\%$ оставшихся страниц. Сколько страниц прочитали во второй день?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$90$","$120$","$60$","$150$"],"explanations":["","Это $50\\%$ от всей книги. А во второй день считают от оставшихся $240-60 = 180$ страниц.","Это прочитано в первый день: $25\\%$ от $240$.","Это прочитано за два дня вместе: $60 + 90$. Спрашивали только про второй день."],"answer":[0]}},"hints":["Сначала найдите, сколько страниц осталось после первого дня: $240-0{,}25 \\cdot 240$.","Осталось $180$ страниц, во второй день — $0{,}5 \\cdot 180 = 90$."],"step":1},{"content":"В первый день продали $40\\%$ всех яблок, во второй — на $10$ кг меньше, чем в первый, и осталось $70$ кг. Сколько килограммов яблок было вначале?[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"300","unit":"кг"}},"hints":["Пусть было $x$ кг. В первый день продали $0{,}4x$, во второй — $0{,}4x-10$.","$0{,}4x + (0{,}4x-10) + 70 = x$, $0{,}8x + 60 = x$, $0{,}2x = 60$, $x = 300$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Задачи на работу и на проценты решаются той же полосковой схемой, что и задачи на движение. В задачах на работу помогает формула $A = p \cdot t$, а если объем работы не дан, всю работу принимают за $1$: за час выполняется $\frac{1}{n}$ ее часть. Вместе всегда получается быстрее, чем у самого быстрого, поэтому время не складывают. В задачах на проценты главное — понять, какая величина принята за $100\%$: «больше на $p\%$» — это $(1 + 0{,}01p)x$, «меньше на $p\%$» — $(1-0{,}01p)x$. Так считают скидки, наценки и проценты по вкладам, и такие задачи встречаются в ВПР и ОГЭ.

Зачем это нужно? Чтобы понять, выгодна ли скидка «$30\%$, а потом еще $20\%$», сколько времени займет работа вдвоем и сколько воды долить в раствор. А когда в задаче окажутся две неизвестные величины — например, время работы каждой трубы, — понадобятся уравнения с двумя переменными и их системы.

Часто задаваемые вопросы

Почему всю работу можно принять за 1?

Потому что в ответе нужно время, а не объем работы. Каким бы ни был бассейн, первая труба за час наполняет одну шестую его часть. Если взять бассейн в 600 литров, получится тот же ответ, только с большими числами.

Почему нельзя сложить время работы двух труб?

Сумма времени означает, что трубы работали по очереди, а не вместе. Вместе за час они делают больше, чем каждая по отдельности, поэтому заканчивают раньше самой быстрой из них. Складывают части работы за час: $\frac{1}{6} + \frac{1}{3}$.

Как понять, от какой величины считать процент?

За 100% принимают величину, с которой сравнивают или которую изменяют: старую цену при повышении цены, весь маршрут в задаче о маршруте, остаток — если сказано «от оставшихся». Найдите в условии слово «от» или то, что изменяли.

Чем «больше на 20%» отличается от «в 1,2 раза больше»?

Ничем: больше на $20\%$ — это $x + 0{,}2x = 1{,}2x$, то есть в $1{,}2$ раза больше. А «в $2$ раза больше» — это на $100\%$ больше. Так проценты связаны с «в … раз» из прошлого урока.

Почему после повышения на 20% и снижения на 20% цена не возвращается?

Потому что проценты берутся от разных величин. Повышение считают от старой цены, а снижение — от новой, большей. Поэтому снижение получается больше повышения, и итоговая цена оказывается ниже исходной.

Награды за урок

Следующий урок

Решение задач с помощью уравнений

Перейти к уроку