7 класс Алгебра Введение в алгебру Алгебраические выражения

Действия с рациональными числами: правила знаков, порядок действий, удобные вычисления

Содержание

В математике 6 класса вы познакомились с отрицательными числами (урок «Положительные и отрицательные числа») и узнали, какие числа называют рациональными (урок «Целые числа. Рациональные числа»). Здесь соберем все действия с ними в одну систему: сложение, вычитание, умножение, деление, порядок действий и приемы удобного счета. Правила знаков не придется заучивать вслепую: каждое мы выведем из одной модели — стрелки на числовой прямой.

Начнем с реальных измерений. На метеостанции в Оймяконе (Якутия) 6 февраля 1933 года зафиксировали самую низкую температуру за всю историю наблюдений — $-67{,}7$ °C, а 28 июля 2010 года — самую высокую, $+34{,}6$ °C. На сколько градусов самая высокая температура выше самой низкой? Если забыть про минус и вычесть $34{,}6-67{,}7$, получится $-33{,}1$ — отрицательная разница, хотя летом явно теплее. Где ошибка, выясним в третьем разделе.

Число — это стрелка: длина и направление

Отметим на числовой прямой ноль и проведем от него стрелку на $3$ единицы вправо. Ее конец — число $3$. Стрелка той же длины, но направленная влево, заканчивается в числе $-3$. Так любое число можно изобразить стрелкой, которая начинается в нуле. Длина стрелки — это модуль числа, то есть расстояние от нуля (подробнее — в уроке «Координатная прямая, расстояние между точками и числовые промежутки»). Направление стрелки показывает знак: вправо — плюс, влево — минус.

Числовая прямая. Из нуля выходят стрелки: число 3 — стрелка длиной 3 вправо, число минус 3 — стрелка той же длины влево, число минус 1,5 — стрелка длиной 1,5 влево. Длина стрелки — модуль числа, направление — знак — Числа $3$ и $-3$ — стрелки одной длины, направленные в разные стороны; число $-1{,}5$ — стрелка длиной $1{,}5$ влево

Определение

Рациональное число — число, которое можно записать дробью $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое, а $n$ — натуральное число. Например: $5 = \frac{5}{1}$, $-0{,}25 = -\frac{1}{4}$, $0$, $-\frac{2}{3}$.

Противоположные числа — числа, которые отличаются только знаком: $3$ и $-3$, $-\frac{2}{3}$ и $\frac{2}{3}$. Их стрелки одинаковой длины и направлены в разные стороны. Число $0$ противоположно самому себе.

Знак «минус» перед числом мы будем читать как разворот стрелки. Запись $-a$ означает: возьмите стрелку числа $a$ и разверните ее. Если развернуть стрелку дважды, она вернется в прежнее направление: $-(-3) = 3$.

Пример

Найдите значения: $-(-4{,}5)$, $-(+2)$, $-(-(-7))$, $\lvert -\frac{7}{8} \rvert$.

$-(-4{,}5) = 4{,}5$: стрелку $-4{,}5$ развернули, она смотрит вправо.
$-(+2) = -2$: стрелку $2$ развернули влево.
$-(-(-7)) = -7$: три разворота — стрелка смотрит в другую сторону, чем у числа $7$.
$\lvert -\frac{7}{8} \rvert = \frac{7}{8}$: модуль — длина стрелки, она не бывает отрицательной.

{"questions":[{"content":"Какое число изображает стрелка длиной $2{,}5$, которая начинается в нуле и направлена влево?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-2{,}5$","$2{,}5$","$-(-2{,}5)$","$\\lvert -2{,}5 \\rvert$"],"explanations":["","Стрелка числа $2{,}5$ направлена вправо. Влево направлены стрелки отрицательных чисел.","Два минуса — два разворота: $-(-2{,}5) = 2{,}5$, стрелка смотрит вправо.","Модуль — это длина стрелки: $\\lvert -2{,}5 \\rvert = 2{,}5$. Направление он не показывает."],"answer":[0]}}},{"content":"$-(-(-6)) =$[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","inline":1,"answer":["-6","−6"]}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Каждый минус — разворот стрелки. Здесь три минуса: три разворота.","Два разворота возвращают стрелку $6$ в прежнее направление, третий разворачивает ее влево: $-6$."],"step":1}],"mix":1}

Сложение: стрелки одна за другой

Сложить два числа — значит пройти по прямой сначала первую стрелку, а потом от ее конца — вторую. Где закончится путь, там и сумма. Рассмотрим $3 + 2$: от нуля $3$ шага вправо, потом еще $2$ шага вправо — получаем $5$. Сумма $(-3) + (-2)$: $3$ шага влево и еще $2$ влево — получаем $-5$. Когда стрелки смотрят в одну сторону, их длины складываются, а направление сохраняется.

Теперь стрелки в разные стороны. Сумма $5 + (-3)$: $5$ шагов вправо, потом $3$ шага назад — остановились на $2$. Сумма $(-5) + 3$: $5$ влево, $3$ вправо — остановились на $-2$. Стрелки «перетягивают» друг друга: длины вычитаются, а побеждает направление более длинной стрелки. Если длины равны, путь возвращается в ноль: $a + (-a) = 0$.

Четыре суммы стрелками на числовой прямой: 3 плюс 2 равно 5 и минус 3 плюс минус 2 равно минус 5 — стрелки в одну сторону, длины складываются; 5 плюс минус 3 равно 2 и минус 5 плюс 3 равно минус 2 — стрелки в разные стороны, длины вычитаются, знак у длинной стрелки — Сложение стрелок: одинаковые направления — длины складываются; разные направления — длины вычитаются, знак берется у более длинной стрелки

Правило

Одинаковые знаки. Сложите модули и поставьте общий знак: $(-3{,}5) + (-1{,}2) = -4{,}7$.

Разные знаки. Из большего модуля вычтите меньший и поставьте знак числа с большим модулем: $-7 + 3 = -4$, $\ 7 + (-3) = 4$.

Пример

Вычислите $-4{,}7 + 2{,}9$ и $-\frac{2}{3} + \frac{1}{4}$.

Знаки разные. Модули: $4{,}7$ и $2{,}9$. Длиннее стрелка $-4{,}7$, значит, ответ отрицательный: $-4{,}7 + 2{,}9 = -(4{,}7-2{,}9) = -1{,}8$.
Приведем дроби к общему знаменателю $12$: $-\frac{8}{12} + \frac{3}{12}$. Знаки разные, длиннее стрелка $-\frac{8}{12}$: ответ $-\frac{5}{12}$.

Проверка прикидкой: в обоих случаях отрицательная стрелка длиннее, поэтому сумма меньше нуля. Как складывать дроби, подробно разобрано в уроке «Действия с рациональными числами».

Ошибка

Пишут $-7 + 3 = -10$: сложили длины, как будто стрелки смотрят в одну сторону. Проверим на прямой: $7$ шагов влево, потом $3$ шага вправо — мы вернулись назад и остановились на $-4$, а не ушли дальше к $-10$. Сначала посмотрите на знаки: разные знаки — длины вычитаются.

{"questions":[{"content":"От нуля провели стрелку $-6$, а от ее конца — стрелку $4$. В каком числе закончится путь?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-2$","$2$","$-10$","$10$"],"explanations":["","Длиннее стрелка $-6$, она направлена влево. Путь закончится левее нуля, сумма отрицательна.","Стрелки направлены в разные стороны, поэтому длины вычитаются, а не складываются: $6-4 = 2$, знак минус.","Стрелки направлены в разные стороны, длины нужно вычесть. Кроме того, длиннее стрелка $-6$, поэтому ответ отрицательный."],"answer":[0]}}},{"content":"$-3{,}8 + 1{,}5 =$[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","inline":1,"answer":["-2,3","-2.3","−2,3","−2.3"]}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Знаки разные: из большего модуля вычтите меньший. $3{,}8-1{,}5 = 2{,}3$.","Модуль больше у числа $-3{,}8$, поэтому ответ отрицательный: $-2{,}3$."],"step":1},{"content":"$-\\frac{5}{6} + \\left(-\\frac{1}{3}\\right) =$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$-\\frac{7}{6}$","$-\\frac{1}{2}$","$\\frac{7}{6}$","$-\\frac{6}{9}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Знаки одинаковые: модули складываются, знак минус остается. Общий знаменатель $6$: $\\frac{5}{6} + \\frac{2}{6} = \\frac{7}{6}$.","Ответ: $-\\frac{7}{6}$. Вариант $-\\frac{1}{2}$ получится, если длины вычесть, а $-\\frac{6}{9}$ — если сложить отдельно числители и знаменатели."],"step":1}],"mix":1}

Вычитание: прибавляем развернутую стрелку

Сравним два вычисления: $5-3 = 2$ и $5 + (-3) = 2$. Результат одинаковый. Вычесть $3$ — то же самое, что прибавить стрелку $3$, развернутую в другую сторону. Это верно для любых чисел, в том числе отрицательных. Вычесть $-3$ — значит прибавить развернутую стрелку $-3$, то есть $3$: $5-(-3) = 5 + 3 = 8$.

Почему так? Разность $a-b$ — это число, которое нужно прибавить к $b$, чтобы получить $a$. Проверим: $-3 + 8 = 5$. Значит, $5-(-3) = 8$ — верно. На прямой разность $a-b$ показывает, как дойти от точки $b$ до точки $a$: сколько шагов и в какую сторону.

Правило

Чтобы вычесть число, прибавьте противоположное ему число:

$$a-b = a + (-b)$$

После этого действуйте по правилам сложения.

Теперь вернемся к Оймякону. Нужно найти разность $34{,}6-(-67{,}7)$. По правилу вычитание отрицательного числа заменяется сложением: $34{,}6 + 67{,}7 = 102{,}3$. На термометре видно то же самое: от $-67{,}7$ до нуля столбик поднимается на $67{,}7$ градуса и еще на $34{,}6$ — до отметки $34{,}6$. Разница больше ста градусов. А $-33{,}1$ получилось потому, что потеряли минус у числа $-67{,}7$: так вышла бы разность температур $+34{,}6$ и $+67{,}7$.

Слева термометр Оймякона: от минус 67,7 до нуля 67,7 градуса, от нуля до плюс 34,6 еще 34,6 градуса. Справа: вычитаемое минус 67,7 — стрелка влево, ее разворачивают в стрелку 67,7 вправо и прибавляют к 34,6, получается 102,3 градуса — Разность $34{,}6-(-67{,}7)$: вычитаемое разворачиваем и складываем стрелки, $34{,}6 + 67{,}7 = 102{,}3$

Пример

Вычислите $-3{,}2-(-5{,}8)$ и $-\frac{1}{2}-\frac{3}{4}$.

$-3{,}2-(-5{,}8) = -3{,}2 + 5{,}8$. Знаки разные, модуль больше у $5{,}8$: $5{,}8-3{,}2 = 2{,}6$.
$-\frac{1}{2}-\frac{3}{4} = -\frac{2}{4} + \left(-\frac{3}{4}\right)$. Знаки одинаковые: $-\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4}$.

Проверка: $2{,}6 + (-5{,}8) = -3{,}2$ и $-\frac{5}{4} + \frac{3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Ошибка

Пишут $-5-3 = -2$, потому что «из большего вычитают меньшее», и $4-(-6) = -2$, потому что потеряли минус у вычитаемого и посчитали $4-6$. Заменим вычитание сложением. $-5-3 = -5 + (-3)$: обе стрелки смотрят влево, длины складываются, ответ $-8$. $4-(-6) = 4 + 6 = 10$. Проверка: $-8 + 3 = -5$ и $10 + (-6) = 4$.

{"questions":[{"content":"Какая сумма равна разности $2-(-7)$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$2 + 7$","$2 + (-7)$","$-2 + 7$","$-2 + (-7)$"],"explanations":["","Вычитаемое $-7$ нужно развернуть: противоположное ему число — $7$, а не $-7$.","Уменьшаемое $2$ остается без изменений. Разворачивается только вычитаемое.","Уменьшаемое не меняется, а вычитаемое $-7$ заменяется на $7$."],"answer":[0]}}},{"content":"[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$-4{,}5-2{,}5$","$4{,}5-(-2{,}5)$","$-4{,}5-(-2{,}5)$","$-2{,}5-(-4{,}5)$"],"items":["$-7$","$7$","$-2$","$2$"]}},"instruction":"Соотнесите разность и ее значение","hints":["Замените каждое вычитание сложением с противоположным числом: $-4{,}5 + (-2{,}5)$, $\\ 4{,}5 + 2{,}5$, $\\ -4{,}5 + 2{,}5$, $\\ -2{,}5 + 4{,}5$.","Ответы: $-7$, $7$, $-2$, $2$."],"step":1},{"content":"Ученик вычислил: $-8-(-3) = -11$. В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Вычитаемое не развернули: $-8 + 3 = -5$","Ошибки нет: $-8$ и $-3$ отрицательные, модули складываются","Нужно развернуть оба числа: $8 + 3 = 11$","Нужно вычесть из большего модуля меньший: $8-3 = 5$"],"explanations":["","Модули складываются при сложении чисел одного знака. Здесь вычитание: сначала его заменяют сложением $-8 + 3$, и знаки становятся разными.","Уменьшаемое $-8$ не меняется. Разворачивается только вычитаемое.","Длины действительно вычитаются, но знак берется у более длинной стрелки $-8$: ответ $-5$, а не $5$."],"answer":[0]}}}],"mix":1}

Умножение и деление: повторяем и разворачиваем

Произведение $3 \cdot 2$ — это сумма $2 + 2 + 2$: стрелку $2$ повторили три раза, получили $6$. Так же $3 \cdot (-2) = (-2) + (-2) + (-2) = -6$: стрелку $-2$ повторили три раза. А что значит умножить на отрицательное число? Договоримся: если один из множителей равен $-3$, стрелку другого множителя повторяем три раза и разворачиваем результат.

Тогда $(-3) \cdot 2$: повторяем стрелку $2$ три раза — $6$, разворачиваем — $-6$. Это совпадает с $2 \cdot (-3) = (-3) + (-3) = -6$: от перестановки множителей произведение не меняется. А $(-3) \cdot (-2)$: повторяем стрелку $-2$ три раза — получаем $-6$, разворачиваем — $6$. Два минуса — два разворота, и стрелка смотрит в исходную сторону.

Множитель не обязательно целый. Умножить стрелку на число $k$ — значит растянуть ее в $\lvert k \rvert$ раз (если $\lvert k \rvert$ меньше $1$ — сжать), а если $k$ отрицательно, еще и развернуть. Для целого $k$ растянуть в $3$ раза — то же, что повторить три раза. Например, $(-1{,}5) \cdot 4$: стрелку $4$ растягиваем в $1{,}5$ раза — получаем $6$, разворачиваем — $-6$.

Три ряда на числовой прямой. 3 умножить на 2: стрелка 2 повторена три раза, получается 6. 3 умножить на минус 2: стрелка минус 2 повторена три раза, получается минус 6. Минус 3 умножить на минус 2: стрелку минус 2 повторили три раза и развернули, получается 6 — Умножение: $3 \cdot (-2)$ — повторить стрелку $-2$ три раза; $(-3) \cdot (-2)$ — повторить и развернуть, получается $6$

Важно

Почему минус на минус дает плюс — это не просто договоренность. Проверим распределительным законом. С одной стороны, $(-3) \cdot (2 + (-2)) = (-3) \cdot 0 = 0$. С другой стороны, раскроем скобки: $(-3) \cdot 2 + (-3) \cdot (-2) = -6 + (-3) \cdot (-2)$. Чтобы сумма была равна $0$, произведение $(-3) \cdot (-2)$ обязано быть равным $6$. Любое другое правило сломало бы распределительный закон.

Правило

Модуль произведения (частного) равен произведению (частному) модулей. Знак:

одинаковые знаки — плюс: $(-4) \cdot (-2{,}5) = 10$;
разные знаки — минус: $(-4) \cdot 2{,}5 = -10$.

Если множителей много, каждый отрицательный — это разворот. Четное число отрицательных множителей — произведение положительно, нечетное — отрицательно. Если есть множитель $0$, произведение равно $0$.

Первое число	Второе число	Произведение и частное	Разворотов
$+$	$+$	$+$	$0$
$+$	$-$	$-$	$1$
$-$	$+$	$-$	$1$
$-$	$-$	$+$	$2$

Деление — действие, обратное умножению. $(-12) : (-3) = 4$, потому что $4 \cdot (-3) = -12$. На стрелках: во сколько раз нужно растянуть стрелку $-3$ и надо ли ее разворачивать, чтобы получить $-12$? В $4$ раза и без разворота. Поэтому и знаки при делении такие же, как при умножении. Делить на ноль нельзя: нет числа, которое при умножении на $0$ даст, например, $5$. Минус в дроби можно ставить в числителе, в знаменателе или перед дробью: $\frac{-3}{4} = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}$. Как делить обыкновенные дроби, объяснено в уроке «Почему при делении дробь переворачивается?».

Пример

Вычислите $(-0{,}25) \cdot (-8) \cdot (-1{,}5)$ и $-\frac{3}{4} : \left(-\frac{9}{8}\right)$.

Сначала знак: три отрицательных множителя — нечетное число разворотов, ответ отрицательный. Модуль: $0{,}25 \cdot 8 = 2$, $\ 2 \cdot 1{,}5 = 3$. Ответ: $-3$.
Два отрицательных числа — частное положительно. $\frac{3}{4} : \frac{9}{8} = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}$. Ответ: $\frac{2}{3}$.

Ошибка

Пишут $(-2) \cdot (-3) \cdot (-5) = 30$: «минус на минус дает плюс». Но правило про пару множителей, а здесь их три. Посчитаем развороты: три — нечетное число, поэтому ответ $-30$. По шагам: $(-2) \cdot (-3) = 6$, $\ 6 \cdot (-5) = -30$.

Проверьте правила в интерактиве. Выберите числа и действие, сначала предскажите знак и значение, а потом посмотрите на стрелки. Обратите внимание, когда стрелка разворачивается.

uploaded-ratsion-strelki-b48593a02d88

{"questions":[{"content":"[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Положительное","Отрицательное"],"items":[["$(-2) \\cdot (-5)$","$(-1) \\cdot (-1) \\cdot 7 \\cdot (-2) \\cdot (-3)$","$(-36) : (-4)$"],["$(-2) \\cdot 5 \\cdot (-1) \\cdot (-3)$","$4{,}5 : (-0{,}5)$","$(-1) \\cdot (-2) \\cdot (-3) \\cdot (-4) \\cdot (-5)$"]]}},"instruction":"Распределите выражения по знаку значения","hints":["Посчитайте отрицательные множители: каждый — разворот. Четное число — плюс, нечетное — минус.","Положительные: два, четыре и два минуса. Отрицательные: три, один и пять минусов."],"step":1},{"content":"$(-7{,}2) : (-0{,}9) =$[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","inline":1,"answer":["8","+8"]}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Знаки одинаковые — частное положительно.","$7{,}2 : 0{,}9 = 72 : 9 = 8$. Проверка: $8 \\cdot (-0{,}9) = -7{,}2$."],"step":1},{"content":"В произведении пять множителей, два из них отрицательные, нулей нет. Какой знак у произведения?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Плюс","Минус","Зависит от последнего множителя","Зависит от того, какой модуль больше"],"explanations":["","Два отрицательных множителя — два разворота. Четное число разворотов возвращает стрелку в исходное направление.","Порядок множителей не влияет на знак: важно только, сколько их отрицательных.","Модули влияют на величину произведения, но не на его знак. Знак определяет число отрицательных множителей."],"answer":[0]}}}],"mix":1}

Порядок действий и степени отрицательных чисел

В выражении с несколькими действиями порядок такой: сначала действия в скобках, затем возведение в степень, затем умножение и деление по порядку слева направо, в конце сложение и вычитание слева направо. Правила знаков при этом не меняются — меняется только очередь действий.

Особого внимания требует степень. Напомним: $a^n$ — произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$, например $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. В записи $(-2)^2$ в квадрат возводят число $-2$: $(-2) \cdot (-2) = 4$. В записи $-2^2$ скобок нет, поэтому сначала выполняют степень, а минус-разворот действует на результат: $-2^2 = -(2 \cdot 2) = -4$. Четная степень отрицательного числа положительна, нечетная — отрицательна: $(-2)^3 = -8$, $(-2)^4 = 16$. Подробнее — в уроке «Степень с натуральным показателем».

Сравнение двух записей. Минус 2 в квадрате в скобках: стрелку минус 2 повторили два раза и развернули, получилось 4. Минус два в квадрате без скобок: сначала два в квадрате равно 4, затем один разворот, получилось минус 4 — $(-2)^2$: множитель $-2$ дважды, два разворота, $4$. $-2^2$: сначала $2^2 = 4$, потом один разворот, $-4$

Правило

Порядок действий: скобки $\to$ степени $\to$ умножение и деление слева направо $\to$ сложение и вычитание слева направо.

$-a^2 = -(a^2)$, а $(-a)^2 = a^2$. Минус без скобок применяется после возведения в степень.

Пример

Вычислите $-1{,}6 \cdot (-2)^3 + 4{,}2 : (-0{,}7)$.

Степень: $(-2)^3 = -8$.
Умножение: $-1{,}6 \cdot (-8) = 12{,}8$ — два минуса, плюс.
Деление: $4{,}2 : (-0{,}7) = -6$ — разные знаки, минус.
Сложение: $12{,}8 + (-6) = 6{,}8$.

Ответ: $6{,}8$. Такие выражения часто встречаются в контрольных работах и на экзаменах.

Порядок вычисления выражения минус 1,6 умножить на минус 2 в кубе плюс 4,2 разделить на минус 0,7. Шаг 1: минус 2 в кубе равно минус 8. Шаг 2: минус 1,6 умножить на минус 8 равно 12,8. Шаг 3: 4,2 разделить на минус 0,7 равно минус 6. Шаг 4: 12,8 плюс минус 6 равно 6,8 — Порядок вычисления $-1{,}6 \cdot (-2)^3 + 4{,}2 : (-0{,}7)$: степень, затем умножение и деление, в конце сложение

Ошибка

Вычисляют $12-4 \cdot (-2)$ слева направо: $12-4 = 8$, $\ 8 \cdot (-2) = -16$. Но умножение выполняется раньше вычитания: $4 \cdot (-2) = -8$, затем $12-(-8) = 12 + 8 = 20$. Вторая частая ошибка — $-3^2 = 9$. Скобок нет, значит, в квадрат возводят только $3$: $-3^2 = -9$. Третья — нарушить порядок «слева направо» для умножения и деления: $24 : (-4) \cdot 2$ — это не $24 : (-8) = -3$, а $(-6) \cdot 2 = -12$.

Потренируйтесь выбирать действия по порядку. В интерактиве нажмите на действие, которое нужно выполнить следующим. Если выбор неверный, вы увидите, к какому ответу он привел бы.

uploaded-ratsion-poryadok-65931152ee5e

{"questions":[{"content":"Чему равно $-3^2 + (-3)^2$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$0$","$18$","$-18$","$-12$"],"explanations":["","Так получится, если считать $-3^2 = 9$. Но без скобок в квадрат возводят только $3$: $-3^2 = -9$.","Так получится, если считать $(-3)^2 = -9$. Но $(-3)^2 = (-3) \\cdot (-3) = 9$: два разворота.","Так получится, если степень спутать с умножением на показатель: $-3 \\cdot 2 + (-3) \\cdot 2 = -12$. Но $3^2 = 3 \\cdot 3$, а не $3 \\cdot 2$."],"answer":[0]}}},{"content":"Расположите действия в выражении $20-6 : (-3) \\cdot (-1)^3$ в порядке выполнения.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Возведение в степень","Деление","Умножение","Вычитание"]}},"hints":["Сначала степень, затем умножение и деление по порядку слева направо, в конце вычитание.","$(-1)^3 = -1$; $\\ 6 : (-3) = -2$; $\\ (-2) \\cdot (-1) = 2$; $\\ 20-2 = 18$."],"step":1},{"content":"Ученик вычислил: $-2^2 \\cdot 5 = 4 \\cdot 5 = 20$. В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$-2^2 = -4$, поэтому ответ $-20$","Сначала нужно умножить: $-2 \\cdot 5 = -10$, затем $(-10)^2 = 100$","Ошибки нет: $(-2) \\cdot (-2) = 4$","Нужно сначала возвести в квадрат пятерку: $-2 \\cdot 25 = -50$"],"explanations":["","Так было бы для $(-2 \\cdot 5)^2$. В записи $-2^2 \\cdot 5$ степень выполняется раньше умножения, а в квадрат возводят только $2$.","$(-2) \\cdot (-2) = 4$ — это $(-2)^2$. В записи $-2^2$ скобок нет: $-2^2 = -(2^2) = -4$.","Показатель $2$ стоит только над двойкой, а пятерка в степень не возводится."],"answer":[0]}}}],"mix":1}

Считаем удобно: законы действий

Если пройти несколько стрелок подряд, конец пути не зависит от того, в каком порядке их проходить. Это переместительный закон $a + b = b + a$ и сочетательный закон $(a + b) + c = a + (b + c)$. Значит, стрелки можно переставлять и объединять в удобные группы. Особенно удобно собрать вместе противоположные стрелки: они гасят друг друга.

Важно

Знак перед числом — часть его стрелки. При перестановке слагаемых знак «переезжает» вместе с числом: $7-15 + 3 = 7 + 3-15 = -5$. Ошибка — оставить минус на месте: $7-3 + 15 = 19$.

Пример

Вычислите $2{,}7-5{,}3 + 7{,}3-4{,}7$.

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаками и «круглыми» суммами: $(2{,}7 + 7{,}3) + (-5{,}3-4{,}7) = 10 + (-10) = 0$.

Проверка по порядку: $2{,}7-5{,}3 = -2{,}6$; $\ -2{,}6 + 7{,}3 = 4{,}7$; $\ 4{,}7-4{,}7 = 0$.

Те же законы действуют для умножения: $ab = ba$ и $(ab)c = a(bc)$. Сначала определите знак по числу минусов, потом переставьте множители так, чтобы получились круглые числа: $-25 \cdot 7 \cdot 4 = -(25 \cdot 4) \cdot 7 = -700$.

Третий закон связывает умножение и сложение — распределительный: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$. На стрелках: $37$ повторов стрелки $64$ и еще $37$ повторов стрелки $36$ — то же, что $37$ повторов стрелки $64 + 36 = 100$. Поэтому $37 \cdot 64 + 37 \cdot 36 = 37 \cdot 100 = 3700$.

Тридцать семь строк, в каждой стрелка 64 и стрелка 36, вместе они дают стрелку 100. Поэтому 37 умножить на 64 плюс 37 умножить на 36 равно 37 умножить на 100, то есть 3700 — $37 \cdot 64 + 37 \cdot 36$: каждую пару стрелок $64$ и $36$ можно заменить одной стрелкой $100$, всего $37$ таких стрелок

Пример

Вычислите $-1{,}3 \cdot 47-1{,}3 \cdot 53$ и $4{,}6 \cdot (-7) + 4{,}6 \cdot (-3)$.

Общий множитель $-1{,}3$: $-1{,}3 \cdot 47 + (-1{,}3) \cdot 53 = -1{,}3 \cdot (47 + 53) = -1{,}3 \cdot 100 = -130$.
Общий множитель $4{,}6$: $4{,}6 \cdot (-7 + (-3)) = 4{,}6 \cdot (-10) = -46$.

Такое преобразование называется вынесением общего множителя за скобки. С буквами распределительный закон работает так же — это показано в уроке «Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых».

{"questions":[{"content":"Какие два множителя удобнее всего перемножить первыми в произведении $-4 \\cdot 17 \\cdot 25$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-4$ и $25$","$-4$ и $17$","$17$ и $25$","Порядок менять нельзя"],"explanations":["","Так получится $-68$, а потом неудобное умножение $-68 \\cdot 25$. Удобнее сначала получить круглое число: $-4 \\cdot 25 = -100$.","$17 \\cdot 25 = 425$ — неудобное умножение. Круглое число дает пара $-4$ и $25$: $-100$, а затем $-100 \\cdot 17 = -1700$.","По переместительному и сочетательному законам множители можно переставлять и группировать как угодно."],"answer":[0]}}},{"content":"$-3{,}6 + 8{,}2 + 3{,}6-0{,}2 =$[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","inline":1,"answer":["8","+8"]}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Противоположные слагаемые $-3{,}6$ и $3{,}6$ гасят друг друга.","Остается $8{,}2-0{,}2 = 8$."],"step":1},{"content":"$58 \\cdot (-0{,}7) + 42 \\cdot (-0{,}7) =$[[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","inline":1,"answer":["-70","−70"]}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Общий множитель $-0{,}7$: $(58 + 42) \\cdot (-0{,}7)$.","$100 \\cdot (-0{,}7) = -70$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Все правила урока читаются на одной модели — стрелке на числовой прямой:

сложение — стрелки одна за другой; разные знаки — длины вычитаются, знак у длинной;
вычитание — прибавляем противоположное число: $a-b = a + (-b)$;
умножение и деление — каждый минус разворачивает стрелку; четное число минусов дает плюс, нечетное — минус;
порядок: скобки, степени, умножение и деление, сложение и вычитание; $-a^2 = -(a^2)$;
стрелки можно переставлять и группировать, а общий множитель — выносить: $ab + ac = a(b + c)$.

Без этих правил не обойтись ни в одной теме алгебры: при решении уравнений, преобразовании многочленов, вычислениях по формулам. Следующий шаг — «Числовые выражения»: как найти значение выражения и когда оно не имеет смысла.

Часто задаваемые вопросы

Почему минус на минус дает плюс?

Умножение на отрицательное число разворачивает стрелку, а два разворота возвращают ее в исходное направление. Это правило следует из распределительного закона: $(-3) \cdot (2 + (-2)) = 0$, поэтому $(-3) \cdot (-2)$ должно быть равно $6$.

Как вычесть отрицательное число?

Замените вычитание сложением с противоположным числом: $a-(-b) = a + b$. Например, $34{,}6-(-67{,}7) = 34{,}6 + 67{,}7 = 102{,}3$.

Чем $-2^2$ отличается от $(-2)^2$?

В записи $(-2)^2$ в квадрат возводят число $-2$, получается $4$. В записи $-2^2$ сначала возводят в квадрат двойку, а минус применяют к результату: $-4$.

Как быстро определить знак произведения многих множителей?

Посчитайте отрицательные множители. Если их четное число, произведение положительно, если нечетное — отрицательно. Если среди множителей есть ноль, произведение равно нулю.

Можно ли делить на ноль?

Нет. Деление проверяют умножением: $a : b = c$, если $c \cdot b = a$. При $b = 0$ произведение $c \cdot 0$ всегда равно $0$, поэтому подходящего $c$ для $a \ne 0$ нет. А для $a = 0$ подходит любое число, поэтому и $0 : 0$ не имеет определенного значения: делить на ноль нельзя ни в каком случае.

Награды за урок