7 класс Алгебра Введение в алгебру Алгебраические выражения

Уравнения, которые сводятся к линейным

Содержание

В уроке «Линейное уравнение с одной переменной» мы решали уравнения вида $ax = b$ и уравнения, где переменная стоит в обеих частях. Но часто уравнение выглядит сложнее: в нем есть скобки или дроби. В этом уроке научимся сводить такие уравнения к линейным — раскрывать скобки без потери знака, избавляться от дробей и решать пропорции, — а в конце соберем общий план решения. Поможет все та же модель весов: скобка на чаше — это пакет, а дробь — часть коробки. А в разделе о дробях решим уравнение из задания 9 ОГЭ с дробями и отрицательным ответом.

Скобки: раскрываем, не теряя знак

Представим скобку как пакет на чаше весов. Выражение $3(x + 2)$ — это три одинаковых пакета, в каждом коробка и $2$ гирьки. Высыплем пакеты: на чаше окажутся $3$ коробки и $6$ гирек, то есть $3x + 6$. Ни одна гирька не может остаться в пакете.

Выражение 3(x + 2) — три одинаковых пакета, в каждом коробка x и две гирьки. Если высыпать пакеты, получится 3 коробки и 6 гирек: 3(x + 2) = 3x + 6 — Три пакета по коробке и две гирьки: $3(x + 2) = 3x + 6$

Минус перед скобкой значит, что пакет снимают с чаши целиком. Снять пакет $x + 2$ — значит снять и коробку, и обе гирьки: $-(x + 2) = -x-2$. Так же работает любой минус перед скобкой: вычитаем каждое слагаемое со своим знаком. Вычесть $-5$ — то же, что прибавить $5$, поэтому $-(2x-5) = -2x + 5$.

Теперь решим уравнение $3(x-2) = x + 4$. Множитель $3$ действует на каждое слагаемое в скобке: $3(x-2) = 3x-6$. Дальше уравнение решается как обычное линейное:

$$3x-6 = x + 4, \qquad 3x-x = 4 + 6, \qquad 2x = 10, \qquad x = 5$$

Раскрытие скобок: в выражении 3(x − 2) множитель 3 умножают на каждое слагаемое и получают 3x − 6; минус перед скобкой в выражении −(2x − 5) меняет знак каждого слагаемого: −2x + 5, а не −2x − 5 — Множитель перед скобкой умножается на каждое слагаемое, минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого

Правило

$$a(b + c) = ab + ac \qquad\qquad -(b-c) = -b + c$$

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит множитель, умножьте на него каждое слагаемое в скобках. Если перед скобками стоит знак «минус», знак каждого слагаемого в скобках меняется на противоположный.

Пример

1. Решим уравнение $7-(2x-5) = 4$. Минус перед скобкой меняет знаки: $7-2x + 5 = 4$.

$$-2x = 4-7-5, \qquad -2x = -8, \qquad x = 4$$

Проверка: $7-(2 \cdot 4-5) = 7-3 = 4$. Корень найден верно.

2. Решим уравнение $-3(x-2) + 4 = 2(x + 5)$. Раскроем обе скобки. Множитель $-3$ умножаем на каждое слагаемое: $-3 \cdot x = -3x$, $-3 \cdot (-2) = 6$.

$$-3x + 6 + 4 = 2x + 10, \qquad -3x-2x = 10-10, \qquad -5x = 0, \qquad x = 0.$$

Корень $0$ — обычный корень, а не «нет корней». Проверка: $-3 \cdot (0-2) + 4 = 10$ и $2 \cdot (0 + 5) = 10$.

3. Решим уравнение $2(3x-1) = 6x + 5$. После раскрытия скобок: $6x-2 = 6x + 5$, то есть $0x = 7$. Корней нет: на весах коробки сняли, а гирек не поровну. Так бывает и с уравнениями со скобками — проверяйте, что осталось после переноса.

4. При каком значении $a$ число $2$ является корнем уравнения $a(x + 1) = x + 7$? Если $2$ — корень, то при $x = 2$ равенство верное: $a \cdot (2 + 1) = 2 + 7$, то есть $3a = 9$, $a = 3$. Проверка: $3 \cdot 3 = 9$ и $2 + 7 = 9$.

Ошибка

Две частые ошибки при раскрытии скобок: поменять знак только у первого слагаемого, $-(2x-5) = -2x-5$, или умножить только первое слагаемое, $3(x-2) = 3x-2$. Проверьте себя на числах: при $x = 1$ выражение $-(2 \cdot 1-5) = 3$, а $-2 \cdot 1-5 = -7$.

{"questions":[{"content":"На чаше лежат $4$ одинаковых пакета, в каждом коробка $x$ и $3$ гирьки: $4(x + 3)$. Сколько гирек окажется на чаше, если высыпать пакеты?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$12$","$3$","$7$","$4$"],"explanations":["","Это гирьки только из одного пакета. Пакетов четыре: $4 \\cdot 3 = 12$.","Число $7 = 4 + 3$: множитель сложили со слагаемым, а нужно умножить.","Четыре — это число пакетов и число коробок, а не гирек."],"answer":[0]}},"hints":["В каждом пакете по $3$ гирьки. Пакетов $4$.","$4(x + 3) = 4x + 12$: $4$ коробки и $12$ гирек."],"step":1},{"content":"Ученик раскрыл скобки в уравнении $10-(3x + 4) = 0$ и записал $10-3x + 4 = 0$. В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Знак сменили только у первого слагаемого, нужно $10-3x-4 = 0$","Ошибки нет","Нужно было записать $10 + 3x + 4 = 0$","Скобки раскрывать нельзя, нужно сначала вычесть $10$"],"explanations":["","Проверим при $x = 0$: $10-(0 + 4) = 6$, а $10-0 + 4 = 14$.","Минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого: $+3x$ становится $-3x$, а $+4$ становится $-4$.","Раскрывать скобки можно сразу, главное — сменить знак у каждого слагаемого."],"answer":[0]}},"hints":["Минус перед скобкой: вычитаем весь пакет, то есть каждое слагаемое в нем.","$10-(3x + 4) = 10-3x-4$."],"step":1},{"content":"Решите уравнение $4(x + 3) = 2x + 20$.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Раскройте скобки: $4x + 12 = 2x + 20$.","$4x-2x = 20-12$, $2x = 8$, $x = 4$."],"step":1}],"mix":1}

Дроби: умножаем обе части на общий знаменатель

Решим уравнение $\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7$. На весах слева лежат треть коробки и четверть коробки, справа — семь гирек. Если содержимое обеих чаш увеличить в $12$ раз, равновесие сохранится. Зато вместо частей получатся целые коробки: $12$ третей — это $4$ коробки, $12$ четвертей — $3$ коробки.

Уравнение x/3 + x/4 = 7 на весах: слева треть коробки и четверть коробки, справа 7 гирек. Если содержимое обеих чаш увеличить в 12 раз, слева будет 4 + 3 = 7 целых коробок, справа 84 кг: 4x + 3x = 84 — Умножаем содержимое обеих чаш на $12$ — части складываются в целые коробки

Запишем то же самое без весов. Умножим каждое слагаемое обеих частей на $12$:

$$12 \cdot \frac{x}{3} + 12 \cdot \frac{x}{4} = 12 \cdot 7, \qquad 4x + 3x = 84, \qquad 7x = 84, \qquad x = 12$$

Правило

Чтобы избавиться от дробей, умножьте каждое слагаемое обеих частей уравнения на общий знаменатель. Удобнее всего брать наименьший общий знаменатель — НОК знаменателей: числа получаются меньше.

uploaded-equation-clear-fractions-b110dcacd5db

Ошибка

Умножают только дроби и забывают число без знаменателя. В уравнении $\frac{x}{2}-1 = \frac{x}{3}$ после умножения на $6$ должно получиться $3x-6 = 2x$, а не $3x-1 = 2x$. Число $1$ тоже лежит на чаше весов — его тоже нужно увеличить в $6$ раз.

Пример

1. Решим уравнение $0{,}3(x-4) = 1{,}2-0{,}1x$. Десятичные дроби убираем так же: умножим обе части на $10$.

$$3(x-4) = 12-x, \qquad 3x-12 = 12-x, \qquad 4x = 24, \qquad x = 6.$$

Обратите внимание: на $10$ умножаем всю левую часть, поэтому множитель $0{,}3$ превращается в $3$, а скобка остается. Проверка: $0{,}3 \cdot (6-4) = 0{,}6$ и $1{,}2-0{,}1 \cdot 6 = 0{,}6$.

2. Найдем корень уравнения $\frac{x}{5} + \frac{x}{3} = -\frac{8}{3}$. Такие уравнения бывают в задании 9 ОГЭ. НОК знаменателей $5$ и $3$ равен $15$:

$$3x + 5x = -40, \qquad 8x = -40, \qquad x = -5.$$

Проверка: $\frac{-5}{5} + \frac{-5}{3} = -1-\frac{5}{3} = -\frac{8}{3}$. Ответ: $-5$.

{"questions":[{"content":"Уравнение $\\frac{x}{4}-\\frac{x}{6} = 2$ удобнее всего умножить на[[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$12$","$24$","$10$","$2$"],"answer":0}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Нужен наименьший множитель, который делится на $4$ и на $6$.","НОК$(4, 6) = 12$. Множитель $24$ тоже подходит, но числа получатся больше."],"step":1},{"content":"Решите уравнение $\\frac{x}{2}-1 = \\frac{x}{3}$.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Умножьте каждое слагаемое на $6$, не забудьте число $1$: $3x-6 = 2x$.","$3x-2x = 6$, $x = 6$. Проверка: $\\frac{6}{2}-1 = 2$ и $\\frac{6}{3} = 2$."],"step":1},{"content":"Решите уравнение $0{,}2(x + 3) = 0{,}5x-0{,}3$.[[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Умножьте обе части на $10$: $2(x + 3) = 5x-3$.","$2x + 6 = 5x-3$, $-3x = -9$, $x = 3$. Проверка: $0{,}2 \\cdot 6 = 1{,}2$ и $1{,}5-0{,}3 = 1{,}2$."],"step":1}],"mix":1}

Пропорция: перемножаем крест-накрест

Уравнение $\frac{x + 1}{3} = \frac{x-1}{2}$ — это пропорция. По основному свойству пропорции произведения крайних и средних членов равны: $2(x + 1) = 3(x-1)$. Это то же самое умножение обеих частей на общий знаменатель $6$: содержимое обеих чаш увеличили в $6$ раз, а каждый числитель — пакет, который умножают целиком.

Пропорция (x + 1)/3 = (x − 1)/2: перемножаем крест-накрест и получаем 2(x + 1) = 3(x − 1). Это то же самое, что умножить обе части уравнения на 6 — Перемножение крест-накрест — то же, что умножение обеих частей на $6$

Раскроем скобки и решим:

$$2x + 2 = 3x-3, \qquad 2x-3x = -3-2, \qquad -x = -5, \qquad x = 5$$

Проверка: $\frac{5 + 1}{3} = 2$ и $\frac{5-1}{2} = 2$.

Пример

Решим уравнение $\frac{3x-1}{4} = \frac{x + 3}{2}$. Перемножим крест-накрест, взяв числители в скобки:

$$2(3x-1) = 4(x + 3), \qquad 6x-2 = 4x + 12, \qquad 2x = 14, \qquad x = 7.$$

Проверка: $\frac{3 \cdot 7-1}{4} = \frac{20}{4} = 5$ и $\frac{7 + 3}{2} = 5$. Корень найден верно.

Ошибка

Теряют скобки при перемножении: вместо $2(3x-1) = 4(x + 3)$ пишут $6x-1 = 4x + 3$ и получают $x = 2$. Проверка это ловит: $\frac{3 \cdot 2-1}{4} = 1{,}25$, а $\frac{2 + 3}{2} = 2{,}5$.

Дробная черта работает как скобки: числитель $3x-1$ — один «пакет», и множитель $2$ действует на оба его слагаемых.

{"questions":[{"content":"Перемножение крест-накрест в уравнении $\\frac{x + 1}{3} = \\frac{x-1}{2}$ — это то же самое, что[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["умножить обе части на $6$","умножить только левую часть на $2$","сложить знаменатели: $3 + 2 = 5$","умножить обе части на $3$"],"explanations":["","Действие только с одной частью нарушает равновесие: корень изменится.","Сумма знаменателей не убирает дроби: $5$ не делится ни на $3$, ни на $2$.","После умножения на $3$ справа останется дробь $\\frac{3(x-1)}{2}$."],"answer":[0]}},"hints":["Крест-накрест — это действие с обеими частями сразу. На какое число нужно умножить, чтобы исчезли оба знаменателя?","$6 \\cdot \\frac{x + 1}{3} = 2(x + 1)$ и $6 \\cdot \\frac{x-1}{2} = 3(x-1)$: это умножение обеих частей на $6$."],"step":1},{"content":"[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$\\frac{x}{5} = \\frac{3}{2}$","$\\frac{x + 2}{4} = \\frac{x}{3}$","$\\frac{x-1}{2} = \\frac{x + 3}{5}$"],"items":["$2x = 15$","$3(x + 2) = 4x$","$5(x-1) = 2(x + 3)$","$3x + 2 = 4x$"]}},"instruction":"Соотнесите пропорцию и уравнение без дробей","hints":["Перемножьте крест-накрест: числитель левой дроби — на знаменатель правой, и наоборот. Числители из нескольких слагаемых берите в скобки.","$\\frac{x}{5} = \\frac{3}{2} \\Rightarrow 2x = 15$; $\\frac{x + 2}{4} = \\frac{x}{3} \\Rightarrow 3(x + 2) = 4x$; $\\frac{x-1}{2} = \\frac{x + 3}{5} \\Rightarrow 5(x-1) = 2(x + 3)$."],"step":1},{"content":"Решите уравнение $\\frac{x-2}{3} = \\frac{x + 4}{5}$.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"11"}},"hints":["Перемножьте крест-накрест, числители — в скобках: $5(x-2) = 3(x + 4)$.","$5x-10 = 3x + 12$, $2x = 22$, $x = 11$. Проверка: $\\frac{9}{3} = 3$ и $\\frac{15}{5} = 3$."],"step":1}],"mix":1}

План решения любого такого уравнения

Соберем все шаги вместе. Решим уравнение $\frac{x-3}{2}-\frac{x + 1}{5} = 1$. Знаменатели $2$ и $5$, их НОК равен $10$. Умножим каждое слагаемое на $10$, взяв числители в скобки:

$$5(x-3)-2(x + 1) = 10, \qquad 5x-15-2x-2 = 10, \qquad 3x = 27, \qquad x = 9$$

Проверка: $\frac{9-3}{2}-\frac{9 + 1}{5} = 3-2 = 1$. Корень найден верно.

Каждый шаг плана — одно и то же действие с обеими чашами весов: увеличить содержимое в несколько раз, высыпать пакеты, снять одинаковое с обеих чаш, разделить поровну. Поэтому корень на каждом шаге остается прежним.

План решения уравнения, которое сводится к линейному: избавиться от дробей, раскрыть скобки, перенести слагаемые, привести подобные, разделить и проверить. Пример: (x − 3)/2 − (x + 1)/5 = 1, после умножения на 10 получаем x = 9 — Пять шагов, которые сводят уравнение к линейному

Алгоритм решения

Если есть дроби, умножьте каждое слагаемое обеих частей на НОК знаменателей.
Раскройте скобки, следя за знаками.
Перенесите слагаемые с переменной влево, числа — вправо, меняя знаки.
Приведите подобные слагаемые и получите $ax = b$.
Разделите на коэффициент и проверьте корень подстановкой в исходное уравнение.

Пример

Решим уравнение $x-\frac{x-1}{3} = \frac{x + 5}{2}$. Здесь ловушка — минус перед дробью.

Умножим каждое слагаемое на НОК$(3, 2) = 6$. Числитель $x-1$ берем в скобки, а минус перед дробью остается перед скобкой:

$$6x-2(x-1) = 3(x + 5).$$

Раскрываем скобки: минус меняет знак обоих слагаемых, $-2(x-1) = -2x + 2$.

$$6x-2x + 2 = 3x + 15, \qquad 4x-3x = 15-2, \qquad x = 13.$$

Проверка: $13-\frac{12}{3} = 9$ и $\frac{18}{2} = 9$. Если забыть скобки и написать $6x-2x-1 = 3x + 15$, получится $x = 16$, а проверка не сойдется: $16-5 = 11$, а $\frac{21}{2} = 10{,}5$.

{"questions":[{"content":"С чего удобнее начать решение уравнения $\\frac{x}{2} + \\frac{x-1}{3} = 3$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Умножить обе части на $6$","Раскрыть скобки","Перенести $\\frac{x}{2}$ вправо","Разделить обе части на $3$"],"explanations":["","Скобок пока нет: они появятся после умножения на $6$, когда числитель $x-1$ возьмем в скобки.","Перенос возможен, но дроби останутся, и считать будет труднее.","Деление на $3$ не убирает дробь $\\frac{x}{2}$ и добавляет новые."],"answer":[0]}},"hints":["Первый шаг плана — избавиться от дробей.","НОК$(2, 3) = 6$: умножаем каждое слагаемое обеих частей на $6$."],"step":1},{"content":"Расположите шаги решения уравнения $\\frac{x}{2} + \\frac{x-1}{3} = 3$ по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["$3x + 2(x-1) = 18$","$3x + 2x-2 = 18$","$5x = 20$","$x = 4$"]}},"hints":["Сначала умножаем на НОК$(2, 3) = 6$, затем раскрываем скобки, приводим подобные и делим.","$3x + 2(x-1) = 18 \\Rightarrow 3x + 2x-2 = 18 \\Rightarrow 5x = 20 \\Rightarrow x = 4$"],"step":1},{"content":"Решите уравнение $\\frac{x + 4}{3}-\\frac{x}{2} = 1$.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Умножьте каждое слагаемое на $6$: $2(x + 4)-3x = 6$.","$2x + 8-3x = 6$, $-x = -2$, $x = 2$. Проверка: $\\frac{6}{3}-\\frac{2}{2} = 1$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Уравнения со скобками и дробями сводятся к линейным. Скобка — это пакет: множитель перед ней действует на каждое слагаемое, а минус перед ней меняет знак каждого слагаемого. Дроби убирает умножение всех слагаемых обеих частей на НОК знаменателей — на весах это увеличение содержимого обеих чаш в одно и то же число раз. Пропорцию перемножают крест-накрест, а дробная черта работает как скобки. После этого остается знакомый алгоритм для $ax = b$ и проверка.

Зачем это нужно? Многие текстовые задачи приводят к уравнению со скобками или дробями: «в $2$ раза больше, чем $x + 5$» дает скобку, «треть пути» — дробь. Такие уравнения есть в ВПР и в задании 9 ОГЭ. В следующем уроке «Решение задач с помощью уравнений» мы будем составлять такие уравнения сами. А в 8 классе тот же прием — умножить на общий знаменатель — поможет решать уравнения, где переменная стоит в знаменателе.

Часто задаваемые вопросы

Нужно ли умножать слагаемые без дробей?

Да, умножается каждое слагаемое обеих частей, в том числе обычные числа. Иначе получится другое уравнение с другим корнем: в $\frac{x}{2}-1 = \frac{x}{3}$ после умножения на $6$ должно быть $3x-6 = 2x$.

Как не ошибиться со знаками при раскрытии скобок?

Если перед скобкой минус, меняйте знак у каждого слагаемого внутри: $-(2x-5) = -2x + 5$. Проверить себя можно, подставив вместо $x$ любое число в выражение до и после раскрытия.

Почему числитель берут в скобки?

Дробная черта работает как скобки: числитель — одно выражение, даже если в нем несколько слагаемых. Поэтому из $\frac{x + 1}{3} = \frac{x-1}{2}$ получается $2(x + 1) = 3(x-1)$, а не $2x + 1 = 3x-1$.

Что делать с десятичными дробями?

Умножить обе части на $10$, $100$ или другое число, при котором дроби станут целыми: $0{,}3(x-4) = 1{,}2-0{,}1x$ после умножения на $10$ превращается в $3(x-4) = 12-x$. Если удобнее, можно решать и прямо с десятичными дробями.

Как быть с минусом перед дробью?

Умножить на общий знаменатель, взять числитель в скобки и только потом раскрывать: $-\frac{x-1}{3}$ при умножении на $6$ дает $-2(x-1) = -2x + 2$. Минус меняет знак каждого слагаемого числителя.

Награды за урок