7 класс Алгебра Введение в алгебру Алгебраические выражения

Прямая и обратная пропорциональность

Содержание

В 6 классе вы познакомились с прямой и обратной пропорциональностью (урок «Прямая и обратная пропорциональные зависимости») — там можно повторить определения. Здесь запишем такие зависимости формулами $y = kx$ и $y = \frac{k}{x}$, научимся находить коэффициент $k$ и по таблице чисел отличать прямую, обратную и «ни ту, ни другую» зависимость. Число, как и в уроке «Действия с рациональными числами», будем рисовать полоской: ее длина — значение числа.

Как одна величина меняется вслед за другой

Килограмм яблок стоит 110 руб. За 1 кг заплатим 110 руб., за 2 кг — 220 руб., за 3 кг — 330 руб. Нарисуем стоимость полоской. За 1 кг — одна полоска длиной 110. За 2 кг — две такие полоски подряд, за 3 кг — три. Сколько килограммов, столько раз повторяем одну и ту же полоску.

Стоимость яблок как повтор одной полоски 110: один килограмм стоит 110 рублей, два — 220, три — 330 — Стоимость 1, 2 и 3 кг яблок: одна и та же полоска 110 руб. повторяется 1, 2 и 3 раза

Здесь две величины: масса $x$ (кг) и стоимость $y$ (руб.). Каждому значению $x$ соответствует одно значение $y$ — говорят, что $y$ зависит от $x$. Пары значений удобно записывать в таблицу: в верхней строке — $x$, в нижней — соответствующие $y$.

Масса $x$, кг	1	2	3	4	5
Стоимость $y$, руб.	110	220	330	440	550

Сравним еще две ситуации. В рецепте оладий на 2 порции нужно 160 г муки, на 4 порции — 320 г: порций вдвое больше — и муки вдвое больше. Два рабочих красят забор за 6 дней, а четыре рабочих — за 3 дня: рабочих вдвое больше — дней вдвое меньше. Обе зависимости устроены по правилу «во сколько раз», только в разные стороны. А сколько дней понадобится пятерым рабочим? Пять — это не «вдвое» и не «втрое» больше двух. Ответим в последнем разделе, когда найдем, что в этой задаче не меняется.

{"questions":[{"content":"Каждый килограмм груш стоит одинаково. Масса покупки увеличилась в 3 раза. Как изменилась стоимость покупки?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Увеличилась в 3 раза","Не изменилась: цена та же","Увеличилась на 3 рубля","Уменьшилась в 3 раза"],"explanations":["","Не изменилась цена одного килограмма, а стоимость всей покупки выросла","Перепутали «в 3 раза» и «на 3»: каждый добавленный килограмм добавляет целую цену килограмма, а не 1 рубль","Больше груш не может стоить меньше: каждый килограмм добавляет к стоимости одну и ту же цену"],"answer":[0]}},"hints":["Стоимость — это цена одного килограмма, повторенная столько раз, сколько килограммов купили.","Килограммов стало в 3 раза больше — повторений цены тоже в 3 раза больше.","Ответ: стоимость увеличилась в 3 раза."],"step":1},{"content":"Два билета на пригородный автобус стоят 130 руб., три — 195 руб. Сколько рублей стоят 7 билетов? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"455"}},"hints":["Найдем цену одного билета: $130 : 2 = 65$ руб. Проверка: $195 : 3 = 65$ — то же.","7 билетов: $65 \\cdot 7 = 455$.","Ответ: 455 руб."],"step":1}],"mix":1}

Одна величина растет во столько же раз, что и другая

Посмотрим на таблицу цен яблок. Масса выросла с 1 до 2 кг — в 2 раза, и стоимость выросла с 110 до 220 руб. — тоже в 2 раза. Масса выросла с 1 до 3 кг — в 3 раза, стоимость — в 3 раза. С 2 до 4 кг — снова вдвое, и 220 руб. превращаются в 440 руб. Причина видна на полосках: при $x$ килограммах полоска 110 повторяется $x$ раз. Разделим стоимость на массу: $220 : 2 = 110$, $330 : 3 = 110$, $550 : 5 = 110$. Частное $y : x$ всегда одно и то же — это цена одного килограмма.

Таблица прямой пропорциональности: когда x умножают на 2 или на 3, y умножается на то же число, а частное y : x равно 110 во всех столбцах — Над таблицей $x$ умножается на 2 и на 3 — под ней $y$ умножается на те же числа; частное $y : x = 110$ во всех столбцах

Определение

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Прямую пропорциональность записывают формулой $y = kx$, где $k \ne 0$. Число $k$ называют коэффициентом пропорциональности; при $x \ne 0$ его находят как частное:

$$k = y : x$$

Для положительных величин из задач это то же самое, что «во столько же раз». В алгебре прямой пропорциональностью называют любую зависимость $y = kx$ при $k \ne 0$ — даже с отрицательным $k$ (см. FAQ).

Почему частное не меняется? Полоска $y$ состоит из $x$ одинаковых полосок длины $k$. Разрежем ее на $x$ равных частей — получим одну полоску $k$. Поэтому $y : x = k$ при любом $x$. Если $x$ увеличить в $c$ раз, то и $y$ увеличится в $c$ раз, а частное $(cy) : (cx) = y : x$ не изменится. Верно и обратное: если для любых пар значений частное $y : x$ равно одному числу $k$, то $y = kx$, и при росте $x$ в несколько раз $y$ растет во столько же раз.

Пример

За 15 л бензина заплатили 945 руб. Стоимость прямо пропорциональна объему. Найдите коэффициент и стоимость 10, 25 и 40 л.

Коэффициент — цена одного литра: $k = 945 : 15 = 63$ руб. Формула: $y = 63x$.
$63 \cdot 10 = 630$, $63 \cdot 25 = 1575$, $63 \cdot 40 = 2520$.
Проверка «во сколько раз»: 40 л в 4 раза больше 10 л, и $2520 : 630 = 4$.

Ответ: $k = 63$; 630 руб., 1575 руб., 2520 руб.

Ошибка

Рассуждают так: «чем больше $x$, тем больше $y$ — значит, зависимость прямая». Проверим на такси: подача стоит 150 руб. и каждый километр — 40 руб., то есть $y = 40x + 150$. За 3 км платим 270 руб., за 6 км — 390 руб. Путь вырос в 2 раза, а стоимость — нет: $270 \cdot 2 = 540$, а не 390. Частные разные: $270 : 3 = 90$, $390 : 6 = 65$. Рассуждение ломается на слове «больше»: для прямой пропорциональности нужно «во столько же раз», а у такси к повторяющимся полоскам по 40 руб. добавлена постоянная полоска подачи.

Такси: подача 150 плюс 40 за километр. Путь вырос вдвое, с 3 до 6 км, а стоимость выросла с 270 до 390, не до 540: подача не повторяется, частное y : x меняется с 90 до 65 — Путь вырос вдвое, а стоимость поездки — нет: полоска подачи 150 руб. не повторяется, поэтому $y : x$ меняется

{"questions":[{"content":"Величина $y$ прямо пропорциональна $x$. При $x = 4$ получается $y = 10$. Найдите коэффициент $k$ в формуле $y = kx$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["2,5","2.5"]}},"hints":["Из $y = kx$ следует $k = y : x$.","$k = 10 : 4 = 2{,}5$.","Ответ: 2,5."],"step":1},{"content":"Стоимость $y$ покупки прямо пропорциональна массе $x$ конфет. За 3 кг конфет заплатили 240 руб. Сколько рублей надо заплатить за 5 кг? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"400"}},"hints":["Масса растет в $5 : 3$ раза — во столько же раз растет стоимость. Удобнее найти коэффициент: $k = y : x = 240 : 3 = 80$ руб. за 1 кг.","$y = kx = 80 \\cdot 5 = 400$.","Ответ: 400 руб."],"step":1},{"content":"Для величин $x$ и $y$ при $x = 1, 2, 4$ получается $y = 3, 4, 6$. Решавр говорит: «$y$ растет вместе с $x$, значит, зависимость прямая». Что верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Прямая: $y$ вырос на столько же, на сколько $x$","Не прямая: частные 3, 2 и 1,5 разные","Прямая: частные $3 : 1$ и $6 : 4$ равны","Прямая: $y$ растет вместе с $x$"],"explanations":["Это сложение, а не «во столько же раз»: $x$ вырос с 1 до 2 в 2 раза, а $y$ с 3 до 4 — примерно в 1,3 раза","","Частные не равны: $3 : 1 = 3$, а $6 : 4 = 1{,}5$","Рост — не признак: у прямой $y : x$ постоянно, а при росте $x$ вдвое $y$ тоже должен вырасти вдвое"],"answer":[1]}},"hints":["Признак прямой пропорциональности: частное $y : x$ постоянно.","$3 : 1 = 3$, $4 : 2 = 2$, $6 : 4 = 1{,}5$ — разные числа.","Это $y = x + 2$, а не $y = kx$. Ответ: не прямая."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Одна величина растет, другая уменьшается во столько же раз

Вернемся к забору. Два рабочих справляются за 6 дней, значит, вся работа — это $2 \cdot 6 = 12$ «рабочих-дней»: столько дней красил бы забор один рабочий. Нарисуем всю работу полоской из 12 клеток, одна клетка — то, что один рабочий красит за один день. Теперь полоска не повторяется, а режется: двое рабочих делят ее на 2 равные части по 6 клеток, четверо — на 4 части по 3 клетки, трое — на 3 части по 4 клетки. Сложим части рядом — получится прямоугольник: ширина — число рабочих $x$, высота — число дней $y$.

Полоска из 12 клеток разрезана на 2, 3, 4 и 6 равных частей; каждая часть встает столбцом, получаются прямоугольники 2 на 6, 3 на 4, 4 на 3 и 6 на 2 с одинаковой площадью 12 — Полоска из 12 клеток разрезана на 2, 3, 4 и 6 равных частей: прямоугольники разной формы, но площадь у всех $x \cdot y = 12$

Форма прямоугольника меняется, а площадь — нет: $2 \cdot 6 = 3 \cdot 4 = 4 \cdot 3 = 6 \cdot 2 = 12$. Рабочих стало в 2 раза больше — прямоугольник вдвое шире, и, чтобы площадь осталась 12, он стал вдвое ниже. На полоске это еще проще: режем ту же полоску на вдвое больше частей — каждая часть вдвое короче. В прямой пропорциональности полоска $k$ — одна часть, а $y$ — целое; в обратной наоборот: $k$ — целое, а $y$ — одна часть. Произведение $x \cdot y$ постоянно — это объем всей работы. Похожую формулу «работа = производительность × время» вы использовали в уроке «Задачи на работу и проценты».

Определение

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Обратную пропорциональность записывают формулой $y = \frac{k}{x}$, где $x \ne 0$, $k \ne 0$. Коэффициент $k$ — постоянное произведение:

$$k = x \cdot y$$

Как и для прямой, для положительных величин это то же, что «во столько же раз»; в алгебре обратной пропорциональностью называют любую зависимость $y = \frac{k}{x}$ при $k \ne 0$.

Пример

4 мастера укладывают плитку за 9 дней. За сколько дней уложат ту же плитку 6 мастеров, если все работают одинаково?

Объем работы не меняется: $k = 4 \cdot 9 = 36$ — столько дней работал бы один мастер. Формула: $y = \frac{36}{x}$.
При $x = 6$: $y = 36 : 6 = 6$.
Проверка «во сколько раз»: мастеров стало в $6 : 4 = 1{,}5$ раза больше, дней — в 1,5 раза меньше: $9 : 1{,}5 = 6$.

Ответ: 6 дней.

Ошибка

Главная ошибка темы: «чем больше $x$, тем меньше $y$ — значит, зависимость обратная». Проверим на маршруте длиной 8 км: прошли $x$ км, осталось $y = 8-x$ км. Пройдено 2 км — осталось 6 км, пройдено 4 км — осталось 4 км. Остаток уменьшается, но произведения разные: $2 \cdot 6 = 12$, $4 \cdot 4 = 16$. Пройденный путь вырос в 2 раза, а остаток уменьшился только в 1,5 раза. На прямоугольниках это видно сразу: площадь выросла с 12 до 16 клеток. Рассуждение ломается там же, где и у такси: признак обратной пропорциональности — не убывание, а постоянное произведение $x \cdot y$.

Прямоугольник 2 на 6 площадью 12: при обратной пропорциональности получается 4 на 3 той же площади, а при y = 8 − x получается 4 на 4 площадью 16, хотя y тоже убывает — Слева обратная пропорциональность: $2 \cdot 6 = 4 \cdot 3$. Справа $y = 8-x$: $y$ убывает, но площадь выросла, $4 \cdot 4 = 16$

{"questions":[{"content":"6 рабочих выполняют заказ за 10 дней. За сколько дней выполнят тот же заказ 15 рабочих, если все работают с одинаковой скоростью? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Объем работы постоянен: $x \\cdot y = 6 \\cdot 10 = 60$ (рабочих-дней).","При 15 рабочих: $y = 60 : 15 = 4$.","Ответ: 4 дня."],"step":1},{"content":"Произведение $x \\cdot y$ постоянно и равно 24. Тогда $y = $ [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$\\frac{x}{24}$","$24x$","$x + 24$","$\\frac{24}{x}$"],"answer":3}},"hints":["Если $x \\cdot y = 24$, то $y$ находим делением на $x$.","$y = 24 : x = \\frac{24}{x}$."],"step":1},{"content":"Для величин $x$ и $y$ при $x = 2, 4, 5$ получается $y = 8, 6, 5$. Решавр говорит: «$y$ убывает при росте $x$, значит, зависимость обратная». Что верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Обратная: $y$ убывает при росте $x$","Обратная: $x$ вырос в 2,5 раза, $y$ уменьшился в 1,6 раза","Прямая: частное $y : x$ постоянно","Не обратная: произведения 16, 24, 25 разные"],"explanations":["Убывание — не признак: у обратной произведение $x \\cdot y$ постоянно","Для обратной нужно «во столько же раз»: $x$ вырос в 2,5 раза ($2 \\to 5$), а $y$ уменьшился в $8 : 5 = 1{,}6$ раза — не в столько же","Частные $8 : 2 = 4$, $6 : 4 = 1{,}5$, $5 : 5 = 1$ разные",""],"answer":[3]}},"hints":["Проверим признак обратной пропорциональности: произведение $x \\cdot y$ должно быть постоянным.","$2 \\cdot 8 = 16$, $4 \\cdot 6 = 24$, $5 \\cdot 5 = 25$ — разные числа.","Это $y = 10-x$, а не $y = \\frac{k}{x}$. Ответ: не обратная."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Как по таблице узнать вид зависимости

Слова «растет» и «убывает» ничего не решают. Решают два вычисления: частное $y : x$ (сохраняется ли полоска одной единицы) и произведение $x \cdot y$ (сохраняется ли площадь). Проверим три таблицы из этого урока: рецепт оладий (2, 4 и 6 порций), забор (2, 3, 4 и 6 рабочих) и маршрут 8 км, где пройдено $x = 1$, $2$, $4$, $5$ км, а осталось $y = 7$, $6$, $4$, $3$ км.

Три таблицы-проверки: у рецепта частное y : x постоянно 80 — прямая пропорциональность; у забора произведение x · y постоянно 12 — обратная; у маршрута ни частное, ни произведение не постоянны — Рецепт: частные равны 80 — прямая. Забор: произведения равны 12 — обратная. Маршрут: меняются и частные, и произведения — ни та, ни другая

Правило

Чтобы по таблице узнать вид зависимости:

Найдите частное $y : x$ в каждом столбце. Все частные равны — зависимость прямая, $k$ равно этому частному.
Если частные разные, найдите произведения $x \cdot y$. Все произведения равны — зависимость обратная, $k$ равно этому произведению.
Если разные и частные, и произведения — это ни прямая, ни обратная пропорциональность.

Проверим таблицы из начала урока. В рецепте $160 : 2 = 320 : 4 = 480 : 6 = 80$ г муки на порцию — прямая пропорциональность. У забора $2 \cdot 6 = 4 \cdot 3 = 12$ — обратная. У маршрута частные $7$, $3$, $1$, $0{,}6$ и произведения $7$, $12$, $16$, $15$ разные: убывание есть, а пропорциональности нет.

В интерактиве переключайте вид зависимости и меняйте коэффициент $k$. Следите за строками $y : x$ и $x \cdot y$: в каком режиме не меняется частное, в каком — произведение, а в каком — ни то, ни другое. Попробуйте подобрать режим и $k$ так, чтобы при $x = 4$ получилось $y = 3$. Таких способов два.

proporcionalnost-xy

Важно

Таблица показывает только несколько пар чисел. Если частные (или произведения) в ней разные, пропорциональности точно нет. Если они равны, вывод о всей зависимости подтверждает условие: цена одного литра одна и та же, путь не меняется, объем работы прежний.

{"questions":[{"content":"Для величин $x$ и $y$ известно: при $x = 1, 2, 4$ значения $y = 12, 6, 3$. Какая это зависимость?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ни та, ни другая","Обратная пропорциональность, $k = 12$","Обратная пропорциональность, $k = 6$","Прямая пропорциональность"],"explanations":["Произведение $x \\cdot y$ постоянно (12), значит, это обратная","","Коэффициент обратной — произведение $k = 1 \\cdot 12 = 12$, а не частное $12 : 2 = 6$","При прямой частное $y : x$ постоянно, а здесь оно равно 12, 3, 0,75"],"answer":[1]}},"hints":["Когда $x$ растет вдвое ($1 \\to 2$), $y$ уменьшается вдвое ($12 \\to 6$). Проверим произведение: $1 \\cdot 12 = 12$, $2 \\cdot 6 = 12$, $4 \\cdot 3 = 12$.","Произведение постоянно. Ответ: обратная пропорциональность, $y = \\frac{12}{x}$."],"step":1},{"content":"Для каждой пары строк определите вид зависимости $y$ от $x$.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Прямая пропорциональность","Обратная пропорциональность","Ни та, ни другая"],"items":[["$x = 2, 5, 10$; $y = 6, 15, 30$","$x = 4, 6, 10$; $y = 10, 15, 25$"],["$x = 1, 3, 9$; $y = 18, 6, 2$","$x = 2, 4, 8$; $y = 20, 10, 5$"],["$x = 1, 2, 3$; $y = 11, 10, 9$","$x = 2, 3, 6$; $y = 7, 9, 15$"]]}},"instruction":"Распределите таблицы по группам","hints":["Для каждой таблицы найдите частные $y : x$. Если все равны — зависимость прямая.","Если частные разные, найдите произведения $x \\cdot y$. Если все равны — зависимость обратная, иначе — ни та, ни другая.","Прямые: частные 3 и 2,5. Обратные: произведения 18 и 40. Ни та, ни другая: $y = 12-x$ (убывает, но произведения 11, 20, 27) и $y = 2x + 3$ (растет, но частные 3,5, 3, 2,5)."],"step":1},{"content":"Для величин $x$ и $y$ при $x = 1, 2, 3$ получается $y = 4, 6, 8$. Какой вывод верен?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Обратная: числа связаны","Прямая: $y$ растет с $x$","Нельзя определить по трем значениям","Ни прямая, ни обратная"],"explanations":["У обратной произведение $x \\cdot y$ постоянно, а оно равно 4, 12, 24","У прямой частное $y : x$ постоянно, а оно равно 4, 3, 2,7","Если частные и произведения уже не постоянны, вывод сделать можно: пропорциональности нет",""],"answer":[3]}},"hints":["Проверим частное $y : x$: $4 : 1 = 4$, $6 : 2 = 3$, $8 : 3 \\approx 2{,}7$ — не постоянно.","Проверим произведение $x \\cdot y$: $4$, $12$, $24$ — не постоянно.","Ни то, ни другое не постоянно. Ответ: ни прямая, ни обратная."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Задачи: через коэффициент или через «во сколько раз»

Задачу на пропорциональность можно решить двумя способами. Первый — найти коэффициент $k$: то, что в задаче не меняется (цену единицы, путь, объем работы). Второй — узнать, во сколько раз изменилась одна величина, и изменить другую во столько же раз: в ту же сторону для прямой, в обратную — для обратной. Первый способ удобнее, когда отношение величин — неудобная дробь.

Правило

Пусть при $x_1$ значение равно $y_1$. Найдем $y_2$ при $x_2$.

Прямая пропорциональность: $k = y_1 : x_1$, $\ y_2 = k x_2$, или $y_2 = y_1 \cdot \frac{x_2}{x_1}$.

Обратная пропорциональность: $k = x_1 y_1$, $\ y_2 = \frac{k}{x_2}$, или $y_2 = y_1 \cdot \frac{x_1}{x_2}$.

Пример

Электричка идет со скоростью 48 км/ч и тратит на перегон 1,5 ч. Сколько времени займет тот же перегон при скорости 72 км/ч?

Через коэффициент. Путь не меняется: $k = 48 \cdot 1{,}5 = 72$ км. Время: $t = 72 : 72 = 1$ ч.
Через «во сколько раз». Скорость выросла в $72 : 48 = 1{,}5$ раза, время уменьшится в 1,5 раза: $1{,}5 : 1{,}5 = 1$ ч.

Ответ: 1 ч. Здесь полоску на 48 частей по 1,5 ч уже не разрежешь: скорость и время — не штуки. Но площадь работает и для дробных чисел: путь = скорость × время. Скорость и время при одном и том же пути обратно пропорциональны: прямоугольники $48 \times 1{,}5$ и $72 \times 1$ имеют одну площадь — путь 72 км.

Два прямоугольника одной площади: 48 км/ч за 1,5 часа и 72 км/ч за 1 час — оба пути равны 72 км; скорость выросла в 1,5 раза, время уменьшилось в 1,5 раза — Прямоугольники «скорость × время» разной формы, но одной площади: путь $48 \cdot 1{,}5 = 72 \cdot 1 = 72$ км

Пример

На 3 порции сырников нужно 210 г творога. Сколько творога нужно на 5 порций?

Порций стало в $5 : 3$ раза больше — неудобная дробь. Удобнее коэффициент: $k = 210 : 3 = 70$ г на порцию.
$y = 70 \cdot 5 = 350$ г.
Проверка: $350 : 5 = 70$ — частное то же.

Ответ: 350 г.

Теперь ответим на вопрос из начала урока. Два рабочих красят забор за 6 дней. Не меняется объем работы: $k = 2 \cdot 6 = 12$ рабочих-дней. Пятерым рабочим понадобится $12 : 5 = 2{,}4$ дня. Способ «вдвое» здесь не работал, а коэффициент дал ответ сразу.

{"questions":[{"content":"Поезд идет со скоростью 60 км/ч и тратит на весь путь 5 ч. Сколько часов потребуется на тот же путь при скорости 75 км/ч? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Путь постоянен: $60 \\cdot 5 = 300$ км — произведение скорости на время.","Время при скорости 75 км/ч: $300 : 75 = 4$ ч.","Ответ: 4 ч."],"step":1},{"content":"По рецепту на 4 порции нужно 250 г муки. Сколько граммов муки нужно на 10 порций? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"625"}},"hints":["Мука прямо пропорциональна числу порций. Коэффициент: $k = 250 : 4 = 62{,}5$ г на порцию.","$62{,}5 \\cdot 10 = 625$.","Ответ: 625 г."],"step":1},{"content":"[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Стоимость $y$ (руб.) $x$ тетрадей по 45 руб.","Время $y$ (ч) на путь 45 км со скоростью $x$ км/ч","Сколько километров $y$ осталось из 45 км, если пройдено $x$ км","Стоимость $y$ (руб.) товара ценой $x$ руб. с доставкой за 45 руб."],"items":["$y = 45x$","$y = \\frac{45}{x}$","$y = 45-x$","$y = x + 45$"]}},"instruction":"Соотнесите условие и формулу","hints":["Если постоянна цена одной единицы, стоимость — это цена, умноженная на число единиц.","Если постоянен путь, время — это путь, деленный на скорость. Если от пути отнимают пройденное — получается остаток, а не частное.","Ответ: $y = 45x$; $y = \\frac{45}{x}$; $y = 45-x$; $y = x + 45$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Пропорциональность встречается в каждой покупке и поездке: стоимость и количество, порции и продукты, скорость и время, рабочие и дни. Чтобы решать такие задачи, достаточно найти то, что не меняется, — коэффициент $k$. Как вспомнить главное:

Рост или убывание — не признак: проверяйте частное и произведение.

Часто задаваемые вопросы

Может ли прямая пропорциональность убывать?

В задачах про цены, массы и время величины положительны, поэтому прямая пропорциональность там растет. В алгебре коэффициент может быть отрицательным: при $y = -2x$ (оговорка в определении) частное $y : x = -2$ постоянно, а $y$ убывает, когда $x$ растет. Это еще раз показывает: направление изменения — не признак. Графики таких зависимостей разобраны в уроке «Линейная функция. Прямая пропорциональность».

Почему в обратной пропорциональности $x$ не может быть равен нулю?

На ноль делить нельзя, поэтому при $x = 0$ значение $y$ не определено. В задачах это тоже видно: ноль рабочих никогда не закончит работу, а при нулевой скорости путь не будет пройден.

Что означает коэффициент $k$ в задачах?

В прямой пропорциональности $k$ — значение $y$ на одну единицу $x$: цена одного литра, масса муки на порцию. В обратной $k$ — постоянная «площадь»: объем работы в рабочих-днях или путь в километрах.

Чем это пригодится дальше?

Проценты — тоже прямая пропорциональность: 1% от суммы, повторенный $p$ раз, дает $p\%$ (урок «Проценты в реальных задачах»). Формула $y = kx$ станет линейной функцией, а таблицы зависимостей — графиками, как в уроке «Чтение графиков реальных зависимостей».

Награды за урок