Прямая и обратная пропорциональные зависимости

В жизни мы часто встречаемся с ситуациями, когда изменение одной величины влечет за собой изменение другой. Например,  чем больше товаров мы покупаем, тем больше платим, или чем быстрее едем, тем меньше времени занимает путь. Эти зависимости помогают нам планировать время, расходы и ресурсы.

Что такое прямая пропорциональность

Когда одна величина напрямую зависит от другой, то для этого выделен отдельный вид пропорциональности.

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая тоже увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Например, стоимость конфет и их вес:

• $100\space г$ конфет стоят $50$ рублей.
• $200\space г$ конфет стоят $100$ рублей.
• $300\space г$ конфет стоят $150$ рублей.

То есть во сколько раз увеличивается вес конфет, во столько и их стоимость.

Показать решение

Скрыть

Для удобства будем записывать одинаковые единицы измерения друг под другом.

Стрелочками обозначаем сторону увеличения и видим, что они находятся в одном направлении. Значит, это прямая пропорциональность. Составляем пропорцию ровно как в краткой записи:

$\dfrac{3}{5}=\dfrac{240}{x}$

И решаем пропорцию:

$3х=240\cdot5$

$3х=1\space200$

$х=400$

Ответ: $400\space км.$

{"questions":[{"content":"Как называют величины, если при увеличении одной из них вторая также увеличивается?<br />[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["напрямую пропорциональные","прямо пропорциональные","ровно пропорциональные","обратно пропорциональные"],"placeholder":0,"answer":1}}}]}

Что такое обратная пропорциональность

Когда одна величина напрямую зависит от другой, но изменяется в противоположную сторону,   выделяется еще один вид пропорциональности.

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая наоборот уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Например, скорость движения и время в пути, если расстояние $120\space км{:}$

• Со скоростью $60\space км/ч$ путь займет $2$ часа;
• Со скоростью $40\space км/ч$ путь займет $3$ часа;
• Со скоростью $30\space км/ч$ путь займет $4$ часа;
• Со скоростью $20\space км/ч$ путь займет $6$ часов.

То есть чем меньше скорость, тем больше времени занимает дорога.

Показать решение

Скрыть

Снова оформляем небольшую краткую запись и стрелочками обозначаем сторону увеличения.

Чем больше рабочих трудится над одним объемом работы, тем меньше часов они потратят. Поэтому стрелочки направлены в разные стороны, а значит — это обратная пропорциональность. Теперь мы составим пропорцию, опираясь на наши стрелки — второе отношение мы перевернем для верного решения задачи:

$\dfrac{6}{15}=\dfrac{x}{10}$

И решаем пропорцию:

$15х=10\cdot6$

$15х=60$

$х=4$

Ответ: $4$ дня.

В случае с обратной пропорциональностью мы всегда будем брать обратное отношение одной из величин.

{"questions":[{"content":"Как называют величины, если при увеличении одной из них вторая уменьшается?<br /><br />[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["взаимно пропорциональные","прямо пропорциональные","противополжно пропорциональные","обратно пропорциональные"],"placeholder":0,"answer":3}}}]}

Как отличить прямую и обратную пропорциональность

Чтобы определить, какая будет пропорциональность, нужно внимательно проанализировать условие задачи.

{"questions":[{"content":"Распределите задачи по видам пропорциональности[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Прямая пропорциональность","Обратная пропорциональность"],"items":[["Количество бензина и количество километров, которые машина сможет проехать","Стоимость килограмма яблок и масса купленных яблок","Скорость автомобиля и пройденное расстояние"],["Время строительства дома и количество рабочих","Скорость автомобиля и время в пути"]]}}}]}

Решение задач

Показать решение

Скрыть

Краткая запись:

Это прямая пропорциональность. Составим пропорцию и решим ее:

$\dfrac{4}{7}=\dfrac{200}{x}$
$4х=200\cdot7$
$4х=1\space400$
$х=1\space400:4=350$

Ответ: $350$ рублей.

Показать решение

Скрыть

Составим краткую запись

По направлению стрелочек видим, что это обратная пропорциональность. Составим пропорцию, перевернув отношение дней, и решим ее:

$\dfrac{2}{6}=\dfrac{x}{6}$
$6х=6\cdot2$
$6х=12$
$х=12:6=2$

Ответ: $2$ дня.

Показать решение

Скрыть

Составляем краткую запись

    $90\spaceкм/ч$ — за $4\space ч$

   $100\spaceкм/ч$ — за $х\space ч$

По направлению стрелочек видим, что это снова обратная пропорциональность. Составим пропорцию, перевернув отношение часов, и решим ее:

$\dfrac{90}{100}=\dfrac{x}{4}$

$100х=90\cdot4$

$100х=360$

$х=360:100=3.6$

Ответ: $3.6$ часов.

Часто задаваемые вопросы