7 класс Алгебра Линейная функция и её график Координатная плоскость

Чтение графиков реальных зависимостей

Содержание

В уроке «Как отметить точку на координатной плоскости?» мы отмечали точки по их координатам. Если отметить много точек, каждая из которых — значение величины в свой момент времени, и соединить их, получится график. Одним из первых такие графики стал рисовать шотландский инженер Уильям Плейфэр: в 1786 году он показал на них, как год за годом менялась торговля Англии с другими странами. С тех пор графики стали главным способом рассказать, как что-то меняется со временем: температура за сутки, путь в поездке, расходы на связь. В этом уроке научимся читать такие графики, как рассказ.

График рассказывает историю

Посмотрите на график поездки велосипедиста. По горизонтальной оси отложено время $t$ в часах с момента выезда, по вертикальной — расстояние $s$ от дома в километрах. Каждая точка графика отвечает на вопрос: где был велосипедист в этот момент. А весь график, если читать его слева направо, рассказывает историю поездки.

График расстояния велосипедиста от дома: 1 ч едет от дома и проезжает 12 км, 30 минут стоит, за 1 ч проезжает еще 18 км до озера (30 км от дома), 30 минут отдыхает, затем за 1,5 ч возвращается домой — Пять участков графика — пять событий поездки: едет к озеру, стоит, едет быстрее, отдыхает, возвращается домой

Как читать график процесса

График поднимается — величина растет (велосипедист удаляется от дома).
Горизонтальный участок — величина не меняется (велосипедист стоит на месте).
График опускается — величина уменьшается (велосипедист приближается к дому).
Чем круче участок, тем быстрее меняется величина.

Скорость на участке можно найти по графику: за сколько часов на сколько километров изменилось расстояние. Например, с $1{,}5$ ч до $2{,}5$ ч расстояние выросло с $12$ км до $30$ км: за $1$ ч велосипедист проехал $18$ км, его скорость $18$ км/ч.

Пример

Какой путь проехал велосипедист за всю поездку?

Частые ответы — $0$ км («вернулся туда, откуда выехал») и $30$ км («самая высокая точка графика»). Но график показывает расстояние от дома, а путь — это все, что проехал велосипедист. До озера он проехал $30$ км, обратно — еще $30$ км. Путь: $30 + 30 = 60$ км.

Расстояние от дома в конце поездки действительно $0$ км, а наибольшее расстояние — $30$ км. Это три разных вопроса: «путь», «где был в конце», «как далеко уезжал».

uploaded-graph-story-629885ae1dc8

Ошибка

Считают, что график похож на рисунок дороги: «график пошел вниз — велосипедист едет под гору», «горизонтальный участок — едет по ровной дороге». Но график показывает не форму дороги, а расстояние от дома. Спуск графика значит, что расстояние уменьшается — велосипедист едет обратно. А горизонтальный участок значит, что расстояние не меняется, — велосипедист стоит.

{"questions":[{"content":"Что делал велосипедист с $1$ ч до $1{,}5$ ч по графику поездки?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Стоял на месте","Ехал по ровной дороге","Ехал быстрее всего","Возвращался домой"],"explanations":["","Горизонтальный участок показывает, что расстояние от дома не меняется. Если бы он ехал, расстояние менялось бы.","Быстрее всего он ехал там, где график круче всего, — на последнем участке.","При возвращении расстояние от дома уменьшается, а здесь оно не меняется."],"answer":[0]}},"hints":["Найдите участок с $1$ ч до $1{,}5$ ч: график на нем поднимается, опускается или идет горизонтально?","Горизонтальный участок — расстояние от дома не меняется: велосипедист стоит."],"step":1},{"content":"С какой скоростью велосипедист возвращался домой (с $3$ ч до $4{,}5$ ч)?[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"20","unit":"км/ч"}},"hints":["За это время расстояние уменьшилось с $30$ км до $0$ км, прошло $4{,}5-3 = 1{,}5$ ч.","$30 : 1{,}5 = 20$ км/ч."],"step":1}],"mix":1}

Читаем значения: сначала цена деления

На графике ниже — температура воздуха за сутки. Прежде чем читать значения, узнайте, сколько стоит одна клетка по каждой оси. Здесь по горизонтали клетка — $1$ час, а по вертикали — $2$ градуса: подписаны $-2$, $2$, $6$, $10$, $14$, а между соседними подписями по две клетки: $(6-2) : 2 = 2$.

График температуры воздуха за сутки. Одна клетка по горизонтали — 1 час, по вертикали — 2 градуса. Чтобы найти температуру в 12:00, поднимаемся от 12:00 до графика и идем влево к оси: 10 градусов — Чтобы найти температуру в 12:00, поднимаемся от отметки 12:00 до графика и идем влево к оси: $10$ °C

Алгоритм

Значение в заданный момент: найдите момент на горизонтальной оси → поднимитесь до графика → перейдите к вертикальной оси и прочитайте значение.

Момент по значению: найдите значение на вертикальной оси → перейдите по горизонтали до графика (точек может быть несколько) → опуститесь на горизонтальную ось.

Пример

Когда температура была $8$ °C и сколько часов она была не ниже $8$ °C?

Идем по второму пути алгоритма: от отметки $8$ на оси $T$ проводим горизонтальную линию. Она пересекает график дважды. Первый раз — на подъеме: в 9:00 было $4$ °C, в 12:00 — $10$ °C, температура росла на $2$ °C в час, и $8$ °C было в 11:00. Второй раз — на спаде, в 18:00.

Между этими моментами график выше линии: температура была не ниже $8$ °C с 11:00 до 18:00, то есть $18-11 = 7$ часов. Если найти только одну точку пересечения, ответ получится неверным.

График температуры и горизонтальная линия на уровне 8 градусов. Она пересекает график дважды: в 11:00 и в 18:00. Между ними, с 11:00 до 18:00, температура была не ниже 8 градусов — 7 часов — Линия $T = 8$ пересекает график дважды — в 11:00 и в 18:00. Между ними температура не ниже $8$ °C

Ошибка

Считают клетки вместо делений шкалы: «от линии $0$ до точки $5$ клеток — значит, $5$ °C». Но одна клетка здесь — $2$ °C, поэтому $5$ клеток — это $10$ °C. Другая частая ошибка — перепутать оси: искать время на вертикальной оси. Перед ответом проверьте единицы: ответ на вопрос «сколько градусов» читается по оси $T$, «во сколько часов» — по оси $t$.

{"questions":[{"content":"По графику температуры найдите, какой была температура в 21:00.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"6","unit":"°C"}},"hints":["Одна клетка по вертикали — $2$ °C. Поднимитесь от 21:00 до графика.","Точка графика на $3$ клетки выше нуля: $3 \\cdot 2 = 6$ °C."],"step":1},{"content":"На графике температуры одна клетка по вертикали — это [[fill_choice-1]] °C.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$2$","$1$","$4$","$0{,}5$"],"answer":0}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Между подписями $2$ и $6$ две клетки.","$(6-2) : 2 = 2$ °C."],"step":1},{"content":"По графику температуры найдите все моменты, когда температура была $4$ °C.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["0:00","9:00","24:00","4:00","3:00"],"explanations":["","","","$4$ — это значение температуры на оси $T$, а не время. Время читают по горизонтальной оси.","В 3:00 было $2$ °C. Значение $4$ °C на спаде ночью было раньше — ровно в 0:00."],"answer":[0,1,2]}},"hints":["Проведите горизонтальную линию на уровне $4$ °C. Сколько раз она пересечет график?","Три раза: в начале суток, на подъеме и в конце суток."],"step":1}],"mix":1}

Наибольшее и наименьшее, рост и спад

По тому же графику видно, как температура менялась в течение суток: где она росла, где падала, когда была самой высокой и самой низкой.

Тот же график температуры: с 0:00 до 6:00 температура падает, с 6:00 до 15:00 растет, с 15:00 до 24:00 снова падает. Наименьшая температура 0 градусов в 6:00, наибольшая 12 градусов в 15:00 — Зеленым — участок роста, красным — участки спада. Наибольшее значение — самая высокая точка графика, наименьшее — самая низкая

Температура падала с 0:00 до 6:00, росла с 6:00 до 15:00 и снова падала до конца суток. Наименьшая температура — $0$ °C в 6:00, наибольшая — $12$ °C в 15:00. Значит, за время роста температура поднялась на $12-0 = 12$ °C, а рост длился $15-6 = 9$ часов.

Обратите внимание

Наибольшее значение — это число на вертикальной оси ($12$ °C), а момент, когда оно было, — число на горизонтальной оси (15:00). В заданиях спрашивают то одно, то другое: «Какой была наибольшая температура?» и «В котором часу температура была наибольшей?» — это разные вопросы.

Ошибка

Перепад температуры через ноль считают, вычитая числа и не глядя на минус. Ночью было $-3$ °C, днем $7$ °C, и пишут: «$7-3 = 4$». Но от $-3$ до $0$ температура поднялась на $3$ градуса и от $0$ до $7$ — еще на $7$. Всего $7-(-3) = 10$ °C.

Пример

В январе ночью термометр показывал $-7$ °C, а днем $3$ °C. На сколько градусов потеплело?

Из большего значения вычитаем меньшее: $3-(-7) = 3 + 7 = 10$ °C. На шкале термометра это видно: от $-7$ до $0$ — $7$ градусов, от $0$ до $3$ — еще $3$.

Ответы $3-7 = -4$ и $7-3 = 4$ — ошибки: потерян знак минус у ночной температуры.

{"questions":[{"content":"[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Температура росла","Температура падала"],"items":[["с 6:00 до 9:00","с 9:00 до 12:00","с 12:00 до 15:00"],["с 0:00 до 3:00","с 15:00 до 18:00","с 18:00 до 21:00"]]}},"instruction":"Распределите промежутки по графику температуры","hints":["Если график на промежутке поднимается — температура растет, опускается — падает.","Рост — с 6:00 до 15:00, спад — до 6:00 и после 15:00."],"step":1},{"content":"В котором часу температура была наибольшей?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["В 15:00","В 12:00","В 6:00","В 24:00"],"explanations":["","В 12:00 было $10$ °C, а в 15:00 — больше: $12$ °C.","В 6:00 температура была наименьшей.","К концу суток температура снизилась до $4$ °C."],"answer":[0]}},"hints":["Найдите самую высокую точку графика.","Опуститесь от нее на ось времени: 15:00."],"step":1},{"content":"За сутки наименьшая температура была $-4$ °C, а наибольшая $5$ °C. На сколько градусов отличаются эти значения?[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"9","unit":"°C"}},"hints":["Из большего вычтите меньшее с учетом знака: $5-(-4)$.","$5 + 4 = 9$ °C. Ответ $1$ получается, если потерять минус."],"step":1}],"mix":1}

Два графика: что значит пересечение

Иногда на одном рисунке два графика, и их нужно сравнить. Первый велосипедист выехал со скоростью $12$ км/ч. Через час по той же дороге выехал второй со скоростью $20$ км/ч. Где второй догонит первого?

Два графика пути: первый велосипедист выехал в 0 ч со скоростью 12 км/ч, второй — через 1 ч со скоростью 20 км/ч. Графики пересекаются в точке (2,5; 30): через 2,5 ч после старта первого, в 30 км от старта, второй догоняет первого — Графики пересекаются в точке $(2{,}5;\ 30)$: через $2{,}5$ ч после выезда первого оба в $30$ км от старта — второй догнал первого

Точка пересечения — это момент, когда значения двух величин равны. До пересечения график первого выше: он впереди. После пересечения выше график второго: он обогнал первого. Проверим: за $2{,}5$ ч первый проехал $12 \cdot 2{,}5 = 30$ км, второй ехал $1{,}5$ ч и проехал $20 \cdot 1{,}5 = 30$ км.

Так же сравнивают тарифы, цены и любые две величины: где один график ниже другого, там первая величина меньше. В интерактиве сравните два тарифа связи.

Пример

1. На каком расстоянии друг от друга были велосипедисты через $3$ ч после выезда первого? Второй ехал $2$ ч, по графику он в $40$ км от старта — точка на линии сетки. У первого точка между линиями $35$ и $40$, поэтому его расстояние надежнее посчитать по скорости: $12 \cdot 3 = 36$ км. Второй впереди на $40-36 = 4$ км.

2. Тариф 1: $150$ рублей в месяц и $3$ рубля за минуту. Тариф 2: только $6$ рублей за минуту. Стоимость одинакова, когда $150 + 3m = 6m$, то есть при $50$ минутах — там графики пересекаются. Если вы говорите $30$ минут, тариф 1 стоит $240$ рублей, а тариф 2 — $180$: выгоднее второй. Если $80$ минут — $390$ и $480$ рублей: выгоднее первый. До пересечения ниже один график, после — другой. В интерактиве ниже сравните похожие тарифы.

Ошибка

Считают, что тариф с меньшей абонентской платой выгоднее всегда. Но это верно только до точки пересечения графиков. После нее дешевле тот тариф, у которого меньше цена минуты. Ответ зависит от того, сколько вы говорите.

uploaded-two-tariffs-d40d5aa3fab5

{"questions":[{"content":"Что означает точка пересечения графиков пути двух велосипедистов?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["В этот момент они на одном расстоянии от старта — второй догнал первого","В этот момент они остановились","В этот момент у них одинаковая скорость","Ничего: графики просто нарисованы рядом"],"explanations":["","Остановку показывает горизонтальный участок, а здесь оба графика продолжают подниматься.","Скорость показывает крутизна графика, а у этих прямых она разная.","У каждой точки графика есть смысл: координаты — момент времени и расстояние."],"answer":[0]}}},{"content":"Через сколько часов после выезда первого велосипедиста второй догнал его?[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["2,5","2.5"],"unit":"ч"}},"hints":["Найдите точку пересечения графиков и опуститесь от нее на ось времени.","Точка пересечения — $(2{,}5;\\ 30)$, ответ $2{,}5$ ч."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

График — это рассказ, который читают слева направо. Подъем — величина растет, горизонтальный участок — не меняется, спуск — уменьшается, крутой участок — меняется быстро. Перед тем как читать значения, найдите цену деления по каждой оси и проверьте, по какой оси читаете ответ. Самая высокая и самая низкая точки дают наибольшее и наименьшее значения, а точка пересечения двух графиков — момент, когда величины равны. Это умение нужно в ВПР и ОГЭ, на уроках физики и географии, а еще — чтобы понимать графики в новостях и выбирать выгодный тариф.

В следующих уроках график станет графиком функции: каждому моменту $t$ на нем соответствует ровно одно значение. Именно поэтому по графику можно однозначно ответить на вопрос «какой была температура в 12:00?», а на вопрос «когда было $8$ °C?» ответов бывает несколько.

Часто задаваемые вопросы

Почему горизонтальный участок графика пути — это остановка?

По вертикали отложено расстояние от дома. Если на участке график горизонтальный, расстояние не меняется, — значит, велосипедист никуда не едет. Если бы он ехал по ровной дороге, расстояние менялось бы и график поднимался или опускался.

Как не ошибиться с ценой деления?

Найдите две соседние подписанные отметки на оси, вычтите меньшее число из большего и разделите на число клеток между ними. Например, между $4$ и $8$ две клетки — одна клетка равна $(8-4) : 2 = 2$.

Как по графику найти скорость?

Выберите участок, где график — отрезок прямой. Найдите, на сколько изменилось расстояние и сколько прошло времени, и разделите первое на второе. Чем круче отрезок, тем больше скорость.

Чем путь отличается от расстояния от дома?

Расстояние от дома — это то, что показывает график в каждый момент. Путь — сколько всего проехали. Если велосипедист уехал на $30$ км и вернулся, расстояние в конце $0$, а путь $60$ км.

Как по графику понять, какой тариф выгоднее?

Найдите точку пересечения графиков. До нее выгоднее тариф, график которого ниже, после — другой. Поэтому сначала оцените, сколько минут вы обычно говорите.

Награды за урок