7 класс Алгебра Введение в алгебру Алгебраические выражения

Тождество и тождественные преобразования

Содержание

В уроке «Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых» мы заменяли выражение более простым: например, $3(a + 2)-2(a-5)$ записывали как $a + 16$. Но откуда известно, что новая запись равна старой при любом значении $a$? Ведь все числа подставить невозможно.

В этом уроке разберем, что такое тождество, как одним числом показать, что равенство не тождество, и как доказать тождество сразу для всех чисел. Понадобятся две модели. Испытание — таблица значений: в нее подставляют числа и сравнивают обе части. Мост — цепочка преобразований, которая ведет от одной части равенства к другой.

Тождественно равные выражения: совпадают все строки

Сравним выражения $2(x + 3)$ и $2x + 6$. Подставим в оба несколько значений $x$ и запишем результаты в таблицу. Если значения в строке совпали, отметим ее зеленым.

Таблица значений выражений 2(x + 3) и 2x + 6 при x = −2, −1, 0, 1 и 2,5: значения в каждой строке совпадают, все строки зеленые. Равенство 2(x + 3) = 2x + 6 — тождество — Испытание выражений $2(x + 3)$ и $2x + 6$: в каждой строке значения равны

Совпали все строки, и это не случайность. По распределительному свойству $2(x + 3) = 2 \cdot x + 2 \cdot 3 = 2x + 6$ при любом $x$. Значит, сколько бы строк мы ни добавили, они тоже будут зелеными.

Определение

Два выражения тождественно равны, если при любых значениях переменных их значения равны.

Тождество — равенство, которое верно при любых значениях переменных. Например, $a + b = b + a$, $x-x = 0$, $2(x + 3) = 2x + 6$.

Верные числовые равенства, например $5 \cdot 4 = 20$, тоже называют тождествами.

Пример

Является ли тождеством равенство $a + a + a = 3a$? А равенство $a + 3 = 3a$?

Сумма трех одинаковых слагаемых равна одному слагаемому, умноженному на $3$: $a + a + a = 3 \cdot a$. Это верно при любом $a$, поэтому первое равенство — тождество.

Во втором подставим $a = 1$: слева $1 + 3 = 4$, справа $3 \cdot 1 = 3$. Значения разные, поэтому второе равенство не тождество. Ответ: первое — тождество, второе — нет.

Обратите внимание

Тождество — утверждение про все значения переменных сразу. Таблица может показать только несколько из них, а чисел бесконечно много. Что тогда может таблица и чего не может — в следующем разделе.

{"questions":[{"content":"Что означает, что выражения $4(x-1)$ и $4x-4$ тождественно равны?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Их значения равны при любом значении $x$","Их значения равны хотя бы при одном значении $x$","Их значения равны при $x = 0$ и $x = 1$","Если упростить $4(x-1)$, получится $4x-1$"],"explanations":["","Так говорят о корне уравнения. Тождественно равные выражения совпадают при всех значениях $x$, а не при одном.","Двух совпадений мало: тождественно равные выражения совпадают при всех значениях $x$.","Множитель $4$ умножают и на $-1$: $4(x-1) = 4x-4$. Тождественно равные выражения совпадают при любом $x$."],"answer":[0]}}},{"content":"[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Тождество","Не тождество"],"items":[["$a + b = b + a$","$7 \\cdot 8 = 56$","$x-x = 0$","$2(y + 3) = 2y + 6$"],["$x + 2 = 5$","$a \\cdot a = 2a$","$2x = x + x + 1$"]]}},"instruction":"Распределите равенства по группам","hints":["Тождество верно при любых значениях переменных. Чтобы показать, что равенство не тождество, достаточно одного значения, при котором оно неверно.","$x + 2 = 5$ неверно при $x = 0$; $a \\cdot a = 2a$ неверно при $a = 1$ ($1 \\ne 2$); $2x = x + x + 1$ неверно ни при каком $x$, потому что $x + x = 2x$.","Тождества: $a + b = b + a$ (переместительный закон), $7 \\cdot 8 = 56$ (верное числовое равенство), $x-x = 0$ и $2(y + 3) = 2y + 6$ (распределительное свойство)."],"step":1}],"mix":1}

Контрпример: одной красной строки достаточно

В 1772 году Леонард Эйлер в письме астроному Иоганну Бернулли (внуку знаменитого математика) отметил выражение $n^2 + n + 41$ (напомним: $n^2 = n \cdot n$). При $n = 0$ оно равно $41$, при $n = 1$ — $43$, при $n = 2$ — $47$. Все это простые числа. Проверим дальше.

Сорок клеток со значениями выражения n² + n + 41 при n от 0 до 39 — все простые числа, зеленые. Сорок первая клетка, n = 40, красная: 1681 = 41 · 41 — не простое число — Зеленая клетка — простое число, красная — нет: при $n = 40$ получается $1681 = 41 \cdot 41$

При $n = 0, 1, 2, \ldots, 39$ все значения простые — сорок зеленых клеток подряд. Кажется, что так будет всегда. Но при $n = 40$ получаем $40 \cdot 40 + 40 + 41 = 1681 = 41 \cdot 41$, а это составное число. Одна клетка опровергла правило, которое выдержало сорок проверок.

Определение

Контрпример к равенству — такие значения переменных, при которых обе части имеют смысл, но их значения различаются.

Чтобы доказать, что равенство не тождество, достаточно одного контрпримера. Чтобы доказать, что равенство тождество, проверки на нескольких числах недостаточно.

То же бывает и с алгебраическими выражениями. Испытаем равенство $x \cdot x \cdot x = 3 \cdot x \cdot x-2x$.

Таблица: при x = 0, 1, 2 значения x · x · x и 3 · x · x − 2x совпадают (0, 1, 8), строки зеленые. При x = 3 получаем 27 и 21 — строка красная. x = 3 — контрпример, равенство не тождество — При $x = 0$, $1$, $2$ значения совпали, при $x = 3$ — нет: $27 \ne 21$

Ошибка

«Я проверил при $x = 0$, $x = 1$ и $x = 2$, везде получилось верно. Значит, это тождество». Такой вывод неверен: таблица выше показывает равенство, которое выдержало три проверки и не выдержало четвертую.

Зеленые строки говорят только о том, что контрпример пока не найден. Доказать тождество можно преобразованиями — об этом следующий раздел.

Пример

Верно ли, что $(a + b) \cdot (a + b) = a \cdot a + b \cdot b$ при любых $a$ и $b$?

Подставим $a = 0$, $b = 5$: слева $5 \cdot 5 = 25$, справа $0 + 25 = 25$. Совпало, но это ничего не доказывает. Подставим $a = 1$, $b = 1$: слева $(1 + 1) \cdot (1 + 1) = 4$, справа $1 + 1 = 2$. Значения разные.

Ответ: нет, равенство не тождество. Контрпример: $a = 1$, $b = 1$.

Обратите внимание

Ищите контрпример среди разных чисел: $0$, $1$, $-1$, $2$, $3$, дробных. На числах $0$ и $1$ многие неверные равенства случайно оказываются верными: например, $a \cdot a = a + a$ верно при $a = 0$, а $a \cdot a = a$ — при $a = 1$.

uploaded-tozhd-hunter-02e3b219c002

{"questions":[{"content":"Ученик подставил в равенство числа $0$, $1$ и $2$ и получил три зеленые строки. Какой вывод можно сделать?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Это тождество: трех проверок достаточно","Это тождество, потому что проверены и ноль, и положительные числа","Это не тождество","Пока неизвестно: нужен контрпример или доказательство преобразованиями"],"explanations":["Трех проверок мало: равенство $x \\cdot x \\cdot x = 3 \\cdot x \\cdot x-2x$ верно при $0$, $1$, $2$, но неверно при $x = 3$.","Выбор чисел не помогает: чисел бесконечно много, все не проверить. Тождество доказывают преобразованиями.","Чтобы сказать «не тождество», нужна хотя бы одна красная строка — контрпример. А здесь все строки зеленые.",""],"answer":[3]}}},{"content":"Какое значение $x$ является контрпримером к равенству $x \\cdot x = 2x$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$x = 2$","Контрпримера нет","$x = 3$","$x = 0$"],"explanations":["При $x = 2$ обе части равны $4$: равенство верно, это не контрпример.","Контрпример есть: при $x = 3$ слева $9$, справа $6$.","","При $x = 0$ обе части равны $0$: равенство верно, это не контрпример."],"answer":[2]}}},{"content":"Маша проверила равенство $5-(x + 1) = 4 + x$ при $x = 0$: получилось $4 = 4$. Она решила, что это тождество. В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["При $x = 0$ равенство неверно","Одна зеленая строка не доказывает тождество; при $x = 1$ получается $3 \\ne 5$","Ошибки нет: равенство верно при $x = 0$","Нужно было проверить при $x = 1$ и $x = 2$, тогда вывод был бы доказан"],"explanations":["При $x = 0$ обе части равны $4$: строка зеленая. Ошибка в выводе, а не в вычислении.","","Равенство верно только при $x = 0$. Верно $5-(x + 1) = 4-x$, а не $4 + x$.","Никакое число проверок не доказывает тождество. Здесь же уже при $x = 1$ строка красная."],"answer":[1]}}}],"mix":1}

Тождественные преобразования — звенья моста

Таблица умеет опровергать, но не умеет доказывать. Доказывают иначе: выражение заменяют другим, равным ему при любых значениях переменных, и так шаг за шагом. Каждый такой шаг опирается на законы арифметических действий или на правила из урока «Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых». Посмотрим на пример.

Мост из звеньев: выражение 4(x + 2) − (x − 1) после раскрытия скобок равно 4x + 8 − x + 1, после перестановки слагаемых — 4x − x + 8 + 1, после приведения подобных — 3x + 9. Каждое звено — тождественное преобразование — Мост из трех звеньев: $4(x + 2)-(x-1) = 3x + 9$

Преобразования записывают цепочкой через знак «$=$». Получается мост: каждое звено — разрешенный ход, и все выражения в цепочке тождественно равны друг другу. Поэтому первое выражение равно последнему при любом значении переменной. Такие ходы называют тождественными преобразованиями.

Определение

Тождественное преобразование — замена выражения другим выражением, тождественно равным ему.

Основные ходы:

переставить слагаемые или множители: $a + b = b + a$, $ab = ba$;
сгруппировать слагаемые или множители: $(a + b) + c = a + (b + c)$, $(ab)c = a(bc)$;
раскрыть скобки или вынести общий множитель: $k(a + b) = ka + kb$;
привести подобные слагаемые: $5x-2x = 3x$;
использовать свойства нуля и единицы: $a-a = 0$, $a + 0 = a$, $a \cdot 1 = a$;
выполнить действия с числами: $8-3 = 5$.

Пример

Постройте мост от выражения $5(2-x) + 3(x + 1)$ к выражению $13-2x$ и подпишите каждое звено.

$5(2-x) + 3(x + 1) = 10-5x + 3x + 3$ — раскрыли скобки: множитель $5$ умножили на $2$ и на $-x$, множитель $3$ — на $x$ и на $1$.

$10-5x + 3x + 3 = 10 + 3-5x + 3x$ — переставили слагаемые вместе с их знаками.

$10 + 3-5x + 3x = 13-2x$ — выполнили действия с числами и привели подобные. Мост построен: $5(2-x) + 3(x + 1) = 13-2x$ при любом $x$.

Мост держится, пока верно каждое звено. Одно неверное звено — и вся цепочка «доказывает» неправду. Испытание помогает найти такое звено: подставьте одно и то же число в два соседних выражения цепочки.

Сломанное звено: из 10 − (x − 3) получили 10 − x − 3, не поменяв знак у числа 3, и дальше 7 − x. Проверка при x = 0 дает 13 и 7 — строка красная. Верно: 10 − (x − 3) = 13 − x — Сломанное звено: после минуса знак поменяли только у $x$

Ошибка

Самое частое сломанное звено — минус перед скобками: $10-(x-3) = 10-x-3$. Знак поменяли у $x$, а у $-3$ забыли. Проверка при $x = 0$: $10-(0-3) = 13$, а $10-0-3 = 7$. Верно: $10-(x-3) = 10-x + 3 = 13-x$.

Важно

Проверка числом — быстрый способ найти ошибку в своей цепочке. Если значения соседних выражений при одном и том же числе не совпали, звено точно неверно. Если совпали — звено не опровергнуто, но доказательство дает только сама цепочка верных ходов.

{"questions":[{"content":"В цепочке $3(x + 4)-x = 3x + 4-x = 2x + 4$ одно звено неверно. Какое и почему?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Первое: множитель $3$ умножили только на $x$, а нужно и на $4$","Второе: $3x-x$ равно $3$, а не $2x$","Оба звена верны","Первое: $3(x + 4)$ равно $3x + 7$"],"explanations":["","Второе звено верно: $3x-x = 2x$, у $x$ коэффициент $1$. Проверка при $x = 0$: $3(0 + 4)-0 = 12$, а $3 \\cdot 0 + 4-0 = 4$ — ломается первое звено.","При $x = 0$ левая часть равна $12$, а $2x + 4$ равно $4$. Значит, где-то ошибка: $3(x + 4) = 3x + 12$.","Множитель не прибавляют, а умножают на каждое слагаемое: $3(x + 4) = 3x + 12$."],"answer":[0]}}},{"content":"Найдите значение выражения $4(a-2)-3a + 8$ при $a = 37$. Удобнее сначала построить мост к более простому выражению.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["37"]}},"hints":["Раскройте скобки: $4(a-2) = 4a-8$. Получится $4a-8-3a + 8$.","Приведите подобные: $4a-3a = a$, $-8 + 8 = 0$. Выражение тождественно равно $a$.","При $a = 37$ значение равно $37$. Ответ: $37$."],"step":1}],"mix":1}

Как доказать тождество: три способа

Доказать тождество — значит построить мост между его левой и правой частями. Строить его можно с одного берега, с двух берегов навстречу или через нуль.

Пример

Докажите тождество $x(x + 2)-2x = x \cdot x$.

Преобразуем левую часть: $x(x + 2)-2x = x \cdot x + 2x-2x = x \cdot x$. Получили правую часть, тождество доказано.

Здесь мост построен с одного берега: от левой части к правой. Бывают и другие способы.

Три способа доказать тождество: 1) левую часть преобразуют, пока не получится правая; 2) обе части преобразуют к одному выражению; 3) составляют разность левой и правой частей и показывают, что она равна нулю. Под каждым способом — пример — Три способа построить мост между частями тождества

Правило

Чтобы доказать тождество, используют один из способов:

левую часть преобразуют, пока не получится правая (или правую — в левую);
обе части преобразуют к одному и тому же выражению;
составляют разность левой и правой частей и доказывают, что она равна нулю.

Пример

Способ 2. Докажите тождество $3(a + 2)-a = 2(a + 3)$.

Левая часть: $3(a + 2)-a = 3a + 6-a = 2a + 6$. Правая часть: $2(a + 3) = 2a + 6$. Обе части равны одному выражению $2a + 6$, тождество доказано.

Пример

Способ 3. Докажите тождество $7(x-2) + 3 = 7x-11$.

Составим разность частей и упростим ее: $7(x-2) + 3-(7x-11) = 7x-14 + 3-7x + 11 = 0$. Разность равна нулю при любом $x$, значит, части равны при любом $x$. Тождество доказано.

Ошибка

Нельзя рассуждать от того, что нужно доказать: «пусть равенство верно, сделаем что-то с обеими частями и получим верное равенство — значит, тождество доказано». Такой шаг может оказаться необратимым. Например, умножим обе части неверного равенства $x + 1 = x + 2$ на $0$ и получим верное $0 = 0$. Но исходное равенство неверно ни при каком $x$.

Поэтому пользуются тремя способами из правила: преобразуют каждую часть отдельно или упрощают разность частей, а вывод делают, только когда мост построен.

uploaded-tozhd-bridge-0cb5f5fc496d

{"questions":[{"content":"Докажите тождество $4(y + 3)-y = 3(y + 4)$ вторым способом. Левая часть: $4y + 12-y = $ [[fill_choice-1]]. Правая часть: $3(y + 4) = $ [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$5y + 12$","$3y + 12$","$3y + 4$","$4y + 11$"],"answer":1},"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$3y + 4$","$3y + 7$","$3y + 12$","$7y$"],"answer":2}},"instruction":"Заполните пропуски","hints":["Слева есть подобные слагаемые $4y$ и $-y$, справа нужно раскрыть скобки.","Слева: $4y-y = 3y$, число $12$ остается. Получится $3y + 12$.","Справа раскройте скобки: множитель $3$ умножается и на $y$, и на $4$: $3y + 12$.","Обе части равны $3y + 12$, тождество доказано."],"step":1},{"content":"[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["$2(5-a) + 3a$","$10-2a + 3a$","$10 + a$","$a + 10$"]}},"instruction":"Расставьте по порядку звенья доказательства тождества $2(5-a) + 3a = a + 10$","hints":["Начало моста — левая часть тождества $2(5-a) + 3a = a + 10$, конец — правая часть.","Сначала раскрывают скобки: $2(5-a) = 10-2a$. Затем приводят подобные: $-2a + 3a = a$. В конце переставляют слагаемые.","Порядок: $2(5-a) + 3a$, $10-2a + 3a$, $10 + a$, $a + 10$."],"step":1},{"content":"Какое из равенств является тождеством?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$3(x-2)-(x-6) = 2x-12$","$2(x + 5)-x = x + 5$","$4-(2-x) = 2-x$","$3(x-2)-(x-6) = 2x$"],"explanations":["После минуса у $-6$ знак меняется: $3x-6-x + 6 = 2x$. Контрпример к этому равенству — $x = 0$: слева $0$, справа $-12$.","Множитель $2$ умножают и на $5$: $2x + 10-x = x + 10$. Контрпример: $x = 0$, слева $10$, справа $5$.","После минуса у $-x$ знак меняется: $4-2 + x = 2 + x$. Контрпример: $x = 1$, слева $3$, справа $1$.",""],"answer":[3]}}}],"mix":1}

Допустимые значения: когда выражение не имеет смысла

Равенство $a : a = 1$ похоже на тождество: кажется, что любое число, деленное на себя, дает $1$. Испытаем его — и при $a = 0$ увидим особую строку.

Таблица значений a : a и 1: при a = −2, −1, 1, 5 значения равны 1, строки зеленые. При a = 0 строка серая: на нуль делить нельзя, выражение a : a не имеет смысла. Равенство a : a = 1 — тождество при a ≠ 0 — При $a = 0$ выражение $a : a$ не имеет смысла: на нуль делить нельзя

При $a = 0$ левая часть не имеет смысла, поэтому строка не зеленая и не красная — она серая. Такие значения из испытания исключают.

Определение

Допустимые значения переменной — значения, при которых выражение имеет смысл.

Тождество — равенство, верное при всех допустимых значениях переменных. Если допустимы не все значения, это указывают рядом: $a : a = 1$ при $a \ne 0$.

Пример

При каких значениях $x$ имеет смысл выражение $12 : (x-3)$?

Делить на нуль нельзя, поэтому $x-3 \ne 0$, то есть $x \ne 3$. Ответ: при всех $x$, кроме $x = 3$.

Обратите внимание

Если в выражении нет деления на выражение с переменной, допустимы все числа. Например, $a \cdot 0 = 0$ — тождество при любом $a$, без оговорок.

{"questions":[{"content":"При каком значении $y$ выражение $5 : (y + 2)$ не имеет смысла?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$y = 0$","Выражение имеет смысл при любом $y$","$y = -2$","$y = 2$"],"explanations":["При $y = 0$ делитель равен $2$, делить можно. Нулем должен стать делитель $y + 2$, а не $y$.","При $y = -2$ делитель $y + 2$ равен нулю, а на нуль делить нельзя.","","При $y = 2$ делитель равен $2 + 2 = 4$, делить можно."],"answer":[2]}}},{"content":"Какое утверждение о равенстве $x : x = 1$ верное?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Это уравнение с единственным корнем $x = 1$","Это тождество при $x \\ne 0$","Это тождество при любом $x$","Это не тождество: при $x = 0$ строка красная"],"explanations":["Равенство верно при любом $x \\ne 0$, например при $x = 5$: $5 : 5 = 1$.","","При $x = 0$ левая часть не имеет смысла, поэтому $0$ нужно исключить.","При $x = 0$ строка не красная, а серая: выражение не имеет смысла. Такое значение исключают, а при остальных равенство верно."],"answer":[1]}}}],"mix":1}

Тождество, уравнение или неверное равенство

Испытание помогает различить три вида равенств с переменной. Сравним выражение $3x-3$ с тремя другими выражениями.

Три таблицы при x = 0, 1, 2, 3. Равенство 3(x − 1) = 3x − 3 верно во всех строках — тождество. Равенство 3x − 3 = 6 верно только при x = 3 — уравнение с корнем 3. Равенство 3x − 3 = 3x + 1 неверно во всех строках — уравнение без корней — Все строки зеленые — тождество; одна зеленая — уравнение с корнем $3$; ни одной зеленой — корней нет

Равенство	Когда верно	Как называют
$3(x-1) = 3x-3$	при любом $x$	тождество
$3x-3 = 6$	только при $x = 3$	уравнение с корнем $3$
$3x-3 = 3x + 1$	ни при каком $x$	уравнение без корней

Любое из этих равенств можно рассматривать как уравнение: оно задает вопрос «при каких значениях $x$ равенство верно?». Ответ бывает разным: при одном значении, ни при каком или при всех. В последнем случае равенство — тождество. Об уравнениях подробно — в уроке «Уравнение и его корни».

Пример

Здесь $a$ — некоторое число. При каком $a$ равенство $5x + a = 5(x + 2)$ верно при любом значении $x$, то есть является тождеством относительно $x$?

Упростим правую часть: $5(x + 2) = 5x + 10$. Равенство $5x + a = 5x + 10$ верно при любом $x$ только тогда, когда $a = 10$. При другом $a$, например $a = 3$, части отличаются при любом $x$: $5x + 3 \ne 5x + 10$.

Ответ: $a = 10$.

{"questions":[{"content":"[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Тождество","Уравнение с корнем","Уравнение без корней"],"items":[["$2(x-1) = 2x-2$","$x + x = 2x$"],["$2x = 8$","$x + 3 = 2x$"],["$x + 1 = x + 2$","$2(x + 1) = 2x + 1$"]]}},"instruction":"Распределите равенства по группам","hints":["Упростите обе части и сравните. Одинаковые выражения — тождество. Если после упрощения коэффициенты при $x$ разные — равенство верно при одном значении $x$. Если коэффициенты при $x$ одинаковые, а числа разные — корней нет.","$2(x-1) = 2x-2$ и $x + x = 2x$ — тождества. $2x = 8$ верно при $x = 4$, $x + 3 = 2x$ — при $x = 3$.","$x + 1 = x + 2$ и $2(x + 1) = 2x + 1$, то есть $2x + 2 = 2x + 1$, неверны ни при каком $x$."],"step":1},{"content":"При каком числе $b$ равенство $3(x-b) = 3x-12$ верно при любом значении $x$?[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["4"]}},"hints":["Раскройте скобки в левой части: $3(x-b) = 3x-3b$.","Равенство $3x-3b = 3x-12$ верно при любом $x$, если $3b = 12$.","$b = 12 : 3 = 4$. Ответ: $4$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Тождество — равенство, верное при всех допустимых значениях переменных. Испытание числами умеет одно: найти контрпример. Одной красной строки достаточно, чтобы опровергнуть равенство, а сколько угодно зеленых строк ничего не доказывают. Доказывает тождество мост — цепочка тождественных преобразований от одной части к другой, навстречу или через нуль.

Тождественные преобразования — основа всей алгебры. Ими упрощают выражения перед вычислением, решают уравнения и выводят формулы, например формулы сокращенного умножения. А проверка числом помогает быстро найти ошибку в собственном решении.

Часто задаваемые вопросы

Что такое тождество?

Равенство, которое верно при всех допустимых значениях переменных. Например, $2(x + 3) = 2x + 6$. Верные числовые равенства, например $5 \cdot 4 = 20$, тоже называют тождествами.

Можно ли доказать тождество, подставив много чисел?

Нет. Чисел бесконечно много, и равенство может выдержать любое число проверок, а потом не выдержать следующую. Например, $x \cdot x \cdot x = 3 \cdot x \cdot x-2x$ верно при $0$, $1$, $2$ и неверно при $3$. Доказывают тождество преобразованиями.

Как доказать, что равенство не тождество?

Найти контрпример — значения переменных, при которых части равенства различаются. Одного контрпримера достаточно.

Что такое тождественное преобразование?

Замена выражения другим, тождественно равным ему: перестановка слагаемых, раскрытие скобок, приведение подобных и другие ходы, основанные на законах действий. Тождественные преобразования не меняют значение выражения ни при каком допустимом значении переменных.

Чем тождество отличается от уравнения?

Уравнение — это вопрос: при каких значениях переменной равенство верно? Ответ может быть таким: при одном значении, ни при каком или при всех. Тождество — равенство, верное при всех допустимых значениях. Например, $2x = 8$ верно только при $x = 4$, а $2(x + 4) = 2x + 8$ — при любом $x$.

Награды за урок