Линейные уравнения. Итоговый тест

Итоговый тест по теме «Линейное уравнение с одной переменной»: корни уравнения, решение линейных уравнений, уравнения со скобками и дробями, текстовые задачи. 10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"На весах одинаковые коробки массой $x$ кг и гирьки по $1$ кг. Весы в равновесии. Какое уравнение изображено на весах?[[image-1]][[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","width":"560","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/xkprjslstdtb.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$3x + 2 = x + 8$","$3x + 2 = 8$","$3 + 2x = 1 + 8x$","$3x + 2 + x + 8$"],"explanations":["","На правой чаше кроме гирек лежит еще одна коробка — ее масса $x$ тоже входит в правую часть.","Число перед $x$ — это количество коробок: слева три коробки, то есть $3x$, а не $2x$.","Это выражение, а не уравнение: нет знака равенства. Равновесие весов означает, что массы на чашах равны."],"answer":[0]}},"hints":["Левая часть уравнения — масса всего, что лежит на левой чаше, правая — на правой.","Слева $3$ коробки и $2$ гирьки: $3x + 2$. Справа $1$ коробка и $8$ гирек: $x + 8$."],"step":1},{"id":"1","content":"На весах одинаковые коробки массой $x$ кг и гирьки по $1$ кг. Весы в равновесии. Какое уравнение изображено на весах?[[image-2]][[choice-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","width":"560","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/4wl77g8o34rb.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["$4x + 1 = 2x + 7$","$4x + 1 = 7$","$4 + x = 2 + 7x$","$4x + 1 + 2x + 7$"],"explanations":["","На правой чаше кроме гирек лежат еще две коробки — их масса $2x$ тоже входит в правую часть.","Число перед $x$ — это количество коробок: слева четыре коробки, то есть $4x$, а не $x$.","Это выражение, а не уравнение: нет знака равенства. Равновесие весов означает, что массы на чашах равны."],"answer":[0]}},"hints":["Левая часть уравнения — масса всего, что лежит на левой чаше, правая — на правой.","Слева $4$ коробки и $1$ гирька: $4x + 1$. Справа $2$ коробки и $7$ гирек: $2x + 7$."],"step":1},{"id":"2","content":"Отметьте все числа, которые являются корнями уравнения $x^2 = 4x$.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$0$","$4$","$-4$","$2$"],"explanations":["","","Слева $(-4)^2 = 16$, справа $4 \\cdot (-4) = -16$ — части не равны.","Слева $2^2 = 4$, справа $4 \\cdot 2 = 8$ — части не равны."],"answer":[0,1]}},"hints":["Подставьте каждое число в левую и правую части и сравните результаты.","При $x = 0$: $0 = 0$. При $x = 4$: $16 = 16$. Корень $0$ — тоже корень."],"step":1},{"id":"2","content":"Отметьте все числа, которые являются корнями уравнения $x^2 = 6x$.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$0$","$6$","$-6$","$3$"],"explanations":["","","Слева $(-6)^2 = 36$, справа $6 \\cdot (-6) = -36$ — части не равны.","Слева $3^2 = 9$, справа $6 \\cdot 3 = 18$ — части не равны."],"answer":[0,1]}},"hints":["Подставьте каждое число в левую и правую части и сравните результаты.","При $x = 0$: $0 = 0$. При $x = 6$: $36 = 36$. Корень $0$ — тоже корень."],"step":1},{"id":"3","content":"Ученик решил уравнение $5x - 3 = 2x + 9$ так: <br>шаг 1: $5x - 2x = 9 - 3$; <br>шаг 2: $3x = 6$; <br>шаг 3: $x = 2$. <br>Где он ошибся?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["В шаге 1","В шаге 2","В шаге 3","Ошибки нет"],"explanations":["","Из $5x - 2x = 9 - 3$ действительно следует $3x = 6$ — ошибка раньше.","$6 : 3 = 2$ — деление выполнено верно, ошибка раньше.","Проверка: $5 \\cdot 2 - 3 = 7$, а $2 \\cdot 2 + 9 = 13$. Части не равны — значит, ошибка есть."],"answer":[0]}},"hints":["Сделайте проверку: подставьте $x = 2$ в исходное уравнение.","При переносе $-3$ в правую часть знак меняется: $5x - 2x = 9 + 3$, $3x = 12$, $x = 4$."],"step":1},{"id":"3","content":"Ученик решил уравнение $6x + 4 = 2x - 8$ так: <br>шаг 1: $6x - 2x + 4 = -8$; <br>шаг 2: $4x = -8 + 4$; <br>шаг 3: $x = -1$. <br>Где он ошибся?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["В шаге 2","В шаге 1","В шаге 3","Ошибки нет"],"explanations":["","$2x$ перенесли влево со сменой знака: $6x - 2x$ — это верно.","Из $4x = -4$ действительно $x = -1$ — ошибка раньше.","Проверка: $6 \\cdot (-1) + 4 = -2$, а $2 \\cdot (-1) - 8 = -10$. Части не равны — значит, ошибка есть."],"answer":[0]}},"hints":["Сделайте проверку: подставьте $x = -1$ в исходное уравнение.","При переносе $+4$ в правую часть знак меняется: $4x = -8 - 4$, $4x = -12$, $x = -3$."],"step":1},{"id":"4","content":"Решите уравнение $7x - 4 = 3x + 16$. <br>$x =$ [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"5","inline":1}},"hints":["Перенесите $3x$ в левую часть, а $-4$ — в правую, меняя знаки: $7x - 3x = 16 + 4$.","$4x = 20$, $x = 5$."],"explanation":"$7x - 3x = 16 + 4$, $4x = 20$, $x = 5$. Проверка: $7 \\cdot 5 - 4 = 31$ и $3 \\cdot 5 + 16 = 31$.","step":1},{"id":"4","content":"Решите уравнение $9x + 5 = 4x - 15$. <br>$x =$ [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["-4","−4"],"inline":1}},"hints":["Перенесите $4x$ в левую часть, а $5$ — в правую, меняя знаки: $9x - 4x = -15 - 5$.","$5x = -20$, $x = -4$."],"explanation":"$9x - 4x = -15 - 5$, $5x = -20$, $x = -4$. Проверка: $9 \\cdot (-4) + 5 = -31$ и $4 \\cdot (-4) - 15 = -31$.","step":1},{"id":"5","content":"Распределите уравнения по числу корней.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Один корень","Нет корней","Любое число — корень"],"items":[["$3x = 0$","$2x + 1 = x + 1$"],["$0x = 5$","$x + 4 = x + 7$"],["$0x = 0$","$2(x + 3) = 2x + 6$"]]}},"hints":["Приведите каждое уравнение к виду $ax = b$: перенесите слагаемые с $x$ влево, числа — вправо.","Если $a \\ne 0$ — один корень (даже если это $0$). Если $a = 0$ и $b \\ne 0$ — нет корней. Если $a = 0$ и $b = 0$ — любое число."],"step":1},{"id":"5","content":"Распределите уравнения по числу корней.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Один корень","Нет корней","Любое число — корень"],"items":[["$-x = 0$","$4x - 2 = 3x - 2$"],["$0x = -3$","$3x + 1 = 3x - 1$"],["$x - 5 = -5 + x$","$3(x - 1) = 3x - 3$"]]}},"hints":["Приведите каждое уравнение к виду $ax = b$: перенесите слагаемые с $x$ влево, числа — вправо.","Если $a \\ne 0$ — один корень (даже если это $0$). Если $a = 0$ и $b \\ne 0$ — нет корней. Если $a = 0$ и $b = 0$ — любое число."],"step":1},{"id":"6","content":"Решите уравнение $5 - 2(x - 3) = 3x - 4$. <br>$x =$ [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"3","inline":1}},"hints":["Раскройте скобки: $-2(x - 3) = -2x + 6$ — знак меняется у каждого слагаемого в скобке.","$11 - 2x = 3x - 4$, $15 = 5x$, $x = 3$."],"explanation":"$5 - 2x + 6 = 3x - 4$, $11 - 2x = 3x - 4$, $-5x = -15$, $x = 3$. Проверка: $5 - 2 \\cdot 0 = 5$ и $3 \\cdot 3 - 4 = 5$.","step":1},{"id":"6","content":"Решите уравнение $8 - 3(x - 2) = 2x - 6$. <br>$x =$ [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"4","inline":1}},"hints":["Раскройте скобки: $-3(x - 2) = -3x + 6$ — знак меняется у каждого слагаемого в скобке.","$14 - 3x = 2x - 6$, $20 = 5x$, $x = 4$."],"explanation":"$8 - 3x + 6 = 2x - 6$, $14 - 3x = 2x - 6$, $-5x = -20$, $x = 4$. Проверка: $8 - 3 \\cdot 2 = 2$ и $2 \\cdot 4 - 6 = 2$.","step":1},{"id":"7","content":"Решите уравнение $\\dfrac{x}{3} + \\dfrac{x - 1}{2} = 7$. <br>Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части на [[fill_choice-1]]. <br>Корень уравнения: $x =$ [[input-5]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$6$","$5$","$3$","$2$"],"answer":0},"input-5":{"type":"input","answer":"9","inline":1}},"hints":["Нужно число, которое делится и на $3$, и на $2$. Умножить на него надо каждое слагаемое, в том числе $7$.","$2x + 3(x - 1) = 42$, $5x - 3 = 42$, $5x = 45$, $x = 9$."],"explanation":"Умножаем на $6$: $2x + 3(x - 1) = 42$, $5x = 45$, $x = 9$. Проверка: $\\frac{9}{3} + \\frac{8}{2} = 3 + 4 = 7$.","step":1},{"id":"7","content":"Решите уравнение $\\dfrac{x}{5} + \\dfrac{x + 1}{2} = 4$. <br>Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части на [[fill_choice-2]]. <br>Корень уравнения: $x =$ [[input-6]]","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$10$","$7$","$5$","$2$"],"answer":0},"input-6":{"type":"input","answer":"5","inline":1}},"hints":["Нужно число, которое делится и на $5$, и на $2$. Умножить на него надо каждое слагаемое, в том числе $4$.","$2x + 5(x + 1) = 40$, $7x + 5 = 40$, $7x = 35$, $x = 5$."],"explanation":"Умножаем на $10$: $2x + 5(x + 1) = 40$, $7x = 35$, $x = 5$. Проверка: $\\frac{5}{5} + \\frac{6}{2} = 1 + 3 = 4$.","step":1},{"id":"8","content":"Три друга собрали $70$ шишек. Второй собрал в $2$ раза больше, чем первый, а третий — на $10$ больше, чем первый. Пусть первый собрал $x$ шишек. Какое уравнение соответствует задаче и схеме?[[image-3]][[choice-7]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","width":"600","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/aerqumcuhjcs.svg"},"choice-7":{"type":"choice","options":["$x + 2x + (x + 10) = 70$","$x + (x + 2) + (x + 10) = 70$","$x + 2x + (x - 10) = 70$","$x + 2x + 10 = 70$"],"explanations":["","«В $2$ раза больше» — это две полоски $x$, то есть $2x$, а не $x + 2$.","«На $10$ больше» — к полоске $x$ добавляют кусок $10$: $x + 10$.","У третьего не только $10$ шишек: на схеме у него полоска $x$ и еще кусок $10$."],"answer":[0]}},"hints":["Запишите выражение для каждой строки схемы, затем сложите их.","Первый — $x$, второй — $2x$, третий — $x + 10$, всего $70$."],"step":1},{"id":"8","content":"На трех полках $90$ книг. На второй полке в $3$ раза больше книг, чем на первой, а на третьей — на $5$ меньше, чем на первой. Пусть на первой полке $x$ книг. Какое уравнение соответствует задаче и схеме?[[image-4]][[choice-8]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","width":"600","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/zfvlm37jzqza.svg"},"choice-8":{"type":"choice","options":["$x + 3x + (x - 5) = 90$","$x + (x + 3) + (x - 5) = 90$","$x + 3x + (x + 5) = 90$","$x + 3x + 5 = 90$"],"explanations":["","«В $3$ раза больше» — это три полоски $x$, то есть $3x$, а не $x + 3$.","«На $5$ меньше» — от полоски $x$ отрезают кусок $5$: $x - 5$.","На третьей полке не $5$ книг: на схеме это полоска $x$ без куска $5$."],"answer":[0]}},"hints":["Запишите выражение для каждой строки схемы, затем сложите их.","Первая полка — $x$, вторая — $3x$, третья — $x - 5$, всего $90$."],"step":1},{"id":"9","content":"Одна труба наполняет бассейн за $12$ ч, другая — за $4$ ч. За сколько часов наполнят бассейн обе трубы, если их открыть одновременно?[[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"3","unit":"ч"}},"hints":["Примите весь бассейн за $1$. За час первая труба наполняет $\\frac{1}{12}$ бассейна, вторая — $\\frac{1}{4}$.","Вместе за час: $\\frac{1}{12} + \\frac{1}{4} = \\frac{1}{3}$ бассейна. Уравнение $\\frac{t}{3} = 1$, $t = 3$."],"explanation":"$\\frac{t}{12} + \\frac{t}{4} = 1$, $t + 3t = 12$, $t = 3$. Ответ меньше $4$ ч: вместе трубы работают быстрее самой быстрой из них.","step":1},{"id":"9","content":"Одна бригада выполняет заказ за $10$ дней, другая — за $15$ дней. За сколько дней выполнят заказ обе бригады, если будут работать вместе?[[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"6","unit":"дн."}},"hints":["Примите весь заказ за $1$. За день первая бригада выполняет $\\frac{1}{10}$ заказа, вторая — $\\frac{1}{15}$.","Вместе за день: $\\frac{1}{10} + \\frac{1}{15} = \\frac{1}{6}$ заказа. Уравнение $\\frac{t}{6} = 1$, $t = 6$."],"explanation":"$\\frac{t}{10} + \\frac{t}{15} = 1$, $3t + 2t = 30$, $t = 6$. Ответ меньше $10$ дней: вместе бригады работают быстрее каждой из них.","step":1},{"id":"10","content":"После повышения цены на $25\\%$ товар стоит $750$ рублей. Сколько рублей он стоил до повышения?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["$600$","$562{,}5$","$725$","$937{,}5$"],"explanations":["","Здесь $25\\%$ отняли от новой цены. Но $25\\%$ прибавляли к старой цене. Проверка: $562{,}5 \\cdot 1{,}25 \\ne 750$.","Здесь вычли $25$ рублей, а не $25\\%$.","Здесь цену повысили еще раз, а нужно найти цену до повышения."],"answer":[0]}},"hints":["За $100\\%$ примите старую цену $x$. После повышения на $25\\%$ цена равна $1{,}25x$.","$1{,}25x = 750$, $x = 600$."],"step":1},{"id":"10","content":"После снижения цены на $20\\%$ товар стоит $640$ рублей. Сколько рублей он стоил до снижения?[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["$800$","$768$","$660$","$512$"],"explanations":["","Здесь $20\\%$ прибавили к новой цене. Но $20\\%$ отнимали от старой цены. Проверка: $768 \\cdot 0{,}8 \\ne 640$.","Здесь прибавили $20$ рублей, а не $20\\%$.","Здесь цену снизили еще раз, а нужно найти цену до снижения."],"answer":[0]}},"hints":["За $100\\%$ примите старую цену $x$. После снижения на $20\\%$ цена равна $0{,}8x$.","$0{,}8x = 640$, $x = 800$."],"step":1}]}</textarea></pre></div>