7 класс Алгебра Введение в алгебру Алгебраические выражения

Уравнение и его корни

Содержание

Вы уже знакомы с тождествами — равенствами, верными при любых значениях переменной, — и умеете выполнять тождественные преобразования. Но чаще в математике нужно другое: найти, при каком значении переменной равенство верно. Такие равенства называют уравнениями. В этом уроке разберем, что такое уравнение и его корень, сколько корней бывает у уравнения и какие действия не меняют его корней. Объяснять все будем на чашечных весах, а в конце узнаем, как с решением уравнений связано само слово «алгебра».

Уравнение — это весы в равновесии

На левой чаше весов лежат две одинаковые коробки и гирька $1$ кг, на правой — семь гирек по $1$ кг. Весы в равновесии. Сколько весит одна коробка?

Обозначим массу коробки буквой $x$ (в килограммах). Тогда левая чаша весит $2x + 1$ кг, а правая — $7$ кг. Весы в равновесии, значит, массы равны:

$$2x + 1 = 7$$

Определение

Уравнение — это равенство, которое содержит переменную, значение которой нужно найти. Такую переменную называют неизвестным.

Выражение слева от знака «$=$» — левая часть уравнения, справа — правая часть.

Обратите внимание

Не всякая запись с переменной — уравнение: $2x + 1$ — это выражение, в нем нет знака «$=$». И не всякое равенство — уравнение: $2 \cdot 3 + 1 = 7$ — числовое равенство, в нем нет переменной.

Пример

На левой чаше три одинаковых пакета и гиря $2$ кг, на правой — один такой же пакет и гиря $10$ кг. Весы в равновесии. Составим уравнение.

Обозначим массу пакета $x$ кг. Левая чаша весит $3x + 2$ кг, правая — $x + 10$ кг. Массы равны:

$$3x + 2 = x + 10.$$

Неизвестное здесь стоит в обеих частях уравнения — так тоже бывает. Найти массу пакета мы научимся в следующих разделах, а пока проверим догадку $x = 4$: $3 \cdot 4 + 2 = 14$ и $4 + 10 = 14$ — весы в равновесии.

{"questions":[{"content":"[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Уравнение","Не уравнение"],"items":[["$5x = 20$","$y-3 = 2y$","$7 = a + 4$"],["$3x-4$","$2 + 5 = 7$","$x + x$"]]}},"instruction":"Распределите записи по группам","hints":["Уравнение — это равенство (есть знак «$=$»), в котором есть переменная.","$3x-4$ и $x + x$ — выражения без знака «$=$», а $2 + 5 = 7$ — числовое равенство без переменной."],"step":1},{"content":"Какое выражение является правой частью уравнения $4x-1 = x + 8$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$x + 8$","$4x-1$","$8$","$x$"],"explanations":["","$4x-1$ стоит слева от знака «$=$» — это левая часть.","Правая часть — все выражение справа от знака «$=$», а не одно число.","Правая часть — все выражение справа от знака «$=$»: $x + 8$."],"answer":[0]}},"hints":["Найдите знак «$=$». Все, что справа от него, — правая часть.","Справа от «$=$» стоит $x + 8$."],"step":1}],"mix":1}

Корень уравнения: при какой массе весы в равновесии

Будем подбирать массу коробки. Если $x = 2$, левая чаша весит $2 \cdot 2 + 1 = 5$ кг — она легче правой. Если $x = 4$, левая чаша весит $2 \cdot 4 + 1 = 9$ кг — она тяжелее. А при $x = 3$ обе чаши весят по $7$ кг: весы в равновесии, и равенство $2 \cdot 3 + 1 = 7$ верное.

Подбор корня уравнения 2x + 1 = 7: при x = 2 левая чаша легче, при x = 3 весы в равновесии, при x = 4 левая чаша тяжелее. Корень — 3 — Только при $x = 3$ левая и правая части равны — весы в равновесии

Определение

Корень уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Число $3$ — корень уравнения $2x + 1 = 7$, а числа $2$ и $4$ — не корни.

Как проверить, является ли число корнем

Подставьте число вместо переменной в обе части уравнения.
Вычислите левую и правую части по отдельности.
Сравните результаты: если они равны, число — корень, если нет — не корень.

Проверим, является ли $5$ корнем уравнения $3x-4 = x + 6$. Левая часть: $3 \cdot 5-4 = 11$. Правая часть: $5 + 6 = 11$. Части равны, значит, $5$ — корень.

Пример

Какие из чисел $-2$, $0$, $1$, $3$ являются корнями уравнения $x^2-x = 6$?

Проверим каждое число подстановкой:

$x = -2$: $(-2)^2-(-2) = 4 + 2 = 6$ — верно, корень;
$x = 0$: $0-0 = 0 \ne 6$ — не корень;
$x = 1$: $1-1 = 0 \ne 6$ — не корень;
$x = 3$: $9-3 = 6$ — верно, корень.

У этого уравнения два корня из списка: $-2$ и $3$. Проверять нужно все числа, а не останавливаться на первом подходящем.

uploaded-balance-root-finder-6fa9f483950f

{"questions":[{"content":"Весы показывают уравнение $2x + 1 = 7$. Какая чаша тяжелее, если коробка весит $2$ кг?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Правая","Левая","Весы в равновесии","Сказать нельзя"],"explanations":["","Левая чаша весит $2 \\cdot 2 + 1 = 5$ кг, а правая — $7$ кг.","Равновесие только при $x = 3$, а здесь $x = 2$.","Можно: подставьте $2$ и сравните $5$ и $7$."],"answer":[0]}},"hints":["Найдите массу левой чаши при $x = 2$.","$2 \\cdot 2 + 1 = 5$ кг, а справа $7$ кг: правая тяжелее, $2$ — не корень."],"step":1},{"content":"Какое из чисел является корнем уравнения $4x-3 = 9$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$3$","$1{,}5$","$12$","$2$"],"explanations":["","Проверка: $4 \\cdot 1{,}5-3 = 3$, а не $9$. Так получается, если число $3$ вычесть, а не прибавить: $(9-3) : 4 = 1{,}5$.","$12$ — это значение выражения $4x$, а не $x$. Проверка: $4 \\cdot 12-3 = 45$, а не $9$.","Проверка: $4 \\cdot 2-3 = 5$, а не $9$."],"answer":[0]}},"hints":["Подставьте каждое число в левую часть и сравните с $9$.","$4 \\cdot 3-3 = 9$ — верное равенство, корень $3$."],"step":1},{"content":"Подберите корень уравнения $x + 7 = 2x + 3$.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Подставляйте числа по очереди и сравнивайте части. При $x = 1$: левая часть $8$, правая $5$. При $x = 2$: $9$ и $7$.","При $x = 3$: $10$ и $9$. При $x = 4$: левая часть $4 + 7 = 11$, правая $2 \\cdot 4 + 3 = 11$. Корень — $4$."],"step":1}],"mix":1}

Сколько корней бывает у уравнения

У уравнения $2x + 1 = 7$ один корень — число $3$. Но так бывает не всегда. Рассмотрим уравнение $x + 1 = x$. На левой чаше коробка и гирька, на правой — такая же коробка. Какой бы ни была масса коробки, левая чаша тяжелее на $1$ кг. Значит, у этого уравнения нет корней.

А в уравнении $2x + 2 = 2(x + 1)$ на обеих чашах лежит одно и то же: две коробки и две гирьки. Весы в равновесии при любой массе коробки, поэтому корнем является любое число. Такое уравнение — тождество, о них мы говорили в уроке о тождествах.

Слева весы x + 1 = x: при любой массе коробки левая чаша тяжелее на 1 кг, корней нет. Справа весы 2x + 2 = 2(x + 1): на чашах одинаковые предметы, равновесие при любой массе, корень — любое число — Слева равновесия нет ни при какой массе коробки, справа оно есть при любой массе

Бывает и несколько корней. Уравнение $x^2 = 9$ имеет два корня: $3$ и $-3$, ведь $3^2 = 9$ и $(-3)^2 = 9$. Отрицательную массу на весы положить нельзя — здесь модель весов перестает работать, и корни проверяют подстановкой.

Уравнение	Корни	Сколько корней
$2x + 1 = 7$	$3$	один
$x^2 = 9$	$3$ и $-3$	два
$x + 1 = x$	нет	ни одного
$2x + 2 = 2(x + 1)$	любое число	бесконечно много

Пример

Сравним два похожих уравнения: $3(x + 2) = 3x + 6$ и $3(x + 2) = 3x + 5$.

Раскроем скобки: $3(x + 2) = 3x + 6$. В первом уравнении получается $3x + 6 = 3x + 6$ — обе части одинаковы при любом $x$, корень — любое число. Во втором: $3x + 6 = 3x + 5$ — левая часть всегда на $1$ больше правой, корней нет.

На весах: в первом случае на чашах одно и то же, во втором — справа на одну гирьку меньше, и равновесия не будет никогда.

Определение

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Ошибка

Иногда пишут: «получилось $x = 0$, значит, корней нет». Это неверно: $0$ — такое же число, как и другие. Например, у уравнения $4x + 3 = 3$ есть корень $0$: $4 \cdot 0 + 3 = 3$ — верное равенство. На весах это значит, что коробки ничего не весят, а на обеих чашах остается по три гирьки. Ответы «корень равен нулю» и «корней нет» — разные.

{"questions":[{"content":"[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Один корень","Нет корней","Корень — любое число"],"items":[["$5x = 0$","$x + 2 = 7$"],["$x + 5 = x + 6$","$3x-1 = 3x$"],["$x + x = 2x$","$3(x-1) = 3x-3$"]]}},"instruction":"Распределите уравнения по группам","hints":["Сравните части: если в них одинаковое количество $x$, но разные числа, весы не уравновесятся никогда. Если части совпадают после раскрытия скобок — равновесие при любом $x$.","У уравнения $5x = 0$ корень $0$, у $x + 2 = 7$ — корень $5$. В $x + 5 = x + 6$ и $3x-1 = 3x$ корней нет. Уравнения $x + x = 2x$ и $3(x-1) = 3x-3$ верны при любом $x$."],"step":1},{"content":"Ученик решал уравнение $7x + 5 = 5$ и записал: «$x = 0$, значит, корней нет». Что верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["У уравнения один корень — число $0$","У уравнения действительно нет корней","Корень — любое число","Корень — число $5$"],"explanations":["","Подставим $0$: $7 \\cdot 0 + 5 = 5$ — верное равенство. Значит, корень есть.","Проверим $x = 1$: $7 \\cdot 1 + 5 = 12$, а не $5$. Значит, не любое число подходит.","Проверка: $7 \\cdot 5 + 5 = 40$, а не $5$."],"answer":[0]}},"hints":["Подставьте $x = 0$ в уравнение.","$7 \\cdot 0 + 5 = 5$ — верное равенство: $0$ — корень, а не «корней нет»."],"step":1}],"mix":1}

Что можно делать с обеими чашами весов

Подбором корень находится не всегда: он может оказаться дробным или большим. Нужен способ находить корни наверняка. Весы его подсказывают: если с обеими чашами сделать одно и то же, равновесие сохранится.

Решение уравнения 2x + 1 = 7 на весах в три шага: снимаем по гирьке 1 кг с обеих чаш и получаем 2x = 6, затем оставляем на каждой чаше половину и получаем x = 3 — Снимаем по гирьке с обеих чаш, затем оставляем на каждой чаше половину

Снимем по гирьке с обеих чаш: $2x + 1-1 = 7-1$, то есть $2x = 6$. Теперь оставим на каждой чаше половину — разделим обе части на $2$: $x = 3$. Уравнения $2x + 1 = 7$, $2x = 6$ и $x = 3$ имеют один и тот же корень.

Определение

Равносильные уравнения — это уравнения, которые имеют одни и те же корни. Уравнения, у которых нет корней, тоже считают равносильными.

Свойство

1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число или выражение с переменной (или вычесть его из обеих частей), получится уравнение, равносильное данному.

Из этого свойства следует правило: слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.

$$2x + 1 = 7 \quad \Rightarrow \quad 2x = 7-1$$

2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, получится уравнение, равносильное данному.

Ошибка

Самая частая ошибка — перенести слагаемое, не изменив знак: $2x + 1 = 7 \Rightarrow 2x = 7 + 1$. На весах это значит снять гирьку с левой чаши и добавить ее на правую — равновесие нарушается. Проверка подтверждает ошибку: из $2x = 8$ получаем $x = 4$, но $2 \cdot 4 + 1 = 9$, а не $7$.

Важно

Умножать обе части на ноль нельзя. Умножим уравнение $2x + 1 = 7$ на $0$: получится $0 = 0$, а это равенство верно при любом $x$. У нового уравнения корень — любое число, а у исходного — только $3$: уравнения не равносильны. Делить на ноль нельзя вовсе.

Пример

1. Вернемся к пакетам из первого раздела: $3x + 2 = x + 10$. Снимем по одному пакету с обеих чаш — вычтем выражение $x$ из обеих частей: $2x + 2 = 10$. Снимем по $2$ кг: $2x = 8$. Оставим половину: $x = 4$. Пакет весит $4$ кг, проверка: $3 \cdot 4 + 2 = 14$ и $4 + 10 = 14$.

2. Решим уравнение $15-4x = 3$.

Перенесем $15$ в правую часть с противоположным знаком: $-4x = 3-15$, то есть $-4x = -12$. Разделим обе части на $-4$ — это число не равно нулю: $x = 3$.

Проверка: $15-4 \cdot 3 = 3$ — верное равенство. Ответ: $3$.

На весах «минус» положить нельзя, но правило переноса работает с любыми числами: оно следует из свойства «к обеим частям можно прибавить одно и то же».

Интересный факт: откуда взялось слово «алгебра»

Скрыть

В IX веке ученый Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми, работавший в Багдаде, написал книгу о решении уравнений. В ее названии есть два слова — «аль-джабр» и «аль-мукабала».

«Аль-джабр» означает «восполнение»: так аль-Хорезми называл перенос вычитаемого из одной части уравнения в другую, где оно становится слагаемым. «Аль-мукабала» — «противопоставление»: сокращение одинаковых слагаемых в обеих частях уравнения. Слово «аль-джабр» со временем превратилось в «алгебру». А от латинского написания имени ученого произошло слово «алгоритм».

{"questions":[{"content":"Весы показывают уравнение $2x + 1 = 7$. С левой чаши сняли гирьку $1$ кг, а с правой ничего не сняли. Что произошло?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Равновесие нарушилось: $2x = 7$ — другое уравнение с другим корнем","Равновесие сохранилось","Корень остался прежним, $3$","Левая чаша стала тяжелее"],"explanations":["","Гирьку сняли только с одной чаши — левая стала легче правой.","Корень $2x = 7$ — это $3{,}5$, а не $3$.","Наоборот: гирьку сняли с левой чаши, она стала легче."],"answer":[0]}},"hints":["Действие выполнили только с одной чашей.","Чтобы равновесие сохранилось, гирьку нужно снять с обеих чаш."],"step":1},{"content":"Ученик решал уравнение $5x-4 = 11$ и записал: $5x = 11-4$. В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Слагаемое $-4$ перенесли без смены знака, нужно $5x = 11 + 4$","Ошибки нет","Нужно было перенести $11$ в левую часть","Переносить можно только слагаемые с переменной"],"explanations":["","Проверка: из $5x = 7$ получаем $x = 1{,}4$, но $5 \\cdot 1{,}4-4 = 3$, а не $11$.","Переносить $11$ можно, но это не исправит ошибку: $-4$ все равно перенесли без смены знака.","Переносить можно любое слагаемое — и с переменной, и число, если изменить его знак."],"answer":[0]}},"hints":["Какой знак был у $4$ в левой части? Каким он должен стать справа?","$-4$ переносим со сменой знака: $5x = 11 + 4 = 15$, $x = 3$."],"step":1},{"content":"[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$x + 4 = 10$","$3x = 12$","$x-2 = 5$","$2x = 10$"],"items":["$x = 6$","$x = 4$","$x = 7$","$x = 5$"]}},"instruction":"Соотнесите равносильные уравнения","hints":["Сделайте с обеими частями одно и то же: перенесите число или разделите обе части на коэффициент при $x$.","$x + 4 = 10 \\Rightarrow x = 6$; $3x = 12 \\Rightarrow x = 4$; $x-2 = 5 \\Rightarrow x = 7$; $2x = 10 \\Rightarrow x = 5$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Уравнение — это весы в равновесии, а его корень — та масса коробки, при которой равновесие сохраняется. Решить уравнение — значит найти все корни или доказать, что их нет: корней может быть один, несколько, ни одного или бесконечно много. Главное правило решения тоже видно на весах: с обеими частями уравнения делаем одно и то же. Поэтому слагаемое переносят в другую часть с противоположным знаком, а обе части делят только на число, не равное нулю. На этих свойствах строится решение всех уравнений.

Зачем это нужно? Уравнение — способ записать вопрос «сколько?», когда ответ спрятан в условии: сколько весит пакет, сколько стоит одна тетрадь, через сколько минут закипит вода. Подбор помогает в простых случаях, а правила равносильных преобразований — всегда. В следующем уроке «Линейное уравнение с одной переменной» эти правила превратятся в алгоритм, а дальше пригодятся в уравнениях со скобками и дробями, в текстовых задачах и при построении графиков $y = kx + b$.

Часто задаваемые вопросы

Чем уравнение отличается от тождества?

Тождество верно при любых значениях переменных. Уравнение — это равенство, для которого нужно найти значения переменной, при которых оно верно. Если корень уравнения — любое число, такое уравнение является тождеством, например $2x + 2 = 2(x + 1)$.

Может ли корнем быть ноль или отрицательное число?

Да. У уравнения $5x + 2 = 2$ корень $0$, а у уравнения $x + 5 = 2$ корень $-3$. Ответ «корень равен нулю» не означает, что корней нет.

Почему нельзя делить обе части уравнения на неизвестное?

Потому что $x$ может оказаться равным нулю, а делить на ноль нельзя. Уравнение $x^2 = 2x$ имеет корни $0$ и $2$. Если разделить обе части на $x$, получится $x = 2$ — корень $0$ потерян. Делить обе части можно только на число, не равное нулю.

Почему при переносе слагаемого меняется его знак?

Перенос — это короткая запись того, что из обеих частей вычли или к обеим частям прибавили одно и то же число. Из $2x + 1 = 7$ вычтем $1$ из обеих частей: слева $1$ исчезает, а справа появляется $-1$, получаем $2x = 7-1$.

Награды за урок